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Eliminando denominadores de una ecuación

En la última prueba que realizaron mis alumnos de matemáticas de 4º de Educación Secundaria Obligatoria (opción B), les proponía resolver la siguiente ecuación de primer grado.

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\]

Para resolverla hay que eliminar los denominadores. Para ello se reducen todos los términos a común denominador, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Demasiados alumnos cometían el típico error de siempre. Veamos:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow 3x+7-4-16x=-96-24x-16x-40\]

Olvidan que un signo "menos" delante de una fracción cambia de signo todos los términos del numerador. Sumar es restar el opuesto y el opuesto de \(\dfrac{p-q}{n}\) es \(-\dfrac{p-q}{n}=\dfrac{-p+q}{n}\). Por tanto, el primer miembro, una vez eliminado el numerador no es

\[3x+7-4-16x\]

sino

\[3x+7-4+16x\]

Análogamente, el segundo miembro no es

\[-96-24x-16x-40\]

sino

\[-96-24x-16x+40\]

Esto es porque, según lo comentado anteriormente:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{3x+7}{24}+\frac{-4+16x}{24}=\frac{-96}{24}+\frac{-24x}{24}+\frac{-16x+40}{24}\]

Es un error muy común que cometen más alumnos de lo que se podría desear. Pero, quizás, lo que habría que aprender es que si se multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número la igualdad no varía. Dicho de otro modo, si multiplicamos los dos miembros (o todos los términos) de una ecuación por un mismo número, la ecuación que resulta es equivalente a la anterior. Así, procediendo de este modo la ecuación inicial se puede resolver multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (\(24\) en nuestro caso). Una vez hecho esto aplicamos que \(k\cdot\dfrac{p}{n}=\dfrac{k}{n}\cdot p\) para eliminar denominadores. De este modo quizá se aprecie mejor que hemos de multiplicar cada vez por "todo el numerador" y no se cometa el error anterior:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow24\cdot\frac{3x+7}{24}-24\cdot\frac{1-4x}{6}=24\cdot(-4)-24\cdot x-24\cdot\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 1\cdot(3x+7)-4\cdot(1-4x)=-96-24x-8\cdot(2x-5)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 3x+7-4+16x=-96-24x-16x+40\]

Esta forma de proceder, que provoca la presencia de los paréntesis antes de hacer la multiplicación, sería quizá buena para que nuestros alumnos no cometieran el citado error. Por cierto, si se sigue resolviendo la ecuación, la solución es \(x=-1\).

Otra cosa más: el hecho de eliminar denominadores de una ecuación reduciendo todos los denominadores a común denominador y eliminándolos automáticamente después, no sólo provoca el error anterior, sino que los alumnos a veces confunden hacer operaciones con resolver ecuaciones. De tal manera que si se les pide hacer la operación \(\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x}{x-1}\), a veces hacen lo siguiente:

\[\frac{3}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\]

\[=\frac{3x-3}{x^2-1}-\frac{x^2+x}{x^2-1}=3x-3-x^2-x=-x^2+2x-3=0\]

Y luego se afanan en resolver la ecuación de segundo grado. Es necesario distinguir entre realizar una operación, que involucra el uso del denominador común, y la resolución de ecuaciones. Una ecuación tiene dos miembros separados por el símbolo igual. Obsérvese que, al proceder como anteriormente, como los alumnos no ven el símbolo igual, finalmente igualan a cero (quizá piensen que como no está haya que poner cero). Mientras no haya una igualdad, dos miembros, y una incógnita que despejar, lo que tenemos no será una ecuación y no se podrán eliminar denominadores ni alegremente inventarse una ecuación que resolver.

