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Exámenes bachillerato Matemáticas II. Curso 2016-2017

A continuación os dejo unos enlaces con todos los exámenes de la materia Matemáticas II (2º de Bachillerato) que hemos realizado durante el curso 2016-2017. Espero que os sirvan para la preparación de la Selectividad a muchos, así como para preparar también, a otros, el examen extraordinario de septiembre.

  1. Primer examen de la primera evaluación: Límites. Continuidad. Teorema de Bolzano. Derivabilidad.
  2. Segundo examen de la segunda evaluación: Derivación implícita y logarítmica. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Optimización.
  3. Recuperación de la primera evaluación (1): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  4. Recuperación de la primera evaluación (2): Límites. Continuidad. Derivabilidad. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  5. Primer examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de integración. Integral definida. Cálculo de áreas.
  6. Segundo examen de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Rangol de una matriz. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  7. Recuperación de la segunda evaluación: Integral indefinida. Matrices. Ecuaciones matriciales.
  8. Primer examen de la tercera evaluación (1): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  9. Primer examen de la tercera evaluación (2): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  10. Primer examen de la tercera evaluación (3): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  11. Primer examen de la tercera evaluación (4): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos.
  12. Segundo examen de la tercera evaluación: Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  13. Suficiencia mayo (primera evaluación): Límites. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Teorema del valor medio. Optimización.
  14. Suficiencia mayo (segunda evaluación): Integral indefinida. Integrales inmediatas. Métodos de intergración. Integral definida. Cálculo de áreas. Matrices. Ecuaciones matriciales. Determinantes.
  15. Suficiencia mayo (tercera evaluación): Sistemas de ecuaciones. Teorema de Rouché. Posiciones relativas de rectas y planos. Geometría euclídea en el espacio: problemas métricos.
  16. Examen final para subir nota.

Recordad que podéis encontrar más exámenes aquí:

 

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Ecuaciones aparentemente difíciles

En matemáticas es muy común resolver ecuaciones. La mejor forma de resolver ecuaciones es hacer muchas ecuaciones. En muchas ocasiones los alumnos se quejan porque ha salido en el examen de matemáticas una ecuación que responde a una tipología, según ellos, desconocida. Y suelen decir o pensar: "menuda ecuación difícil", "de ese tipo no hemos hecho ecuaciones en clase", "y encima se espera para poner esa ecuación en el examen de matemáticas"...

Hay ecuaciones aparentemente difíciles. Si no a primera vista, después de hacer algunos cambios en las mismas, como elevar ambos miembros al cuadrado o eliminar denominadores. Pero no lo son. Además no son distintas de las que ya se han explicado. Entran dentro del tipo de ecuaciones que se estudian en clase de matemáticas. Al menos a nivel de Bachillerato. Y hay que intentar hacerlas. No vale quejarse. Tenemos armas suficientes para atacar este tipo de ecuaciones y llegar a resolverlas. Basta con un poco de tesón. Nunca hay que darse por vencidos.

Os dejo algunos ejemplos de ecuaciones de este tipo. Intentad resolverlas, veréis que realmente no son tan difíciles. El procedimiento es el mismo de siempre. Solamente que a veces el aspecto de la ecuación asusta un poco. Pero es eso, apariencia. Y, como sabéis, las apariencias engañan. Yo, un día cualquiera, es probable que publique la resolución de cada una de ellas aquí mismo. Antes de que eso ocurra, intentad resolverlas vosotros. ¡Ánimo y a por ellas!

\[x+\frac{1}{x}=\frac{4}{\sqrt{3}}\]

Multiplicando todos los términos por \(\sqrt{3}x\) tenemos:

\[\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}=4x\Rightarrow\sqrt{3}x^2-4x+\sqrt{3}=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2\sqrt{3}}=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2\sqrt{3}}=\]

\[=\frac{4\pm2}{2\sqrt{3}}=\begin{cases}\displaystyle x_1=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\\ \displaystyle x_2=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}\]

\[\frac{x}{\displaystyle1-\frac{1}{x+\displaystyle\frac{1}{2}}}=\frac{1}{12}\]

Como \(x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2x}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2x+1}{2}\), entonces \(\dfrac{1}{\displaystyle x+\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\displaystyle \frac{2x+1}{2}}=\dfrac{2}{2x+1}\).

