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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (III)

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Altura de un punto de pie accesible

Para calcular la altura de un punto de pie accesible se pueden presentar dos casos distintos. El primero de ellos, que el suelo sea horizontal (figura 1) y el segundo, que el suelo presente una determinada inclinación (ver figura 2).

 Altura de un punto de pie accesible

Si el suelo es horizontal (figura 1) el triángulo \(ABC\) es rectángulo y entonces es muy fácil hallar la altura \(h\).

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{h}{\overline{CB}}\Rightarrow h=\overline{CB}\cdot\text{tg}\,\alpha\]

Si el suelo presenta una inclinación dada, \(\beta\) (figura 2), conocemos también el ángulo \(\widehat{ACB}=\alpha-\beta\) y el ángulo \(\widehat{CAB}=90^{\text{o}}-\alpha\). Utilizando el teorema de los senos tenemos:

\[\frac{\overline{CB}}{\text{sen}\,\widehat{CAB}}=\frac{x}{\text{sen}\,\widehat{ACB}}\Rightarrow\frac{\overline{CB}}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}=\frac{x}{\text{sen}\,(\alpha-\beta)}\]

Y de aquí podremos despejar con facilidad la altura \(x\):

\[x=\frac{\overline{CB}\cdot\text{sen}\,(\alpha-\beta)}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}\]

Ejemplo

Un pasillo plano de 10 metros de largo y que forma un ángulo de \(25^{\text{o}}\) con la horizontal, conduce al pie de una gran torre. Calcular la altura de ésta, sabiendo que desde el inicio del pasillo el ángulo de elevación de su punto más alto es de \(82^{\text{o}}\).

Solución

Cálculo de la altura de una torre

Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura de la torre. En este caso \(\overline{CB}=10\), \(\widehat{ACB}=\alpha-\beta=82^{\text{o}}-25^{\text{o}}=57^{\text{o}}\) y \(\widehat{CAB}=90^{\text{o}}-\alpha=90^{\text{o}}-82^{\text{o}}=8^{\text{o}}\). Por tanto:

\[x=\frac{\overline{CB}\cdot\text{sen}\,(\alpha-\beta)}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}=\frac{10\cdot\text{sen}\,57^{\text{o}}}{\text{sen}\,8^{\text{o}}}\Rightarrow x\approxeq60,26\]

Así pues, la altura de la torre es de, aproximadamente, 60,26 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (II)

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Distancia entre un punto accesible y otro inaccesible

Supongamos que deseamos medir la distancia \(c\) desde \(A\) hasta \(B\), puntos entre los cuales media un obstáculo. A diferencia del caso anterior, no tenemos acceso al punto \(B\), tal y como se se muestra en la figura siguiente.

trig2

Pues bien, en este caso elegimos un punto \(C\) y medimos la distancia hasta \(A\), que llamaremos \(b\). También mediremos los ángulos \(\widehat{ACB}\), al que llamaremos \(\gamma\), y \(\widehat{BAC}\). al que llamaremos \(\alpha\). Medidos estos dos ángulos, sabremos la medida del ángulo \(\widehat{ABC}\), al que llamaremos \(\beta\), pues la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados: \(\beta=180^{\text{o}}-(\alpha+\gamma)\).

Haciendo uso del teorema de los senos tenemos que

\[\frac{c}{\text{sen}\,{\gamma}}=\frac{b}{\text{sen}\,{\beta}}=\frac{a}{\text{sen}\,{\alpha}}\]

y de la expresión anterior podemos despejar \(c\):

\[c=\frac{b}{\text{sen}\,{\beta}}\cdot\text{sen}\,{\gamma}\]

Ejemplo

Para calcular la anchura \(\overline{AB}\) de un río se elige un punto \(C\) que está en la misma orilla que \(A\) y se toman las siguientes medidas: \(\overline{AC}=67\) m, \(\widehat{BAC}=99^{\text{o}}\) \(\widehat{ACB}=20^{\text{o}}\). ¿Cuál es la distancia entre \(A\) y \(B\)?

