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La raíz cuadrada

Es muy probable que muchos estudiantes de matemáticas de secundaria y bachillerato no tengan muy claro el concepto de raíz cuadrada. Lo digo porque cuando calculamos la "raíz de cuatro" a veces escribimos \(\sqrt{4}=2\) y otras veces escribimos \(\sqrt{4}=\pm2\) ¿Por qué esta confusión? Bueno, el problema radica en saber lo que estamos haciendo en cada momento. No es lo mismo hacer un uso puramente numérico o algebraico de una raíz cuadrada (cuando se procede a simplificar una expresión númerica o algebraica en la que aparecen radicales, por ejemplo), que resolver una ecuación de segundo grado, cuya conocida fórmula contiene la raíz cuadrada.

Para intentar clarificar todo esto voy a transcribir, prácticamente igual, la sección donde se habla de todo esto, del libro Cálculo diferencial e integral de Javier Pérez González, profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada, cuya lectura recomiendo efusivamente a los alumnos que vayan a estudiar o estudien un primer curso de matemáticas en cualquier grado universitario.

Definición

Para cada número real \(x\geqslant0\), representamos por \(\sqrt{x}\) al único número mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a \(x\).

Una función aparentemente caprichosa

Acabamos de definir la función "raíz cuadrada". Si tras leer detenidamente la definición te preguntara: ¿cuál es el valor de \(\sqrt{x^2}\)? ¿Qué me responderías? Es muy posible que tu respuesta sea \(x\). ¡Pues no es correcto! Si fuera correcta tu respuesta entonces \(\sqrt{(-2)^2}=-2\) y, según la definición, la raíz cuadrada ha de ser un número mayor o igual que cero, y \(-2\) no lo es. Si se responde a la pregunta de manera meditada, verás que la respuesta correcta es \(|x|\). En efecto, se tiene que \(|x|^2=x^2\) y, además, \(|x|\geqslant0\), por tanto \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un número real positivo es una veces positiva y otras veces negativa, y muchos creen que puede tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que \(\sqrt{x^2}=\pm x=\{x,\,-x\}\). Cosas más raras se han visto. Toda esta "magia" lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es sabido que la distancia entre dos puntos del plano \((a,b)\) y \((c,d)\) viene dada por \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\). En particular, la distancia entre los puntos \((a,b)=(1,2)\) y \((c,d)=(1,3)\) es \(\sqrt{(1-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-1)^2}=-1\). ¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadrada no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de un número positivo es también un número positivo, o sea \(\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1\) (de ahí la importancia de las definiciones en matemáticas).

¿De dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando en el instituto se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) cuyas soluciones son los números

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Ahí está el problema: en el confuso símbolo \(\pm\) delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la elección del sigo \(+\), y otro negativo que corresponde a la elección del signo \(-\) en la expresión anterior. Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Veamos: cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado se obtienen las soluciones

\[\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad;\quad\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores (y me incluyo), por pereza, resumen las dos soluciones obtenidas anteriormente en la expresión única

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo, escribir \(+\sqrt{3}\) ¿Acaso escribes \(+7\)? No, sabes que \(7\) es un número positivo y parece totalmente improcedente escribir \(+7\). Entonces, ¿por qué escribir \(+\sqrt{3}\)? Porque \(\sqrt{3}\) es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que se pueda creer y no solamente entre estudiantes.

En definitiva, creo que ha quedado claro sin lugar a dudas que \(\sqrt{x^2}=|x|\) y que la raíz cuadrada no es una función caprichosa.

Por cierto si usas una calculadora, nunca te devolverá \(-2\) si haces la raíz cuadrada de cuatro. Y, cualquier programa que haga gráficas de funciones, considerará siempre la función \(\sqrt{x}\) como un número positivo (tal y como se dice en la definición). En desmos, la gráfica de \(\sqrt{x}\) es así (y en cualquier otro programa también):

raiz cuadrada 2

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Igualdades notables, completando cuadrados y resolviendo ecuaciones cuadráticas

Las igualdades o identidades notables y una técnica que utiliza éstas para completar cuadrados fue algo muy común en el pasado para resolver ecuaciones de segundo grado. El objetivo consiste en transformar la ecuación original en otra de primer grado, tras extraer una raíz cuadrada. Antes que nada recordemos las igualdades o identidades notables, en concreto el cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia.

