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La propiedad de compacidad para funciones continuas

En un artículo anterior hemos obtenido dos importantes resultados relacionados con la continuidad de una función en un intervalo: el teorema de los ceros de Bolzano y el teorema del valor intermedio. De hecho, este último afirma que la imagen por una función continua de un intervalo es otro intervalo. Sin embargo el intervalo imagen no tiene por qué ser del mismo tipo que el de partida (podemos ver ejemplos de esto en los ejercicios 4, 5 y 6 del mencionado artículo). No obstante hay un tipo de intervalos que sí se conserva.

Teorema (propiedad de compacidad).

La imagen por una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado.

Sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) continua en \([a,b]\). Sabemos que \(f([a,b])\) es un intervalo.

Empezaremos probando que \(f([a,b])\) está acotado. De lo contrario el conjunto \(\{|f(x)|\,:\,x\in[a,b]\}\) no está mayorado, luego dado un natural \(n\) debe existir un punto \(x_n\in[a,b]\) tal que \(|f(x_n)|>n\). La sucesión \(\{x_n\}\) así construida es acotada, luego por el teorema de Bolzano-Weierstrass admite una sucesión parcial \(\{x_{\sigma(n)}\}\) convergente. Sea \(x=\lim x_{\sigma(n)}\). Por ser \(a\leqslant x_{\sigma(n)}\leqslant b\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos que \(x\in[a,b]\) y por ser \(f\) continua en \(x\) la sucesión \(\{f(x_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(x)\) y en particular es una sucesión acotada. Ello es una contradicción, pues entonces existe un número real \(M\) tal que \(|f(x_{\sigma(n)})|\leqslant M,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), de donde para cada natural \(n\) se tiene que \(n\leqslant\sigma(n)<|f(x_{\sigma(n)})|\leqslant M\). Así pues, \(f([a,b])\) es acotado.

Sean \(\alpha=\inf f([a,b])\) y \(\beta=\sup f([a,b])\). Sea \(\{y_n\}\) una sucesión de puntos de \(f([a,b])\) convergente a \(\beta\) y para cada natural \(n\) sea \(t_n\in[a,b]\) tal que \(f(t_n)=y_n\). Entonces \(\{t_n\}\) es una sucesión acotada; sea \(\{t_{\sigma(n)}\}\) una sucesión parcial convergente a un \(t\in[a,b]\). Por ser \(f\) continua en \(t\) tenemos que \(\{f(t_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(t)\), pero \(\{f(t_{\sigma(n)})\}=\{y_{\sigma(n)}\}\) e \(\{y_{\sigma(n)}\}\) converge a \(\beta\), de donde se deduce que \(\beta=f(t)\in f([a,b])\). El mismo razonamiento puede hacerse para probar que \(\alpha\in f([a,b])\) (\(\alpha\) también es límite de una sucesión de puntos de \(f([a,b])\)). Por el teorema del valor intermedio tenemos que \([\alpha,\beta]\subset f([a,b])\) pero la inclusión contraria es trivialmente cierta y, por tanto, \(f([a,b])=[\alpha,\beta]\), lo que demuestra el teorema.

Obsérvese que la hipótesis de que el intervalo de definición de la función, en el teorema anterior, sea cerrado y acotado, es esencial en la demostración; si hubiésemos tenido un intervalo no acotado las sucesiones \(\{x_n\}\) y \(\{t_n\}\) que aparecen en la demostración no tendrían por qué ser acotadas, mientras que si hubiéramos tenido un intervalo acotado pero no cerrado los límites \(x\) y \(t\) de las parciales convergentes extraídas no tendrían por qué pertenecer al intervalo.

Vamos a introducir ahora alguna terminología que nos permita enunciar el teorema anterior de manera más sugerente.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real. Diremos que \(f\) está acotada (respectivamente mayorada, minorada) si su imagen \(f(A)=\{f(x)\,:\,x\in A\}\) es un conjunto acotado (respectivamente mayorado, minorado) de números reales. Así pues, simbólicamente:

\(f\) está mayorada \(\Leftrightarrow\exists\,K\in\mathbb{R}\,:\,K\geqslant f(x),\,\forall x\in A\).

\(f\) está minorada \(\Leftrightarrow\exists\,k\in\mathbb{R}\,:\,k\leqslant f(x),\,\forall x\in A\).

\(f\) está acotada \(\Leftrightarrow\exists\,M\in\mathbb{R}^+\,:\,M\geqslant|f(x)|,\,\forall x\in A\).

Esta definición extiende a la que en su momento se dio para sucesiones de números reales.

Diremos que \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) tiene máximo (respectivamente mínimo) si su imagen \(f(A)\) tiene máximo (respectivamente mínimo). Si \(x_0\in A\) es tal que \(f(x_0)=\max f(A)\) (respectivamente \(f(x_0)=\min f(A)\)), diremos que \(f\) alcanza su máximo (respectivamente mínimo) absoluto en el punto \(x_0\). Es conveniente observar que una función puede alcanzar su máximo o su mínimo en más de un punto, lo cual no significa naturalmente que \(f(A)\) tenga más de un máximo o más de un mínimo. Debe distinguirse claramente el punto \(x_0\) donde se alcanza el máximo o el mínimo absoluto de una función del máximo o mínimo absoluto alcanzado, \(f(x_0)\).