Solución

En este caso \(b=67\), \(\gamma=20^{\text{o}}\) y \(\beta=180^{\text{o}}-(99^{\text{o}}+20^{\text{o}})=61^{\text{o}}\). Por tanto:

\[c=\frac{67}{\text{sen}\,61^{\text{o}}}\cdot\text{sen}\,20^{\text{o}}\Rightarrow c\approxeq26,2\,\text{m.}\]

O sea, la distancia entre \(A\) y \(B\) es de, aproximadamente, 26,2 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (I)

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Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculo

Supongamos que deseamos medir la distancia \(c\) desde \(A\) hasta \(B\), puntos entre los cuales media un obstáculo, tal y como se puede apreciar en la figura.

trig1

Para ello elegimos un punto \(C\) desde el cual se pueda medir la distancia hasta \(A\), que llamaremos \(b\); y la distancia hasta \(B\), que llamaremos \(a\). También mediremos el ángulo \(\widehat{ACB}\) que, para abreviar, lo llamaremos \(\gamma\).

Utilizando el teorema del coseno tenemos que

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\]

Ejemplo

Un túnel \(\overline{AB}\) ha de atravesar una montaña. Para calcular su longitud se toman desde el punto \(C\) las siguientes medidas: \(\overline{AC}=1250\) m, \(\overline{BC}=1700\) m y \(\widehat{ACB}=132^\text{o}\). Hallar dicha longitud.

Solución

En este caso \(b=1250\), \(a=1700\) y \(\gamma=132^\text{o}\). Por tanto:

\[c^2=1700^2+1250^2-2\cdot1700\cdot1250\cdot\cos{132}^\text{o}\approxeq7296305.077\Rightarrow c\approxeq2701,17\]

Por tanto la longitud del túnel es de, aproximadamente, 2701 metros.

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Usos de la trigonometría (II). Aplicaciones de las leyes de Newton a la resolución de problemas.

Para plantear los problemas en los que deben aplicarse las leyes de Newton los pasos que deben seguirse son los siguientes.

  1. Dibujar un diagrama claro.
  2. Aislar el cuerpo (partícula) y representar en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre el mismo. Hacer esto para cada cuerpo, si interviene más de uno en el problema, dibujando un diagrama independiente para cada uno.
  3. Elegir un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo y aplicar la ley de Newton \(F=m\cdot a\) en forma de componentes.
  4. Resolver las ecuaciones resultantes para las incógnitas utilizando toda la información adicional disponible, por ejemplo las ligaduras (una ligadura es un tipo de información o restricción que limita la forma posible de movimiento del cuerpo). Generalmente las incógnitas incluirán las componentes de la aceleración y de algunas fuerzas.
  5. Finalmente, inspeccionar cuidadosamente los resultados comprobando si corresponden a las previsiones razonables. Particularmente conviene determinar si la solución obtenida predice los resultados que corresponden a valores extremos de las variables en la solución.

Veamos un ejemplo en el que jugarán un importante papel las razones trigonométricas seno y coseno.

Se trata de determinar la aceleración de un bloque de masa \(m\) que se mueve sobre una superficie fija y pulida, inclinada un ángulo \(\theta\) respecto a la horizontal (plano inclinado).

Existen sólo dos fuerzas que actúan sobre el bloque, el peso \(w\) y la fuerza \(N\) ejercida por el plano inclinado (fuerza normal o perpendicular al plano). Despreciamos la resistencia del aire y admitimos que no existe fricción en la superficie de contacto con el plano inclinado. Como las dos fuerzas no tienen la misma dirección, su suma no puede ser nula y, por tanto, el bloque debe acelerar. Hay que tener en cuenta una restricción o ligadura: la aceleración tienen lugar a lo largo del plano inclinado. Por eso, en este problema es conveniente elegir un sistema de coordenadas con un eje paralelo al plano inclinado y el otro perpendicular, como se indica en la figura 1.

plano-inclinado-02

La acelaración tiene entonces una sola componente \(a_x\). En esta elección \(N\) posee la dirección del eje \(y\) y el peso \(w\) tiene componentes \(w_x\) y \(w_y\) que se obtienen así (ver figura 2):

\[\text{sen}\,\theta=\frac{w_x}{w}\Rightarrow w_x=w\,\text{sen}\,\theta=mg\,\text{sen}\,\theta\]

\[\text{cos}\,\theta=\frac{w_y}{w}\Rightarrow w_y=w\,\text{cos}\,\theta=-mg\,\text{cos}\,\theta\]

En las igualdades anteriores se ha tenido en cuenta que \(m\) es la masa del bloque y \(g\) la aceleración de la gravedad. La fuerza resultante en la dirección del eje \(y\) es \(N-mg\,\text{cos}\,\theta\). De la segunda ley de Newton y del hecho de que \(a_y=0\), tenemos:

\[F_y=ma_y=N-mg\,\text{cos}\,\theta=0\]

Por tanto:

\[N=mg\,\text{cos}\,\theta\]

Igualmente, para las componentes \(x\):

\[F_x=ma_x=mg\,\text{sen}\,\theta\Rightarrow a_x=g\,\text{sen}\,\theta\]

Es decir, la aceleración hacia abajo según el plano inclinado es constante e igual a \(g\,\text{sen}\,\theta\).

