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Haciendo demostraciones en Matemáticas I

  • Publicado en Retos

Propongo un par de problemas donde se pide demostrar un par de cosas relacionadas con números. El nivel es de Matemáticas I (1º de Bachillerato Ciencias y Tecnología). Se trata de pensar, de razonar, de involucrarse con el problema matemático hasta que uno ve la idea con la que poder atacarlo.

Problema 1

Demuestra que la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) da como resultado un número entero. Calcula su valor.

Problema 2

Dados dos números reales positivos diferentes, demuestra que el producto de su suma por la suma de sus inversos es mayor que 4.

Animo a mis alumnos de 1º de Bachillerato a que lo intenten. Bueno, y a cualquier otra persona. 

En todo caso, si después de intentarlo no te sale, puedes ver las soluciones aquí debajo.

Solución del Problema 1

Elevemos la expresión al cuadrado:

\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot\sqrt{6+4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\]

\[=6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{\left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot\left(6+4\sqrt{2}\right)}=12+2\cdot\sqrt{6^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2}=\]

\[=12+2\cdot\sqrt{36-16\cdot2}=12+2\cdot\sqrt{36-32}=12+2\cdot\sqrt{4}=12+2\cdot2=12+4=16\]

Por tanto hemos llegado a la siguiente conclusión:

\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=16\]

Extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros de la igualdad tenemos:

\[\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}=4\]

Y hemos demostrado que, efectivamente, la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) es un número entero, en concreto el número \(4\).

Solución del Problema 2

 

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Cinco problemas de matemáticas inspirados en la antigua China

  • Publicado en Retos

Hace un tiempo escribí un artículo dedicado al árbelos. En él me refería a un libro titulado Expediciones Matemáticas, cuyo autor es Frank J. Swetz. Este libro propone multitud de problemas planteados a lo largo de la historia por distintas civilizaciones, haciendo un recorrido por la antigua Babilonia, el antiguo Egipto, la antigua Grecia, la antigua China, la India, el mundo islámico, la Europa medieval y la Europa renacentista. Pero esto es sólo una parte del libro. También se proponen, entre otros, problemas de los templos japoneses, problemas victorianos del siglo XIX, problemas norteamericanos de los siglos XVIII y XIX y problemas de cálculo del siglo XIX.

Como profesor estoy convencido de que, en nuestras clases, debemos manejar y trabajar con mucha más frecuencia los problemas de matemáticas. No se hace y debemos hacerlo. Es la salsa de las matemáticas. Y si además tienen un contexto histórico, pues mejor. Frank J. Swetz, en el prefacio del libro mencionado dice así:

Analizar y estudiar estos problemas puede servir para presentar a la clase un nuevo concepto matemático o reforzar alguno ya estudiado. En sí mismo, cada problema también proporciona una breve anécdota sobre por qué se necesitan las matemáticas. Igualmente, el contexto de los problemas proporciona al lector detalles sobre cómo era la vida de las personas en la época en la cual fueron escritos. Su contenido conecta las matemáticas con la sociedad y, dado que no son elementos cerrados, este aspecto permite utilizarlos tanto para la enseñanza interdisciplinar como para generar diferentes debates en clase.

Para que sirva de muestra he seleccionado cinco problemas matemáticos de la antigua China. Antes de los enunciados, en el libro se hace una breve introducción. En el caso de la antigua China, merece la pena hacerla aquí:

Al igual que Mesopotamia y el antiguo Egipto, la antigua China era una “sociedad hidráulica”. Se desarrolló en fértiles valles que permitieron la agricultura. Sin embargo, los ríos, principalmente el Yangtsé y el Amarillo, sufrían inundaciones, por lo que para la supervivencia de los asentamientos humanos se hacían necesarios sistemas de irrigación y diques par el control del agua. La responsabilidad de la construcción y mantenimiento de estos sistemas recayó en el gobierno y su burocracia. Con el tiempo, este gobierno terminó consistiendo en un emperador y ministerios imperiales dirigidos por eruditos de la corte. Las dos disciplinas científicas utilizadas para mantener el imperio eran las matemáticas (necesarias para la construcción y el cobro de impuestos) y la astronomía (para predecir los ciclos del crecimiento agrícola).
Los pocos manuales de matemáticas que se conservan contienen problemas que demuestran la naturaleza práctica de las primeras matemáticas chinas. El más importante de estos libros se titula Los nueve capítulos del arte matemático (c. 100 a.C.), que satisfizo las necesidades matemáticas chinas durante cientos de años y fue adoptado en países vecinos como Japón y Corea.
Los problemas siguientes contienen varias unidades de medida tradicionales chinas. Cuando ha sido necesario, se han proporcionado algunas relaciones de conversión. No obstante, sería un interesante ejercicio que el alumno estudiara las relaciones entre ellas y las comparara con las unidades de medida modernas.