Con la terminología anterior, la propiedad de compacidad puede enunciarse diciendo que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y tiene máximo y mínimo absolutos (el hecho de que la imagen sea un intervalo viene ya obligado por el teorema del valor intermedio). Enunciado el teorema en la forma anterior, cabe volver a analizar la demostración para ver como juega la hipótesis de que el conjunto de definición sea un intervalo cerrado y acotado. Lo que realmente se utiliza de \([a,b]\) para probar que \(f\) está acotada y tiene máximo y mínimo absolutos es que toda sucesión de puntos de \([a,b]\) admita una parcial convergente a un punto de \([a,b]\). Se puede comprobar sin dificultad que los únicos intervalos con esta propiedad son los cerrados y acotados, pero existen conjuntos no vacíos de números reales que no son intervalos y que cumplen la propiedad anterior, como por ejemplo los conjuntos finitos o el conjunto \([0,1]\cup[2,3]\).

Proponemos a continuación cuatro ejercicios relacionados con la propiedad de compacidad (con sus respectivas soluciones).

Ejercicios

1. Sean \(f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=x,\,\forall\,x\in(0,1)\); \(g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
               \frac{x}{1+x} & \text{si} & x\geqslant0 \\
               \frac{x}{1-x} & \text{si} & x<0
             \end{array}
      \right.\). Comprobar que \(f\) y \(g\) son continuas y acotadas pero no tienen máximo ni mínimo absolutos.

\(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) por ser polinómica y, por el carácter local de la continuidad, también lo es en el intervalo \((0,1)\). La imagen de la función \(f\) vuelve a ser el intervalo \((0,1)\) (\(f\) es la función identidad) que no tiene ni máximo ni mínimo, luego \(f\) no tiene máximo ni mínimo absolutos.

Usando el carácter local de la continuidad \(g\) es claramente continua en \(\mathbb{R}^+\) y en \(\mathbb{R}^-\) pues las respectivas restricciones de \(g\) a \(\mathbb{R}^+\) y \(\mathbb{R}^-\) son funciones racionales, luego continuas. En \(x_0=0\) también es continua pues si \(\{x_n\}\) es una sucesión de números reales convergente a \(0\), la sucesión \(\{g(x_n)\}\) converge a \(g(0)=0\) (basta observar para ello que \(\{g(x_n)\}\) es de la forma \(\left\{\frac{x_n}{1+x_n}\right\}\) o \(\left\{\frac{x_n}{1-x_n}\right\}\) que claramente convergen a cero pues \(\{x_n\}\rightarrow0\)). Así pues \(g\) es continua.

compacidad 01

Dado \(x_0\in\mathbb{R}_0^+\) se tiene \(0\leqslant x<1+x\Leftrightarrow 0\leqslant\frac{x}{1+x}<1\). Ahora bien, dado \(x\in\mathbb{R}^-\), \(-x\in\mathbb{R}^+\) y entonces por los visto anteriormente \(0<\frac{-x}{1-x}<1\Leftrightarrow 0>\frac{x}{1-x}>-1\), o lo que es lo mismo, \(-1<\frac{x}{1-x}<0\). Esto demuestra que la imagen de la función \(g\) es el intervalo \((-1,1)\), que no tiene máximo ni mínimo. Por tanto \(g\) no tiene ni máximo ni mínimo absolutos (véase la representación gráfica de la función en la figura anterior).

2. Probar que si \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) es una función continua en \(0\), entonces existe un número real y positivo \(\delta\) tal que la restricción de \(f\) al intervalo \([-\delta,\delta]\) está acotada.

Al ser \(f\) es continua en \(0\) se tiene que

\[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,\delta'>0\,:\,|x|<\delta'\Rightarrow|f(x)-f(0)|<\varepsilon\]

Tomando \(\varepsilon=1\) tenemos entonces que

\[|f(x)|-|f(0)|\leqslant|f(x)-f(0)|<1\Rightarrow|f(x)|<|f(0)|+1\]

Esto demuestra que \(f\) está acotada en \((-\delta',\delta')\). Tomando \(\delta=\frac{\delta'}{2}\), tenemos que \(f\) está acotada en \([-\delta,\delta]\).

3. Sea \(I\) un intervalo cerrado y acotado y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(I\). Supongamos que existe una sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(I\) tal que \(f(x_n)=\frac{1}{n},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Pruébese que \(0\in f(I)\). Muéstrese con ejemplos que la hipótesis de que el intervalo \(I\) sea cerrado y acotado no puede suprimirse.

Por ser \(I\) cerrado y acotado y \(f\) continua en \(I\), \(f(I)\) es un intervalo cerrado y acotado: \([\alpha,\beta]\). La sucesión \(\{\frac{1}{n}\}\) converge a \(0\) y como \(\alpha\leqslant\frac{1}{n}\leqslant\beta,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos que \(0\in[\alpha,\beta]=f(I)\).