\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\]

\[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\]

Por ejemplo:

\[(x+5)^2=x^2+5^2+2\cdot x\cdot5=x^2+10x+25\]

\[(x-4)^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot4=x^2-8x+16\]

A veces también se puede conseguir un cuadrado de una suma o de una diferencia observando con detenimiento un polinomio de segundo grado:

\[x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3)^2\]

\[4x^2-24x+36=(2x)^2-2\cdot (2x)\cdot6+6^2=(2x-6)^2\]

En general podemos completar cuadrados sumando y restando una cantidad adecuada. Veamos un par de ejemplos:

\[x^2+6x=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2-3^2=(x+3)^2-9\]

\[x^2-8x=x^2-2\cdot x\cdot4+4^2-4^2=(x-4)^2-16\]

Esta técnica es adecuada para resolver algunas ecuaciones de segundo grado sencillas. Por ejemplo, para resolver la ecuación \(x^2+6x=16\) procedemos del siguiente modo:

\[x^2+6x=16\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot3+3^2-3^2=16\Leftrightarrow (x+3)^2-9=16\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow (x+3)^2=16+9\Leftrightarrow(x+3)^2=25\Leftrightarrow\begin{cases}x+3=5\Leftrightarrow x=2\\x+3=-5\Leftrightarrow x=-8\end{cases}\]

De manera similar podemos resolver esta otra \(x^2-4x=21\):

\[x^2-4x=21\Leftrightarrow x^2-2\cdot x\cdot2+2^2-2^2=21\Leftrightarrow(x-2)^2-4=21\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(x-2)^2=21+4\Leftrightarrow(x-2)^2=25\Leftrightarrow\begin{cases}x-2=5\Leftrightarrow x=7\\x-2=-5\Leftrightarrow x=-3\end{cases}\]

En general, para resolver la ecuación \(x^2+px=q\), procedemos así:

\[x^2+px=q\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{p}{2}=q\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{p}{2}+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=q\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}=q\Leftrightarrow\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4}+q\Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2+4q}{4}}\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\frac{\sqrt{p^2+4q}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{-p\pm\sqrt{p^2+4q}}{2}\]

Ahora, si aprenderemos la fórmula, podemos resolver la ecuación anterior \(x^2+6x=16\) sin más que sustituir \(p\) por \(6\) y \(q\) por \(16\):

\[x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2+4\cdot16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+64}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{100}}{2}=\]

\[=\frac{-6\pm10}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{-6+10}{2}=\frac{4}{2}=2\\x=\frac{-6-10}{2}=\frac{-16}{2}=-8\end{cases}\]

Todo este proceso de completar cuadrados da pie a resolver la ecuación de segundo grado completa. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación \(2x^2+5x-33=0\), lo que tenemos que hacer es sacar factor común el coeficiente de \(x^2\) (en este caso el número \(2\)) y luego proceder a completar el cuadrado. Vamos a verlo:

\[2x^2+5x-33=0\Leftrightarrow2\left(x^2+\frac{5}{2}x-\frac{33}{2}\right)=0\Leftrightarrow x^2+\frac{5}{2}x-\frac{33}{2}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^2-\left(\frac{5}{4}\right)^2-\frac{33}{2}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{5}{4}\right)^2-\frac{25}{16}-\frac{33}{2}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left(x+\frac{5}{4}\right)^2=\frac{25}{16}+\frac{33}{2}\Leftrightarrow\left(x+\frac{5}{4}\right)^2=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x+\frac{5}{4}=\pm\sqrt{\frac{289}{16}}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\begin{cases}x+\frac{5}{4}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=\frac{17}{4}-\frac{5}{4}=\frac{12}{4}=3\\\,\\x+\frac{5}{4}=-\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=-\frac{17}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{22}{4}=-\frac{11}{2}\end{cases}\]

Finalmente, utilizando este método, resolvamos la ecuación general de segundo grado completa, \(ax^2+bx+c=0\), para obtener la conocida fórmula que proporciona las soluciones.

\[ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=0\Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Leftrightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Como reflexión final, decir que no estaría mal relacionar las igualdades notables con las soluciones de una ecuación de segundo grado a través del método mencionado en este artículo de completar cuadrados. Esto se podría hacer, por ejemplo en el curso final de la Educación Secundaria Obligatoria. Así, los alumnos verían la utilidad de las igualdades notables, recapacitarían sobre las mismas y entenderían que las soluciones de una ecuación de segundo grado son algo más que la aplicación puramente mecánica de una fórmula.

