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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir:

\[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\]

Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función polinómica, entonces \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}\).

No hay ningún problema tampoco en admitir que toda función polinómica es continua, es decir, su gráfica se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". Desde el punto de vista matemático esto quiere decir que el límite de la función en todo punto es igual que la imagen de la función en ese punto. Simbólicamente, si \(f\) es una función polinómica y \(a\in\mathbb{R}\), entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Casos particulares de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática.

Nos planteamos el problema de dibujar la gráfica de una función polinómica. Puesto que un polinomio de grado \(n\) tiene a los sumo \(n\) raíces reales, toda función polinómica cortará, a lo sumo, en \(n\) puntos al eje \(X\). Hallar estos puntos de corte no es nada fácil si el polinomio es de grado mayor o igual que tres. Pero sí afirmaremos que toda función polinómica de grado \(n\) se "dobla" o se "pliega" a lo sumo, \(n-1\) veces. Además, el punto de corte con el eje \(Y\) siempre será \((0,a_0)\), donde \(a_0\) es el término independiente del polinomio. Por otro lado, todas las funciones polinómicas se comportan de manera similar en el infinito, ya que:

\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}a_nx^n=\pm\infty\]

Lo anterior quiere decir que, si dibujásemos la gráfica de una función polinómica de izquierda a derecha, la misma procedería de más o menos infinito y se alejaría hacia más o menos infinito. Es decir, las funciones polinómicas presentan ramas infinitas en más o menos infinito. ¿Qué hacen "entre medias"? Bueno, pues dependiendo del número de veces que "toquen" al eje \(X\) y del número de máximos o mínimos relativos que posean, tendrán comportamientos diversos. Veamos algunos ejemplos.

La función polinómica de grado tres más sencilla es \(f(x)=x^3\), que corta al eje \(X\) únicamente en el origen de coordenadas. Además, es una función impar pues \(f(-x)=-f(x)\), lo que quiere decir que es simétrica respecto del origen de coordenadas. Es fácil obtener su gráfica:

funcion polinomica 01

Obsérvese que la función "procede" de menos infinito y se "dirige hacia" más infinito ya que, respectivamente, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\).

Hagamos otro ejemplo. Consideremos la función \(f(x)=-3x^3+2x\). En este caso es fácil hallar los puntos de corte con los ejes:

\[-3x^3+2x=0\Leftrightarrow x(-3x^2+2)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0,816\\x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\approx-0,816\end{cases}\]

Además

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3)=+\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3)=-\infty\]

De lo anterior deducimos que la función procede de más infinito, corta al eje \(X\) en \(-0,816\), \(0\), \(0,816\); y se escapa hacia menos infinito. Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que es de grado tres, tendrá que "doblarse" dos veces y podremos dibujar aproximadamente su gráfica. De hecho la gráfica es la siguiente:

funcion polinomica 02

Consideremos por último la función polinómica \(f(x)=-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1\). ¿Qué podemos decir de ella? Primero, que procede de menos infinito y se dirige también hacia menos infinito ya que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=-\infty\). Segundo, que pasa por el punto \((0,1)\). Y tercero, que de lo anterior se deduce que debe cortar al eje \(X\) en, al menos, dos puntos. Lógico, ¿no? De hecho corta al eje \(X\) en, exactamente, dos puntos, pues la ecuación \(-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1=0\) tiene exactamente dos soluciones reales (WolframAlpha se encarga de facilitarnos el trabajo). La gráfica queda así:

funcion polinomica 03

El teorema de los ceros de Bolzano y el estudio de la monotonía y de los extremos de una función polinómica usando las derivadas (contenidos que se aprenden en 2º de Bachillerato), nos permitirá dibujar con ciertas garantías las funciones polinómicas de grado tres, incluso de grado cuatro. Para las funciones polinómicas de grado superior no podremos sino atisbar cómo podría ser su gráfica usando los métodos anteriores y haciendo una tabla de valores lo suficientemente grande. Menos mal que disponemos de potentes programas de representación gráfica de funciones para visualizar cualquier función polinómica, por ejemplo, desmos, con el que se han hecho las gráficas que aparecen en este artículo. Esto, en mis tiempos de estudiante de Bachillerato era, sencillamente, imposible.

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Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes

En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes y que se utilizan a menudo en las matemáticas de bachillerato a la hora de calcular límites de funciones. Nos referimos a aquello de que el límite de la suma, producto o división es la suma, producto o división de los límites (entre otras propiedades). Todo el mundo usa estas propiedades, pero... ¿de dónde vienen? A continuación lo justificamos demostrándolo para límites de sucesiones, pues el concepto de límite funcional está íntimamente ligado al de límite de una sucesión.

Antes de demostrar las propiedades de la sucesiones convergentes, definiremos unos conceptos relacionados con las sucesiones que también se utilizan a menudo. Nos referimos a las sucesiones acotadas. Para ello recordemos que un conjunto de números reales está mayorado (respectivamente, minorado) si existe un número real que es mayor o igual (respectivamente, menor o igual) que todos los del conjunto. Diremos también que un conjunto de números reales está acotado si está a la vez mayorado y minorado. Esto es lo mismo que decir que, dado \(A\subset\mathbb{R}\), \(A\) está acotado si existe un número real \(M>0\) tal que \(M\geqslant |a|,\,\forall a\in A\) ya que, por las propiedades del valor absoluto, esto es equivalente a decir que \(-M\leqslant a\leqslant M,\,\forall a\in A\), con lo que \(A\) está a la vez mayorado y minorado.

Considerando lo anterior diremos que una sucesión está mayorada (respectivamente, minorada) si el conjunto de sus términos está mayorado (respectivamente, minorado). Diremos también que una sucesión está acotada si está a la vez mayorada y minorada. Podemos escribir lo anterior de manera simbólica:

  • \(\{x_n\}\) esta mayorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,K\in\mathbb{R}\ |\ K\geqslant x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\).
  • \(\{x_n\}\) esta minorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,k\in\mathbb{R}\ |\ k\leqslant x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\).
  • \(\{x_n\}\) esta mayorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,M\in\mathbb{R}^+\ |\ M\geqslant |x_n|,\,\forall n\in\mathbb{N}\).

Un resultado importante es el siguiente:

Proposición 1.

Toda sucesión de números reales convergente está acotada.

Si \(\{x_n\}\rightarrow x\) tenemos

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<1\]

con lo que para \(n\geqslant m\):

\[|x_n|=|x_n-x+x|\leqslant|x_n-x|+|x|<1+|x|\]

lo que prueba que el conjunto \(\{x_n\ :\ n\geqslant m\}\) está acotado. Pero ello implica que \(\{x_n\}\) está acotada, ya que \(\{x_n\ :\ n<m\}\) es finito y por tanto acotado, luego entonces el conjunto

\[\{x_n\ :\ n\in\mathbb{N}\}=\{x_n\ :\ n<m\}\cup\{x_n\ :\ n\geqslant m\}\]

es acotado, tal y como queríamos demostrar.

Propiedades de las sucesiones convergentes

Veamos ahora la relación entre sucesiones convergentes y las tres operaciones básicas en intervienen en el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales: suma, producto y relación de orden. Recordamos que estas son las reglas básicas para el cálculo de límites, no sólo de sucesiones de números reales, sino también para el cálculo de límites de funciones.

Proposición 2.

Si \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son dos sucesiones de números reales convergentes, entonces la sucesión \(\{x_n+y_n\}\) es convergente y se tiene

\[\lim\{x_n+y_n\}=\lim\{x_n\}+\lim\{y_n\}\]

Si \(x=\lim x_n\), \(y=\lim y_n\), dado \(\varepsilon>0\) arbitrario se tiene

\[\exists\, m_1\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

\[\exists\, m_2\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_2\Rightarrow|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}\]

Tomemos \(m\in\mathbb{N}\) tal que \(m\geqslant m_1\) y \(m\geqslant m_2\). Entonces, para \(n\geqslant m\) se cumple que

\[|(x_n+y_n)-(x+y)|\leqslant|x_n-x|+|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

Con lo que, usando la definición de sucesión convergente, hemos demostrado que \(\{x_n+y_n\}\rightarrow x+y\), tal y como queríamos.

Proposición 3.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales convergente a cero, e \(\{y_n\}\) una sucesión de números reales acotada. Entonces la sucesión \(\{x_ny_n\}\) converge a cero.

Sea \(M>0\) tal que \(M>|y_n|,\,\forall n\in\mathbb{N}\). Como \(\{x_n\}\rightarrow0\), dado \(\varepsilon>0\) se tiene

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m\Rightarrow|x_n|<\frac{\varepsilon}{M}\]

Entonces, para \(n\geqslant m\) tenemos

\[|x_ny_n|<\frac{\varepsilon}{M}M=\varepsilon\]

con lo que hemos probado que \(\{x_ny_n\}\rightarrow0\).

Corolario 1.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes. Entonces la sucesión \(\{x_ny_n\}\) es convergente y se tiene:

\[\lim(x_ny_n)=\lim(x_n)\lim(y_n)\]

Si \(x=\lim x_n\), usando que la sucesión constantemente igual a \(-x\), \(\{-x\}\), converge a \(-x\) y que la suma de sucesiones convergentes es convergente, tenemos que \(\{x_n-x\}\rightarrow0\). Como \(\{y_n\}\) es acotada, por la proposición anterior, \(\{x_ny_n-xy_n\}\rightarrow0\). Por otro lado, si \(y=\lim y_n\) se tiene claramente que \(\{y_n-y\}\rightarrow0\) y \(\{xy_n-xy\}\rightarrow0\), luego \(\{xy_n\}\rightarrow xy\). Finalmente, volviendo a usar que la suma de sucesiones convergentes es convergente, tenemos

\[\{x_ny_n\}=\{x_ny_n-xy_n+xy_n\}\rightarrow0+xy=xy\]

tal y como queríamos demostrar.

Proposición 4.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos, convergente a un límite no nulo \(x\). Entonces la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\) converge a \(\dfrac{1}{x}\).

Por ser \(\{x_n\}\) convergente a \(x\) y \(x\neq0\) tenemos

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\frac{|x|}{2}\]

de donde si \(n\geqslant m\) se verifica (ver las propiedades del valor absoluto) que

\[|x_n|=|x-(x-x_n)|\geqslant|x|-|x-x_n|>|x|-\frac{|x|}{2}=\frac{|x|}{2}\]

y por tanto, para \(n\geqslant m\)

\[\left|\frac{1}{x_n}\right|<\frac{2}{|x|}\]

de donde se deduce que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\) es acotada.