Para comprobar nuestros resultados conviene comprobar los valores extremos de la inclinación, \(\theta=0^{\text{o}}\) y \(\theta=90^{\text{o}}\).

Para \(\theta=0^{\text{o}}\) la superficie es horizontal. El peso sólo tiene una componente vertical que vienen equilibrada por la fuerza normal \(N=mg\,\text{cos}\,0^{\text{o}}=mg\). La aceleración es naturalmente cero: \(a_x=g\,\text{sen}\,0^{\text{o}}=0\).

En el extremo opuesto, \(\theta=90^{\text{o}}\), el plano inclinado es vertical. El peso tiene entonces una sola componente a lo largo del plano. Así, la fuerza normal es cero: \(N=mg\,\text{cos}\,90^{\text{o}}=0\). La aceleración es \(a_x=g\,\text{sen}\,90^{\text{o}}=g\), con lo que el bloque cae libremente.

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Usos de la trigonometría (I). Movimiento con aceleración constante. Movimiento de proyectiles.

Un caso especial del movimiento en dos o tres dimensiones se presenta cuando la aceleración es constante tanto en módulo como en dirección y sentido. Un ejemplo de movimiento con aceleración constante es el de un proyectil lanzado cerca de la superficie de la Tierra si puede despreciarse el rozamiento del aire.

Sea \(\vec{a}\) el vector aceleración instantánea, que es constante. Las ecuaciones para los vectores velocidad y posición \(\vec{v}\) y \(\vec{r}\) son generalización de las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme (en una dimensión). 

\[\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t\]

\[\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\]

\[\vec{v_m}=\frac{1}{2}(\vec{v_0}+\vec{v})\]

\(\vec{v_0}\) es la velocidad inicial y \(\vec{r_0}\) es el vector posición inicial. La velocidad media \(\vec{v_m}\) es, naturalmente, la media aritmética entre la velocidad inicial y la velocidad en el instante \(t\).

movimiento-proyectiles-02

En la figura anterior se muestra la relación entre el vector desplazamiento \(\vec{r}-\vec{r_0}\), la velocidad inicial \(\vec{v_0}\), y la aceleración \(\vec{a}\). Como se puede apreciar, el desplazamiento en un instante cualquiera \(t\) está contenido en el plano formado por los vectores \(\vec{v_0}\) y \(\vec{a}\). Por tanto, el movimiento es bidimensional. Admitamos pues que la posición inicial de la partícula está contenida en el plano \(xy\). El movimiento tiene lugar entonces en dicho plano. Los componentes \(x\) e \(y\) de las dos primeras ecuaciones anteriores son:

\[v_x=v_{0x}+a_xt\quad\text{;}\quad x=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_xt^2\]

\[v_y=v_{0y}+a_yt\quad\text{;}\quad y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a_yt^2\]

Insistimos en que, cuando la aceleración es constante, el movimiento tiene lugar en un plano y los movimientos \(x\) e \(y\) pueden describirse separadamente mediante ecuaciones idénticas a las correspondientes al movimiento rectilíneo (en una dimensión) con aceleración constante.

Vamos a aplicar ahora estos resultados al movimiento de un proyectil, es decir, a cualquier objeto lanzado al aire y al que se le permite moverse libremente. El estudio del movimiento general de proyectiles es complicado debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la Tierra y las variaciones en la aceleración de la gravedad. Para mayor simplicidad, despreciaremos estos factores. De esta forma puede considerarse que el proyectil posee una aceleración constante dirigida verticalmente hacia abajo y cuya magnitud es \(g=9,81 \text{m/s}^2\). Si escogemos el eje \(y\) como el vertical y con su sentido positivo hacia arriba y el eje \(x\) como horizontal en el sentido de la componente horizontal de la velocidad original del proyectil, tenemos para la aceleración:

\[a_y=-g\quad\text{;}\quad a_x=0\]