Ya sé que puede ser difícil explicar a los alumnos el mejor método para resolver ecuaciones, o al menos comunicárselo de la mejor forma posible. En todo caso el mejor método es resolver muchas, muchas ecuaciones. Aunque esto pueda ser muy aburrido para los alumnos. Pero es el mejor método, pues ellos mismos se darán cuenta de sus errores y no los volverán a cometer. También sé que esto entra en contradicción con algunas formas de entender el aprendizaje de las matemáticas a estos niveles de la educación secundaria obligatoria. Y es que se dice que en los centros de educación secundaria se abusa de los ejercicios de procedimiento rutinario, cosa muy aburrida para el alumno. Aburrimiento que provoca que éste no consiga motivarse ni, en consecuencia, aprender. Ya, eso está muy bien, pero si un alumno no sabe resolver ecuaciones con cierta soltura, al menos de primer grado, ya me dirán cómo se le puede hacer que entienda alguna aplicación práctica en alguna ciencia experimental donde se resuelven multitud de ecuaciones, incluso que se entusiasme con alguna charla básica de divulgación científica que requiera un mínimo de conocimiento sobre ecuaciones. Yo mismo he introducido muchas veces las ecuaciones de primer y de segundo grado utilizando las leyes del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, o las leyes de Newton, entre otras fórmulas conocidas de la Física. Los alumnos se motivan bien así (además, muchos de ellos están dando Física durante el mismo curso escolar). Y les digo que estas ecuaciones no son difíciles de resolver, pero que, en el futuro, los que sigan el camino científico o tecnológico, se encontrarán en Física, en Química, en Tecnología, etcétera, con ecuaciones un poquito más complicadas. Y no quedará más remedio que haber aprendido a resolver correctamente, y con rapidez, ecuaciones de todo tipo (de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con la incógnita en el denominador, con la incógnita bajo el símbolo de radical, incluso de grado mayor que dos utilizando la factorización de polinomios). Y cuanto antes lo aprendan y manejen las rutinas, mejor. Es deprimente ver cómo alumnos de ciencias de 2º de Bachillerato asimilan bien el cálculo de derivadas y el procedimiento para calcular extremos relativos y luego cometen los errores comentados en este artículo al resolver las correspondientes ecuaciones.

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Ecuaciones - 2

Instrucciones

Para practicar con estos ejercicios de ecuaciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Hay ecuaciones de todo tipo: de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con denominadores y sin ellos, con radicales, etc. También se proponen algunos problemas que se resuelven planteando adecuadamente una ecuación.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones

a)  \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\)

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\Rightarrow \frac{x-4}{12}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\]

Multiplicando por \(12\) todos los términos de la ecuación:

\[x-4-8=12-9(-2x+1)\Rightarrow x-12=12+18x-9\Rightarrow -17x=15\Rightarrow x=-\frac{15}{17}\]

b)  \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\)

\[\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\Rightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x+15}{3}}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{3x-8}{4}}{6}\Rightarrow \frac{2x+15}{15}=\frac{3x-8}{24}\]

Multiplicando todos los términos por \(120\), que es el mínimo común múltiplo de \(24\) y \(15\):

\[8(2x+15)=120-5(3x-8)\Rightarrow 16x+120=120-15x+40\Rightarrow 31x=40\Rightarrow x=\frac{40}{31}\]

c)  \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\)

\[\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)}-\frac{1}{x-1}=0\]

Multiplicando todos los términos por \(x(x-1)\), tenemos:

\[\frac{x(x-1)}{x(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x-1}=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1\]

Pero para \(x=1\) tendríamos la igualdad

\[\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=0\]

Igualdad que no tiene sentido. Por tanto la ecuación \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\) no tiene solución.

d)  \(x^4-81x^2=0\)

Para resolver esta ecuación sacaremos factor común \(x^2\):

\[x^4-81x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-81)\Rightarrow\begin{cases}x^2=0\Rightarrow x=0\\x^2-81=0\Rightarrow x^2=81\Rightarrow x=\pm9\end{cases}\]

e)  \(\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}=5\)

Multiplicando todos los térmios por \(x^2\):

\[x^4+4=5x^2\Rightarrow x^2-5x^2+4=0\Rightarrow\left(x^2\right)^2-5x^2+4=0\Rightarrow\]

\[x^2=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}=\]

\[=\frac{5\pm3}{2}=\begin{cases}\frac{5+3}{2}=4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\\ \frac{5-3}{2}=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\end{cases}\]

f)  \(\displaystyle \frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{9(1-x)}{2x+5}\)