Por último, como

\[\left\{\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\right\}=\left\{\dfrac{x-x_n}{x}\dfrac{1}{x_n}\right\}\]

y \(\left\{\dfrac{x-x_n}{x}\right\}\rightarrow0\), la proposición anterior nos asegura que \(\left\{\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\right\}\rightarrow0\), es decir, \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\rightarrow\dfrac{1}{x}\).

Corolario 2.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes respectivamente a \(x\), \(y\). Supongamos que \(y_n\neq0\) para todo natural \(n\) y que \(y\neq0\). Entonces la sucesión \(\left\{\dfrac{x_n}{y_n}\right\}\) converge a \(\dfrac{x}{y}\).

Es consecuencia inmediata de la proposición anterior aplicada a la sucesión \(\{y_n\}\) y del corolario 1.

Proposición 5.

Sean \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes a los números reales \(x\) e \(y\), respectivamente. Supongamos que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leq y_n\}\) es infinito. Entonces \(x\leqslant y\).

Supongamos por el contrario que \(x>y\). Tomando \(\varepsilon=\dfrac{x-y}{2}>0\) tenemos:

\[\exists\, m_1\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow x_n>x-\varepsilon=\frac{x+y}{2}\]

\[\exists\, m_2\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_2\Rightarrow y_n<y+\varepsilon=\frac{x+y}{2}\]

Si tomamos \(m\in\mathbb{N}\) tal que \(m\geqslant m_1\) y \(m\geqslant m_2\), entonces si \(n\geqslant m\), se tiene que \(x_n>y_n\), es decir,

\[\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leqslant y_n\}\subset\{n\in\mathbb{N}\ :\ n<m\}\]

y por tanto el primero de estos dos conjuntos es finito, lo cual es una contradicción.

Es conveniente darse cuenta de que si suponemos la desigualdad estricta en la hipótesis de la proposición anterior, es decir, si suponemos que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n< y_n\}\) es infinito, no podemos afirmar que se cumpla también la desigualdad estricta en la tesis, es decir, no podemos afirmar que \(\lim x_n<\lim y_n\).\\ Por ejemplo, dadas las sucesiones \(\{x_n\}=\left\{\dfrac{1}{n+1}\right\}\), \(\{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\), es muy fácil darse cuenta de que \(x_n<y_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Pero \(\lim x_n=\lim y_n=0\).

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de la proposición anterior, consecuencia que en la práctica se presenta más a menudo.

Corolario 3.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales convergente y sea \(a\) un número real cualquiera. Si el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leqslant a\}\) (respectivamente, \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\geqslant a\}\)) es infinito, se tiene \(\lim x_n\leqslant a\) (respectivamente, \(\lim x_n\geqslant a\)).

Finalmente damos un resultado muy útil para el cálculo de límites te sucesiones, conocido popularmente como "regla del sandwich".

Proposición 6.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\), \(\{z_n\}\) sucesiones de números reales verificando que \(x_n\leq y_n\leq z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Supongamos que \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\) son convergentes a un mismo límite \(l\). Entonces \(\{y_n\}\) converge a ese mismo límite \(l\).

Dado \(\varepsilon>0\) podemos encontrar un natural \(m\) tal que para \(n\geq m\) se tenga simultáneamente que \(|x_n-l|<\varepsilon\) y \(|z_n-l|<\varepsilon\). Entonces, para \(n\geq m\) tenemos:

\[l-\varepsilon<x_n\leq y_n\leq z_n<l+\varepsilon\]

de donde \(|y_n-l|<\varepsilon\) y, por tanto, \(\{y_n\}\rightarrow l\)

Proponemos a continuación una serie de ejercicios con sus respectivas soluciones.

Ejercicios

1. Probar que si \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son sucesiones de números reales acotadas, entonces la sucesiones \(\{x_n+y_n\}\) y \(\{x_ny_n\}\) están acotadas.

Como \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son acotadas, existen \(M_1,\,M_2\in\mathbb{R}^+\) tales que \(|x_n|\leqslant M_1\), \(|y_n|\leqslant M_2\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\).

Entonces \(|x_n+y_n|\leqslant|x_n|+|y_n|\leqslant M_1+M_2\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(\{x_n+y_n\}\) está acotada.

Por otro lado, \(|x_ny_n|=|x_n||y_n|\leqslant M_1M_2\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), lo que demuestra que la sucesión \(\{x_ny_n\}\) también está acotada.

2. Dar dos sucesiones \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) de números reales no convergentes, tales que \(\{x_n+y_n\}\) sea convergente.

Sean \(\{x_n\}=\{n\}\), \(\{y_n\}=\{-n\}\). Ya se demostró en el artículo anterior (ejemplo 2) que la sucesión \(\{x_n\}\) no es convergente. Por tanto, tampoco lo será \(\{y_n\}\) pues, de serlo, también lo sería la sucesión \(\{(-1)(-n)\}=\{n\}\), y esto es una contradicción. Sin embargo, \(\{x_n+y_n\}={0}\rightarrow0\) (sucesión constantemente igual a cero).

3. Supongamos que \(\{x_n+y_n\}\) es convergente. ¿Qué puede afirmarse sobre la posible convergencia de \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\)?

Que, o son las dos convergentes, o ninguna lo es (véase ejercicio anterior). Si, por ejemplo, fuese \(\{x_n\}\) convergente e \(\{y_n\}\) no fuera convergente, la sucesión \(\{(x_n+y_n)-x_n\}=\{y_n\}\) sería convergente (por ser suma de convergentes), lo cual es una contradicción, pues hemos supuesto que \(\{y_n\}\) no es convergente.

4. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y sea \(x\) un mayorante de \(A\). Probar que \(x\) es el supremo de \(A\) si y sólo si existe una sucesión de elementos de \(A\) convergente a \(x\).

Como \(x\) es un mayorante de \(A\), tenemos que \(x\geqslant a\,,\forall\,a\in A\).

\(\Rightarrow)\) Supongamos que \(x=\sup A\). Por definición de supremo, para cada número real y positivo \(\varepsilon\), existe \(a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon\). Consideremos la sucesión \(\{a_n\}=\{x-\frac{1}{n}\}\). Por lo anterior es claro que \(a_n\in A\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por tanto \(\{a_n\}\) es una sucesión de elementos de \(A\). Además, como \(\{x\}\rightarrow x\) y \(\{\frac{1}{n}\}\rightarrow0\), entonces \(\{a_n\}=\{x-\frac{1}{n}\}\rightarrow x\).

\(\Leftarrow)\) Supongamos que existe una sucesión de elementos de \(A\),\(\{a_n\}\), convergente a \(x\). Dado \(\varepsilon>0\), existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces \(|a_n-x|<\varepsilon\), es decir, \(x-\varepsilon<a_n<x+\varepsilon\). En particular, \(a_m>x-\varepsilon\) y, por tanto, \(x=\sup A\).

También se puede demostrar, de forma completamente análoga, la misma afirmación cambiando mayorante por minorante y supremo por ínfimo.

5. Sea \(x\) un número real cualquiera. Probar que existen cuatro sucesiones \(\{r_n\}\), \(\{s_n\}\), \(\{\alpha_n\}\), \(\{\beta_n\}\) convergentes a \(x\), que verifican \(r_n,\,s_n\in\mathbb{Q}\), \(\alpha_n,\,\beta_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), \(r_n<x<s_n\), \(\alpha_n<x<\beta_n\).

Sabemos por el ejercicio 2 del artículo dedicado a la existencia de los números irracionales que

\[x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{s\in\mathbb{Q}\,:\,s>x\}\]

y también que

\[x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{\beta\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\beta>x\}\]

Por el ejercicio anterior es claro que existen sucesiones \(\{r_n\}\), \(\{s_n\}\), \(\{\alpha_n\}\), \(\{\beta_n\}\) convergentes a \(x\), que verifican: \(r_n,\,s_n\in\mathbb{Q}\), \(\alpha_n,\,\beta_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), \(r_n<x<s_n\), \(\alpha_n<x<\beta_n\).

6. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos tal que \(\{x_n\}\rightarrow0\). Probar que \(\{\frac{1}{x_n}\}\) no está acotada.

Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que \(\{\frac{1}{x_n}\}\) es una sucesión acotada. Entonces existe \(M\in\mathbb{R}^+\) tal que \(|\frac{1}{x_n}|\leqslant M\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), es decir, \(|x_n|\geqslant\frac{1}{M}>\frac{1}{M+1}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto contradice que \(\{x_n\}\rightarrow0\). Por tanto, la sucesión \(\{\frac{1}{x_n}\}\) no está acotada.

7. Mostrar con un ejemplo que, en la proposición 6, la hipótesis \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), no se puede sustituir por la de que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\,:\,x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\}\) sea infinito. ¿Bastaría exigir la existencia de un natural \(p\) tal que para \(n\geqslant p\) se verificase \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\)?

Sean \(\{x_n\}=\{0\}\), \(\{y_n\}=\{(-1)^n\}\) y \(\{z_n\}=\{1\}\). Es claro que \(\{n\in\mathbb{N}\,:\,x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\}\) es infinito (el conjunto de los números pares:\(\{2k\,:\,k\in\mathbb{N}\}\)), pero \(\{y_n\}\) no es convergente.

Supongamos que existe \(p\in\mathbb{N}\) tal que \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) con \(n\geqslant p\). Sea la sucesión \(\{r_n\}\) definida por

\[r_n=\left\{\begin{array}{ccc}
                y_n & \text{si} & n\geqslant p \\
                x_n & \text{si} & n<p
              \end{array}
  \right.\]

Entonces \(x_n\leqslant r_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(\{r_n\}\) es convergente al mismo límite que \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\). Pero \(y_n=r_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) con \(n\geqslant p\). Por el ejercicio 2.11.4 \(\{y_n\}\) es convergente y

\[\lim y_n=\lim r_n=\lim x_n=\lim z_n\]


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Tanto en la educación secundaria obligatoria como en el bachillerato se habla poco de las sucesiones de números reales. Si acaso se dedica una unidad didáctica a las progresiones aritméticas y a las progresiones geométricas. Puesto que las sucesiones de números reales y, sobre todo, el concepto de convergencia para dichas sucesiones, son fundamentales para el estudio de las funciones reales de variable real, sobre todo en un primer curso universitario, vamos a desarrollar en este artículo los conceptos básicos relacionados con las sucesiones de números reales y con la convergencia de sucesiones dando, en este último caso, la definición más clásica de sucesión convergente y de límite de una sucesión. Intentaremos hacerlo con un lenguaje claro, sobre todo para que el alumno de bachillerato que se acerca a un grado de ciencias adquiera cierta familiaridad con estos nuevos conceptos.

Definición.

Si \(A\) es un conjunto no vacío, llamaremos sucesión de elementos de \(A\) a toda aplicación del conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales en \(A\). En particular una sucesión de números reales es, por definición, una aplicación de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{R}\).