Pues bien, ahí van los cinco problemas de la antigua China que he seleccionado. El enunciado de cada uno de ellos se ha transcrito literalmente del libro. A veces puede parecer que falta algún dato, o hay que presuponer cierta situación que se omite. ¿Te atreves a dar con la solución de alguno? Yo estoy en ello. Posteriormente, publicaré aquí mismo el desarrollo que conduce a la solución final. De todas formas, si alguien quiere hacer alguna aportación que no dude en escribirme a la dirección Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla. o a través de la página de contacto de esta Web. En general, los cuatro primeros problemas son aptos para cualquier alumno que esté en último curso de secundaria obligatoria, incluso en algún curso anterior. El quinto problema no es fácil. Al menos eso pienso yo (pero seguro que hay alguien que lo ve extraordinariamente sencillo). De hecho, he de confesar que muchos de los problemas cuyo enunciado ya he leído y que se proponen en el libro, o bien aún no he dado con la forma de resolverlos, o bien me ha costado mucho llegar a la solución. Pero eso está bien, pues me hace navegar otra vez por conceptos matemáticos un poco olvidados y, así, mantener viva esta pasión por las matemáticas.

Problema 1

Encuentra un número cuyos restos son 2, 3 y 2 cuando es dividido respectivamente entre 3, 5 y 7.

Problema 2

Un caballo, que disminuye su velocidad a la mitad cada día, viaja 700 millas en 7 días. ¿Cuánto camino recorre cada día?

Problema 3

Una ciudad cuadrada y amurallada de dimensiones desconocidas tiene 4 puertas, una en el centro de cada lado. A 20 bu de la puerta norte hay un árbol. Hay que caminar 14 bu hacia el sur desde la puerta sur y luego girar al oeste y caminar 1775 bu antes de poder ver el árbol. ¿Cuáles son las dimensiones de la ciudad?

Problema 4

Un estanque cuadrado tiene lados de 10 pies de longitud. En la orilla occidental crecen cañas verticales que sobresalen exactamente 3 pies del agua. En la orilla oriental un tipo diferente de caña sobresale exactamente 1 pie fuera del agua. Cuando se hace que los dos tipos de caña se junten, sus extremos superiores están exactamente nivelados con la superficie del agua. Permíteme que te pregunte cómo calcular estas tres cosas: la profundidad del agua y la longitud de cada caña.

Problema 5

Tengo dos cañas. El primer día una crece 3 pies y la otra 1 pie. El crecimiento de la primera disminuye cada día a la mitad que el día anterior, mientras que la otra crece el doble que el día anterior. ¿Cuántos días tardarán en tener la misma altura?

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El problema de las piedras mágicas

  • Publicado en Retos
Extraído del libro "Uno + uno son diez", de José María Letona.

En 1885 la expedición científica, dirigida por el eminente profesor Onarres Nabetse, a la Amazonia, para hacer un inventario de las hojas de los árboles, recogió, en sus cuadernos de campo, una bella historia que había sucedido en plena selva, en la tribu de los Licaf Recah, tribu de valientes guerreos que vivían de la pesca y la caza.

En ella se relata como su jefe, el viejo Anotel, sintiéndose cansado y viendo llegar el final de sus días, hizo llamar a sus dos hijos varones para proponerles un problema cuya solución determinaría cuál de los dos hijos le iba a suceder.

En Licaf Recah existía un mito relativo a piedras blancas y piedras negras. Las primeras significaban el bien y las segundas encarnaban el mal.

De esta forma, si querían ahuyentar los espíritus malignos, arrojaban cantos negros y si querían solicitar el amparo de los dioses, se guardaban piedras blancas.

Disponible en la cabaña sagrada, que ocupara un lugar preferente en el albero de la tribu, había dos sacos: uno con unas 2000 piedras negras y otro con una 2000 piedras blancas, a disposición de los integrantes de la tribu.