Sea \(f:(0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x,\,\forall\,x\in[0,1]\). Sea \(\{x_n\}=\{\frac{1}{n}\}\). Entonces tenemos que \(\{f(x_n)\}=\{f(\frac{1}{n})\}=\{\frac{1}{n}\}\). La imagen de la función \(f\), por ser ésta la identidad, es el intervalo \((0,1]\) al cual, obviamente, no pertenece el cero. Así se muestra que la hipótesis de que el intervalo \(I\) sea cerrado y acotado efectivamente no puede suprimirse.

4. Sea \(f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2},\,\forall\,x\in[-1,1]\). Determínese la imagen de \(f\).

La imagen de \(f\) es un intervalo cerrado y acotado. Sea éste \([\alpha,\beta]\). Como \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\geqslant0\), \(\forall\,x\in[-1,1]\) y \(f(0)=0\) entonces \(\alpha=0\) (\(f\) tiene en \(0\) un mínimo absoluto y éste toma el valor \(0\)). Supongamos que \(\exists\,x\in[-1,1]\) tal que \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}>\frac{1}{2}\). Entonces \(1+x^2<2x^2\Leftrightarrow1<x^2\), pero esto es absurdo pues \(-1\leqslant x\leqslant1\). Así pues \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2},\,\forall\,x\in[-1,1]\). Como \(f(1)=\frac{1}{2}\), entonces \(\beta=1\) (\(f\) tiene en \(1\) un máximo absoluto y éste toma el valor \(\frac{1}{2}\)). De esta forma la imagen de \(f\) es el intervalo \([0.\frac{1}{2}]\) (ver a continuación la representación gráfica de la función \(f\)).

compacidad 02


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El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

Un problema relativo a velocidad

Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza de la gravedad no actuara en él, el proyectil continuaría subiendo a velocidad constante, recorriendo una distancia de \(45\) metros cada segundo, y en el tiempo \(t\) se tendría \(f(t)=45t\). Pero a causa de la gravedad, el proyectil va retardándose hasta que su velocidad llega a valer cero, y a partir de ese momento cae al suelo. Experiencias físicas indican que mientras el proyectil está en movimiento su altura \(f(t)\) viene dada aproximadamente por la fórmula

\[f(t)=45t-5t^2\qquad(1)\]

El término \(-5t^2\) es debido a la influencia de la gravedad. Obsérvese que \(f(t)=0\) cuando \(t=0\) y \(t=9\); o sea, que el proyectil regresa a la tierra después de \(9\) segundos, por lo que la fórmula anterior sólo es válida para \(0\leqslant t\leqslant9\).

El problema a considerar es el siguiente: Determinar la velocidad del proyectil en cada instante de su movimiento. Para poder comprender este problema, hay que precisar lo que se entiende por velocidad en cada instante. Para ello, se introduce la noción de velocidad media durante un intervalo de tiempo, es decir, desde el instante \(t\) al \(t+h\), definiéndola como el cociente:

\[\frac{\text{diferencia de distancias en el intervalo de tiempo}}{\text{intervalo de tiempo}}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\]

Este cociente, llamado cociente incremental, es un número que se puede calcular siempre que \(t\) y \(t+h\) pertenezcan ambos al intervalo \([0,9]\). El número \(h\) puede ser positivo o negativo, pero no cero. Se dejará fijo \(t\) y se estudiará lo que le ocurre al cociente incremental, cuando se dan a \(h\) valores cada vez menores en valor absoluto.

Por ejemplo, considérese el instante \(t=2\). La distancia recorrida después de \(2\) segundo es:

\[f(2)=90-20=70\]

En el tiempo \(t=2+h\) la distancia recorrida es:

\[f(2+h)=45(2+h)-5(2+h)^2=70+25h-5h^2\]

Por tanto, la velocidad media en el intervalo entre \(t=2\) y \(t=2+h\) es

\[\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{25h-5h^2}{h}=25-5h\]

Tomando valores de \(h\) cada vez más pequeños en valor absoluto, esta velocidad media se acerca más y más a \(25\). Por ejemplo, si \(h=0,1\) la velocidad media es \(24,5\); si \(h=0,001\), es \(24,995\); si \(h=0,00001\), se obtiene el valor \(24,99995\), y cuando \(h=-0,00001\) se obtiene \(25,00005\). Lo importante es que se puede obtener la velocidad media tan próxima a \(25\) como se desee, si más que tomar \(|h|\) suficientemente pequeño. Se describe este hecho diciendo que la velocidad media tiende al límite \(25\) cuando \(h\) tiende a cero. Parece natural llamar al valor de este límite la velocidad instantánea en el instante \(t=2\).