Hemos de fijar nuestra atención en que para definir una sucesión de números reales basta con asociar a cada número natural un número real. Si para cada natural \(n\), \(x_n\) es un número real, notaremos \(\{x_n\}\) a la sucesión \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(n)=x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\]

Así, por ejemplo, \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) es la sucesión \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(n)=\frac{1}{n},\,\forall n\in\mathbb{N}\]

sucesión que asocia al número natural \(1\) el número \(\dfrac{1}{1}=1\), al número natural \(2\) el número \(\dfrac{1}{2}\), al número natural \(3\) el número \(\dfrac{1}{3}\), y así sucesivamente.

Al número real \(x_n\) se le llama  término n-ésimo de la sucesión \(\{x_n\}\). Es importante distinguir entre la sucesión \(\{x_n\}\) (que es una aplicación) y el conjunto \(\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\) de sus términos (que es la imagen de la aplicación). Podemos pensar por ejemplo que las sucesiones \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) definidas por

\[x_1=0\ ,\ x_2=x_3=\ldots=1\]

\[y_1=1\ ,\ y_2=y_3=\ldots=0\]

son tales que \(\{x_n:n\in\mathbb{N}\}=\{y_n:n\in\mathbb{N}\}=\{0\,,1\}\) mientras que claramente \(\{x_n\}\neq\{y_n\}\).

Sucesiones convergentes

Definición.

Se dice que una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales es convergente si existe un número real \(x\) con la siguiente propiedad: dado un número real y positivo \(\varepsilon\) arbitrario, siempre puede encontrarse un número natural \(m\) (que dependerá del \(\varepsilon\) elegido), tal que si \(n\) es cualquier natural mayor o igual que \(m\) se tiene \(|x_n-x|<\varepsilon\) (o equivalentemente \(x-\varepsilon<x_n<x+\varepsilon\), según las propiedades del valor absoluto). Dicho de otra forma, cualquiera sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\), todos los términos de la sucesión, salvo los correspondientes a un conjunto finito de naturales, están comprendidos entre \(x-\varepsilon\) y \(x+\varepsilon\), entendiéndose que dicho conjunto finito de números naturales dependerá en general del número positivo \(\varepsilon\) elegido.

En caso de que ocurra lo anterior, y queramos destacar el número \(x\) cuya existencia se afirma, diremos que \(\{x_n\}\) converge a \(x\) y escribiremos \(\{x_n\}\rightarrow x\). Así pues, simbólicamente:

\[\{x_n\}\rightarrow x\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon\]

Merece la pena traducir a lenguaje común la definición de sucesión convergente y la simbología anterior. Lo que viene a decir es que, si una sucesión converge a un número real \(x\), todos los términos de la sucesión, a partir de uno dado, se encuentran tan cerca como queramos del número \(x\). Obsérvese que tal notación la podríamos traducir así: "decir que una sucesión es convergente a un número \(x\) es lo mismo que decir que, dado un número positivo cualquiera (por pequeño que este sea), la distancia entre infinitos términos de la sucesión y el número \(x\) es más pequeña que el número escogido". Como siempre, la notación matemática, a pesar de suponer en principio un pequeño "shock" al que la lee por vez primera, es fundamental para poder demostrar que una determinada sucesión es convergente, o para demostrar otras propiedades de las sucesiones convergentes como veremos en un artículo posterior.

Antes de ver algunos ejemplos concretos de sucesiones convergentes y no convergentes, es conveniente hacer una observación importante. Si una sucesión \(\{x_n\}\) es convergente, el número \(x\) al que converge la sucesión es único (o sea, una sucesión no puede converger a dos números distintos). Esto no es difícil de demostrar, pues si hubiera otro número real \(y\) al que la misma sucesión \(\{x_n\}\) también convergiera, tendríamos, según la condición anterior, que dado \(\varepsilon>0\) arbitrario, se cumplirían simultáneamente las dos siguientes condiciones:

\[\exists\,m_1\in\mathbb{N}:n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

\[\exists\,m_2\in\mathbb{N}:n\geqslant m_2\Rightarrow|y_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

Entonces, si tomamos \(n\geqslant m_1\) y \(n\geqslant m_2\) tenemos:

\[|x-y|=|x-x_n+x_n-y|\leqslant|x_n-x|+|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

de donde por ser \(\varepsilon\) un número positivo arbitrario deducimos que \(x=y\) (obsérvese que hemos utilizado esta otra propiedad del valor absoluto: \(|a+b|\leqslant|a|+|b|,\,\forall\,a,b\in\mathbb{R}\)).

Todo el razonamiento anterior nos permite introducir, por definición, el siguiente concepto.

Definición.

Si \(\{x_n\}\) es una sucesión de números reales que converge a un número real \(x\), diremos que \(x\) es el límite de la sucesión \(\{x_n\}\) y escribiremos \(\lim\,x_n=x\) como notación equivalente a \(\{x_n\}\rightarrow x\).

Ahora es el momento de ver algunos ejemplos concretos sobre el concepto de convergencia de una sucesión.

Ejemplo 1

Dado un número real y positivo \(\varepsilon\) cualquiera, el número \(\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\) es claramente natural (recuerda que, dado un número real \(x\), \(\text{E}(x)\) significa "parte entera de \(x\)"). Una de las propiedades de la parte entera nos asegura que \(\dfrac{1}{\varepsilon}<\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\). Pues bien, si escogemos el número natural \(m=\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\), ocurre que \(\dfrac{1}{\varepsilon}<m\), o lo que es lo mismo, \(\dfrac{1}{1/\varepsilon}>\dfrac{1}{m}\Rightarrow\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Por tanto, dado cualquier número natural \(n\in\mathbb{N}\) cumpliendo que \(n\geqslant m\), entonces \(\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Acabamos de demostrar que:

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow\left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}<\varepsilon\]

es decir, que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) converge a \(0\): \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\rightarrow0\), o bien, \(\lim\,\dfrac{1}{n}=0\).

Ejemplo 2

Demostremos ahora que la sucesión \(\{n\}\) no es convergente. Razonaremos por reducción al absurdo. Si existiera \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\{n\}\rightarrow x\), entonces:

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow x-\varepsilon<n<x+\varepsilon\]

pero esto es absurdo pues \(\mathbb{N}\) no está mayorado. Así pues la sucesión \(\{n\}\) no es convergente.

Ejemplo 3

La sucesión \(\{(-1)^n\}\) tampoco es convergente. Razonaremos también por reducción al absurdo. Supongamos que existiera \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\{(-1)^n\}\rightarrow x\). Entonces

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow|(-1)^n-x|<\varepsilon\]

Ahora consideremos tres casos.

Caso 1. \(x=0\). Entonces \(|(-1)^n|<\varepsilon\Rightarrow 1<\varepsilon\), que es una contradicción pues \(\varepsilon\) es un número real y positivo arbitrario.

Caso 2. \(x>0\). En este caso cuando \(n\geqslant m\) sea impar tendremos que

\[|(-1)^n-x|=|-1-x|=|1+x|=1+x<\varepsilon\]

Luego \(1<1+x<\varepsilon\) y vuelve a haber una contradicción.

Caso 3. \(x<0\). En este caso cuando \(n\geqslant m\) sea par tendremos que

\[|(-1)^n-x|=|1-x|=1-x<\varepsilon\]

Esto es otra vez contradictorio pues si \(x<0\), entonces \(-x>0\) y \(1-x>1\).

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\{(-1)^n\}\) no es convergente. Los términos de esta sucesión son \(\{-1,1,-1,1,-1,1,\ldots\}\). Obsérvese que si tomamos siempre \(n\) impar la sucesión se convierte en la sucesión \(\{-1\}\), constantemente igual a \(-1\); y que si tomamos siempre \(n\) par la sucesión se convierte en la sucesión \(\{1\}\), constantemente igual a \(1\). Ambas sucesiones son convergentes por ser constantes, la primera a \(-1\) y la segunda a \(1\). Esto no es ninguna tontería. Una sucesión \(\{x_n\}\) es constante si \(\{x_n\}=\{k\},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), donde \(k\) es un número real cualquiera. Es muy fácil demostrar que \(\{x_n\}=\{k\}\rightarrow k\). Volviendo a lo anterior, \(\{(-1)^n\}\) no es convergente, pero contiene dos "subsucesiones" convergentes. El concepto de subsucesión o sucesión parcial de una sucesión lo veremos en otro artículo dedicado a las sucesiones convergentes y sus propiedades.

Ejemplo 4

Demostraremos finalmente que la sucesión \(\{x_n\}=\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\) es convergente. Para poder demostrarlo deberemos de "intuir" el posible límite. El conjunto de los términos de esta sucesión es

\[\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,\ldots\}=\left\{1,\frac{4}{5},\frac{9}{11},\frac{16}{19},\frac{25}{29},\ldots\right\}\]

términos que, aparentemente, se "acercan" cada vez más al número \(1\) (lo que sugiere que éste sea el límite de la sucesión). Entonces debemos acotar la expresión \(|x_n-1|\). Para ello, como en el ejemplo número 1, dado un número real y positivo \(\varepsilon\) cualquiera, tomemos \(m=\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\). Ya hemos visto que \(\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Entonces, dado \(n\in\mathbb{N}\) cumpliendo que \(n\geqslant m\), tenemos:

\[|x_n-1|=\left|\frac{n^2}{n^2+n-1}-1\right|=\left|\frac{1-n}{n^2+n-1}\right|=\]

\[=\frac{n-1}{n^2+n-1}\leqslant\frac{n-1}{n^2-1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\]

Lo anterior demuestra que la sucesión \(\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\) es convergente y que \(\lim\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}=1\).

 

El alumno de bachillerato advertirá que el cálculo del límite de la sucesión del ejemplo anterior se podría llevar a cabo usando las técnicas del cálculo de límite de funciones, es decir, calculando el límite cuando \(x\) tiende a "más infinito" de la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2+x-1}\):

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2+x-1}\]

Según las técnicas de cálculo de límites mencionadas rápidamente se sabe que el límite anterior es igual a 1 (límite en el infinito de una función racional en el que los grados de numerador y denominador coinciden: el límite es el cociente de los coeficientes líderes). Esto nos llevará, naturalmente, a pensar que \(\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\rightarrow1\).

Pero es justo al contrario. Las técnicas de cálculo de límites de funciones reales de variable real se demuestran usando previamente el concepto de convergencia de una sucesión de números reales. De hecho, para definir el concepto de límite funcional, hemos de usar el concepto de sucesión convergente. Sin embargo, en el actual bachillerato, se aprende antes a calcular límites de funciones que de sucesiones, y ello sin ni siquiera conocer con cierto rigor el concepto de límite. Este artículo ha pretendido arrojar luz sobre el significado de límite en matemáticas. Y para ello, quizás lo más adecuado sea empezar por el concepto de sucesión convergente.