Hasta allí llevó Anotel a sus dos hijos a los que planteó el siguiente problema:

—Como véis, hijos —dijo con voz entrecortada por la emoción dle momento—, aquí están los sacos sagrados con sus piedras mágicas. Tendréis que coger un número, el que os parezca oportuno de piedras blancas y las introduciréis en el saco de las piedras negras. Una vez hecho esto las removeréis de forma que queden bien repartidas, procediendo después a coger la misma cantidad de piedras del saco de las negras y echarlas en el de las blancas, procediendo de nuevo a mezclarlas. De nuevo tomaréis una cantidad del saco de las blancas para echarlo en el de las negras y removeréis para que se mezclen lo mejor posible. Del saco de las negras tomaréis la misma cantidad para echarlo en el de las blancas. Y esto repetido 150 veces. Me diréis, al cabo de estas operaciones, si hay más piedras negras en el saco de las blancas o blancas en el saco de las negras.

Terminada su exposición, Anotel miró a cada uno de sus hijos para comprobar que habían entendido bien la propuesta de sucesión. Afirmaron con la cabeza y se pusieron a manipular las piedras con las normas establecidas.

Mientras trasvasaban piedras de un saco al otro, la hija de Anotel, Aluap Orenidrás, se acercó a su padre y en voz muy baja le habló de tal manera que el jefe de la tribu, levantándose de su trono, gritó:

—¡Dejadlo!, mi sucesor será mi hija Aluap, que me ha demostrado su capacidad para resolver problemas difíciles en el Licaf Recah.

¿Qué le había susurrado la bella Aluap a su padre Anotel?


La joven le dijo a su padre la solución que dedujo pasando a plantear el problema con su esquema más simple. Como en este caso, en múltiples ocasiones el problema que nos plantean resulta difícil por su tamaño, por presentar demasiados elementos que lo hacen enrevesado y lo que procede es hacer la simplificación que se planteó Aluap: supongamos que trasvasamos solo una piedra negra al saco de las piedras blancas. Removemos y sacamos una que puede ser la negra que hemos introducido o una de las blancas que hay en el saco. Si fuera la negra, al meterla de nuevo en el saco de las negras, tendríamos tantas blancas en el saco de las negras como negras en el saco de las blancas, es decir, ninguna. Si la que hemos sacado después de remover es blanca y la metemos en el saco de las negras, es claro que tendremos tantas blancas en el saco de las negras como negras en el saco de las blancas, es decir, una.

Dicho esto, la respuesta es que, en cualquier caso, las negras en el saco de las blancas serán las mismas que las blancas en el saco de las negras.

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Matemáticas en el gallinero

  • Publicado en Retos
Extraído del libro "La seducción de las matemáticas", de Christoph Drösser

Al decir de muchos, Marilyn vos Savant es la mujer más inteligente del mundo; en todo caso, durante añós figuró en el Libro Guinnes de los récords como la persona con el coeficiente de inteligencia más alto que jamás se haya medido, hasta que se suprimió esta sección del libro.

Esta señora publica una columna semanal (Ask Marilyn) en la revista estadounidense Parade (aquí su página Web, en inglés), en la que resuelve problemas de lógica y responde a preguntas de contenido filosófico. La más famosa es su respuesta (correcta) al «problema de las cabras», que trata de la mejor estrategia electoral en un programa de televisión. No abordaremos aquí el problema de las cabras (el que esté interesado puede leerlo aquí, una entrada muy recomendable en un fenomenal sitio Web dedicado a las matemáticas: gaussianos), pero sí haremos constar que Marilyn vos Savant tuvo razón y miles de lectores que enviaron cartas al director, incluidos algunos catedráticos de matemáticas, se equivocaron.

Un lector le planteó una vez la siguiente pregunta: «Si una gallina y media pone un huevo y medio en un día y medio, ¿cuántas gallinas hacen falta para que en seis días pongan seis huevos?»

La sabia mujer respondió: «A mi padre también le gustaba este problema, pero de niña logré entenderlo tan poco como hoy: ¿cuál es el problema? Si una gallina y media pone un huevo y medio, etc., significa que una gallina pone un huevo por día. Y si una única gallina pone cada día un huevo a lo largo de seis días, obtenemos exactamente seis huevos, ¿no es cierto?».