Por tanto \(1-\dfrac{1}{\displaystyle 1+\frac{x}{2}}=1-\dfrac{2}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}-\dfrac{2}{2x+1}=\dfrac{2x-1}{2x+1}\).

Es decir, \(\dfrac{x}{\displaystyle1-\frac{1}{x+\displaystyle\frac{1}{2}}}=\dfrac{x}{\displaystyle\frac{2x-1}{2x+1}}=\dfrac{x(2x+1)}{2x-1}=\dfrac{2x^2+x}{2x-1}\).

Así pues la ecuación del principio, \(\dfrac{x}{\displaystyle1-\frac{1}{x+\displaystyle\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{12}\), es equivalente a la ecuación \(\dfrac{2x^2+x}{2x-1}=\dfrac{1}{12}\).

Multiplicando en cruz tenemos: \(24x^2+12x=2x-1\Rightarrow 24x^2+10x+1=0\), que es una ecuación de segundo grado. Resolvámosla.

\[x=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot24\cdot1}}{2\cdot24}=\frac{-10\pm\sqrt{100-96}}{48}=\frac{-10\pm\sqrt{4}}{48}=\]

\[=\frac{-10\pm2}{48}=\begin{cases}\displaystyle x_1=-\frac{8}{48}=-\frac{1}{6}\\\displaystyle x_2=-\frac{12}{48}=-\frac{1}{4}\end{cases}\]

Las soluciones de la ecuación original son por tanto \(x=-\dfrac{1}{6}\) y \(x=-\dfrac{1}{4}\).

\[\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1\]

Elevando ambos miembros al cuadrado la ecuación se convierte en \(3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}=1\), es decir, \(2=\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}\). Si elevamos otra vez al cuadrado ambos miembros de la última igualdad tenemos que \(4=3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}\), o sea, \(1=\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}\). Volviendo a elevar al cuadrado nos encontramos con la ecuación equivalente \(1=x-\sqrt{2x+1}\), es decir, \(\sqrt{2x+1}=x-1\). Finalmente, elevando por última vez los dos miembros al cuadrado, tenemos la ecuación \(2x+1=x^2-2x+1\), que es la misma que la ecuación de segundo grado incompleta \(x^2-4x=0\). Extrayendo \(x\) factor común de esta última tenemos \(x(x-4)=0\), de donde se deduce que o bien \(x=0\), o bien \(x-4=0\Rightarrow x=4\).

La posibilidad \(x=0\) no es solución de la ecuación original porque al sustituir en la misma \(x\) por el número \(0\) nos encontraremos con raíces cuadradas de números negativos, que no son números reales: \(\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}=\sqrt{0-\sqrt{2\cdot0+1}}=\sqrt{0-\sqrt{1}}=\sqrt{-1}\).

Por tanto la única solución de la ecuación es \(x=4\). Compruébalo si quieres sustituyendo en la ecuación del principio la incógnita \(x\) por \(4\) y lo verás.

\[\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}+\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=4\sqrt{x^2-1}\]

Multiplicando todos los términos de la ecuación por \(\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)\) eliminamos los denominadores y tenemos:

\[\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)+\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)=\]

\[=4\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)\]

O sea:

\[x^2+1+x^2-1+2\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}+x^2+1+x^2-1-2\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}=\]

\[=4\sqrt{x^2-1}\left((x^2+1)-(x^2-1)\right)\]

Simplificando en los dos miembros de la igualdad anterior nos queda una ecuación sencilla:

\[4x^2=8\sqrt{x^2-1}\Rightarrow x^2=2\sqrt{x^2-1}\]

Elevando ambos miembros al cuadrado nos quedará una ecuación bicuadrada:

\[x^4=4(x^2-1)\Rightarrow x^4=4x^2-4\Rightarrow x^4-4x^2+4=0\]

Esta ecuación bicuadrada, utilizando la igualdad notable "cuadrado de una diferencia" de derecha a izquierda, \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), la podemos escribir así:

\[(x^2-2)^2=0\]

Ecuación esta última equivalente a \(x^2-2=0\), cuyas soluciones son \(x=\sqrt{2}\) y \(x=-\sqrt{2}\), soluciones también de la ecuación original.

\[\left((3+x^2)\cdot x^{-3}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{3}\cdot(9x^{-3}+x^{-2})\right)^{\frac{1}{2}}\]