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Comparando infinitos. Infinitésimos equivalentes

Comparación de infinitos

A veces es muy útil para el cálculo de límites, tanto en un punto como en el infinito, comparar el carácter de distintas funciones elementales conocidas con el objetivo de que el cálculo de límite sea más fácil de hacer.

Normalmente, si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\pm\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\pm\infty\), se dice que \(f(x)\) es un infinito de orden superior a \(g(x)\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty\) o, lo que es lo mismo, si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}=0\).

La siguiente proposición nos muestra un resultado muy interesante que no demostraremos aquí aunque, como se ha dicho más arriba, es de una tremenda utilidad para el cálculo de límites.

Proposición

Sean \(a\in\mathbb{R}^+\) y \(f\), \(g\), \(h\) \(:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones definidas por:

\[f(x)=\frac{\ln x}{x^a}\quad\text{,}\quad g(x)=\frac{x^a}{\text{e}^x}\quad\text{,}\quad h(x)=\frac{\text{e}^x}{x^x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\]

Entonces

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}h(x)=0\]

En la proposición se ha tomado \(\mathbb{R}^+\) como el conjunto donde el expontente \(a\) de la función potencial \(x^a\) toma valores (esto quiere decir que \(x^a\) puede ser una raíz, o algo tan aparentemente extraño como \(x^{\sqrt{2}}\) o \(x^{\pi}\). También se ha tomado \(\mathbb{R}^+\) como el conjunto de definición de cada una de las funciones anteriores, precisamente para que las funciones \(\ln x\) y \(x^x\) tengan sentido (si una función tiene la variable en el exponente, trabajaremos con funciones cuya base sea mayor que cero). Obsérvese también que cada uno de los límites anteriores es, en principio, una indeterminación del tipo "infinito partido por infinito".

Pues bien, la proposición anterior viene a decir que la función \(x^x\) es un infinito de orden superior que la función exponencial \(e^x\), que la función exponencial \(e^x\) es un infinito de orden superior que la función potencial \(x^n\) y que la función potencial \(x^n\) es un infinito de orden superior que la función logarítmica \(\ln x\). Dicho de otra manera, si \(x\rightarrow+\infty\) la función que "más rápido crece" es la función \(x^x\), seguida de la función exponencial \(e^x\), a la que le sigue la función potencial \(x^a\), y seguida por último de la función logarítmica \(\ln x\).

También son muy útiles las siguientes reglas.

  • Dadas dos potencias de \(x\) (y aquí entran las expresiones del tipo \(x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}\)), la de mayor exponente es un infinito de orden superior. Por ejemplo, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt[4]{x^5}}{3x}=0\).
  • Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que \(1\), la de mayor base es un infinito de orden superior. Por ejemplo, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3^x}{5\cdot2^x}=+\infty\).
  • Cualquier función exponencial de base mayor que \(1\) es un infinito de orden superior que cualquier función potencial. Por ejemplo \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1,2^x}{9x^{25}}=+\infty\).
  • Tanto las funciones exponenciales de base mayor que \(1\), como las funciones potenciales son infinitos de orden superior que cualquier función logarítmica.
  • Dos polinomios del mismo grado o dos potencias de la misma base on infinitos del mismo orden. Para calcular el límite deberemos transformar la función. Por ejemplo \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2^{2x+3}}{4^{x-1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{8\cdot4^x}{4^{-1}\cdot4^x}=32\) (¡haz las cuentas y verás!).
  • Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es el del sumando de mayor orden. Por ejemplo \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(2^x-x^2)=\lim_{x\rightarrow+\infty}2^x=+\infty\).

Infinitésimos equivalentes

Dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) se denominan equivalentes en \(x=a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\), y se escribe \(f(x)\sim g(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\).

Diremos también que una función \(f(x)\) se denomina infinitesimal en \(x=a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0\). Por ejemplo, \(f(x)=3x^4\) es infinitesimal en \(0\) y \(f(x)=\cos(\pi-x)\) es infinitesimal en \(\pi/2\).

Diremos tabmién que dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) son infinitésimos equivalentes en \(x=a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0\), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\). Se escribe \(f(x)\sim g(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\).

Por último, dadas dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) infinitesimales en cierto \(x=a\), diremos que \(g(x)\) es un infinitésimo de orden mayor que  \(f(x)\) en \(x=a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{g(x)}{f(x)}=0\) y se escribe \(g(x)=o(f(x))\) cuando \(x\) tiende a \(a\). Por ejemplo, la función \(x^2\) es un infinitésimo de orden mayor que \(x\) en \(x=0\), es decir, \(x^2=o(x)\), y la función \(x^3\) es un infinitésimo de orden mayor que \(x^{5/2}\) en \(x=0\), o sea, \(x^3=o(x^{5/2})\). Además se tiene que:

  1. Para todo \(m\in\mathbb{R}\), \(m\cdot o(x)=o(x)\).
  2. La suma de un número finito de infinitésimos equivalentes es un infinitésimo.
  3. El producto de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo de orden superior.

Bueno, una vez introducidas estas nociones daremos otro resultado que será también una regla muy práctica para el cálculo de límites, entre otras cosas.

Proposición

Si \(x\) tiende a \(0\), entonces:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\Rightarrow\text{sen}\,x\sim x\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{tg}\,x}{x}=1\Rightarrow\text{tg}\,x\sim x\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{arcsen}\,x}{x}=1\Rightarrow\text{arcsen}\,x\sim x\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{arctg}\,x}{x}=1\Rightarrow\text{arctg}\,x\sim x\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2/2}=1\Rightarrow1-\cos x\sim \dfrac{x^2}{2}\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{\alpha x}=1\Rightarrow(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{e}^x-1}{x}=1\Rightarrow\text{e}^x-1\sim x\quad\text{;}\quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{b^x-1}{x\ln b}=1\Rightarrow b^x-1\sim x\ln b\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\Rightarrow\ln(1+x)\sim x\quad\text{;}\quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\log_b(1+x)}{x}=1\Rightarrow\log_b(1+x)\sim x\log_b\text{e}\).

En general se puede susituir \(x\) por una función \(h(x)\) siempre que \(h(x)\rightarrow0\).

Para poner de manifiesto el uso de la proposición anterior vamos a calcular como ejemplo los siguientes límites.

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{\text{tg}(x^2-1)}{x-1}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{2^{x-1}-1}{x-1}\)

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1/2}\frac{\ln(4x-1)}{2x-1}\)

d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln x}{x^2+2x-3}\)

En primer lugar observemos que en cada uno de los cuatro límites anteriores se trata de resolver la indeterminación "cero partido por cero". Usaremos pues la estrategia de infinitésimos equivalentes.

a) Cuando \(x\rightarrow1\), \((x^2-1)\rightarrow0\), es decir, si \(x\rightarrow1\) entonces \(\text{tg}(x^2-1)\sim (x^2-1)\). Por tanto:

\[\lim_{x\rightarrow1}\frac{\text{tg}(x^2-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}(x+1)=2\]

b) Al igual que en el apartado a), cuando \(x\rightarrow1\), \((x-1)\rightarrow0\), es decir, si \(x\rightarrow1\) entonces \(2^{x-1}-1\sim (x-1)\ln2\). Por tanto:

\[\lim_{x\rightarrow1}\frac{2^{x-1}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)\ln2}{x-1}=\ln2\]

c) En este caso, cuando \(x\rightarrow1/2\), \((x-1/2)\rightarrow0\) y también que \((4x-2)\rightarrow0\), por tanto, si \(x\rightarrow1/2\) tenemos que \(\ln(4x-1)=\ln(1+4x-2)\sim4x-2\). Entonces:

\[\lim_{x\rightarrow1/2}\frac{\ln(4x-1)}{2x-1}=\lim_{x\rightarrow1/2}\frac{4x-2}{2x-1}=\lim_{x\rightarrow1/2}\frac{2(2x-1)}{2x-1}=2\]

d) Por un proceso anteriormente repetido, como \(x\rightarrow1\), entonces \((x-1)\rightarrow0\), es decir, si \(x\rightarrow1\) tenemos que \(\ln x=\ln(1+x-1)\sim x-1\). Por tanto:

\[\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln x}{x^2+2x-3}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln(1+x-1)}{x^2+2x-3}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{4}\]

Desde luego, cualquiera de los límites anteriores se pueden calcular usando la regla de L'Hôpital, pero hemos creído oportuno hablar en este artículo de la comparación de infinitos y de los infinitésimos equivalentes como una estrategia más en el cálculo de límites.

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Resolviendo algunas indeterminaciones. Límites funcionales de interés (I)

Se ha demostrado en un artículo anterior que

\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\text{e}\quad(1)\]

La demostración la puedes ver aquí. Es más, en realidad se ha demostrado un resultado más general:

\[f(x)\rightarrow\pm\infty\Rightarrow\left(1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\rightarrow\text{e}\quad(2)\]

Si en la expresión \((2)\) hacemos el cambio de variable \(h(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) entonces, como \(f(x)\rightarrow\pm\infty\), tenemos que \(h(x)\rightarrow0\), con lo que obtenemos el siguiente resultado equivalente:

\[h(x)\rightarrow0\Rightarrow\left(1+h(x)\right)^{\frac{1}{h(x)}}\rightarrow\text{e}\quad(3)\]

Supongamos ahora que deseamos estudiar el carácter de la función \(f(x)^{g(x)}\) bajo las hipótesis de que \(f(x)\rightarrow1\) y de que \(g(x)\rightarrow\pm\infty\), es decir, deseamos resolver en general la indeterminación del tipo \(1^\infty\). La idea es obtener una expresión equivalente para \(f(x)^{g(x)}\) de tal manera que la indeterminación del tipo \(1^\infty\) se convierta en otra del tipo \(0\cdot\infty\).