Obsérvese que \(1-x=-(x-1)\), con lo que la ecuación la podemos escribir así:

\[\frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{-9(x-1)}{2x+5}\]

Multiplicando en cruz:

\[x^2(4x^2-25)=-9(x^2-1)\Rightarrow 4x^4-25x^2=-9x^2+9\Rightarrow 4x^4-16x^2-9=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4\left(x^2\right)^2-16x-9=0\Rightarrow x^2=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot4\cdot(-9)}}{2\cdot4}=\frac{16\pm\sqrt{256+144}}{8}=\]

\[=\frac{16\pm\sqrt{400}}{8}=\frac{16\pm20}{8}=\begin{cases}\frac{16+20}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\\\frac{16-20}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}x^2=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\\x^2=-\frac{1}{2}\Rightarrow \nexists\, x\in\mathbb{R}:x^2=-\frac{1}{2}\end{cases}\]

La ecuación original tiene por tanto dos soluciones: \(\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.12\), \(\displaystyle-\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2.12\).

g)  \(\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{3}=\frac{28}{3x}\)

Multiplicando todos los terminos por \(3x^2\):

\[3+x^4=28x\Rightarrow x^4-28x+3=0\]

La ecuación anterior no es bicuadrada. Hemos de intentar pues buscar las raíces del polinomio \(x^4-28x+3\) (que serán también las soluciones de la ecuación anterior). Como se sabe, las raíces enteras han de ser divisores del término independiente, es decir, de \(3\). Como \(3^4-28\cdot3+3=81-84+3=0\), por el teorema del resto, \(x=3\) es una raíz de \(x^4-28x+3\) (y por tanto también una solución de la ecuación). Aplicando la regla de Ruffini:

ruffini-12 

Entonces \(x^4-28x+3=(x-3)(x^3+3x^2+9x-1)\). El polinomio \(x^3+3x^2+9x-1\) no tiene raíces enteras pues no lo son ni \(1\), ni \(-1\) (compruébese). Como tampoco disponemos de ningún método para resolver una ecuación de tercer grado, concluímos que la solución de la ecuación es \(x=3\).

h)  \(6+\sqrt{2x+3}=x\)

\[6+\sqrt{2x+3}=x\Rightarrow\sqrt{2x+3}=x-6\Rightarrow(x-6)^2=\sqrt{2x+3}^2\Rightarrow x^2-12x+36=2x+3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2-14x+33=0\Rightarrow x=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot1\cdot33}}{2\cdot1}=\frac{14\pm\sqrt{196-132}}{2}=\frac{14\pm\sqrt{64}}{2}=\]

\[=\frac{14\pm8}{2}=\begin{cases}x_1=11\\x_2=3\end{cases}\]

\(x=11\) sí que es solución pues satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot11+3}=6+\sqrt{22+3}=6+\sqrt{25}=6+5=11\]

\(x=3\) no es solución pues no satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot3+3}=6+\sqrt{6+3}=6+\sqrt{9}=6+3=9\]

i)  \(\sqrt{9-x}=\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\)

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

\[\left(\sqrt{9-x}\right)^2=\left(\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\right)^2\Rightarrow 9-x=6-x+2\sqrt{3}\sqrt{6-x}+3\Rightarrow2\sqrt{18-3x}=0\]

Volviendo a elevar al cuadrado:

\[\left(2\sqrt{18-3x}\right)^2=0^2\Rightarrow4(18-3x)=0\Rightarrow72-12x=0\Rightarrow-12x=-72\Rightarrow x=6\]

Efectivamente \(x=6\) es solución pues verifica la ecuación inicial:

\[\sqrt{9-6}=\sqrt{3}\quad;\quad\sqrt{6-6}+\sqrt{3}=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\]

j)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=2\)

Esta es muy fácil pues queda una ecuación de primer grado elevando ambos miebros al cuadrado:

\[\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)^2=2^2\Rightarrow\frac{x+1}{x-1}=4\Rightarrow x+1=4x-4\Rightarrow-3x=-5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\]

Efectivamente, \(\displaystyle x=\frac{5}{3}\) es solución pues

\[\sqrt{\frac{\frac{5}{3}+1}{\frac{5}{3}-1}}=\sqrt{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2\]


Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello plantea la ecuación adecuada en cada uno de ellos.

a)  Determina dos números enteros consecutivos cuyo producto sea \(380\).