Como la aceleración horizontal es nula, la componente horizontal de la velocidad es constante. Por otro lado, el movimineto vertical es un movimiento simple con aceleración constante. Eligiendo como origen la posición inicial del proyectil, las componentes de la velocidad y la posición vienen dadas por:

\[v_x=v_{0x}\quad\text{;}\quad v_y=v_{0y}-gt\]

\[x=v_{0x}t\quad\text{;}\quad y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\]

movimiento-proyectiles-03 

Como se indica en la figura anterior, si el vector velocidad inicial \(v_0\) forma un ángulo \(\theta_0\) con el eje horizontal, las componentes de la velocidad son (y aquí viene el uso de la trigonometría):

 \[\text{cos}\,\theta_0=\frac{v_{0x}}{v_0}\Rightarrow v_{0x}=v_0\cdot\text{cos}\,\theta_0\quad\text{;}\quad\text{sen}\,\theta_0=\frac{v_{0y}}{v_0}\Rightarrow v_{0y}=v_0\cdot\text{sen}\,\theta_0\]

Ejemplo

Se lanza una pelota al aire con velocidad inicial de \(50\ \text{m/s}\) formando un ángulo de \(37^{\text{o}}\) con la horizontal. Utilizando la aproximación \(g=10\ \text{m/s}^2\), hallar el tiempo total que la pelota está en el aire y la distancia horizontal recorrida.


 Las componentes del vector velocidad inicial son:

\[v_{0x}=50\cdot\text{cos}\,37^{\text{o}}\approx40\ \text{m/s}\]

\[v_{0y}=50\cdot\text{sen}\,37^{\text{o}}\approx30\ \text{m/s}\]

Como durante cada segundo el proyectil se desplaza \(40\) metros horizontalmente, podemos representar este esquema de modo que aparezca \(y\) en función de \(x\) cambiando la escala, pasando de una escala de tiempo a otra escala de distancia multiplicando los valores de tiempo por \(40\ \text{m/s}\).

 movimiento-proyectiles-04

La curva \(y\) en función de \(x\) es una parábola. El tiempo total que el proyectil está en el aire es el doble del tiempo que tarda en alcanzar su punto más alto. Este tiempo se obtiene a partir de \(v_y=v_{0y}-gt=30-10t\), y de esta ecuación puede despejarse \(t\) para el instante en que \(v_y\) es cero (cuando la pelota está en el punto más alto): \(0=30-10t\Rightarrow t=3\ \text{s}\). Por tanto, el tiempo total que el proyectil permanece en el aire es de \(6\ \text{s}\). Como se desplaza horizontalmente con velocidad constante de \(40\ \text{m/s}\), la distancia total recorrida es \(40\cdot6=240\ \text{m}\). Esta distancia se denomina alcance de un proyectil.

Podemos aplicar estos métodos para hallar el alcance \(R\) en el caso de una velocidad inicial \(v_0\) y un ángulo inicial \(\theta_0\) generales. El tiempo que se tarda en alcanzar el punto más elevado se halla haciendo \(v_y=0\). Sustituyendo en la ecuación \(v_y=v_{0y}-gt\):

\[0=v_{0y}-gt\Rightarrow gt=v_{0y}\Rightarrow t=\frac{v_{0y}}{g}\]

El alcance es, por tanto, la distancia horizontal recorrida en el doble de este tiempo. Sustituyendo en \(x=v_{0x}t\):

\[R=v_{0x}\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}\]

En función de la velocidad inicial \(v_0\) y del ángulo \(\theta_0\), el alcance es:

\[R=\frac{2(v_0\cdot\text{cos}\,\theta_0)(v_0\cdot\text{sen}\,\theta_0)}{g}=\frac{v_0^2}{g}(2\text{sen}\,\theta_0\text{cos}\,\theta_0)\]

Utilizando la fórmula del seno del ángulo doble \(2\text{sen}\,\theta_0\text{cos}\,\theta_0=\text{sen}\,2\theta_0\), tenemos finalmente que

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta_0\]

En el caso del ejemplo anterior:

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta_0=\frac{50^2}{10}\text{sen}\,(2\cdot37^{\text{o}})=250\cdot\text{sen}\,74^{\text{o}}=250\cdot0,96\approx240\ \text{m.}\]

El alcance máximo se obtiene cuando \(\text{sen}\,2\theta_0=1\), es decir, cuando \(2\theta=90^{\text{o}}\Rightarrow\theta=45^{\text{o}}\). Esto es tanto como decir que se obtiene un alcance máximo cuando ambas componentes de la velocidad, \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\), son iguales.