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Ecuaciones - 2

Instrucciones

Para practicar con estos ejercicios de ecuaciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Hay ecuaciones de todo tipo: de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con denominadores y sin ellos, con radicales, etc. También se proponen algunos problemas que se resuelven planteando adecuadamente una ecuación.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones

a)  \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\)

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\Rightarrow \frac{x-4}{12}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\]

Multiplicando por \(12\) todos los términos de la ecuación:

\[x-4-8=12-9(-2x+1)\Rightarrow x-12=12+18x-9\Rightarrow -17x=15\Rightarrow x=-\frac{15}{17}\]

b)  \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\)

\[\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\Rightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x+15}{3}}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{3x-8}{4}}{6}\Rightarrow \frac{2x+15}{15}=\frac{3x-8}{24}\]

Multiplicando todos los términos por \(120\), que es el mínimo común múltiplo de \(24\) y \(15\):

\[8(2x+15)=120-5(3x-8)\Rightarrow 16x+120=120-15x+40\Rightarrow 31x=40\Rightarrow x=\frac{40}{31}\]

c)  \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\)

\[\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)}-\frac{1}{x-1}=0\]

Multiplicando todos los términos por \(x(x-1)\), tenemos:

\[\frac{x(x-1)}{x(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x-1}=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1\]

Pero para \(x=1\) tendríamos la igualdad

\[\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=0\]

Igualdad que no tiene sentido. Por tanto la ecuación \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\) no tiene solución.

d)  \(x^4-81x^2=0\)

Para resolver esta ecuación sacaremos factor común \(x^2\):

\[x^4-81x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-81)\Rightarrow\begin{cases}x^2=0\Rightarrow x=0\\x^2-81=0\Rightarrow x^2=81\Rightarrow x=\pm9\end{cases}\]

e)  \(\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}=5\)

Multiplicando todos los térmios por \(x^2\):

\[x^4+4=5x^2\Rightarrow x^2-5x^2+4=0\Rightarrow\left(x^2\right)^2-5x^2+4=0\Rightarrow\]

\[x^2=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}=\]

\[=\frac{5\pm3}{2}=\begin{cases}\frac{5+3}{2}=4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\\ \frac{5-3}{2}=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\end{cases}\]

f)  \(\displaystyle \frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{9(1-x)}{2x+5}\)

Obsérvese que \(1-x=-(x-1)\), con lo que la ecuación la podemos escribir así:

\[\frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{-9(x-1)}{2x+5}\]

Multiplicando en cruz:

\[x^2(4x^2-25)=-9(x^2-1)\Rightarrow 4x^4-25x^2=-9x^2+9\Rightarrow 4x^4-16x^2-9=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4\left(x^2\right)^2-16x-9=0\Rightarrow x^2=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot4\cdot(-9)}}{2\cdot4}=\frac{16\pm\sqrt{256+144}}{8}=\]

\[=\frac{16\pm\sqrt{400}}{8}=\frac{16\pm20}{8}=\begin{cases}\frac{16+20}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\\\frac{16-20}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}x^2=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\\x^2=-\frac{1}{2}\Rightarrow \nexists\, x\in\mathbb{R}:x^2=-\frac{1}{2}\end{cases}\]

La ecuación original tiene por tanto dos soluciones: \(\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.12\), \(\displaystyle-\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2.12\).

g)  \(\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{3}=\frac{28}{3x}\)

Multiplicando todos los terminos por \(3x^2\):

\[3+x^4=28x\Rightarrow x^4-28x+3=0\]

La ecuación anterior no es bicuadrada. Hemos de intentar pues buscar las raíces del polinomio \(x^4-28x+3\) (que serán también las soluciones de la ecuación anterior). Como se sabe, las raíces enteras han de ser divisores del término independiente, es decir, de \(3\). Como \(3^4-28\cdot3+3=81-84+3=0\), por el teorema del resto, \(x=3\) es una raíz de \(x^4-28x+3\) (y por tanto también una solución de la ecuación). Aplicando la regla de Ruffini:

ruffini-12 

Entonces \(x^4-28x+3=(x-3)(x^3+3x^2+9x-1)\). El polinomio \(x^3+3x^2+9x-1\) no tiene raíces enteras pues no lo son ni \(1\), ni \(-1\) (compruébese). Como tampoco disponemos de ningún método para resolver una ecuación de tercer grado, concluímos que la solución de la ecuación es \(x=3\).