Los exponentes \(\dfrac{1}{2}\) a los que están elevados los dos miembros de la ecuación son en realidad raíces cuadradas, con lo que la ecuación es igual que esta otra:

\[\sqrt{(3+x^2)\cdot x^{-3}}=\sqrt{\frac{1}{3}\cdot(9x^{-3}+x^{-2})}\]

Elevando los dos miembros al cuadrado y escribiendo las potencias de exponente negativo en forma de potencias de exponente positivo tenemos:

\[(3+x^2)\cdot\frac{1}{x^3}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{9}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right)\Rightarrow\frac{3+x^2}{x^3}=\frac{3}{x^3}+\frac{1}{3x^2}\]

Multiplicando por \(3x^3\) todos los términos de la ecuación para eliminar los denominadores nos queda:

\[3(3+x^2)=9+x\Rightarrow 9+3x^2=9+x\Rightarrow3x^2-x=0\Rightarrow x(3x-1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ \displaystyle3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\end{cases}\]

De estas dos posibilidades debemos descartar la primera, \(x=0\), ya que no tiene sentido la expresión \(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\), pues estaríamos dividiendo por cero y eso está prohibido en matemáticas. Así pues, la única solución de la ecuación es \(\dfrac{1}{3}\).

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Determinantes

En la imagen superior tienes el desarrollo de un determinante de orden tres por la regla de Sarrus.

\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})-\\ \qquad\qquad\qquad -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\]

El determinante de orden dos es muy sencillo de calcular:

\[\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} \\
a_{21} &a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

Cuando el determinante es de orden mayor que tres no queda más remedio que desarrollar por una fila o por una columna, usando la siguiente propiedad:

Si los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa fila o de esa columna.

Para usar está propiedad a veces es conveniente, y de manera previa, "hacer ceros" en casi todos los términos de la fila o de la columna por la que vayamos a desarrollar. Y en estos casos hay que utilizar con cierto ingenio el resto de las propiedades de los determinantes. Las enumeramos a continuación y después se proponen cuatro ejercicios de este tipo.

  • El determinande de una matriz es igual que el de su traspuesta: \(|A|=|A^t|\).
  • Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila o de una columna son ceros, su determinante es cero.
  • Si se permutan dos filas o dos columnas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
  • Si en una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero.
  • Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.
  • Si una matriz cuadrada tienen dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero. \[|c_1,\ldots,c_i+c_i',\ldots,c_n|=|c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n|+|c_1,\ldots,c_i',\ldots,c_n|\] Esta descomposición es válida cualesquiera sean la fila o la columna en la que se encuentren los sumandos.
  • Si denotamos por \(c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n\) a las \(n\) columnas de una matriz cuadrada de orden \(n\), tenemos:
  • Si una matriz tiene una fila o una columna que es combinación lineal de las demás filas o columnas paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente, si un determinate es cero, entonces tiene una fila (y una columna) que es combinación lienal de las demás.
  • El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\)

Obtener el valor de los siguientes determinantes usando, previamente, las propiedades de los mismos. Posteriormente puedes desarrollar por los elementos de una fila o de una columna.

a) \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{vmatrix}\)

b) \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}\)

c) \(\displaystyle \begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}\)

d) \(\displaystyle \begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}\)

a) Restando a la quinta fila la cuarta, a la cuarta la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera, resulta ser el determinande de una matriz triangular, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal (basta desarrollar por los elementos de la primera columna).

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=16\]

Restando a cada fila la siguiente y sacando factor común \(x\) de la primera fila e \(y\) de la tercera, se tiene

\[\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & x & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & y & y\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la cuarta fila la primera y desarrollando por la primera columna

\[(1)\ =x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} -x & -y & 0\\ 0 & 1 &1\\ 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot(-x)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 1-y\end{vmatrix}=\]

\[=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(1-y-1)=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(-y)=x^2\cdot y^2\]

Multiplicando la segunda y tercera filas por \(x\)

\[\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}=\frac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ x^2y & xy^2+x & xyz\\ x^2z & xyz & xz^2+x\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la segunda fila la primera multiplicada por \(y\), y restando a la tercera fila la primera multiplicada por \(x\)

\[(1)\ =\frac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ -y & x & 0\\ -z & 0 & x\end{vmatrix}=\ (2)\]