Los mismos cálculos se pueden efectuar para cualquier otro instante. La velocidad media en un intervalo arbitrario entre \(t\) y \(t+h\) está dado por el cociente:

\[\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{(45(t+h)-5(t+h)^2)-(45t-5t^2)}{h}=45-10t-5h\]

Cuando \(h\) tiende a cero, la expresión de la derecha tiende al límite \(45-10t\) que define la velocidad instantánea en el instante \(t\). Designando la velocidad instantánea por \(v(t)\) se tiene

\[v(t)=45-10t\qquad(2)\]

La fórmula \((1)\) del espacio \(f(t)\), define una función \(f\) que indica la altura a que se encuentra el proyectil en cada instante de su movimiento; \(f\) se denomina función posición o ley de espacios. Su dominio es el intervalo cerrado \([0,9]\) y su gráfica es la siguiente:

grafica espacio 01

La fórmula \((2)\) de la velocidad \(v(t)\) define una nueva función \(v\) que indica la rapidez con que se mueve el proyectil en cada instante de su movimiento, se denomina función velocidad y su gráfica la tienes a continuación.

grafica velocidad 01

Obsérvese que, al crecer \(t\) de \(0\) a \(9\), \(v(t)\) decrece constantemente de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\). Para hallar el instante \(t\) en el cual \(v(t)=0\) se resuelve la ecuación \(45-10t=0\) obteniéndose \(t=\frac{9}{2}\). Por tanto, en el punto central del movimiento la influencia de la gravedad reduce la velocidad a cero y el proyectil queda instantáneamente fijo. La altura en este instante es \(f(\frac{9}{2})=101,25\). Si \(t>\frac{9}{2}\), la velocidad es negativa y la altura decrece.

El proceso por el cual se obtiene \(v(t)\) a partir del cociente incremental se denomina "hallar el límite cuando \(h\) tiende a cero", y se expresa simbólicamente como sigue:

\[v(t)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\qquad(3)\]

Esta expresión usada para definir la velocidad, en el ejemplo anterior, tiene un sentido más amplio y permite definir la velocidad en movimientos a lo largo de una línea recta, cuando se conozca la función de posición \(f\), y siempre que el cociente incremental tienda a un límite cuando \(h\) tiende a cero.

Derivada de una función

El ejemplo expuesto en el apartado anterior señala el camino para introducir el concepto de derivada. Sea \(f\) una función definida por lo menos en un intervalo abierto \((a,b)\) del eje \(X\). Se elige un punto \(x\) en este intervalo y se forma el cociente de diferencias

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

donde el número \(h\) puede ser positivo o negativo (pero no cero), y tal que \(x+h\) pertenezca también a \((a,b)\). El numerador de este cociente mide la variación de la función cuando \(x\) varía de \(x\) a \(x+h\). El cociente representa la variación media de \(f\) en el intervalo que une \(x\) a \(x+h\).

Seguidamente se hace tender \(h\) a cero y se estudia lo que le ocurre a ese cociente. Si tiende hacia un cierto valor como límite (y será el mismo, tanto si \(h\) tiende a cero con valores positivos como negativos), entonces ese límite se denomina derivada de \(f\) en \(x\) y se indica por el símbolo \(f'(x)\). Por tanto, la definición formal de \(f'(x)\) puede establecerse del siguiente modo.

Definición de derivada.

La derivada \(f'(x)\) está definida por la igualdad

\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\qquad(4)\]

con tal que el límite exista. El número \(f'(x)\) también se denomina coeficiente de variación de \(f\) en \(x\).

Comparando la igualdad \((4)\) con la igualdad \((3)\) se ve que el concepto de velocidad instantánea es simplemente un ejemplo del concepto de derivada. La velocidad \(v(t)\) es igual a la derivada \(f'(t)\) cuando \(f\) es la ley de espacios; lo que frecuentemente se expresa diciendo que la velocidad es la relación entre la variación del espacio y la del tiempo. Ya hemos visto en el apartado anterior que la ley de espacios está dada por la ecuación \(f(t)=45t-t^2\), y su derivada \(f'\) es una nueva función (velocidad) dada por \(f'(t)=45-10t\).

En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene \(f'(x)\) a partir de \(f(x)\), abre un camino para obtener una nueva función \(f'\) a partir de una función dada \(f\). Este proceso se denomina derivación, y \(f'\) es la primera derivada de \(f\). Si \(f'\) a su vez está definida en un intervalo abierto, se puede también calcular su primera derivada, indicada por \(f''\) y que es la segunda derivada de \(f\). Análogamente, la derivada \(n\)-sima de \(f\), que se indica por \(f^{(n)}\), se define como la derivada primera de \(f^{(n-1)}\). Convendremos en que \(f^{(0)}=f\), esto es, la derivada de orden cero es la misma función.

En el caso del movimiento rectilíneo, la primera derivada de la velocidad (segunda derivada del espacio) se denomina aceleración. Por ejemplo, para calcular la aceleración en el ejemplo del apartado anterior, se puede utilizar la ecuación \((2)\) para formar el cociente de diferencias

\[\frac{v(t+h)-v(t)}{h}=\frac{(45-10(t+h))-(45-10t)}{h}=\frac{-10h}{h}=-10\]

Como este cociente no varía al tender \(h\) a \(0\), se puede considerar que tiende a \(-10\) (puesto que es \(-10\) cuando \(h\) está próximo a \(0\)). Se concluye pues que la aceleración en este problema es constante e igual a \(-10\), lo que indica que la velocidad decrece a una razón de \(10\) metros por segundo cada segundo. En \(9\) segundos el decrecimiento total de la velocidad es \(9\cdot10=90\) metros por segundo, que está de acuerdo con el hecho de que durante los \(9\) segundos de movimiento la velocidad cambie de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\).