Dos números enteros consecutivos son, por ejemplo, \(x\) y \(x+1\). Así pues:

\[x(x+1)=380\Rightarrow x^2+x=380\Rightarrow x^2+x-380=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-380)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+1520}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{1521}}{2}=\]

\[=\frac{-1\pm39}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{-1+39}{2}=\frac{38}{2}=19\\x_2=\frac{-1-39}{2}=\frac{-40}{2}=-20\end{cases}\]

Por tanto hay dos posibles soluciones. Que los dos números sean \(x=19\) y \(x+1=20\). O bien que ambos números sean \(x=-20\) y \(x+1=-19\). Obsérvese que en ambos casos el producto es \(380\).

b)  Encuentra las dimensiones de un rectángulo cuya área es \(360\,\text{m}^2.\) y cuyo perímetro mide \(78\ \text{m}.\)

Supongamos que \(a\) es la medida de un lado y que \(b\) es la medida del otro.

Entonces el perímetro es \(a+b+a+b=2a+2b\). Como éste mide \(78\ \text{m}.\), entonces \(2a+2b=78\), de donde, dividiendo todos los términos entre \(2\), \(a+b=39\), es decir \(b=39-a\).

Por otro lado, el área es \(360\,\text{m}^2.\) O sea:

\[ab=360\Rightarrow a(39-a)=360\Rightarrow 39a-a^2=360\Rightarrow a^2-39a+360=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[a=\frac{39\pm\sqrt{(-39)^2-4\cdot1\cdot360}}{2\cdot1}=\frac{39\pm\sqrt{1521-1440}}{2}=\frac{39\pm\sqrt{81}}{2}=\]

\[=\frac{39\pm9}{2}=\begin{cases}a_1=\frac{39+9}{2}=\frac{48}{2}=24\\a_2=\frac{39-9}{2}=\frac{30}{2}=15\end{cases}\]

Si \(a=24\), \(b=39-a=39-24=15\). Si \(a=15\), \(b=39-a=39-15=24\). En cualquier caso el lado mayor del rectángulo mide \(24\ \text{m}.\) y el lado menor \(15\ \text{m}.\)

c)  Encuentra la longitud del lado de un cuadrado que tiene la misma área que un círculo de un metro de radio. ¿Qué tipo de número es el resultado? Redondea el resultado a dos decimales.

El área \(A\) del círculo es \(A=\pi\cdot r^2\), donde \(r\) es el radio del mismo. Como nuestro círculo tiene radio \(1\ \text{m}.\), entonces el área del círculo es \(A=\pi\cdot1^2=\pi\ \text{m}^2.\)

Llamemos ahora \(l\) al lado del cuadrado. Su área es \(l^2\), que ha de ser igual al área del círculo, con lo que:

\[l^2=\pi\Rightarrow l=\sqrt{\pi}\ \text{m}^2.\]

Por supuesto el resultado es un número irracional. Con la calculadora podemos redondear el resultado a dos decimales: \(\sqrt{\pi}\approx1,77\ \text{m}^2.\)

d)  Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son tres números consecutivos. Encuentra el perímetro del triángulo.

Sean \(x\), \(x+1\), \(x+2\) las medidas de los tres lados del triángulo. El mayor de ellos, \(x+2\), ha de ser la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras:

\[(x+2)^2=x^2+(x+1)^2\]

Desarrollando y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta, tenemos:

\[x^2+4x+4=x^2+x^2+2x+1\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\]

\[=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=\begin{cases}x_1=3\\x_2=-1\end{cases}\]

La solución \(x=-1\) no es una solución válida a nuestro problema pues un triángulo no puede tener un lado de medida negativa.