Sacando factor común \(x\) en la segunda y tercera columna y desarrollando por la regla de Sarrus

\[(2)\ =\frac{1}{x^2}\cdot x^2\cdot \begin{vmatrix} x^2+1 & y & z\\ -y & 1 & 0\\ -z & 0 & 1\end{vmatrix}=(x^2+1)-(-z^2-y^2)=x^2+y^2+z^2+1\]

Sumando las filas segunda y tercera a la primera

\[\begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x+2y & 2x+2y & 2x+2y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la segunda columna la primera y a la tercera columna la primera

\[(1)\ =2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ y & x & x-y\\ x+y & -y & -x\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix}x&x-y\\-y&-x\end{vmatrix}=\]

\[=2(x+y)\left(-x^2-(-y(x-y)\right)=2(x+y)(-x^2+xy-y^2)=\]

\[=2(-x^3+x^2y-xy^2-x^2y+xy^2-y^3)=-2(x^3+y^3)\]

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Problema de optimización 2

Problema de optimización para Matemáticas II (2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología).

Enunciado. Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r'\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?

El área iluminada en cada esfera es la del casquete limitado por la circunferencia de contacto del cono circuncscrito a la esfera, con el vértice en el punto luminoso \(P\).

optimizacion-esferas

 Si \(h\) y \(h'\) son las alturas de dichos casquetes esféricos, la suma de las áreas es: 

\[S=2\pi(rh+rh')\qquad(1)\]

En la figura se tiene claramente que 

\[h=r-\overline{CA}\qquad(2)\]

Por el teorema del cateto en el triángulo rectágulo \(CTP\)

\[\overline{CT}^2=\overline{CA}\cdot\overline{CP}\Rightarrow r^2=\overline{CA}\cdot x\Rightarrow\overline{CA}=\frac{r^2}{x}\]

y sustituyendo en \((2)\)

\[h=r-\frac{r^2}{x}\]

Por un razonamiento completamente análogo en la otra circunferencia se tiene que

\[h'=r'-\frac{r'^2}{d-x}\]

Sustituyendo en \((1)\)

\[S=2\pi\left(r^2+r'^2-\frac{r^3}{x}-\frac{r'^3}{d-x}\right)\]

Derivando respecto de \(x\)

\[\frac{dS}{dx}=2\pi\left(\frac{r^3}{x^2}-\frac{r'^3}{(d-x)^2}\right)\]

Como la suma de las superficies ha de ser máxima \(\displaystyle \frac{dS}{dx}=0\). Entonces

\[\frac{r^3}{x^2}-\frac{r'^3}{(d-x)^2}=0\Rightarrow r^3(d-x)^2-r'^3x^2=0\Rightarrow r^3(d-x)^2=r'^3x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{(d-x)^2}{x^2}=\frac{r'^3}{r^3}\Rightarrow\frac{d-x}{x}=\sqrt{\left(\frac{r'}{r}\right)^3}\]

Hemos utilizado, para extraer la raíz cuadrada, que tanto \(x\) como \(d-x\) han de ser positivos. De la última igualdad obtenemos ahora que

\[\frac{d}{x}-1=\sqrt{\left(\frac{r'}{r}\right)^3}\Rightarrow\frac{d}{x}=1+\sqrt{\left(\frac{r'}{r}\right)^3}\Rightarrow x=\frac{d}{1+\sqrt{\left(\frac{r'}{r}\right)^3}}\]

La derivada segunda es

\[\frac{d^2S}{dx^2}=2\pi\left(\frac{-2r^3}{x^3}-\frac{2r'^3}{(d-x)^3}\right)=-2\pi\left(\frac{2r^3}{x^3}+\frac{2r'^3}{(d-x)^3}\right)\]

que es negativa para cualquier valor de \(x\). Por tanto el valor de \(x\) obtenido anteriormente corresponde a un máximo.

Así pues, el punto debe situarse a una distancia del centro de la primera esfera igual a 

\[\frac{d}{\displaystyle 1+\sqrt{\left(\frac{r'}{r}\right)^3}}\]

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Variables aleatorias. Distribuciones binomial y normal

En estos apuntes se desarrollan los siguientes contenidos del bloque de estadística y probabilidad, correspondientes a la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, de segundo de Bachillerato. Al final se propone una relación con 24 ejercicios, de los que se incluye su solución final.