h)  \(6+\sqrt{2x+3}=x\)

\[6+\sqrt{2x+3}=x\Rightarrow\sqrt{2x+3}=x-6\Rightarrow(x-6)^2=\sqrt{2x+3}^2\Rightarrow x^2-12x+36=2x+3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2-14x+33=0\Rightarrow x=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot1\cdot33}}{2\cdot1}=\frac{14\pm\sqrt{196-132}}{2}=\frac{14\pm\sqrt{64}}{2}=\]

\[=\frac{14\pm8}{2}=\begin{cases}x_1=11\\x_2=3\end{cases}\]

\(x=11\) sí que es solución pues satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot11+3}=6+\sqrt{22+3}=6+\sqrt{25}=6+5=11\]

\(x=3\) no es solución pues no satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot3+3}=6+\sqrt{6+3}=6+\sqrt{9}=6+3=9\]

i)  \(\sqrt{9-x}=\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\)

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

\[\left(\sqrt{9-x}\right)^2=\left(\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\right)^2\Rightarrow 9-x=6-x+2\sqrt{3}\sqrt{6-x}+3\Rightarrow2\sqrt{18-3x}=0\]

Volviendo a elevar al cuadrado:

\[\left(2\sqrt{18-3x}\right)^2=0^2\Rightarrow4(18-3x)=0\Rightarrow72-12x=0\Rightarrow-12x=-72\Rightarrow x=6\]

Efectivamente \(x=6\) es solución pues verifica la ecuación inicial:

\[\sqrt{9-6}=\sqrt{3}\quad;\quad\sqrt{6-6}+\sqrt{3}=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\]

j)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=2\)

Esta es muy fácil pues queda una ecuación de primer grado elevando ambos miebros al cuadrado:

\[\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)^2=2^2\Rightarrow\frac{x+1}{x-1}=4\Rightarrow x+1=4x-4\Rightarrow-3x=-5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\]

Efectivamente, \(\displaystyle x=\frac{5}{3}\) es solución pues

\[\sqrt{\frac{\frac{5}{3}+1}{\frac{5}{3}-1}}=\sqrt{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2\]


Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello plantea la ecuación adecuada en cada uno de ellos.

a)  Determina dos números enteros consecutivos cuyo producto sea \(380\).

Dos números enteros consecutivos son, por ejemplo, \(x\) y \(x+1\). Así pues:

\[x(x+1)=380\Rightarrow x^2+x=380\Rightarrow x^2+x-380=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-380)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+1520}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{1521}}{2}=\]

\[=\frac{-1\pm39}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{-1+39}{2}=\frac{38}{2}=19\\x_2=\frac{-1-39}{2}=\frac{-40}{2}=-20\end{cases}\]

Por tanto hay dos posibles soluciones. Que los dos números sean \(x=19\) y \(x+1=20\). O bien que ambos números sean \(x=-20\) y \(x+1=-19\). Obsérvese que en ambos casos el producto es \(380\).

b)  Encuentra las dimensiones de un rectángulo cuya área es \(360\,\text{m}^2.\) y cuyo perímetro mide \(78\ \text{m}.\)

Supongamos que \(a\) es la medida de un lado y que \(b\) es la medida del otro.

Entonces el perímetro es \(a+b+a+b=2a+2b\). Como éste mide \(78\ \text{m}.\), entonces \(2a+2b=78\), de donde, dividiendo todos los términos entre \(2\), \(a+b=39\), es decir \(b=39-a\).

Por otro lado, el área es \(360\,\text{m}^2.\) O sea:

\[ab=360\Rightarrow a(39-a)=360\Rightarrow 39a-a^2=360\Rightarrow a^2-39a+360=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[a=\frac{39\pm\sqrt{(-39)^2-4\cdot1\cdot360}}{2\cdot1}=\frac{39\pm\sqrt{1521-1440}}{2}=\frac{39\pm\sqrt{81}}{2}=\]

\[=\frac{39\pm9}{2}=\begin{cases}a_1=\frac{39+9}{2}=\frac{48}{2}=24\\a_2=\frac{39-9}{2}=\frac{30}{2}=15\end{cases}\]

Si \(a=24\), \(b=39-a=39-24=15\). Si \(a=15\), \(b=39-a=39-15=24\). En cualquier caso el lado mayor del rectángulo mide \(24\ \text{m}.\) y el lado menor \(15\ \text{m}.\)

c)  Encuentra la longitud del lado de un cuadrado que tiene la misma área que un círculo de un metro de radio. ¿Qué tipo de número es el resultado? Redondea el resultado a dos decimales.