Observemos:

\[f(x)^{g(x)}=\left(1+(f(x)-1)\right)^{g(x)}=\left[\left(1+(f(x)-1)\right)^{\frac{1}{f(x)-1}}\right]^{g(x)(f(x)-1)}\quad(4)\]

Como \(f(x)\rightarrow1\), entonces claramente \(\left(f(x)-1\right)\rightarrow0\), y por el resultado \((3)\) tenemos que

\[\left(1+(f(x)-1)\right)^{\frac{1}{f(x)-1}}\rightarrow\text{e}\]

con lo que podemos afirmar que las implicaciones hacia la derecha de las siguientes equivalencias son ciertas:

\[g(x)(f(x)-1)\rightarrow L\Longleftrightarrow f(x)^{g(x)}\rightarrow\text{e}^L\]
\[g(x)(f(x)-1)\rightarrow+\infty\Longleftrightarrow f(x)^{g(x)}\rightarrow\text{e}^{+\infty}=+\infty\]
\[g(x)(f(x)-1)\rightarrow-\infty\Longleftrightarrow f(x)^{g(x)}\rightarrow\text{e}^{-\infty}=0\]

Tomando logaritmos en la expresión \((4)\) tenemos

\[\ln f(x)^{g(x)}=g(x)(f(x)-1)\ln(1+(f(x)-1))^{\frac{1}{f(x)-1}}\]

con lo que

\[g(x)(f(x)-1)=\frac{\ln f(x)^{g(x)}}{\ln(1+(f(x)-1))^{\frac{1}{f(x)-1}}}\quad(5)\]

De esta última igualdad se pueden demostrar fácilmente las implicaciones hacia la izquierda de las equivalencias anteriores.

Observemos que las implicaciones hacia la derecha de tales equivalencias permiten resolver la indeterminación del tipo \(1^\infty\) resolviendo una del tipo \(0\cdot\infty\).

La fórmula

\[f(x)^{g(x)}=\text{e}^{g(x)\ln f(x)}\quad(6)\]

permite hacer lo mismo, pero la expresión \(g(x)(f(x)-1)\) es usualmente más fácil de tratar que la expresión \(g(x)\ln f(x)\).

Hagamos algunos límites funcionales que sirvan como ejemplo del desarrollo teórico anterior.

Calcular los siguientes límites:

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\left(2x-\dfrac{3x-1}{x+1}\right)^{\dfrac{1}{x-1}}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{1/x}\)

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\ln(3x-2)}{x-1}\)

d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}(\cos x)^{1/\text{sen}\,x}\)

a) Se trata de una indeterminación del tipo \(1^\infty\). Tomando \(f(x)=2x-\dfrac{3x-1}{x+1}\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x-1}\) tenemos que

\[g(x)(f(x)-1)=\dfrac{1}{x-1}\left(2x-\dfrac{3x-1}{x+1}-1\right)=\frac{1}{x-1}\cdot\frac{2x^2-2x}{x+1}=\frac{2x^2-2x}{x^2-1}\]

Como

\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{2x^2-2x}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{2x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{2}{2}=1\]

Entonces

\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\left(2x-\dfrac{3x-1}{x+1}\right)^{\dfrac{1}{x-1}}=\text{e}^1=\text{e}\]

b) En este límite aparece la indeterminación \(\infty^0\). Para resolverlo usaremos la fórmula \((6)\) vista anteriormente. En este caso

\[x^{1/x}=\text{e}^{(1/x)\ln x}\]

Pero \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}\ln x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), ya que la función potencia es un infinito de orden superior que la función logaritmo.

Por tanto

\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{1/x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{(1/x)\ln x}=\text{e}^0=1\]

c) En este caso aparece una indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\). Podemos transformar esta indeterminación usando las propiedades de los logaritmos.

Obsérvese que

\[\frac{\ln(3x-2)}{x-1}=\frac{1}{x-1}\ln(3x-2)=\ln(3x-2)^{\frac{1}{x-1}}\]

Ahora hemos de calcular el límite \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}(3x-2)^{\frac{1}{x-1}}\), que es del tipo \(1^\infty\). Llamemos para ello \(f(x)=3x-2\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x-1}\). Entonces:

\[g(x)(f(x)-1)=\frac{1}{x-1}(3x-2-1)=\frac{3x-3}{x-1}\]

 

con lo que

\[\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x-3}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{3(x-1)}{x-1}=3\]

Por tanto

\[\lim_{x\rightarrow1}(3x-2)^{\frac{1}{x-1}}=\text{e}^3\]

Así pues, finalmente

\[\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln(3x-2)}{x-1}=\ln\text{e}^3=3\]

Habría otra forma de hacer este límite haciendo uso de infinitésimos equivalentes. ¿Sabrías cómo?

d) Volvemos a tener una indeterminación del tipo \(1^\infty\). Llamando \(f(x)=\cos x\) y \(g(x)=\dfrac{1}{\text{sen}\,x}\), tenemos:

\[g(x)(f(x)-1)=\frac{1}{\text{sen}\,x}(\cos x-1)=\frac{\cos x-1}{\text{sen}\,x}\]

Ahora tenemos que estudiar el carácter de \(\dfrac{\cos x-1}{\text{sen}\,x}\) cuando \(x\rightarrow0\), que es una indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\). Multiplicando numerador y denominador por \(\cos x+1\) tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-1}{\text{sen}\,x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{\text{sen}\,x(\cos x+1)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos^2 x-1}{\text{sen}\,x(\cos x+1)}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\text{sen}^2x}{\text{sen}\,x(\cos x+1)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\text{sen}\,x}{\cos x+1}=\frac{0}{2}=0\]

Por tanto

\[\lim_{x\rightarrow0}(\cos x)^{1/\text{sen}\,x}=\text{e}^0=1\]

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El número e como límite de una determinada función

Pretendemos demostrar en este artículo que el límite de la función \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\) cuando \(x\rightarrow+\infty\) es el número \(\text{e}\). Obsérvese que la función anterior no está definida en el intervalo \([-1,\,0]\) (pues en estos casos la base es negativa y nos limitamos al estudio de funciones del tipo \(f(x)^{g(x)}\) con \(f(x)\) positivo). Además, cuando \(x\rightarrow+\infty\) tenemos

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=1^{+\infty}\]

que es una de la indeterminaciones que aparecen en el cálculo de límites (hemos utilizado que \(x\rightarrow\infty\Rightarrow1/x\rightarrow0\)).

Aprovechemos este momento para comentar también que, cuando \(x\rightarrow0^+\), entonces

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{0^+}\right)^0=+\infty^0\]

que es otra indeterminación (hemos usado que \(x\rightarrow0^+\Rightarrow1/x\rightarrow+\infty\)).

En la demostración que vamos a hacer se verá que si se sustituye \(+\infty\) por \(-\infty\) el límite sigue siendo el número \(\text{e}\):

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\text{e}\]

La idea consiste en tomar una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales divergente (es decir, una sucesión cuyos términos tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\)) y demostrar que el límite de la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n} \right )^{x_n}\right\}\) es igual al número \(\text{e}\). Formalizemos esta idea.

Proposición

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión divergente de números reales. Podemos suponer sin perder generalidad que \(x_n\notin[-1,\,0],\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(1+\dfrac{1}{x_n}\) es siempre un número real positivo para todo \(n\in\mathbb{N}\). Entonces

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow \text{e}\]

Demostración

Comenzaremos probando el caso particular en que \(x_n=n,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), esto es, demostraremos que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow \text{e}\]

Usando la fórmula de la potencia de un binomio (binomio de Newton) se tiene, para todo natural \(n\), que

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\binom{n}{0}1^n\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}1^{n-1}\frac{1}{n^1}+\binom{n}{2}1^{n-2}\frac{1}{n^2}+\ldots+\binom{n}{n}1^0\frac{1}{n^n}=\]

\[=1+n\frac{1}{n}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{1}{n^3}+\ldots+\binom{n}{n}\frac{1}{n^n}=(\bigstar)\]

En un artículo dedicado a los números combinatorios aparece, al final del mismo (con su demostración), una propiedad según la cual

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

Usando esta propiedad podemos simplificar la igualdad \((\bigstar)\) obteniendo finalmente:

\[(a+b)^n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\quad(\bigstar\bigstar)\]

Teniendo en cuenta la anterior igualdad es claro que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) es creciente y que:

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leqslant1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant\text{e}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Para ello hemos usado que

\[\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\leqslant1\,,\forall\, k=1,\,2,\ldots,\,n\]

pues todos los factores menores o iguales que \(1\).

También hemos usado que, fijando \(n\in\mathbb{N}\) tenemos:

\[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant\text{e}\]

ya que la sucesión \(\{x_n\}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\) tiene como límite el número \(\text{e}\) (esto lo puedes consultar el artículo "descubiendo el número \(\text{e}\)").

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) tiene límite (ya que es creciente y todos sus términos están acotados por el número \(\text{e}\)). Además por la misma razón, su límite, \(l\), verifica \(l\leqslant\text{e}\).

Aplicando también la igualdad \((\bigstar\bigstar)\) se tiene que si \(n\), \(p\) son números naturales cualesquiera,

\[\left(1+\frac{1}{n+p}\right)^{n+p}\geqslant1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{p!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right)\]

Para \(p\) fijo, la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+p}\right\}\) converge a \(l\) (es la misma que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) sólo que le faltan los primeros términos; en el paso al límite éste, si existe, ha de ser el mismo). La sucesión que tiene por término \(n\)-ésimo la expresión que aparece en el segundo miembro de la desigualdad anterior tiene como límite

\[1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\]

Se tiene por tanto

\[l\geqslant1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\]

lo que imjplica que \(l\geqslant\text{e}\). Como antes habíamos demostrado que \(l\leqslant\text{e}\), tenemos por tanto que \(l=\text{e}\), tal y como queríamos.

Bien, hemos sudado un poco, pero ya hemos demostrado que, efectivamente, \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow \text{e}\). De aquí, y haciendo uso de que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) tiene límite igual a \(0\), se deduce que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}=\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}\rightarrow \text{e}\]

También se deduce que

\[\left\{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\right\}=\left\{\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\displaystyle\frac{n}{n+1}}\right\}\rightarrow\text{e}\]

Hemos utilizado que el límite de la sucesión \(\left\{\dfrac{n}{n+1}\right\}\) es igual a \(1\).

Las dos afirmaciones anteriores las vamos a escribir, equivalentemente, de otra manera. Si tomamos un número real cualquiera \(\varepsilon>0\), por pequeño que sea, podemos escribir todos los términos de las dos sucesiones anteriores a partir de uno de ellos, entre \(\text{e}-\varepsilon\) y \(\text{e}+\varepsilon\). O sea que existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces:

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<\text{e}+\varepsilon\quad(1)\]

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\text{e}+\varepsilon\quad(2)\]

Vamos a demostrar ahora que dada una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales que tienda a \(+\infty\), entonces la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\) tiene como límite el número \(\text{e}\). Para ello haremos uso de las expresiones \((1)\) y \((2)\) anteriores y, para cada \(\varepsilon>0\), del número natural \(m\) para el que se cumplen.