En este caso, Marilyn vos Savant se equivocó. La respuesta «una gallina» es incorrecta. Por lo que se ve, hasta los más sabios entre los sabios tienen problemas con el método de cálculo que nos enseñan en el colegio con el nombre de «regla de tres». Normalmente se aprende al final de la primaria, pero todavía hoy recibo llamadas de amigos que me piden que calcule el importe del IVA a partir del total de una factura, para lo cual también se aplica la regla de tres.

Analicemos el problema de las gallinas. Lo primero que llama la atención es que hay tres magnitudes, a saber, el número de gallinas (\(g\)), el número de días (\(d\)) y el número de huevos (\(h\)). Por supuesto que no existen medias gallinas ni tercios de huevos, pero esto no es ningún impedimento, pues las tres magnitudes podrán adoptar valores enteros. ¿Cómo se relacionan las tres magnitudes? Podemos utilizar un truco y mantener constante una de las tres magnitudes; por ejemplo, nos referiremos a un sólo día. Entonces no cabe duda de que \(g\) y \(h\) son directamente proporcionales entre sí: cuantas más gallinas haya, tantos más huevos producirán cada día.

Si se mantiene constante el valor de \(g\) y se considera únicamente la producción de una única gallina, \(d\) y \(h\) también son directamente proporcionales entre sí: cuantos más días demos a la gallina, tantos más huevos pondrá.

La relación entre \(d\) y \(g\), sin embargo, es distinta: si se trata de calcular el tiempo necesario para obtener un número predeterminado de huevos, digamos que 10, el número de días disminuirá al aumentar el de gallinas. Esto significa que el tiempo y las gallinas son magnitudes inversamente proporcionales: una magnitud aumenta cuando la otra disminuye. Si se representa gráficamente esta relación, no se obtiene una línea recta o función lineal (que es lo que ocurre con las magnitudes directamente proporcionales), sino que se obtiene una rama de hipérbola en el primer cuadrante (función de proporcionalidad inversa).

Si \(g\) es invariable, \(d\) y \(h\) son directamente proporcionales entre sí, es decir, \(h\) es un múltiplo de \(d\):

\[h_{g}=l\cdot d\]

El subíndice \(g\) indica que contemplamos la relación en el supuesto de que sólo haya una gallina. La \(l\) minúscula es una constante e indica el número de huevos que pone una gallina cada día. (En el ejemplo, el rendimiento de cada gallina, por supuesto, es el mismo.)

Esta es la producción de huevos de cada gallina. Para calcular la producción total de huevos hay que multiplicar el conjunto por el número de gallinas:

\[h=l\cdot d\cdot g\]

En esta ecuación están todos los factores que describen la relación entre el número de gallinas, el de huevos y el de días. Ahora podemos despejar, por ejemplo, la incógnita \(d\):

\[d=\frac{h}{l\cdot g}\]

Con esta ecuación se resuelven problemas como los planteados por las siguientes preguntas: «¿Cuánto tiempo precisan 12 gallinas para poner 17 huevos?» Sin embargo, la pregunta formulada a Marilyn vos Savant era: «¿Cuántas gallinas hacen falta para...?» Por tanto, hay que transforma la ecuación para despejar \(g\):

\[g=\frac{h}{l\cdot d}\]

Esta es la fórmula que permite hallar la solución; ya solo contiene una única incógnita, la constante \(l\). Su valor, sin embargo, se deduce de la confusa información de la gallina y media, el huevo y medio y el día y medio. Hemos de transformar el enunciado hasta saber cuántos huevos pone cada gallina al día: 3/2 gallinas ponen 3/2 huevos en 3/2 días.

¿Cuántos huevos pone una gallina en el mismo período? ¡Menos! Hay que dividir el número de huevos entre 3/2 (el número de gallinas), con lo que obtenemos que 1 gallina pone 1 huevo en 3/2 días.

¿Cuántos huevos son al día? Hay que dividir nuevamente entre 3/2 (este es el paso que seguramente omitió la señora Vos Savant): 1 gallina pone en 1 día 2/3 de huevo.

La constante \(l\), por tanto, indica que cada gallina pon 2/3 de huevo en 1 día. Podemos sustituirlo en la ecuación anterior y obtenemos:

\[g=\frac{h}{\frac{2}{3}\cdot d}=\frac{3h}{2d}\]

Y puesto que la pregunta se refiere a 6 huevos en 6 días, la solución es 18/12 o 3/2. ¡Una gallina y media!