Ejemplos de derivadas

EJEMPLO 1. Derivada de la función constante. Supongamos que \(f\) es una función constante: sea por ejemplo \(f(x)=k\), para todo \(x\). El cociente de diferencias es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0\]

Puesto que el cociente es \(0\) para todo \(x\), su límite cuando \(h\) tiende a cero, \(f'(x)\), es también \(0\) para todo \(x\). Dicho de otro modo, una función constante tiene derivada nula para todo \(x\).

EJEMPLO 2. Derivada de la función lineal. Sea \(f\) una función lineal, por ejemplo \(f(x)=mx+n\) para todo real \(x\). Si \(h\neq0\), tenemos

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{m(x+h)+b-(mx+b)}{h}=\frac{mh}{h}=m\]

Como que el cociente de diferencias no cambia cuando \(h\) tiende a \(0\), resulta que \(f'(x)=m\), para cada \(x\). Así que, la derivada de una función lineal es una función constante.

EJEMPLO 3. Derivada de una función potencial de exponente entero positivo. Consideremos el caso \(f(x)=x^n\), siendo \(n\) un entero positivo. El cociente de diferencias es ahora

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\]

En álgebra elemental se tiene la igualdad (¡compruébese!)

\[a^n-b^n=(a-b)\left(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\ldots+a^{n-2}b+a^{n-1}\right)\]

Es conveniente observar que el segundo paréntesis del segundo miembro tiene \(n\) sumandos. Si en la igualdad anterior se toma \(a=x+h\) y \(b=x\), la identidad se transforma en:

\[(x+h)^n-x^n=h\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\right)\]

Si dividimos entre \(h\) los dos miembros de la igualdad tenemos:

\[\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\]

Insistimos en que en la suma del segundo miembro hay \(n\) términos. Cuando \(h\) tiende a \(0\) tenemos:

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\right)=\]

\[=x^{n-1}+x\cdot x^{n-2}+x^2\cdot x^{n-3}+\ldots+x^{n-2}\cdot x+x^{n-1}=x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\ldots n\text{ veces}\ldots+x^{n-1}\]

Por tanto, la suma de los últimos \(n\) términos es \(nx^{n-1}\). En definitiva: \(f'(x)=nx^{n-1}\), para todo \(x\).

EJEMPLO 4. Derivada de la función seno. Sea \(f(x)=\text{sen}\,x\). El cociente de diferencias es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}\,x}{h}\]

Para transformarlo de modo que haga posible calcular el límite cuando \(h\rightarrow0\), utilizamos la identidad trigonométrica

\[\text{sen}\,A-\text{sen}\,B=2\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\]

Poniendo \(A=x+h\) y \(B=x\) tenemos

\[\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}\,x}{h}=\frac{2\,\text{sen}\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}}{h}=\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\]

Cuando \(h\rightarrow0\), el factor \(\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\rightarrow\cos x\) por la continuidad del coseno. Asimismo, el siguiente límite

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\]

(ver gráfica de la función \(\frac{\text{sen}\,x}{x}\), la cual tienes a continuación), demuestra que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1\]

grafica senx partido x

Por lo tanto el cociente de diferencias tiene como límite \(\cos x\) cuando \(h\rightarrow0\). Dicho de otro modo, \(f'(x)=\cos x\) para todo \(x\), es decir, la derivada de la función seno es el coseno.

EJEMPLO 5. Derivada de la función coseno. Sea \(f(x)=\cos x\). Demostraremos que \(f'(x)=-\text{sen}\,x\), esto es, que la derivada de la función coseno es menos la función seno. Hemos de partir ahora de la identidad trigonométrica siguiente:

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\text{sen}\frac{A+B}{2}\]

Pongamos \(A=x+h\) y \(B=x\). De manera similar a como se ha procedido en el ejemplo anterior, esto nos conduce a la fórmula

\[\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=-\frac{2\,\text{sen}\frac{h}{2}\text{sen}\frac{2x+h}{2}}{h}=-\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\text{sen}\left(x+\frac{h}{2}\right)\]

La continuidad de la función seno demuestra que \(\text{sen}(x+\frac{h}{2})\rightarrow\text{sen}\,x\) cuando \(h\rightarrow0\). Además, recordemos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\). Por tanto \(f'(x)=-\text{sen}\,x\).

EJEMPLO 6. Derivada de la función raíz n-sima. Si \(n\) es un entero positivo, sea \(f(x)=x^{1/n}\) para \(x>0\). El cociente de diferencias para \(f\) es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{1/n}-x^{1/n}}{h}\]

Pongamos \(u=(x+h)^{1/n}\) y \(v=x^{1/n}\). Tenemos entonces \(u^n=x+h\) y \(v^n=x\), con lo que \(h=u^n-v^n\), y el cociente de diferencias toma la forma (ver ejemplo 3)

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{u-v}{u^n-v^n}=\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\ldots+uv^{n-2}+v^{n-1}}\]