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\), y sea \(\{k_n\}=\{\text{E}(x_n)\}\) (la sucesión parte entera de la sucesión \(\{x_n\}\)). Claramente \(\{k_n\}\rightarrow+\infty\). Pongamos esto de otra manera. Que la sucesión \(\{k_n\}\) tienda a más infinito quiere decir que todos los términos de la sucesión a partir de uno ellos es mayor o igual que \(m\), donde \(m\) es el natural con el que hemos estado trabajando anteriormente. Es decir

\[\exists\,p\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant p\Rightarrow k_n\geqslant m\]

Además como \(k_n\) es un número natural, para \(n\geqslant p\), se cumplen en particular \((1)\) y \((2)\), con lo cual

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}<\text{e}+\varepsilon\]

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\text{e}+\varepsilon\]

Por otra parte se tiene para \(n\geqslant p\) que el natural \(k_n\) verifica \(k_n\leqslant x_n<k_n+1\) (esta es una de las propiedades de la parte entera de un número real), y de aquí es fácil deducir que \(1+\dfrac{1}{k_n+1}<1+\dfrac{1}{x_n}\leqslant1+\dfrac{1}{k_n}\), y de aquí también que

\[\left(1+\dfrac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\left(1+\dfrac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}\]

Enlazando la doble desigualdad anterior de manera conveniente con las anteriores desigualdades \((1)\) y \((2)\), obtenemos:

\[n\geqslant p\Rightarrow \text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\text{e}+\varepsilon\]

lo que demuestra lo que queríamos, es decir, que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) cuando \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\).

Para finalizar vamos a comprobar exactamente lo anterior cuando la sucesión tiende a "menos infinito", es decir, que si \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\), entonces también \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\). Para ello bastará hacer un cambio de variable.

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\) y sea \(y_n=-x_n-1,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\) (obsérvese que claramente \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)). Es prácticamente inmediato comprobar que (¡hazlo, inténtalo!)

\[\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}=\left(1+\frac{1}{y_n}\right)^{y_n}\left(1+\frac{1}{y_n}\right)\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Lo anterior, junto con el hecho de que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{y_n}\right)^{y_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) (recuérdese que \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)), implica que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\]

tal y como queríamos demostrar.

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Descubriendo el número e

Antes de leer este artículo, en el que vamos a demostrar la existencia de un número irracional como límite de una determinada sucesión (el número \(\text{e}\)), se recomienda hacer una lectura atenta de este otro: "Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión".

Proposición

Consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) de números reales definida por:

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

a)  \(\{x_n\}\) es convergente (es decir, tiene límite real). Su límite es por definición el número real \(\text{e}\).

b)  \(0<\text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\).

c)  \(\text{e}\) es irracional.

Demostración:

a) Evidentemente \(\{x_n\}\) es creciente (si \(n,\,m\,\in\mathbb{N}\) con \(n\leqslant m\), entonces \(x_n\leqslant x_m\)). Además

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+1+1-\frac{1}{2^{n-1}}<3\qquad(1)\]

Hemos utilizado que la expresión

\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\]

es la suma de los \(n-1\) primeros términos de la progresión geométrica \(\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}=\left\{\dfrac{1}{2^n }\right\}\). Por tanto:

\[S=\frac{\frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{n-1}}-1 \right )}{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}\]

También se ha hecho uso de la desigualdad \(k!\geqslant 2^{k-1},\,\forall\,k\in\mathbb{N}\), que se demuestra fácilmente por inducción (ver ejercicio resuelto c) al final de este artículo dedicado al principio de inducción).

Por tanto \(\{x_n\}\) es convergente por tratarse de una sucesión creciente y mayorada (tiene una cota superior: el número \(3\)).

La desigualdad \((1)\) implica que

\[|x_{n+1}-x_n|\leqslant\frac{1}{2^n},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

lo que prueba también que \({x_n}\) es covergente pues la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión es menor o igual que \(\dfrac{1}{2^n}\), sucesión cuyo límite es cero (la demostración general de este hecho la puedes ver en el siguiente artículo: Sucesiones de Cauchy. Teorema de complitud de \(\mathbb{R}\)).

b) Para \(p\in\mathbb{N}\), \(n\in\mathbb{N}\), se tiene

\[0\leqslant x_{n+p}-x_p=\frac{1}{(p+1)!}+\frac{1}{(p+2)!}+\ldots+\frac{1}{(p+n)!}=\]

\[=\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\ldots+\frac{1}{(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}\right)\leqslant\]

\[\leqslant\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(p+1)^n}\right)=\]

\[=\frac{1}{p!}\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p!p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)<\frac{1}{p!p}\]

de donde, como para \(p\) fijo, la sucesión \(\{x_{n+p}\}\) converge al número \(\text{e}\), tenemos \(0\leqslant \text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p},\,\forall\,p\in\mathbb{N}\). Además, por ser \(x_p<x_{p+1}\leqslant \text{e}\), la primera de las desigualdades es estricta. Por cierto, es claro que si el límite de \(\{x_n\}\) es el número \(\text{e}\), también lo será de la sucesión \(\{x_{n+p}\}\), pues para \(p\) fijo solamente prescindimos de algunos términos iniciales de la sucesión \(\{x_n\}\).

Obsérvese también que para demostrar este apartado se ha utilizado que \(\left\{\dfrac{1}{(p+1)^n}\right\}\) es una progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{p+1}\) y, por tanto, la suma \(\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\dfrac{1}{(p+1)^n}\) de los \(n\) primeros términos es

\[\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}\]

La demostración de la igualdad

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)\]

la dejamos para el lector (¡es muy fácil!).

c) Supongamos que \(\text{e}\) fuese racional y pongamos \(\text{e}=\dfrac{m}{n}\) con \(m\) y \(n\) naturales y \(n>1\). Entonces, tomando \(p=n\) en el apartado b) tenemos

\[0<\frac{m}{n}-x_n\leqslant\frac{1}{n!n}\]

de donde, multiplicando todos los miembros de la desigualdad por \(n!\)

\[0<m(n-1)!-x_nn!\leqslant\frac{1}{n}<1\]

lo cual es absurdo, ya que \(m(n-1)!-x_nn!\) es un número entero.

Como de la suposición de que \(\text{e}\) es un número racional obtenemos una contradicción, la suposición ha de ser falsa y, entonces, \(\text{e}\) es irracional (ver demostración por reducción al absurdo).

Bien, ya hemos demostrado lo que queríamos. Obsérvese que la parte b) de la proposición permite obtener tantas cifras del número \(\text{e}\) como se desee. Por ejemplo, tomando \(p=12\), se obtiene fácilmente que

\[2,718281\leqslant \text{e}<2,718282\]

y por tanto podemos escribir \(\text{e}=2,718281\ldots\).

Aquí tienes también lo que dice la Wikipedia sobre el número \(\text{e}\).

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Aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de hipérbolas infinitas

Consideremos la función \(y=\dfrac{1}{x^2}\), definida en el intervalo \([0,5\,,\,+\infty)\). Su gráfica es la siguiente:

cuadrando hiperbolas 01

 El área limitada por la curva anterior, el eje \(X\) y la recta \(x=\dfrac{1}{2}\) se puede ver representada en la figura dada a continuación.

cuadrando hiperbolas 02 Con una suficiente formación en análisis matemático, se puede hallar el área anterior mediante el cálculo de la integral impropia

\[\int_{1/2}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\]

De hecho, si llamamos \(A\) al área mencionada se tiene que

\[A=\int_{1/2}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)-\lim_{x\rightarrow1/2}\left(-\frac{1}{x}\right)=0-\left(-\frac{1}{1/2}\right)=2\]

Pierre Fermat (1601-1665), abogado de profesión pero matemático vocacional, contribuyó al desarrollo del álgebra, de la geometría, del cálculo diferencial e integral, de la teoría de números y del cálculo de probabilidades. En vida de Fermat sus investigaciones circulaban preferentemente en forma de cartas. Sus obras completas fueron publicadas en 1679 por su hijo mayor Clément-Samuel.

Fermat escribió sobre el cálculo del área mencionada más arriba. En general, escribió sobre la aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de parábolas e hipérbolas infinitas. Demostró que todas las hipérbolas infinitas, excepto la de Apolonio (\(x\cdot y=a^2\)), se pueden cuadrar por el método de la progresión geométrica de acuerdo con un procedimiento uniforme y general.

Cuadrar significa que el área de la figura es igual al área de una determinada figura cuadrangular (un cuadrado o un rectángulo).

Veamos, con la notación actual, o sea, con el lenguaje matemático moderno, el proceso que siguió Fermat para calcular el área \(A\) encerrada por la gráfica de nuestra hipérbola \(\dfrac{1}{x^2}\), la recta vertical \(x=\dfrac{1}{2}\) y el eje \(X\).

Observemos la siguiente figura.

cuadrando hiperbolas 03

Es fácil darse cuenta de que las abscisas \(0,5\), \(1\), \(2\), \(4\), \(8\),\(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(2\) (es decir, cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por \(2\)).

Por otro lado, las ordenadas de los puntos de la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\) correspondientes a las abscisas anteriores: \(4\), \(1\), \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{16}\), \(\dfrac{1}{64}\), \(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{4}\).

Además las áreas de los rectángulos trazados (circunscritos a la curva): \(2\), \(1\), \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{4}\), \(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{2}\), que es menor que \(1\).

Se sabe que la suma \(S\) de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que \(1\) es

\[S=\frac{a_1}{1-r}\]

donde \(a_1\) es el primer término de la progresión y \(r\) la razón de la misma.

Consecuentemente, la suma \(S\) de las áreas de los infinitos rectángulos de este tipo es igual a

\[S=\frac{2}{\displaystyle1-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{1/2}=4\]

Es decir, \(4\) es la suma de las áreas de los infinitos rectángulos circunscritos a la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\). Área claramente superior al área que buscamos. Véase la figura siguiente:

cuadrando hiperbolas 04

En general, si \(r>1\), las abscisas \(a\), \(ar\), \(ar^2\), \(ar^3\), \(ar^4\),\(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(r\). Las ordenadas de los puntos de la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\) correspondientes a las abscisas anteriores: \(\dfrac{1}{a^2}\), \(\dfrac{1}{a^2r^2}\), \(\dfrac{1}{a^2r^4}\), \(\dfrac{1}{a^2r^6}\),\(\ldots\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{r^2}\).

Calculemos, en general, las áreas de los cuatro primeros rectángulos que las vamos a llamar, respectivamente, \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) y \(S_4\) (ni que decir tiene que el área de un rectángulo es lado por lado, o base por altura).

\[S_1=(ar-a)\frac{1}{a^2}=\frac{r-1}{a}\quad\text{;}\quad S_2=(ar^2-ar)\frac{1}{a^2r^2}=\frac{r-1}{ar}\]

\[S_3=(ar^3-ar^2)\frac{1}{a^2r^4}=\frac{r-1}{ar^2}\quad\text{;}\quad S_4=(ar^4-ar^3)\frac{1}{a^2r^6}=\frac{r-1}{ar^3}\]

De lo anterior se deduce que las áreas de los rectángulos circunscritos a la curva \(y=\dfrac{1}{x^2}\) están en progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{r}<1\) (habíamos supuesto \(r>1\)).