Aunque este cálculo ha sido un poco extenso, tiene la ventaja de que es aplicable a todos los problemas con magnitudes inversamente proporcionales que pueden resolverse con la regla de tres, incluso cuando se trata de cuatro magnitudes, como en el siguiente: «Si 2 máquinas quitanieves son capaces de retirar en 3 horas la nieve de una tramo de 12 kilómetros de una carretera de 4 metros de ancho, ¿cuánto tiempo tardarán 10 máquinas quitanieves para despejar 1 kilómetro de una carretera de 12 metros de ancho?»

Por supuesto, Marilyn vos Savant recibió numerosas cartas de lectores que le echaron en cara su error, y ella se lo tomó con deportividad: «¡Me habéis pillado, queridos! Los que han respondido que una gallina y media tienen razón, y mi respuesta de "una gallina" es incorrecta. Siempre pensé que se trataba de un trabalenguas, pero en realidad se trata de un problema de lógica».

En una mesa hay dos vasos del mismo tamaño. Contienen la misma cantidad de líquido, pero en uno es agua y en el otro es whisky. Tomamos una cucharadita de whisky y lo vertemos en el vaso de agua removiendo bien. De esta mezcla tomamos ahora una cuharadita y la trasladamos al whisky. ¿Hay ahora más agua en el whisky que whisky en el agua?
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La plaza cuadrangular

  • Publicado en Retos

Un propietario poseía un terreno con la forma exacta de un cuadrado. Vendió la cuarta parte del mismo, y esa cuarta parte tenía también la forma de un cuadrado (en la imagen, el cuadrado que vendió en color gris). La parte restante (en color lavanda), debía ser dividida en cuatro partes que fueran iguales en forma y tamaño.

plaza cuadrangular 1

¿Cómo resolver el problema?

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Los cuatro cuatros

  • Publicado en Retos
Utilizando cuatro cuatros y todas las operaciones que conozcas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación) además del uso de paréntesis, intenta escribir todos los números que puedas del 0 al 100, ambos inclusive.

Se admiten sugerencias.

\(0 = 4-4+4-4\)

\(1=\dfrac{4}{4}+4-4\)

\(2=4+4-4-\sqrt{4}\)

\(3=\dfrac{4\cdot4-4}{4}\)

\(4=\sqrt{4+4+4+4}\)

\(5=\dfrac{4\cdot4+4}{4}\)

\(6=\dfrac{4+4}{4}+4\)

\(7=\dfrac{4}{4}+\sqrt{4}+4\)

\(8=4\cdot4-4-4\)

\(9=\dfrac{4}{4}+4\cdot\sqrt{4}\)

\(10=\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+4\)

...

 

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Corderos, ovejas y simetrías

  • Publicado en Retos

El otro día recibí un correo electrónico en el que, entre otras cosas, se proponía el siguiente acertijo:

La fe implícita que los antiguos griegos, romanos y egipcios depositaban en los oráculos de sus dioses puede apreciarse cuando advertimos que, desde la declaración de una guerra hasta la venta de una vaca, no se llevaba a cabo ninguna transacción sin el consejo y la aprobación de los oráculos. Dos pobres campesinos que desean saber si el gran Júpiter sonreirá de manera auspiciosa ante la compra de un cordero y una oveja consultan con el oráculo y este les obliga a situarse frente al espejo sagrado y les contesta: "¡Se reproducirán, hasta que los corderos multiplicados por las ovejas den un producto que, reflejado en el sagrado espejo, muestre el número del rebaño completo!". ¿Cuántas ovejas y corderos llegarán a poseer los campesinos?

Para solucionarlo hay que pensar en números cuya simetría especular sea el mismo número. Puedes intentarlo durante un rato. No es difícil.

Sólo hay tres números que, reflejados en un espejo, tengan el mismo aspecto que sin reflejarse en él: el cero, el uno y el ocho.

espejo

Por ensayo y error podríamos empezar así: hay 1 cordero y 8 ovejas pues 1 por 8 es 8, que reflejado en el espejo también es 8, pero este número, que según el enunciado del acertijo, sería el número del rebaño completo, no coincide con lo que hemos supuesto (1 cordero y 8 ovejas hacen un total de 9 en el rebaño). También se podría pensar en 2 corderos y 4 ovejas, cuyo producto es 8, pero tampoco sería correcto pues 2+4=6.