El área \(A\) del círculo es \(A=\pi\cdot r^2\), donde \(r\) es el radio del mismo. Como nuestro círculo tiene radio \(1\ \text{m}.\), entonces el área del círculo es \(A=\pi\cdot1^2=\pi\ \text{m}^2.\)

Llamemos ahora \(l\) al lado del cuadrado. Su área es \(l^2\), que ha de ser igual al área del círculo, con lo que:

\[l^2=\pi\Rightarrow l=\sqrt{\pi}\ \text{m}^2.\]

Por supuesto el resultado es un número irracional. Con la calculadora podemos redondear el resultado a dos decimales: \(\sqrt{\pi}\approx1,77\ \text{m}^2.\)

d)  Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son tres números consecutivos. Encuentra el perímetro del triángulo.

Sean \(x\), \(x+1\), \(x+2\) las medidas de los tres lados del triángulo. El mayor de ellos, \(x+2\), ha de ser la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras:

\[(x+2)^2=x^2+(x+1)^2\]

Desarrollando y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta, tenemos:

\[x^2+4x+4=x^2+x^2+2x+1\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\]

\[=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=\begin{cases}x_1=3\\x_2=-1\end{cases}\]

La solución \(x=-1\) no es una solución válida a nuestro problema pues un triángulo no puede tener un lado de medida negativa.

De este modo las medidas de los lados del triángulo rectángulo son \(x=3\), \(x+1=4\) y \(x+2=5\).

e)  Un móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\) Calcula su velocidad sabiendo que, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos.

Supondremos que se trata de un movimiento rectilíneo y uniforme en el que \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\), donde \(v\) es la velocidad en \(\text{km/h}.\), \(s\) el espacio recorrido en \(\text{km}.\)y \(t\) el tiempo en horas empleado en recorrerlo.

Como el móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\), entonces:

\[\displaystyle v=\frac{120}{t}\]

Además, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos, es decir:

\[v+10=\frac{120}{t-1}\]

Sustituyendo en esta última expresión \(v\) por su valor tenemos:

\[\frac{120}{t}+10=\frac{120}{t-1}\]

Multiplicando todos los términos por \(t(t-1)\):

\[120(t-1)+10t(t-1)=120t\Rightarrow120t-120+10t^2-10t=120t\Rightarrow10t^2-10t-120=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}=\begin{cases}t_1=4\\t_2=-3\end{cases}\]

La solución \(t=-3\) no es válida para nuestro problema, pues el tiempo no puede tomar un valor negativo.

Por tanto tendremos que el tiempo empleado en recorrer los \(120\,\text{km}.\) ha sido de \(t=4\) horas, a una velocidad de \(\displaystyle v=\frac{120}{4}=30\ \text{km/h}.\)

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Ecuaciones - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios de ecuaciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Hay ecuaciones de todo tipo: de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con denominadores y sin ellos, con radicales, etc. También se proponen algunos problemas que se resuelven planteando adecuadamente una ecuación.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a)  \(\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}-\frac{x+1}{4}=1\)

El mínimo común múltiplo de los denominadores es \(\text{mcm}\,(2,3,4)=12\). Para eliminar denominadores se multiplica por \(12\) todos los términos de la ecuación. De este modo es fácil resolver la ecuación. 

\[\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}-\frac{x+1}{4}=1\Leftrightarrow12\cdot\frac{x}{2}+12\cdot\frac{x-1}{3}-12\cdot\frac{x+1}{4}=12\cdot1\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow6x+4(x-1)-3(x+1)=12\Leftrightarrow6x+4x-4-3x-3=12\Leftrightarrow7x-7=12\]

\[\Leftrightarrow7x=19\Leftrightarrow x=\frac{19}{7}\]

b)  \(\displaystyle\frac{x-2}{3}+\frac{x+1}{6}=\frac{x-1}{4}+1\)

Para resolver la ecuación multiplicaremos todos los términos de la misma por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es \(12\).