La continuidad de la función raíz \(n\)-sima prueba que \(u\rightarrow v\) cuando \(h\rightarrow0\). Por consiguiente, cada término del denominador del miembro de la derecha tiene límite \(v^{n-1}\) cuando \(h\rightarrow0\). En total hay \(n\) términos, con lo que el cociente de diferencias tiene como límite \(\frac{1}{nv^{n-1}}=\frac{v^{1-n}}{n}\). Puesto que \(v=x^{1/n}\), esto demuestra que

\[f'(x)=\frac{x^{(1/n)(1-n)}}{n}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}\]

EJEMPLO 7. Continuidad de las funciones que admiten derivadas. Si una función \(f\) tiene derivada en un punto \(x\), es también continua en \(x\). Para demostrarlo, empleamos la identidad

\[f(x+h)=f(x)+h\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\]

que es válida para \(h\neq0\). Si hacemos que \(h\rightarrow0\), el cociente de diferencias del segundo miembro tiende a \(f'(x)\) y, puesto que este cociente está multiplicado por un factor que tiende hacia \(0\), el segundo término del segundo miembro tiende a \(0\). Esto demuestra que \(f(x+h)\rightarrow f(x)\) cuando \(h\rightarrow0\), y por tanto que \(f\) es continua en \(x\) (obsérvese que esto es lo mismo que decir, haciendo un adecuado cambio de variable, que \(f(x)\rightarrow f(a)\) cuando \(x\rightarrow a\)).

Este último ejemplo proporciona un nuevo procedimiento para probar la continuidad de las funciones. Cada vez que establecemos la existencia de una derivada \(f'(x)\), establecemos también, al mismo tiempo, la continuidad de \(f\) en \(x\). Debería observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La continuidad en \(x\) no implica necesariamente la existencia de la derivada \(f'(x)\). Por ejemplo, cuando \(f(x)=|x|\), el punto \(x=0\) es de continuidad de \(f\) (ya que \(f(x)\rightarrow f(0)=0\) cuando \(x\rightarrow0\)), pero no existe derivada en \(0\). El cociente de diferencias \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) es igual a \(\frac{|h|}{h}\). Éste vale \(1\) si \(h>0\) y \(-1\) si \(h<0\), y por consiguiente no tiene límite cuando \(h\rightarrow0\).

grafica valor absoluto

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


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Continuidad de una función en un intervalo. El teorema del valor intermedio

Ya hemos tratado en un artículo anterior el problema de la continuidad de una función. Ahora nos hemos de preguntar sobre las ventajas que, en análisis matemático, nos proporciona este hecho. Existen una serie de resultados importantes que nos dan propiedades fundamentales de las funciones continuas, sobre todo de las funciones definidas por intervalos. Lo pondremos de manifiesto en este artículo (dedicado al teorema de los ceros de Bolzano y al teorema del valor intermedio), y en otros dos próximos (propiedad de compacidad, funciones continuas e inyectivas). La lectura de este artículo también exigiría la lectura anterior del artículo dedicado a los mayorantes y minorantes, al supremo y al ínfimo y al axioma del supremo.

Antes de entrar de lleno en las propiedades de las funciones continuas definidas por intervalos recordaremos una amplia familia de subconjuntos de \(\mathbb{R}\).

Dados dos números reales \(a\) y \(b\), con \(a\leqslant b\), notaremos:

\[[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a\leqslant x\leqslant b\}\]

\[[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a\leqslant x< b\}\]

\[(a,b]=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a< x\leqslant b\}\]

\[(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a<x<b\}\]

Estos conjuntos reciben, respectivamente, el nombre de intervalo cerrado, semiabierto por la derecha, semiabierto por la izquierda y abierto, de origen \(a\) y extremo \(b\).

Dado un número real \(a\) cualquiera, notaremos también:

\[(\leftarrow,a]=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x\leqslant a\}\]

\[(\leftarrow,a)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x<a\}\]

\[[a,\rightarrow)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x\geqslant a\}\]

\[(a,\rightarrow)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x<a\}\]

conjuntos que reciben, respectivamente, el nombre de semirrecta cerrada de extremo \(a\), abierta de extremo \(a\), cerrada de origen \(a\) y abierta de origen \(a\). A los conjuntos anteriores también se les suele notar, respectivamente, del siguiente modo: \((-\infty,a]\), \((-\infty,a)\), \([a,+\infty)\), \((a,+\infty)\).

Diremos que un conjunto \(A\) de números reales es un intervalo si \(A=\mathbb{R}\) o bien \(A\) responde a una de las ocho descripciones dadas anteriormente. Por cierto, hay que hacer notar que el conjunto vacío y el conjunto \(\{a\}\) (formado por un solo elemento) en que \(a\) es un número real, son intervalos.

Es inmediato comprobar que si \(A\) es un intervalo y \(x\), \(y\) son elementos de \(A\) con \(x<y\) todo real \(z\) en la situación \(x\leqslant z\leqslant y\) pertenece al conjunto \(A\). Veamos a continuación una propiedad que caracteriza a los intervalos y que no es tan evidente.

Proposición.

Condición necesaria y suficiente para que un conjunto \(A\) de números reales sea un intervalo es que para cualesquiera dos elementos \(x\) e \(y\) de \(A\) con \(x<y\) se tenga \([x,y]\subset A\).

La necesidad de la condición es comprobación inmediata, tal y como se ha comentado anteriormente.