De este modo las medidas de los lados del triángulo rectángulo son \(x=3\), \(x+1=4\) y \(x+2=5\).

e)  Un móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\) Calcula su velocidad sabiendo que, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos.

Supondremos que se trata de un movimiento rectilíneo y uniforme en el que \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\), donde \(v\) es la velocidad en \(\text{km/h}.\), \(s\) el espacio recorrido en \(\text{km}.\)y \(t\) el tiempo en horas empleado en recorrerlo.

Como el móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\), entonces:

\[\displaystyle v=\frac{120}{t}\]

Además, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos, es decir:

\[v+10=\frac{120}{t-1}\]

Sustituyendo en esta última expresión \(v\) por su valor tenemos:

\[\frac{120}{t}+10=\frac{120}{t-1}\]

Multiplicando todos los términos por \(t(t-1)\):

\[120(t-1)+10t(t-1)=120t\Rightarrow120t-120+10t^2-10t=120t\Rightarrow10t^2-10t-120=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}=\begin{cases}t_1=4\\t_2=-3\end{cases}\]

La solución \(t=-3\) no es válida para nuestro problema, pues el tiempo no puede tomar un valor negativo.

Por tanto tendremos que el tiempo empleado en recorrer los \(120\,\text{km}.\) ha sido de \(t=4\) horas, a una velocidad de \(\displaystyle v=\frac{120}{4}=30\ \text{km/h}.\)

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Ecuaciones - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios de ecuaciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Hay ecuaciones de todo tipo: de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con denominadores y sin ellos, con radicales, etc. También se proponen algunos problemas que se resuelven planteando adecuadamente una ecuación.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a)  \(\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}-\frac{x+1}{4}=1\)

El mínimo común múltiplo de los denominadores es \(\text{mcm}\,(2,3,4)=12\). Para eliminar denominadores se multiplica por \(12\) todos los términos de la ecuación. De este modo es fácil resolver la ecuación. 

\[\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}-\frac{x+1}{4}=1\Leftrightarrow12\cdot\frac{x}{2}+12\cdot\frac{x-1}{3}-12\cdot\frac{x+1}{4}=12\cdot1\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow6x+4(x-1)-3(x+1)=12\Leftrightarrow6x+4x-4-3x-3=12\Leftrightarrow7x-7=12\]

\[\Leftrightarrow7x=19\Leftrightarrow x=\frac{19}{7}\]

b)  \(\displaystyle\frac{x-2}{3}+\frac{x+1}{6}=\frac{x-1}{4}+1\)

Para resolver la ecuación multiplicaremos todos los términos de la misma por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es \(12\).

\[12\cdot\frac{x-2}{3}+12\cdot\frac{x+1}{6}=12\cdot\frac{x-1}{4}+12\cdot1\Leftrightarrow4(x-2)+2(x+1)=3(x-1)+12\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow4x-8+2x+2=3x-3+12\Leftrightarrow4x+2x-3x=-3+12+8-2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow3x=15\Leftrightarrow x=\frac{15}{3}\Leftrightarrow x=5\]

c)  \(\displaystyle\frac{3x-17}{8}-\frac{1-x}{4}=\frac{1-4x}{13}-\frac{9+x}{6}\)

En este caso tendremos que multiplicar todos los términos por \(312\), que es el mínimo común múltiplo de los denominadores. El procedimiento es el mismo que en los dos apartados anteriores:

\[312\cdot\frac{3x-17}{8}-312\cdot\frac{1-x}{4}=312\cdot\frac{1-4x}{13}-312\cdot\frac{9+x}{6}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow39(3x-17)-78(1-x)=24(1-4x)-52(9+x)\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow 117x-663-78+78x=24-96x-468-52x\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow117x+78x+96x+52x=24-468+663+78\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow343x=297\Leftrightarrow x=\frac{297}{343}\]

d)  \(\displaystyle\left(5\sqrt[3]{5x-2}\right)^3=2\)