\[12\cdot\frac{x-2}{3}+12\cdot\frac{x+1}{6}=12\cdot\frac{x-1}{4}+12\cdot1\Leftrightarrow4(x-2)+2(x+1)=3(x-1)+12\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow4x-8+2x+2=3x-3+12\Leftrightarrow4x+2x-3x=-3+12+8-2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow3x=15\Leftrightarrow x=\frac{15}{3}\Leftrightarrow x=5\]

c)  \(\displaystyle\frac{3x-17}{8}-\frac{1-x}{4}=\frac{1-4x}{13}-\frac{9+x}{6}\)

En este caso tendremos que multiplicar todos los términos por \(312\), que es el mínimo común múltiplo de los denominadores. El procedimiento es el mismo que en los dos apartados anteriores:

\[312\cdot\frac{3x-17}{8}-312\cdot\frac{1-x}{4}=312\cdot\frac{1-4x}{13}-312\cdot\frac{9+x}{6}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow39(3x-17)-78(1-x)=24(1-4x)-52(9+x)\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow 117x-663-78+78x=24-96x-468-52x\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow117x+78x+96x+52x=24-468+663+78\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow343x=297\Leftrightarrow x=\frac{297}{343}\]

d)  \(\displaystyle\left(5\sqrt[3]{5x-2}\right)^3=2\)

En primer lugar simplificaremos el primer término utilizando las propiedades de las potencias. Luego ya todo es más fácil.

\[\left(5\sqrt[3]{5x-2}\right)^3=2\Leftrightarrow5^3\sqrt[3]{5x-2}^3=2\Leftrightarrow125(5x-2)=2\Leftrightarrow625x-250=2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow625x=2+250\Leftrightarrow625x=252\Leftrightarrow x=\frac{252}{625}\]

e)  \(\displaystyle3\sqrt[3]{x+1}=4\)

Para eliminar la raíz cúbica hemos de elevar ambos miembros al cubo. Luego se procede como en el apartado anterior.

\[3\sqrt[3]{x+1}=4\Leftrightarrow\left(3\sqrt[3]{x+1}\right)^3=4^3\Leftrightarrow3^3\sqrt[3]{x+1}^3=4^3\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow27(x+1)=64\Leftrightarrow27x+27=64\Leftrightarrow27x=37\Leftrightarrow x=\frac{37}{27}\]

f)  \(\sqrt{x-2}-4=12\)

En este caso, en primer lugar, aislamos el radical. Luego se elevan ambos miembros al cuadrado y se procede como anteriormente.

\[\sqrt{x-2}-4=12\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=16\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^2=16^2\Leftrightarrow x-2=256\Leftrightarrow x=258\]

g)  \(5x^2+2x-7=4x^2+3x-1\)

Se trata de una ecuación de segundo grado. Pasamos todos los términos al primer miembro para escribirla de la forma \(ax^2+bx+c=0\) y así poder aplicar la fórmula que proporciona las soluciones de una ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Por tanto:

\[5x^2+2x-7=4x^2+3x-1\Leftrightarrow5x^2+2x-7-4x^2-3x+1=0\Leftrightarrow x^2-x-6=0\]

Los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) son, en este caso, \(a=1\), \(b=-1\) y \(c=-6\). Así pues, aplicando la fórmula y operando:

\[x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1-(-24)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3\\x_2=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{cases}\]

h)  \((3x-6)^2-9=0\)

Esta ecuación también es de segundo grado. Pero primero debemos hacer el cuadrado de la diferencia y reducir términos semejantes.

\[(3x-6)^2-9=0\Leftrightarrow9x^2-36x+36-9=0\Leftrightarrow9x^2-36x+27=0\]

Los coeficientes de la ecuación de segundo grado son: \(a=9\), \(b=-36\), \(c=27\). Entonces:

\[x=\frac{-(-36)\pm\sqrt{(-36)^2-4\cdot9\cdot27}}{2\cdot9}=\frac{36\pm\sqrt{1296-972}}{18}=\]

\[=\frac{36\pm\sqrt{324}}{18}=\frac{36\pm18}{18}=\begin{cases}x_1=\frac{36+18}{18}=\frac{54}{18}=3\\x_2=\frac{36-18}{18}=\frac{18}{18}=1\end{cases}\]

i)  \((x+1)(x-1)(x+2)=x^3-x^2+8\)

En primer lugar realizamos la operación del primer término:

\[(x+1)(x-1)(x+2)=(x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\]