Si emparejamos el cero, el uno y el ocho para obtener números con dos dígitos tenemos los siguientes: 01, 10, 08, 80, 18, 81. Su reflejo en el espejo son, respectivamente, 10, 01, 80, 08, 81, 18.

Si empezamos a tantear, por ejemplo, con el número 80 (cuyo reflejo es 08, número del rebaño completo según el enunciado), tendríamos que buscar parejas números cuyo producto sea 80 y cuya suma sea 8, pero esto es imposible (8 por 10 es 80, pero la suma de los factores es 18; 5 por 16 es 80, pero la suma de los factores es 21; etcétera).

Si probamos con 81 obtenemos la solución. Su reflejo en el espejo es 18, que sería el número del rebaño completo. El número 81 se puede expresar como producto de 9 por 9 y, además la suma de 9 y 9 es 18.

Así pues los campesinos llegarán a poseer 9 ovejas y 9 corderos.

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Tres con triángulos

  • Publicado en Retos

Uno

\(P\) es un punto interior a un triángulo equilátero. ¿Cuál es la suma \(a+b+c\) de sus distancias a los lados del triángulo?

 triangulo02

Dos

Ahora, \(P\) está en el interior del triángulo isósceles de lados 5, 5 y 6 centímetros. Hallar en función de \(b\) (la distancia de \(P\) al lado desigual) la suma de las distancias \(a+b+c\).

 triangulo01

Tres

En la figura vemos dos triángulos equiláteros, uno inscrito y otro circunscrito a un círculo. Si el triángulo inscrito tiene área 1, ¿cuál es la suma de las áreas de las figuras sombreadas en color azul?

 triangulo03

Uno (solución)

Llamemos \(l\) al lado del triángulo y \(h\) a su altura. Se sabe que el área \(A\) del triángulo es "base por altura partido por dos", o sea:

triangulo05

Pero el área \(A\) del triángulo también es la suma de los tres triángulos interiores, coloreados en rojo, azul y verde. Fíjate en la figura.

triangulo06

Es decir: 

triangulo07

triangulo08

O sea, que la suma de las distancias de cada lado al punto \(P\), \(a+b+c\), es exactamente igual que la altura del triángulo.

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Los gongs de Ganimedes

  • Publicado en Retos

Este artículo se ha extraído del libro "Juegos y enigmas de otros mundos", de Martin Gardner


Los antiguos cultos rara vez desaparecen. Tienen la característica de resurgir de las cenizas como el legendario Ave Fénix. Así fue como a mediados del siglo XXII, por una agradable coincidencia que tuvo lugar en Fénix, Arizona, el doctor Matrix III, biznieto del famoso numerólogo, revivió la Antigua Hermandad Pitagórica.

En el año 2153, el doctor Matrix III y varios centenares de miembros de la Iglesia de Pitagorología, emigraron a Ganimedes, la luna más grande de Júpiter. En realidad, es la más grande del sistema solar y hasta supera a Titán, aunque es mucho menos densa. La Iglesia estableció la base debajo de una enorme cúpula geodésica en el centro de un gran cráter.

Eligieron Ganimedes no sólo por su tamaño, sino por su extraordinaria "llave de resonancia", con dos satélites hermanos, las lunas gigantes Ío y Europa. Ganimedes gira en órbita alrededor de Júpiter en aproximadamente una semana terrestre. Europa completa el circuito en la mitad de lo que tarda Ganimedes, e Ío en exactamente la mitad de lo que tarda Europa. Esta "llave" de porcentaje 1:2:4 es la única llave triple que se conoce para los tres cuerpos astronómicos. Ganimedes parecía un sitio ideal para la colonia porque los modelos de números naturales están en el alma de la Pitagorología.

Al cumplir 21 años terrestres (21 es la suma de los cuadrados de 1, 2 y 4) todo hombre y mujer de la colonia debe realizar un viaje ceremonial alrededor del borde interno del cráter. La longitud del camino circular es exactamente de 21 kilómetros. Hay cinco estatuas de águilas separadas a distancias enteras (en km) a lo largo de este sendero. Recuerdan a la gran águila que llevó a Ganimedes, un hermoso joven troyano, al monte Olimpo, donde se convirtió en copero de los dioses. Una de las águilas es de oro y las otras cuatro son de bronce. Junto a cada águila hay una pequeña cúpula donde el caminante puede conseguir alimentos y albergue para pasar la noche. Dentro de cada cúpula hay un enorme gong de bronce.