En primer lugar simplificaremos el primer término utilizando las propiedades de las potencias. Luego ya todo es más fácil.

\[\left(5\sqrt[3]{5x-2}\right)^3=2\Leftrightarrow5^3\sqrt[3]{5x-2}^3=2\Leftrightarrow125(5x-2)=2\Leftrightarrow625x-250=2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow625x=2+250\Leftrightarrow625x=252\Leftrightarrow x=\frac{252}{625}\]

e)  \(\displaystyle3\sqrt[3]{x+1}=4\)

Para eliminar la raíz cúbica hemos de elevar ambos miembros al cubo. Luego se procede como en el apartado anterior.

\[3\sqrt[3]{x+1}=4\Leftrightarrow\left(3\sqrt[3]{x+1}\right)^3=4^3\Leftrightarrow3^3\sqrt[3]{x+1}^3=4^3\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow27(x+1)=64\Leftrightarrow27x+27=64\Leftrightarrow27x=37\Leftrightarrow x=\frac{37}{27}\]

f)  \(\sqrt{x-2}-4=12\)

En este caso, en primer lugar, aislamos el radical. Luego se elevan ambos miembros al cuadrado y se procede como anteriormente.

\[\sqrt{x-2}-4=12\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=16\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^2=16^2\Leftrightarrow x-2=256\Leftrightarrow x=258\]

g)  \(5x^2+2x-7=4x^2+3x-1\)

Se trata de una ecuación de segundo grado. Pasamos todos los términos al primer miembro para escribirla de la forma \(ax^2+bx+c=0\) y así poder aplicar la fórmula que proporciona las soluciones de una ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Por tanto:

\[5x^2+2x-7=4x^2+3x-1\Leftrightarrow5x^2+2x-7-4x^2-3x+1=0\Leftrightarrow x^2-x-6=0\]

Los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) son, en este caso, \(a=1\), \(b=-1\) y \(c=-6\). Así pues, aplicando la fórmula y operando:

\[x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1-(-24)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3\\x_2=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{cases}\]

h)  \((3x-6)^2-9=0\)

Esta ecuación también es de segundo grado. Pero primero debemos hacer el cuadrado de la diferencia y reducir términos semejantes.

\[(3x-6)^2-9=0\Leftrightarrow9x^2-36x+36-9=0\Leftrightarrow9x^2-36x+27=0\]

Los coeficientes de la ecuación de segundo grado son: \(a=9\), \(b=-36\), \(c=27\). Entonces:

\[x=\frac{-(-36)\pm\sqrt{(-36)^2-4\cdot9\cdot27}}{2\cdot9}=\frac{36\pm\sqrt{1296-972}}{18}=\]

\[=\frac{36\pm\sqrt{324}}{18}=\frac{36\pm18}{18}=\begin{cases}x_1=\frac{36+18}{18}=\frac{54}{18}=3\\x_2=\frac{36-18}{18}=\frac{18}{18}=1\end{cases}\]

i)  \((x+1)(x-1)(x+2)=x^3-x^2+8\)

En primer lugar realizamos la operación del primer término:

\[(x+1)(x-1)(x+2)=(x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\]

La ecuación inicial es equivalente pues a esta otra: \(x^3+2x^2-x-2=x^3-x^2+8\). Pasando todos los términos al primer miembro queda una ecuación de segundo grado:

\[x^3+2x^2-x-2=x^3-x^2+8\Leftrightarrow x^3+2x^2-x-2-x^3+x^2-8=0\Leftrightarrow 3x^2-x-10=0\]

Los coefientes son, en este caso: \(a=3\), \(b=-1\), \(c=-10\). Por tanto:

\[x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3\cdot(-10)}}{2\cdot3}=\frac{1\pm\sqrt{1-(-120)}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{121}}{6}=\]

\[=\frac{1\pm11}{6}=\begin{cases}x_1=\frac{1+11}{6}=\frac{12}{6}=2\\x_2=\frac{1-11}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\end{cases}\]

j)  \(x^4+12x^2-64=0\)