La ecuación inicial es equivalente pues a esta otra: \(x^3+2x^2-x-2=x^3-x^2+8\). Pasando todos los términos al primer miembro queda una ecuación de segundo grado:

\[x^3+2x^2-x-2=x^3-x^2+8\Leftrightarrow x^3+2x^2-x-2-x^3+x^2-8=0\Leftrightarrow 3x^2-x-10=0\]

Los coefientes son, en este caso: \(a=3\), \(b=-1\), \(c=-10\). Por tanto:

\[x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3\cdot(-10)}}{2\cdot3}=\frac{1\pm\sqrt{1-(-120)}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{121}}{6}=\]

\[=\frac{1\pm11}{6}=\begin{cases}x_1=\frac{1+11}{6}=\frac{12}{6}=2\\x_2=\frac{1-11}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\end{cases}\]

j)  \(x^4+12x^2-64=0\)

Esta es una ecuación bicuadrada. Podemos escribirla así: \(\displaystyle\left(x^2\right)^2+12x^2-64=0\). Haciendo el cambio de variable \(z=x^2\) se transforma en esta otra: \(z^2+12z-64=0\), que es de segundo grado con coeficientes \(a=1\), \(b=12\), \(c=-64\). Resolvamos pues esta última:

\[z=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot1\cdot(-64)}}{2\cdot1}=\frac{-12\pm\sqrt{144-(-256)}}{2}=\frac{-12\pm\sqrt{144+256}}{2}=\]

\[=\frac{-12\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{-12\pm20}{2}=\begin{cases}z_1=\frac{-12+20}{2}=\frac{8}{2}=4\\z_2=\frac{-12-20}{2}=\frac{-32}{2}=-16\end{cases}\]

Ahora deshacemos el cambio:

Si \(z=4\), entonces \(\displaystyle x^2=4\Rightarrow x=\sqrt{4}=\begin{cases}x_1=2\\x_2=-2\end{cases}\)

Si \(z=-16\), entonces \(x^2=-16\Rightarrow x=\sqrt{-16}\), que no tiene soluciones reales.

Por tanto las soluciones de la ecuación son \(x_1=2\), \(x_2=-2\).

k)  \(\sqrt{7+2x}-\sqrt{3+x}=1\)

Aislamos el primer radical, elevamos al cuadrado, volvemos a aislar el radical resultante y volvemos a elevar al cuadrado:

\[\sqrt{7+2x}=1-\sqrt{3+x}\Leftrightarrow\left(\sqrt{7+2x}\right)^2=\left(1-\sqrt{3+x}\right)^2\Leftrightarrow 7+2x=1-2\sqrt{3+x}+3+x\Leftrightarrow\]

\[2\sqrt{3+x}=-3-x\Leftrightarrow\left(2\sqrt{3+x}\right)^2=(-3-x)^2\Leftrightarrow4(3+x)=9+6x+x^2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow12+4x=9+6x+x^2\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\]

Hemos transformado la ecuación con radicales iniciale en una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes son \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\). Resolvámosla:

 \[x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{4-(-12)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\]

\[=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\begin{cases}x_1=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1\\x_2=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{cases}\]

Ahora tenemos que comprobar si estas soluciones cumple la ecuación original.

Si \(x=1\), entonces \(\sqrt{7+2\cdot1}-\sqrt{3+1}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1\), con lo que \(x=1\) es una solución válida.

Si \(x=-3\), entonces \(\sqrt{7+2\cdot(-3)}-\sqrt{3+(-3)}=\sqrt{1}-\sqrt{0}=1-0=1\), y \(x=-3\) es también una solución válida.

En este tipo de ecuaciones con radicales esta comprobación final siempre hay que hacerla, pues es posible que algunas de las soluciones de la ecuación de segundo grado no satisfagan la ecuación original y entonces habrá que descartarlas.


Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello plantea la ecuación adecuada en cada uno de ellos.

a)  Un comerciante vende la tercera parte de una pieza de tela. Posteriormente vende las \(\displaystyle \frac{3}{4}\) partes del resto y ve que le sobran \(6\) metros. ¿Cuál es la longitud de la pieza?

Supongamos que la longitud de la pieza de tela es de \(x\) metros.

