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Elementos filtrados por fecha: Sábado, 05 Octubre 2013

Operaciones con enteros y mensajes cifrados

Estos cinco ejercicios sobre operaciones con números enteros están enunciados de tal manera que la operación simule un mensaje cifrado el cual hay que descubrir. Las operaciones combinadas con números enteros son de los primeros contenidos que se trabajan en la materia de matemáticas de 2º de ESO. Es importante pues que los alumnos se vean estimulados con enunciados de este tipo.

Instrucciones

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. La persona que envía el mensaje

\[\{-1\,,\ 2\,,\ -15\,,\ 6\,,\ -10\,,\ 7\,,\ 3\,,\ -8\}\]

es una mujer si la suma de estos números es un entero positivo, y es un hombre si es un entero negativo. Su edad viene dada por la suma de los valores absolutos de estos números. Obtén, con estos datos, toda la información posible del mensaje.

Efectuemos la suma de los números enteros que aparecen en el mensaje:

\[-1+2+(-15)+6+(-10)+7+3+(-8)\]

En primer lugar eliminamos los paréntesis. Para ello empleamos las conocidas regla de los signos:

\[-1+2-15+6-10+7+3-8\]

Ahora podemos efectuar la operación utilizando dos métodos.

Primer método. Sumar y restar los números en el orden en que aparecen.

\[-1+2-15+6-10+7+3-8=1-15+6-10+7+3-8=-14+6-10+7+3-8=\]

\[=-8-10+7+3-8=-18+7+3-8=-11+3-8=-8-8=-16\]

Segundo método. Agrupar los positivos y negativos, y operar.

\[-1+2-15+6-10+7+3-8=(2+6+7+3)-(1+15+10+8)=18-34=-16\]

En cualquiera de los dos casos la suma de estos números es igual a \(-16\), que es un número negativo. Por tanto la persona que envía el mensaje es un hombre.

Por otro lado, sabemos que el valor absoluto de un número entero \(a\) es el número que resulta de prescindir de su signo. Dicho de otro modo, si el número es positivo su valor absoluto es el mismo número y si el número es negativo su valor absoluto es el mismo número pero positivo. Se escribe \left|a\right|. Dicho esto los valores absolutos de los números del mensaje son:

\[|-1|=1\,,\ |2|=2\,,\ |-15|=15\,,\ |6|=6\]

\[|-10|=10\,,\ |7|=7\,,\ |3|=3\,,\ |-8|=8\]

Así pues la suma de los valores absolutos es:

\[1+2+15+6+10+7+3+8=52\]

Esto quiere decir que el hombre que envió el mensaje tiene \(52\) años.


Ejercicio 2. El contenido del mensaje 

\[\{-3\,,\ 4\,,\ -5\,,\ 8\,,\ -1\,,\ 10\,,\ -7\,,\ 7\,,\ -2\,,\ 9\}\]

es una afirmación si el producto de los números positivos, dividido por el valor absoluto del producto de los negativos es un cociente exacto de números enteros. En caso contrario, el contenido es una negación. ¿De qué tipo es el contenido del mensaje?

El producto de lo número positivos es:

\[4\cdot8\cdot10\cdot7\cdot9=32\cdot10\cdot7\cdot9=320\cdot7\cdot9=2240\cdot9=20160\]

El producto del valor absoluto de los número negativos es:

\[3\cdot5\cdot1\cdot7\cdot2=15\cdot1\cdot7\cdot2=15\cdot7\cdot2=105\cdot2=210\]

La división de los dos números obtenidos anteriormente es

\[20160\,:\,210=\frac{20160}{210}=96\]

Por tanto, al ser la división anterior un cociente exacto de número enteros (no tiene cifras decimales), deducimos que el contenido del mensaje es una afirmación.


 

Ejercicio 3. Se recibe el mensaje

\[3\cdot\left[5-(1-6)\right]+2\cdot\left[(1-5)+(5-1)\right]-\left[(4-8)-(1-3)\right]\]

La primera cifra del resultado de esta expresión indica el día en que se envió y la segunda, el mes. Calcula la fecha de emisión del mensaje.