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Variables aleatorias. Distribuciones binomial y normal

  1. Variables aleatorias.
  2. Distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas.
  3. Parámetros de una variable aleatoria discreta.
  4. El experimento binomial.
  5. La distribución binomial.
  6. Distribución de probabilidad para variables aleatorias continuas.
  7. Parámetros de una variable aleatoria continua.
  8. La distribución normal.
  9. Distribución normal estándar. Tipicación de la variable.
  10. Aplicaciones de la distribución normal.
  11. Ejercicios.
  12. Tabla de la distribución binomial.
  13. Tabla de la distribución normal estándar.
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Problema de optimización 1

Problema de optimización - Matemáticas II 

Enunciado. Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x, y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.

Indicación. Tómese cómo origen de coordenadas el centro de la circunferencia.

optimizacion01

optimizacion02

El área \(S\) del trapecio es \(S=\dfrac{(\text{base mayor}+\text{base menor})\cdot\text{altura}\ }{2}\). En este caso:

optimizacion03

Si no se conoce la fórmula del área del trapecio, también se puede obtener la expresión anterior sumando el área del rectángulo \(CBDP\) y la del triángulo \(ACP\).

Por otro lado, el triángulo \(POC\) es rectángulo, con lo que:

optimizacion04

Entonces, sustituyendo en la expresión del área del trapecio:

optimizacion05

S se puede tomar como una función "área" que depende de la coordenada \(x\) del punto \(P\) y cuyo dominio es el intervalo \([0\,,\,1]\).

Derivando:

optimizacion06

optimizacion07

Igualando la derivada a cero se obtiene el valor o valores de \(x\) para los que el área del trapecio es máxima:

optimizacion08

La solución negativa correspondería a un punto que no se encuentra sobre nuestra circunferencia, o lo que es lo mismo, no pertenece al dominio de definición de \(S\), y tendría otra interpretación.

Así pues:

optimizacion09

Por tanto el punto \(P\) es:

optimizacion10

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Apuntes de Estadística

En los apuntes siguientes se desarrollan dos temas de las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I (curso 1º de Bachillerato). Contienen ejemplos completamente resueltos y una interesante relación de ejercicios al final de cada uno de los temas.

Estadística en una variable (unidimensional)

Estadística en dos variables (bidimensional)

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Una prueba del bloque de Análisis para Matemáticas aplicadas a las CCSS I

En la prueba que puedes ver a continuación se repasan los siguientes conceptos relativos al bloque de Análisis de la materia Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I:

  • Cálculo de límites.
  • Estudio de la continuidad de una función definida por trozos.
  • Cálculo de derivadas.
  • Estudio de una función: dominio, asíntotas, puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, representación gráfica.
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Un examen de trigonometría y números complejos para matemáticas I

Ejercicio 1


Resuelve una de las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas las posibles soluciones:

examen001

examen002

examen003

Ejercicio 2


Resuelve uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, dando las soluciones en el intervalo:

examen004

examen005

examen006

Ejercicio 3


Dado el triángulo ABC, con a=1 m, B=30º y C=45º:

  • Resuelve el triángulo.
  • Calcula su área.

Ejercicio 4


Realiza uno de los dos apartados siguientes:

  • Calcula el valor de la siguiente expresión, simplificando el resultado:

examen007

  • Simplifica lo que puedas la expresión:

examen008

Ejercicio 5


Realiza la siguiente operación con números complejos, expresando el resultado en forma polar y trigonométrica:

examen009

Ejercicio 6


Encuentra las posibles soluciones, en forma binómica, de la siguiente ecuación:

examen010


Los ejercicios completamente resueltos aquí


 

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Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

En los exámenes de Selectividad (PAEG) de Matemáticas II que la Universidad de Castilla-La Mancha ha propuesto durante estos últimos años, han aparecido, como es natural, muchos ejercicios de cálculo de integrales indefinidas. Para resolverlas, o bien la integral es inmediata, o bien se utilizan alguno de los métodos vistos durante el curso en Matemáticas II: sustitución o cambio de variable, integración por partes, integración de funciones racionales con raíces simples o múltiples en el denominador, etcétera. Al cálculo de integrales indefinidas también se le llama cálculo de primitivas. Si quieres repasar la teoría puedes estudiar o repasar estos apuntes sobre integral indefinida y métodos de integración.

Pues bien, volviendo a las integrales indefinidas propuestas en Selectividad te dejamos aquí una página Web con muchas de ellas y su solución final.


Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

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