Por tanto, la suma \(S\) de las áreas de los infinitos rectángulos de este tipo es igual a

\[S=\frac{\displaystyle\frac{r-1}{a}}{1-\displaystyle\frac{1}{r}}=\frac{\displaystyle\frac{r-1}{a}}{\displaystyle\frac{r-1}{r}}=\frac{r}{a}\]

Resulta claro que cuando \(r\) toma valores muy próximos a \(1\), entonces las longitudes de las bases de los rectángulos tienden a cero, y la diferencia entre \(S\) y nuestra área \(A\), que queremos calcular, es tan pequeña como se desee. En otras palabras:

\[A=\lim_{r\rightarrow1}S=\lim_{r\rightarrow1}\frac{r}{a}=\frac{1}{a}\]

Pero resulta que \(\dfrac{1}{a}=a\cdot\dfrac{1}{a^2}\), con lo que el resultado anterior pone de manifiesto que el área indefinida limitada por la gráfica de la función \(y=\dfrac{1}{x^2}\), la recta \(x=a\) y el eje de abscisas, es igual a la del rectángulo de lados \(a\) y \(\dfrac{1}{a^2}\), es decir, hemos "cuadrado" el área \(A\). En nuestro caso particular, como \(a=\dfrac{1}{2}\), entonces

\[A=a\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot4=2\]

tal y como se puede apreciar en la figura siguiente, donde \(A=\dfrac{1}{2}\cdot4\) es justo el área del rectángulo de color gris.

cuadrando hiperbolas 05

¡El área del rectángulo es igual que el área bajo la hipérbola! ¿A que no deja de sorprender?

El problema anterior da una idea de cómo se introduce el concepto de integral definida. Una integral definida es un área, el área comprendida entre la gráfica de una función, dos rectas verticales y el eje de abscisas. El cálculo de esta área se hace en general como hemos hecho aquí, tomando “rectángulos circunscritos” a la gráfica de la función, y haciendo la base cada vez más pequeña, con lo que el área se reduce al cálculo de un límite (llamado también suma integral). Lo curioso (y sorprendente) es la relación que existe entre la integral y la derivada, pero eso será cuestión de otro artículo. 

La potencia de la notación matemática actual hace que el problema sea mucho menos farragoso comparado con la forma en que lo resolvió Fermat utilizando la notación matemática de su época, mucho menos avanzada. Una demostración se puede ver en el libro Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros (Editorial Almuzara), cuyo autor es Vicente Meavilla. De hecho, este artículo está inspirado en la sexta lección de este libro.

El uso adecuado del lenguaje matemático, de la notación matemática, es de una importancia decisiva en la resolución de problemas. El avance en la simbología y en la notación matemática hace que los problemas matemáticos (y no tan matemáticos) sean más fáciles de atacar.

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Otros 5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

Ejercicio 1

Sea la siguiente función

\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x+3a}{10}&\text{si}&x<0\\\displaystyle\frac{2x+1}{7x+5}&\text{si}& 0\leq x\leq1\\\displaystyle\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}&\text{si}&x>1\end{cases}\]

Hallar el valor de \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\). Estudiar la continuidad de \(f\) en \(x=1\).

\[\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{x+3a}{10}=\frac{3a}{10}\\\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{2x+1}{7x+5}=\frac{1}{5}=f(0)\end{cases}\]

Entonces, para que \(f\) sea continua en \(x=0\) debe de ocurrir que

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=f(0)\]

Por tanto:

\[\frac{3a}{10}=\frac{1}{5}\Rightarrow a=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\]

Estudiemos ahora la continudad de la función en \(x=1\).

Por un lado:

\[\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{2x+1}{7x+5}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\]

Por otro lado:

\[\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}\]

Como los límites laterales son iguales, entonces existe el límite: \(\displaystyle\lim{x\rightarrow1}f(x)=\dfrac{1}{4}\). Además \(f(1)=\dfrac{1}{4}\). Por tanto \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}f(x)=f(1)=\dfrac{1}{4}\), y \(f\) es continua en \(x=1\).

Ejercicio 2

Calcular los siguientes límites:

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-12x^2+7x+1}{(2x+1)(1-4x)}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x+1}\right)\) ;

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)\) ; d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x}}{x-1}\)

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-12x^2+7x+1}{(2x+1)(1-4x)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-12x^2+7x+1}{-8x^2-2x-1)}=\dfrac{-12}{-8}=\dfrac{1}{4}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x+1}\right)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2(x+1)-3x}{x(x+1)}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=-\infty\)

Pero es más fácil hacerlo así: \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x+1}\right)=-\infty-3=-\infty\)

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)=\left[\infty-\infty\right]\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\right)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\)

\(=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2+x-x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\dfrac{2}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1\)

d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x}}{x-1}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x(x-1)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(x\sqrt{x}-1)(x\sqrt{x}+1)}{x(x-1)(x\sqrt{x}+1)}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3-1}{x(x-1)(x\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x(x-1)(x\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x+1}{x(x\sqrt{x}+1)}=\dfrac{3}{2}\)

Ejercicio 3

De la función siguiente calcular el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. Hacer una representación gráfica aproximada de la misma.

\[f(x)=\frac{x^3-27}{x^2-2x-15}\]

Las soluciones de \(x^2-2x-15=0\) son \(x=-3\) y \(x=5\). Por tanto \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-3\,,\,5\}\).

\(\dfrac{x^3-27}{x^2-2x-15}=0\Rightarrow x^3-27=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=\sqrt[3]{27}=3\). Por tanto el punto de corte con el eje \(X\) es \((3\,,\,0)\).

\(\dfrac{0^3-27}{0^2-2\cdot0-15}=\dfrac{-27}{-15}=\dfrac{9}{5}\), lo que quiere decir que el punto de corte con el eje \(Y\) es \(\left(0\,,\,\dfrac{9}{5}\right)\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-3}\dfrac{x^3-27}{x^2-2x-15}=\left[\dfrac{-54}{0}\right]=\begin{cases}-\infty&si&x\rightarrow-3^-\\+\infty&si&x\rightarrow-3^+\end{cases}\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow5}\dfrac{x^3-27}{x^2-2x-15}=\left[\dfrac{98}{0}\right]=\begin{cases}-\infty&si&x\rightarrow5^-\\+\infty&si&x\rightarrow5^+\end{cases}\)

De lo anterior se deduce que \(x=-3\) y \(x=5\) son asíntotas verticales de la función.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3-27}{x^2-2x-15}=\begin{cases}+\infty&si&x\rightarrow+\infty\\-\infty&si&x\rightarrow-\infty\end{cases}\), lo que quiere decir que \(f\) no tiene asíntotas horizontales.

Al dividir \(x^3-27\) entre \(x^2-2x-15\) se obtiene de cociente \(x+2\), lo que significa que \(y=x+2\) es una asíntota oblicua de la función.

Representación gráfica:

desmos 09

Ejercicio 4

Hallar, usando la definición, la derivada de la función \(f(x)=\dfrac{x-3x^2}{1-2x^2}\) en el punto \(x=1\).

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{x-3x^2}{1-2x^2}-2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{x-3x^2-2(1-2x^2)}{1-2x^2}}{x-1}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x-3x^2-2+4x^2}{(x-1)(1-2x^2)}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{(x-1)(1-2x^2)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(1-2x^2)}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x+2}{1-2x^2}=\dfrac{3}{-1}=-3\)

Entonces \(f'(1)=-3\).

Ejercicio 5

Hallar la derivada de las siguientes funciones y simplificar el resultado en la medida de lo posible.

a) \(f(x)=\dfrac{5x^2+2x^3-10x+1}{5}\)  ;  b) \(f(x)=\dfrac{x-3x^2}{1-2x^2}\)  ;

c) \(f(x)=x^2\cdot(\sqrt{x}-1)\)  ;  d) \(f(x)=\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right)\cdot x^2\)

a) \(f(x)=\dfrac{5x^2+2x^3-10x+1}{5}=\dfrac{1}{5}(5x^2+2x-10x+1)\).

Entonces \(f'(x)=\dfrac{1}{5}(10x+6x^2-10)=2x+\dfrac{6}{5}x^2-2\)

Otra forma (más enrevesada, utilizando la regla de derivación de un cociente):

\(\displaystyle f'(x)=\dfrac{(10x+6x^2-10)\cdot5-(5x^2+2x^3-10x+1)\cdot0}{5^2}=\dfrac{50x+30x^2-50}{25}=2x+\dfrac{6}{5}x^2-2\)

b) Usando otra vez la regla de derivación de un cociente tenemos:

\(f'(x)=\dfrac{(1-6x)(1-2x^2)-(x-3x^2)(-4x)}{(1-2x^2)^2}=\dfrac{1-2x^2-6x+12x^2+4x^2-12x^3}{(1-2x^2)^2}=\dfrac{2x^2-6x+1}{(1-2x^2)^2}\)

c) \(f'(x)=2x(\sqrt{x}-1)+x^2\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2x\sqrt{x}-2x+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}=\)

\(=\dfrac{4x^2-4x\sqrt{x}+x^2}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^2-4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^2\sqrt{x}-4x^2}{2x}=\dfrac{5x\sqrt{x}-4x}{2}\)

Otra forma, expresando previamente la función de otra manera equivalente.

\(f(x)=x^2\cdot(\sqrt{x}-1)=x^2\sqrt{x}-x^2=x^2\cdot x^{1/2}-x^2=x^{5/2}-x^2\Rightarrow\)

\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{3/2}-2x=\dfrac{5}{2}\sqrt{x^3}-2x=\dfrac{5x\sqrt{x}}{2}-2x=\dfrac{5x\sqrt{x}-4x}{2}\)

d) \(f(x)=\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right)\cdot x^2=\dfrac{2x^2}{x}-\dfrac{x^2}{x^3}=2x-\dfrac{1}{x}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow f'(x)=2-\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{2x^2+1}{x^2}\)

Hagámoslo de otra manera:

\(f(x)=\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right)\cdot x^2=\dfrac{2x^2-1}{x^3}\cdot x^2=\dfrac{(2x^2-1)x^2}{x^3}=\dfrac{2x^2-1}{x}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{4x\cdot x-(2x^2-1)\cdot1}{x^2}=\dfrac{4x^2-2x^2+1}{x^2}=\dfrac{2x^2+1}{x^2}\)

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5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

Ejercicio 1

Estudiar la continuidad de la siguiente función definida por trozos. En el caso de que no sea continua, decir el tipo de discontinuidad existente. Representarla gráficamente.