Para efectuar esta operación combinada con números enteros seguiremos la jerarquía de las operaciones. Es decir, el orden para operar será el siguiente:

  1. Eliminamos los paréntesis y corchetes.
  2. Efectuamos los productos y divisiones, de izquierda a derecha.
  3. Efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha.

De este modo:

\[3\cdot\left[5-(1-6)\right]+2\cdot\left[(1-5)+(5-1)\right]-\left[(4-8)-(1-3)\right]=\]

\[=3\cdot\left[5-(-5)\right]+2\cdot\left[(-4)+4\right]-\left[(-4)-(-2)\right]=\]

\[=3\cdot\left[5+5\right]+2\cdot\left[-4+4\right]-\left[-4+2\right]=\]

\[=3\cdot10+2\cdot0-(-2)=\]

\[=30+0+2=\]

\[=32\]

Como la primera cifra del resultado indica el día que se envió, y la segunda el mes, la fecha de emisión del mensaje fue el día tres de febrero.


Ejercicio 4. Para averiguar el día en que se recibió el mensaje del ejercicio anterior, hay que sumarle \(2\) al opuesto del resultado, y dividir por \(-6\) el número que obtenido. ¿Qué día se ha recibido el mensaje si el mes es el mismo que el de la emisión?

El opuesto del resultado del ejercicio anterior es \(-32\). Sumándole \(2\) obtenemos \(-32+2=-30\). Ahora hemos de dividir por \(-6\) el número obtenido, es decir:

\[(-30):(-6)=\frac{-30}{-6}=5\]

Por tanto el mensaje se recibió el cinco de febrero (dos días después de la emisión del mismo).


Ejercicio 5. En el mensaje cifrado

\[\frac{-2}{-3+1}+\frac{-(7-1)}{-2}+\left[(3+2)-(-1-6)\right]+\frac{-40}{-4}\]

el primer sumando indica el número de días que hace que se empezó una determinada misión. El segundo, el número de agentes que la llevaron a cabo. El tercero, el número de objetivos de la misión. El cuarto, el número de minutos de que se dispondrá para abandonar el último objetivo. El resultado de la expresión es el número de días que se emplearán. ¿Cuánto hace que se empezó la misión? ¿Cuántos días dura en total? ¿Cuántos agentes la llevan a cabo? Si se necesitan 9 minutos para abandonar el emplazamiento del último objetivo, ¿se dispone de tiempo necesario para hacerlo? ¿Cuántos objetivos tiene la misión?

Veamos el valor de cada uno de los sumandos.

Sumando 1: \(\displaystyle\frac{-2}{-3+1}=\frac{-2}{-2}=1\)

Sumando 2: \(\displaystyle\frac{-(7-1)}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\)

Sumando 3: \(\displaystyle\left[(3+2)-(-1-6)\right]=5-(-7)=5+7=12\)

Sumando 4: \(\displaystyle\frac{-40}{-4}=10\)

El resultado de la expresión será pues:

\[\frac{-2}{-3+1}+\frac{-(7-1)}{-2}+\left[(3+2)-(-1-6)\right]+\frac{-40}{-4}=\]

\[=1+3+12+10=26\]

El primer sumando indica el número de días que hace que se empezó la misión. Por tanto, la misión empezó hace un día. Sabemos también que el resultado de la expresión es el número de días que se emplearán. Esto quiere decir que la misión durará un total de \(26\) días. Como el segundo sumando indica el número de agentes que llevan la misión a cabo, hay un total de tres agentes. El cuarto sumando es \(10\), que indica el número de minutos de que se dispondrá para abandonar el último objetivo. Según el enunciado, se necesitan \(9\) minutos para abandonar el emplazamiento del último objetivo con lo que (sobra un minuto) sí que se dispone de tiempo suficiente para hacerlo. El número de objetivos que tiene la misión son doce, pues esto lo indica el tercer sumando.


Referencia bibliográfica:

Equipo Signo (1987). "Azimut Matemáticas 8º E.G.B.". Anaya. 


Para practicar más operaciones combinadas con número enteros busca aquí.

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