Para probar la suficiencia, sea \(A\) un conjunto de números reales verificando la siguiente condición:

\[x,\,y\in A\,,\,x<y\Rightarrow[x,y]\subset A\]

Deberemos probar que \(A\) es uno de los nueve tipos de intervalos definidos anteriormente.

Si \(A\) es vacío no hay nada que demostrar, pues entonces para cualquier número real \(a\) se tiene \(A=(a,a)\). Supongamos por tanto \(A\) no vacío y distingamos varios casos.

  • Si \(A\) no está minorado ni mayorado, dado \(z\in\mathbb{R}\), \(z\) no puede ser minorante ni mayorante de \(A\), luego existen \(x\), \(y\) en \(A\), con \(x<z<y\), de donde \(z\in[x,y]\subset A\) y obtenemos \(A=\mathbb{R}\).
  • Si \(A\) está mayorado pero no minorado, sea \(b=\sup A\). Entonces, dado \(z\in\mathbb{R}\), con \(z<b\), \(z\) no es mayorante ni minorante de \(A\), luego existen \(x,\,y\in A\), con \(x<z<y\), de donde \(z\in[x,y]\subset A\). Se tiene por tanto: \((-\infty,b)\subset A\subset (-\infty, b]\), lo que deja dos posibilidades: \(A=(-\infty,b)\) o bien \(A=(-\infty, b]\).
  • Si \(A\) está minorado pero no mayorado se demuestra de manera análoga al caso anterior que o bien \(A=(a,+\infty)\) o bien \(A=[a,+\infty)\), en que \(a=\inf A\).
  • Finalmente, si \(A\) está acotado, sean \(a=\inf A\) y \(b=\sup A\). Dado \(z\), con \(a<z<b\), \(z\) no puede ser mayorante ni minorante de \(A\), luego existen otra vez \(x,\,y\in A\) tales que \(x<z<y\), de donde \(z\in A\). Así tenemos: \((a,b)\subset A\subset[a,b]\), lo que deja cuatro posibilidades según que \(a\) y \(b\) pertenezcan o no al conjunto \(A\), a saber: \(A=(a,b)\), \(A=(a,b]\), \(A=[a,b)\), \(A=[a,b]\).

La primera de las propiedades de las funciones continuas definidas en intervalos es la conocida como propiedad del valor intermedio, según la cual una función continua en un intervalo que tome dos valores está obligada a tomar todos los comprendidos entre ellos. Desde el punto de vista gráfico es bastante intuitivo imaginar esta situación, la cual vamos a formalizar. Antes necesitamos probar algunos resultados.

Lema de conservación del signo.

Sea \(A\) un conjunto de números reales, \(x_0\) un punto de \(A\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(x_0\) con \(f(x_0)\neq0\). Entonces existe un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es cualquier punto de \(A\) verificando \(|x-x_0|<\delta\) se tiene \(f(x)f(x_0)>0\) (o lo que es lo mismo, \(f(x)\) tiene el mismo signo que \(f(x_0)\)).

Por ser \(f\) una función continua en \(x_0\) tenemos, por la caracterización de la continuidad (ver el final de artículo dedicado a la continuidad de una función), que

\[\forall\,\varepsilon>0\,,\exists\,\delta>0\,:\,x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\]

En particular, tomando \(\varepsilon=|f(x_0)|\), obtenemos

\[\exists\,\delta>0\,:\,x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<|f(x_0)|\]

y por tanto

\[f(x_0)-|f(x_0)|<f(x)<f(x_0)+|f(x_0)|\qquad(1)\]

de donde se obtiene que \(|f(x)|\) y \(|f(x_0)|\) tienen el mismo signo, ya que

  • Si \(f(x_0)<0\), la doble desigualdad \((1)\) se transforma en \(2f(x_0)<f(x)<0\).
  • Si \(f(x_0)>0\), la doble desigualdad \((1)\) se transforma en \(0<f(x)<2f(x_0)\).

En particular, si \(f(x_0)<0\Rightarrow f(x)<0\) y si \(f(x_0)>0\Rightarrow f(x)>0\).

Teorema de los ceros de Bolzano.

Sean \(a\), \(b\) números reales con \(a<b\) y \(f\) una función de \([a,b]\) en \(\mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y verificando \(f(a)<0<f(b)\). Entonces existe un número real \(c\) con \(a<c<b\), tal que \(f(c)=0\).

Sea \(C=\{x\in[a,b]\,:\,f(x)<0\}\). Evidentemente \(C\) es no vacío pues \(a\in C\), y \(C\) está mayorado (por \(b\)). Por el axioma del supremo, llamemos \(c=\sup C\) que claramente verifica \(a\leq c\leq b\). Sólo resta probar que \(f(c)=0\) (pues entonces \(a\neq c\) y \(b\neq c\), luego \(c\in(a,b)\)).

Por ser \(c=\sup C\) existe una sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(C\) convergente a \(c\) (ver el ejercicio 4 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes). Como \(f\) es continua en el punto \(c\) tenemos que \(\{f(x_n)\}\rightarrow c\) y, por ser \(f(x_n)<0\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\), obtenemos que \(f(c)\leqslant0\) (en virtud del corolario 3 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes).