La ecuación general para la trayectoria \(y(x)\) puede obtenerse a partir de las ecuaciones \(x=v_{0x}t\), \(y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\), eliminando la variable \(t\) entre ambas. De la primera de ellas se tiene que \(t=\dfrac{x}{v_{0x}}\) y sustituyendo en la segunda:

\[y=v_{0y}\frac{x}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2\Rightarrow y=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x-\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2\]

En el caso del ejemplo anterior, la ecuación general de la trayectoria es:

\[y=\frac{30}{40}x-\frac{10}{2\cdot40^2}x^2=-\frac{10}{3200}x^2+\frac{30}{40}x=-\frac{1}{320}x^2+\frac{3}{4}x\]

Observa que la ecuación anterior es la de una parábola que se abre hacia abajo (justamente la representada más arriba) cuya coordenada \(x\) del vértice es:

\[x=\frac{-\frac{3}{4}}{2\left(-\frac{1}{320}\right)}=\frac{960}{8}=120\]

Lo que indica que, a mitad de recorrido, la pelota ha recorrido ya, horizontalmente, \(120\ \text{m}\). Por tanto recorrerá en total \(240\ \text{m}\). Se obtiene así otra forma de calcular el alcance máximo de la pelota.

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El teorema del coseno

En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.

thcoseno02

Hagamos el siguiente producto escalar:

thcoseno03

Por distributividad se puede escribir:

thcoseno04

Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:

thcoseno05

La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:

thcoseno06

Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:

En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90o, el teorema del coseno se convierte en:

thcoseno07

Es decir:

thcoseno08

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El teorema de los senos

El teorema de los senos dice:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos respectivos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

thsenos01     thsenos02

Dibujando en los triángulos ABC de las figuras anteriores, la altura h, aparecen dos triángulos rectángulos CHACHB, en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

 thsenos04

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice B, por el mismo procedimiento:

 thsenos05

Igualando (1) y (2), se obtiene:

 thsenos06

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro BA' y unimos con C, formándose el triángulo BCA', que es rectángulo en (recuerda que el ángulo BCA' es inscrito, y abarca 180º, el arco que va de A' B; por tanto el ángulo BCA' vale 180º/2=90º).

thsenos03

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo BCA', obtenemos:

thsenos07

Pero el ángulo A es igual que el ángulo A', por ser inscritos y abarcar el mismo arco BC, luego:

thsenos08

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

thsenos09

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Un examen de trigonometría y números complejos para matemáticas I

Ejercicio 1


Resuelve una de las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas las posibles soluciones:

examen001

examen002

examen003

Ejercicio 2


Resuelve uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, dando las soluciones en el intervalo:

examen004

examen005

examen006

Ejercicio 3


Dado el triángulo ABC, con a=1 m, B=30º y C=45º:

  • Resuelve el triángulo.
  • Calcula su área.

Ejercicio 4


Realiza uno de los dos apartados siguientes:

  • Calcula el valor de la siguiente expresión, simplificando el resultado:

examen007

  • Simplifica lo que puedas la expresión:

examen008

Ejercicio 5


Realiza la siguiente operación con números complejos, expresando el resultado en forma polar y trigonométrica:

examen009

Ejercicio 6


Encuentra las posibles soluciones, en forma binómica, de la siguiente ecuación:

examen010


Los ejercicios completamente resueltos aquí


 

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Trigonometría básica

En esta presentación se introducen los conceptos básicos de trigonometría a un nivel de la materia Matemáticas I, de 1º de Bachillerato, aunque los primeros conceptos también son adecuados para 4º de ESO (Educación Secundaria Obligatoria). Los contenidos desarrollados son los siguientes.

Trigonometría básica

  • Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
  • Tres fórmulas imprescindibles.
  • Circunferencia goniométrica.
  • Seno y coseno de un ángulo entre 0º y 360º.
  • Tangente de un ángulo entre 0º y 360º.
  • Ángulos mayores que 360º.
  • Ángulos negativos.
  • Ángulos opuestos.
  • Ángulos suplementarios.
  • Ángulos que diferen en 180º.
  • Ángulos complementarios.
  • Ángulos que difieren en 90º.
  • Resolución de triángulos rectángulos.
  • Un resultado de utilidad: proyección de un segmento.
  • Otro resultado de utilidad: altura y área de un triángulo.
  • La estrategia de la altura.
  • Resolución de triángulos cualesquiera: teorema de los senos.
  • Aplicaciones del teorema de los senos.
  • Resolución de triángulos cualesquiera: teorema del coseno.
  • Aplicaciones del teorema del coseno.
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