Esta es una ecuación bicuadrada. Podemos escribirla así: \(\displaystyle\left(x^2\right)^2+12x^2-64=0\). Haciendo el cambio de variable \(z=x^2\) se transforma en esta otra: \(z^2+12z-64=0\), que es de segundo grado con coeficientes \(a=1\), \(b=12\), \(c=-64\). Resolvamos pues esta última:

\[z=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot1\cdot(-64)}}{2\cdot1}=\frac{-12\pm\sqrt{144-(-256)}}{2}=\frac{-12\pm\sqrt{144+256}}{2}=\]

\[=\frac{-12\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{-12\pm20}{2}=\begin{cases}z_1=\frac{-12+20}{2}=\frac{8}{2}=4\\z_2=\frac{-12-20}{2}=\frac{-32}{2}=-16\end{cases}\]

Ahora deshacemos el cambio:

Si \(z=4\), entonces \(\displaystyle x^2=4\Rightarrow x=\sqrt{4}=\begin{cases}x_1=2\\x_2=-2\end{cases}\)

Si \(z=-16\), entonces \(x^2=-16\Rightarrow x=\sqrt{-16}\), que no tiene soluciones reales.

Por tanto las soluciones de la ecuación son \(x_1=2\), \(x_2=-2\).

k)  \(\sqrt{7+2x}-\sqrt{3+x}=1\)

Aislamos el primer radical, elevamos al cuadrado, volvemos a aislar el radical resultante y volvemos a elevar al cuadrado:

\[\sqrt{7+2x}=1-\sqrt{3+x}\Leftrightarrow\left(\sqrt{7+2x}\right)^2=\left(1-\sqrt{3+x}\right)^2\Leftrightarrow 7+2x=1-2\sqrt{3+x}+3+x\Leftrightarrow\]

\[2\sqrt{3+x}=-3-x\Leftrightarrow\left(2\sqrt{3+x}\right)^2=(-3-x)^2\Leftrightarrow4(3+x)=9+6x+x^2\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow12+4x=9+6x+x^2\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\]

Hemos transformado la ecuación con radicales iniciale en una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes son \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\). Resolvámosla:

 \[x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{4-(-12)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\]

\[=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\begin{cases}x_1=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1\\x_2=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{cases}\]

Ahora tenemos que comprobar si estas soluciones cumple la ecuación original.

Si \(x=1\), entonces \(\sqrt{7+2\cdot1}-\sqrt{3+1}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1\), con lo que \(x=1\) es una solución válida.

Si \(x=-3\), entonces \(\sqrt{7+2\cdot(-3)}-\sqrt{3+(-3)}=\sqrt{1}-\sqrt{0}=1-0=1\), y \(x=-3\) es también una solución válida.

En este tipo de ecuaciones con radicales esta comprobación final siempre hay que hacerla, pues es posible que algunas de las soluciones de la ecuación de segundo grado no satisfagan la ecuación original y entonces habrá que descartarlas.


Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello plantea la ecuación adecuada en cada uno de ellos.

a)  Un comerciante vende la tercera parte de una pieza de tela. Posteriormente vende las \(\displaystyle \frac{3}{4}\) partes del resto y ve que le sobran \(6\) metros. ¿Cuál es la longitud de la pieza?

Supongamos que la longitud de la pieza de tela es de \(x\) metros.

Como vende la tercera parte le queda la siguiente fracción de tela:

\[x-\frac{x}{3}=\frac{3x}{3}-\frac{x}{3}=\frac{2x}{3}\]

Como posteriormente vende las \(\displaystyle \frac{3}{4}\) partes del resto, ahora le sobra la siguiente porción de tela:

\[\frac{2x}{3}-\frac{3}{4}\cdot\frac{2x}{3}=\frac{2x}{3}-\frac{2x}{4}=\frac{8x}{12}-\frac{6x}{12}=\frac{2x}{12}=\frac{x}{6}\]

Como finalmente le sobran \(6\) metros se tiene que:

\[\frac{x}{6}=6\Rightarrow x=36\]

Por tanto la pieza de tela tiene una longitud de \(36\) metros.

b)  Hace doce años, la edad del padre era cuatro veces la de su hijo. Sabiendo que el padre tenía \(27\) años cuando nació el hijo, hallar las edades de ambos.