\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}&\text{si}&x<-2\\-2x-4&\text{si}& -2\leq x<1\\5&\text{si}& x=1\\\displaystyle\frac{-6}{2x-1}&\text{si}&x>1\end{cases}\]

\(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) salvo, quizá, en \(x=-2\) y en \(x=1\). Esto es porque cada uno de los trozos en los que está definida \(f\) son funciones polinómicas y racionales, continuas en todo su dominio de definición. Estudiemos pues la continuidad en los puntos anteriores.

\(x=-2\)

Calculemos los límites laterales.

\[\lim_{x\rightarrow-2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow-2^-}\frac{x^2-4}{x+2}=\left[\text{INDETERMINACIÓN}\ \frac{0}{0}\right]=\]

\[=\lim_{x\rightarrow-2^-}\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow-2^-}(x-2)=-4\ \ \text{;}\]

\[\lim_{x\rightarrow-2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow-2^+}(-2x-4)=0\]

Como \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2^-}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow-2^+}f(x)\), entonces no existe \(\lim_{x\rightarrow-2}f(x)\) y, por tanto, \(f\) no es continua en \(x=-2\). En tal punto hay una discontinuidad de salto finito por ser los límites laterales finitos y distintos.

\(x=1\)

Calculemos los límites laterales.

\[\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}(-2x-4)=-6\ \ \text{;}\]

\[\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{-6}{2x-1}=-6\]

Como los límites laterales son iguales y finitos, entonces existe el límite cuando \(x\) tiende a \(1\) y tiene el mismo valor:

\[\lim_{x\rightarrow1}f(x)=-6\]

Sin embargo \(f(1)=5\). Por tanto

\[\lim_{x\rightarrow1}f(x)=-6\neq f(1)=5\]

Como el límite de la función en el punto no coincide con la imagen de la función en el punto, \(f\) no es continua en \(x=1\). Hay una discontinuidad evitable en dicho punto.

Representación gráfica de la función:

desmos 07

Ejercicio 2

Calcular los siguientes límites:

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-3x^3+4x-5}{2x^2+4x-5}\)  ;  b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2-x^3+10x}{-x^2-5x-6}\)  ;

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-\sqrt{x^4-2x^2}}{-x^2+2}\)  ;  d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{1}{x}-1}{\sqrt{x}-1}\)

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-3x^3+4x-5}{2x^2+4x-5}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-3x^3}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-3x}{2}=+\infty\)

Recuerda que si \(x\rightarrow\pm\infty\) el límite de una función racional también es \(\pm\infty\). El signo del infinito dependerá de los términos de mayor grado del numerador y del denominador que son los "dominantes" en un polinomio cuando \(x\rightarrow\pm\infty\).

b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2-x^3+10x}{-x^2-5x-6}=\left[\text{INDETERMINACIÓN}\ \frac{0}{0}\right]=\quad(*)\)

En este caso, para resolver la indeterminiación, hemos de simplificar la fracción algebraica. Para ello factorizamos el polinomio del numerador y del denominador.

\((*)\quad=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{(x+2)(-x^2+5x)}{(x+2)(-x-3)}=\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{-x^2+5x}{-x-3}=\dfrac{-14}{-1}=14\)

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-\sqrt{x^4-2x^2}}{-x^2+2}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(x^2-\sqrt{x^4-2x^2})(x^2+\sqrt{x^4-2x^2})}{(-x^2+2)(x^2-\sqrt{x^4+2x^2})}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4-x^4+2x^2}{(-x^2+2)(x^2-\sqrt{x^4+2x^2})}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{(-x^2+2)(x^2-\sqrt{x^4+2x^2})}=0\)

El último límite es igual a \(0\) porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador (el grado del numerador es \(2\) y el del denominador es \(4\)). Esto ya se podía percibir en el límite de la función original, pero hemos multiplicado y dividido por el conjugado del numerador para que se se vea con más claridad.

d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{1}{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\dfrac{1-x}{x}}{\sqrt{x}-1}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x}{x\left(\sqrt{x}-1\right)}=\left[\text{INDETERMINACIÓN}\ \frac{0}{0}\right]=\quad(*)\)

Para resolver la indeterminación multiplicamos y dividimos por el conjugado de \(\sqrt{x}-1\)

\((*)\ =\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(1-x)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(1-x)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x(x-1)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{-(x-1)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x(x-1)}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{-\left(\sqrt{x}+1\right)}{x}=\dfrac{-2}{1}=-2\)

Ejercicio 3

De la función siguiente calcular el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. Hacer una representación gráfica aproximada de la misma.

\[f(x)=\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}\]

Si igualamos a cero el denominador obtenemos los números reales que no pertenecen al dominio de la función. Como las soluciones de la ecuación \(x^2-2x-3=0\) son \(x=-1\) y \(x=3\), entonces \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-1\,,\,3\}\).

Calculemos ahora los límites de la función en los puntos anteriores pues, de obtener como resultado infinito en alguno de ellos o en ambos, estos darían lugar a asíntotas verticales.

\[\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=\left[\frac{2}{0}\right]=\begin{cases}+\infty&\text{si}&x\rightarrow-1^-\\-\infty&\text{si}&x\rightarrow-1^+\end{cases}\]

\[\lim_{x\rightarrow3}\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=\left[\frac{-50}{0}\right]=\begin{cases}+\infty&\text{si}&x\rightarrow3^-\\-\infty&\text{si}&x\rightarrow3^+\end{cases}\]

De lo anterior se desprende que las rectas \(x=-1\) y \(x=3\) son asíntotas verticales. Además, las tendencias a la izquierda y a la derecha de tales puntos nos permiten dibujar las correspondientes ramas hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\) de la función.

Por otro lado, como \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=-\infty\), \(f\) no tiene asíntotas horizontales. Pero sí que sabemos que en \(-\infty\) y en \(+\infty\) la función tiene ramas infinitas. Si la función tuviera alguna asíntota oblicua esas ramas infinitas serían asintóticas. Veámoslo a continuación.

De la división del polinomio \(-2x^3+x+1\) entre el polinomio \(x^2-2x-3\) se obtiene de cociente \(-2x-4\) y de resto \(-13x-11\). Por tanto:

\[-2x^3+x+1=(x^2-2x-3)(-2x-4)+(-13x-11)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=-2x-4+\frac{-13x-11}{x^2-2x-3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}-(-2x-4)=\frac{-13x-11}{x^2-2x-3}\]

De lo anterior se deduce que \(y=-2x-4\) es una asíntota oblicua. La última de las igualdades anteriores nos indica si la rama asintótica correspondiente está por encima o por debajo de tal asíntota oblicua. Si el signo de \(\frac{-13x-11}{x^2-2x-3}\) es mayor que cero para valores "muy grandes y positivos" la rama infinita estará por encima de la asíntota oblicua; en caso contrario, si el signo es menor que cero, la rama infinita estará por debajo de la asíntota oblicua. Algo similar ocurre si al mismo cociente le damos valores "muy grandes y negativos".

Finalmente, antes de dibujar la función, hallemos los puntos de corte con los ejes.

Si resolvemos la ecuación \(-2x^3+x+1=0\) obtendremos los puntos de coordenada \(y\) igual a cero y, por tanto, los puntos de corte con el eje \(X\). La ecuación anterior tiene una raíz entera: \(x=1\), con lo que \(-2x^3+x+1=0\Leftrightarrow(x-1)(-2x^2-2x-1)=0\). La ecuación \(-2x^2-2x-1=0\) no tiene soluciones reales. Por tanto el único punto de corte con el eje \(X\) es \((1\,,\,0)\). Por otro lado, si hacemos \(x=0\) obtenemos \(y=-\dfrac{1}{3}\), con lo que el punto de corte con el eje \(Y\) es \(\left(0\,,\,-\dfrac{1}{3}\right)\).

La representación gráfica de la función es la siguiente (incluye asíntotas):

desmos 08

Ejercicio 4

Hallar, usando la definición, la derivada de la función \(f(x)=\dfrac{x^2}{3x-1}\) en el punto \(x=2\).

La derivada en \(x=2\) será igual al valor del siguiente límite, caso de existir: \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\). Es fácil calcular la imagen de \(2\): \(f(2)=\dfrac{2^2}{3\cdot2-1}=\dfrac{4}{5}\) Calculemos ya el límite anterior:

\[\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\displaystyle\frac{x^2}{3x-1}-\frac{4}{5}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\displaystyle\frac{5x^2-4(3x-1)}{5(3x-1)}}{x-2}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{5x^2-12x+4}{5(3x-1)(x-2)}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{(x-2)(5x-2)}{5(3x-1)(x-2)}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{5x-2}{5(3x-1)}=\frac{5\cdot2-2}{5(3\cdot2-1)}=\frac{8}{25}\]

Por tanto \(f'(2)=\dfrac{8}{25}\).

Ejercicio 5

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x-x^3}{3}\)  ;  b) \(f(x)=\dfrac{2-3x}{x^2-1}\)  ;

c) \(f(x)=x\cdot\left(\sqrt{x}+x\right)\)  ;  d) \(f(x)=\left(-3x+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot x\)

a) \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x-x^3}{3}=\dfrac{1}{3}(2x^2-3x-x^3)\Rightarrow\)

\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{3}(4x-3-3x^2)=\dfrac{-3x^2+4x-3}{3}=-x^2+\dfrac{4x}{3}-1\)

b) \(f(x)=\dfrac{2-3x}{x^2-1}\). Usemos la regla de derivación de un cociente.

\(f'(x)=\dfrac{-3\cdot(x^2-1)-(2-3x)\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-3x^2+3-4x+6x^2}{(x^2-1)^2}=\dfrac{3x^2-4x+3}{(x^2-1)^2}\)

c) \(f(x)=x\cdot\left(\sqrt{x}+x\right)\). Aplicamos ahora la regla de derivación de un producto.

\(f'(x)=1\cdot(\sqrt{x}+x)+x\cdot\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)=\sqrt{x}+x+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}+x=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}+2x\)

\(=\dfrac{2x+x+4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3x\sqrt{x}+4x^2}{2x}=\dfrac{3\sqrt{x}+4x}{2}\)

d) \(f(x)=\left(-3x+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot x=-3x^2+\dfrac{x}{x^2}=-3x^2+\dfrac{1}{x}\). Sabemos que la derivada de \(y=\dfrac{1}{x}\) es \(y'=-\dfrac{1}{x^2}\). Entonces \(f'(x)=-6x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{-6x^3-1}{x^2}\)

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