La marcha ceremonial comienza en el águila de oro. Si el caminante es varón, viaja alrededor del sendero en el sentido de las agujas del reloj. Se detiene en la primera águila de bronce, entra en la cúpula y toca el gong tantas veces como el número de kilómetros que acaba de caminar. Mientras resuena el sonido, medita sobre el significado pitagórico secreto de ese número. Luego sigue hasta la próxima águila, donde nuevamente toca el gong tantas veces como los kilómetros que recorrió desde la última águila, mientras medita sobre este segundo número. El ritual se repite en cada águila hasta que regresa a la estatua de oro de donde partió. Habrá tocado cinco gongs y habrá meditado sobre cinco números enteros diferentes.

Ahora el hombre comienza la segunda fase de su camino y continúa en el sentido de las agujas del reloj, pero esta vez se detiene cada dos águilas. Como antes, toca el gong tantas veces como la cantidad de kilómetros que acaba de recorrer. Dos circuitos alrededor del camino lo llevan de regreso al águila de oro. Habrá tocado cada gong una vez y habrá meditado sobre cinco números más sin que ninguno duplique al anterior. En la tercera fase del camino se detiene cada tres águilas y sigue el mismo procedimiento. Esto lo lleva de vuelta a la estatua de oro después de tres circuitos. Luego se detiene cada cuatro águilas y regresa al águila de oro después de cuatro circuitos. La quinta y última caminata lo lleva sólo una vez alrededor del camino hasta la quinta estatua, que por supuesto es la de oro. Allí toca el gong 21 veces mientras medita sobre la belleza y el misterio del 21.

Las cinco águilas están dispuestas hábilmente. Cuando el hombre complete once circuitos habrá honrado cada número entero del 1 al 21, aunque no en orden consecutivo. Las mujeres que realizan la caminata deben marchar en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los hombres toman la dirección inversa de las lunas más alejadas de Júpiter. Las mujeres siguen la dirección de Ganimedes, Europa e Io, las más cercanas de las Grandes Cuatro: las lunas gigantes que descubrió Galileo.

Hay una y sólo una forma (sin considerar como diferente el reverso de un espejo) de disponer las cinco águilas para que la marcha ceremonial sea posible. (Por supuesto, si funciona en una dirección, también funciona en la otra.)

Podemos describir el problema de la siguiente manera:

Coloque cuatro puntos más en el camino de 21 kilómetros que muestra la figura para que cada número entero del 1 al 20 corresponda a la distancia del círculo.

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El misterio del reloj que se paró

  • Publicado en Retos

Sarogatip, de origen griego como su amigo Petros, el estudioso de la conjetura de Goldbach, vivía en un lugar separado y solitario, dedicándose al estudio sobre la teoría de fractales.

Allí era feliz, con una vida sin complicaciones, dedicada a la investigación sobre los trabajos de Cantor, y a la realización de sus muy demandadas publicaciones matemáticas.

Su vida se regía, escrupulosamente, por un reloj dictador, colgado de una de las paredes del despacho, que disponía de una sonería deliciosa que no olvidaba ni los cuartos ni las medias.

Ese sistema de control del tiempo le era suficiente, por lo que no disponía de ningún otro reloj, ni de pulsera ni de bolsillo.

Su reloj de pared era de gran exactitud, sólo se paraba si su dueño olvidaba darle cuerda. Cuando sucedía esto, iba a casa de un amigo suyo, aprovechaba para pasar la tarde con él y regresar de noche a casa; eso sí: antes de que fuera de noche.

Al llegar a su casa ponía su reloj de pared a la hora exacta.

¿Cómo era posible esto sin saber de antemano el tiempo que tardaba en el camino?

Si crees tener la solución puedes dejarla en la página de contacto.

Transcribo literalmente el mensaje. Muy bien Víctor, y muchas gracias por la aportación.

Al salir de su casa para ir a casa de su amigo miró la hora que era, cuando llegó a casa de su amigo miró la hora para ver cuanto tiempo tardaba de su casa a la de su amigo. Antes de volver a su casa volvía a mirar la hora que era para sumarle el tiempo que había tardado al ir. Así sabía la hora que era.

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