Llamemos \(x\) a la edad del hijo. Hace doce años el hijo tendría pues \(x-12\) años. En ese momento la edad del padre era cuatro veces la de su hijo, es decir, \(4(x-12)=4x-48\) años. Si precisamente es este momento restamos los \(x-12\) años del hijo estaremos en el añó en que éste nació, que era cuando el padre tenía justamente \(27\) años:

\[(4x-48)-(x-12)=27\]

Resolviendo esta ecuación:

\[(4x-48)-(x-12)=27\Leftrightarrow 3x-36=27\Leftrightarrow 3x=63\Leftrightarrow x=21\]

Por tanto la edad actual del hijo es de \(21\) años.

Hemos visto que hace doce años el padre tenía \(4(x-12)=4x-48\) años, es decir \(4\cdot21-48=84-48=36\). Por tanto la edad actual del padre es \(36+12=48\) años.

Obsérvese que se llevan \(27\) años, la edad que el padre tenía cuando nació el hijo.

c)  Ana tiene el triple de la edad de Carlos. Cuando pasen \(16\) años tendrá el doble de años que Carlos. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Supongamos que la edad de Carlos es \(x\) años. Entonces, como Ana tiene el triple de la edad de Carlos, tendrá \(3x\) años. Cuando pasen \(16\) años Carlos tendrá \(x+16\) años y Ana tendrá \(3x+16\) años. En ese momento Ana tendrá el doble de años que Carlos, es decir, \(3x+16=2(x+16)\). Resolviendo esta ecuación:

\[3x+16=2(x+16)\Leftrightarrow 3x+16=2x+32\Leftrightarrow x=16\]

Esto quiere decir que Carlos tiene \(16\) años y Ana tiene \(3x=3\cdot16=48\) años.

d)  Juan tiene \(86\) céntimos repartidos en monedas de \(2\) céntimos y de \(5\) céntimos. Si en total tiene \(28\) monedas, ¿cuántas son de \(2\) céntimos y cuántas de \(5\) céntimos?

Llamemos \(x\) al número de monedas de \(2\) céntimos. Entonces, como Juan tiene en total \(28\) monedas, de \(5\) céntimos tendrá \(28-x\) monedas. Por tanto el dinero que tiene en total es \(2x+5(28-x)\) y esto ha de ser igual a los \(86\) céntimos que tiene Juan, es decir, \(2x+5(28-x)=86\). Resolviendo esta ecuación:

\[2x+5(28-x)=86\Leftrightarrow2x+140-5x=86\Leftrightarrow-3x=-54\Leftrightarrow x=18\]

Por tanto Juan tiene \(18\) monedas de \(2\) céntimos y \(28-x=28-18=10\) monedas de \(5\) céntimos.

e)  Se han consumido \(\displaystyle\frac{7}{8}\) partes de un bidón de aceite. Reponiendo \(38\) litros ha quedado lleno hasta sus \(\displaystyle\frac{3}{5}\) partes. Calcular la capacidad del bidón.

Llamemos \(x\) a la capacidad del bidón. Como se han consumido \(\displaystyle\frac{7}{8}\) partes, queda \(\displaystyle\frac{1}{8}\) parte. Es decir, al bidón le quedan \(\displaystyle\frac{x}{8}\) litros. Resulta que si se reponen \(38\) litros queda lleno hasta sus \(\displaystyle\frac{3}{5}\) partes. Es decir:

\[\frac{x}{8}+38=\frac{3x}{5}\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[\frac{x}{8}+38=\frac{3x}{5}\Leftrightarrow40\cdot\frac{x}{8}+40\cdot38=40\cdot\frac{3x}{5}\Leftrightarrow5x+1520=24x\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow1520=24x-5x\Leftrightarrow1520=19x\Leftrightarrow x=80\]

Por tanto la capacidad del bidón es de \(80\) litros.

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