Como vende la tercera parte le queda la siguiente fracción de tela:

\[x-\frac{x}{3}=\frac{3x}{3}-\frac{x}{3}=\frac{2x}{3}\]

Como posteriormente vende las \(\displaystyle \frac{3}{4}\) partes del resto, ahora le sobra la siguiente porción de tela:

\[\frac{2x}{3}-\frac{3}{4}\cdot\frac{2x}{3}=\frac{2x}{3}-\frac{2x}{4}=\frac{8x}{12}-\frac{6x}{12}=\frac{2x}{12}=\frac{x}{6}\]

Como finalmente le sobran \(6\) metros se tiene que:

\[\frac{x}{6}=6\Rightarrow x=36\]

Por tanto la pieza de tela tiene una longitud de \(36\) metros.

b)  Hace doce años, la edad del padre era cuatro veces la de su hijo. Sabiendo que el padre tenía \(27\) años cuando nació el hijo, hallar las edades de ambos.

Llamemos \(x\) a la edad del hijo. Hace doce años el hijo tendría pues \(x-12\) años. En ese momento la edad del padre era cuatro veces la de su hijo, es decir, \(4(x-12)=4x-48\) años. Si precisamente es este momento restamos los \(x-12\) años del hijo estaremos en el añó en que éste nació, que era cuando el padre tenía justamente \(27\) años:

\[(4x-48)-(x-12)=27\]

Resolviendo esta ecuación:

\[(4x-48)-(x-12)=27\Leftrightarrow 3x-36=27\Leftrightarrow 3x=63\Leftrightarrow x=21\]

Por tanto la edad actual del hijo es de \(21\) años.

Hemos visto que hace doce años el padre tenía \(4(x-12)=4x-48\) años, es decir \(4\cdot21-48=84-48=36\). Por tanto la edad actual del padre es \(36+12=48\) años.

Obsérvese que se llevan \(27\) años, la edad que el padre tenía cuando nació el hijo.

c)  Ana tiene el triple de la edad de Carlos. Cuando pasen \(16\) años tendrá el doble de años que Carlos. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Supongamos que la edad de Carlos es \(x\) años. Entonces, como Ana tiene el triple de la edad de Carlos, tendrá \(3x\) años. Cuando pasen \(16\) años Carlos tendrá \(x+16\) años y Ana tendrá \(3x+16\) años. En ese momento Ana tendrá el doble de años que Carlos, es decir, \(3x+16=2(x+16)\). Resolviendo esta ecuación:

\[3x+16=2(x+16)\Leftrightarrow 3x+16=2x+32\Leftrightarrow x=16\]

Esto quiere decir que Carlos tiene \(16\) años y Ana tiene \(3x=3\cdot16=48\) años.

d)  Juan tiene \(86\) céntimos repartidos en monedas de \(2\) céntimos y de \(5\) céntimos. Si en total tiene \(28\) monedas, ¿cuántas son de \(2\) céntimos y cuántas de \(5\) céntimos?

Llamemos \(x\) al número de monedas de \(2\) céntimos. Entonces, como Juan tiene en total \(28\) monedas, de \(5\) céntimos tendrá \(28-x\) monedas. Por tanto el dinero que tiene en total es \(2x+5(28-x)\) y esto ha de ser igual a los \(86\) céntimos que tiene Juan, es decir, \(2x+5(28-x)=86\). Resolviendo esta ecuación:

\[2x+5(28-x)=86\Leftrightarrow2x+140-5x=86\Leftrightarrow-3x=-54\Leftrightarrow x=18\]

Por tanto Juan tiene \(18\) monedas de \(2\) céntimos y \(28-x=28-18=10\) monedas de \(5\) céntimos.

e)  Se han consumido \(\displaystyle\frac{7}{8}\) partes de un bidón de aceite. Reponiendo \(38\) litros ha quedado lleno hasta sus \(\displaystyle\frac{3}{5}\) partes. Calcular la capacidad del bidón.

Llamemos \(x\) a la capacidad del bidón. Como se han consumido \(\displaystyle\frac{7}{8}\) partes, queda \(\displaystyle\frac{1}{8}\) parte. Es decir, al bidón le quedan \(\displaystyle\frac{x}{8}\) litros. Resulta que si se reponen \(38\) litros queda lleno hasta sus \(\displaystyle\frac{3}{5}\) partes. Es decir:

\[\frac{x}{8}+38=\frac{3x}{5}\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[\frac{x}{8}+38=\frac{3x}{5}\Leftrightarrow40\cdot\frac{x}{8}+40\cdot38=40\cdot\frac{3x}{5}\Leftrightarrow5x+1520=24x\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow1520=24x-5x\Leftrightarrow1520=19x\Leftrightarrow x=80\]

Por tanto la capacidad del bidón es de \(80\) litros.

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