Supongamos ahora la desigualdad estricta, es decir, que \(f(c)<0\); aplicando el lema anterior encontramos \(\delta>0\) tal que si \(x\in[a,b]\) y \(|x-c|<\delta\) se tiene \(f(x)<0\). Por ser \(f(b)>0\) deducimos que \(|b-c|\geqslant\delta\), esto es, \(c+\delta\leqslant b\); entonces \(c+\frac{\delta}{2}\in[a,b]\) y \(f\left(c+\frac{\delta}{2}\right)<0\) luego \(c+\frac{\delta}{2}\in C\), lo cual es una contradicción. Así pues hemos obtenido \(f(c)=0\), tal y como se quería.

Teorema del valor intermedio.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(I\). Entonces \(f(I)\) es un intervalo.

Sean \(\alpha,\beta\in f(I)\) verificando \(\alpha<\beta\); bastará probar, teniendo en cuenta la proposición demostrada al principio de este artículo, que \([\alpha,\beta]\subset f(I)\), esto es, dado \(\lambda\in\mathbb{R}\) con \(\alpha<\lambda<\beta\) debemos encontrar un \(z\) de \(I\) tal que \(f(z)=\lambda\). Sean \(x\), \(y\) puntos de \(I\) tales que \(f(x)=\alpha\), \(f(y)=\beta\). Puesto que \(x\neq y\), podrán darse dos casos.

Si \(x<y\) se tiene \([x,y]\subset I\); sea \(g:[x,y]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(t)=f(t)-\lambda,\,\forall\,t\in[x,y]\). Evidentemente \(g\) es continua en \([x,y]\) y se verifica

\[g(x)=\alpha-\lambda<0<\beta-\lambda=g(y)\]

luego, por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(z\in(x,y)\) tal que \(g(z)=0\). Entonces \(z\in I\) y \(f(z)=\lambda\).

Si \(x>y\) se aplica el mismo razonamiento tomando el intervalo \([y,x]\) y la función \(g:[y,x]\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \(g(t)=\lambda-f(t),\,\forall\,t\in[y,x]\).

Nótese que el hecho de que \(f(I)\) sea un intervalo significa (como se ha puesto de manifiesto en la demostración) ni más ni menos que si \(f\) toma dos valores está obligada a tomar todos los intermedios. Queda claro pues que el teorema del valor intermedio incluye al teorema de los ceros de Bolzano como caso particular (aunque también muy especial pues la demostración del primero se reduce, tal y como hemos visto, al segundo).

Proponemos a continuación una colección de doce ejercicios (con sus soluciones) relacionados con los dos teoremas demostrados anteriormente.

Ejercicios

1. Dar un ejemplo de una función continua en un punto \(x_0\) que no tenga signo constante en ningún intervalo abierto centrado en dicho punto (intervalo de la forma \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) con \(\delta>0\)).

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^3\). Tomemos \(x_0=0\). Entonces \(f\) no tiene signo constante en ningún intervalo de la forma \((-\delta,\delta)\), pues si \(\alpha\in(-\delta,0)\), entonces \(f(\alpha)=\alpha^3<0\) pues \(\alpha<0\); y si \(\alpha\in(0,\delta)\), \(f(\alpha)=\alpha^3>0\) ya que \(\alpha>0\).

2. Dar un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo.

Sea \(f:A=[-1,0]\cup[1,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x\). Claramente \(f\) es continua en todo punto de su conjunto de definición. Sin embargo \(f(A)=[-1,0]\cup[1,2]\), que no es un intervalo.

3. Dar un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no sea continua.

Sea \(f:A=[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{
    \begin{array}{lll}
    -x&\text{si}&-1\leqslant x\leqslant0\\
    1-x&\text{si}&0<x\leqslant1
    \end{array}
  \right.\]

La función \(f\) está definida en un intervalo y no es continua en cero. Sin embargo se tiene que \(f(A)=[0,1]\), que sí que es un intervalo.

4. Dar un ejemplo de una función continua en todo \(\mathbb{R}\), no constante y cuya imagen sea un conjunto (obligadamente un intervalo) acotado.

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}\). La función \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) por ser una función racional y no es constante. Además \(f(\mathbb{R})=[0,1)\) (véase la representación gráfica).

grafica 01

5. Dar un ejemplo de una función continua en \([0,1)\) tal que \(f([0,1))\) sea no acotado.

Sea \(f:[0,1)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{x}{1-x}\). Claramente \(f\) es continua en \([0,1)\) por ser una función racional. Además \(f([0,1))=[0,+\infty)\), que es un intervalo no acotado (ver representación gráfica).

grafica 02

6. Dar un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.

Sea \(f:(-2,2)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{
    \begin{array}{lll}
    -1&\text{si}&-2<x<-1\\
    x&\text{si}&-1\leqslant x\leqslant1\\
    1&\text{si}&1<x<2
    \end{array}
  \right.\]

La función es claramente continua y \(f\left((-2,2)\right)=[-1,1]\).

grafica 03

7. Pruébese que si \(I\) es un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) es una función continua en \(I\) verificando \(f(I)\subset\mathbb{Q}\), entonces \(f\) es constante.

Si \(f\) no fuese constante podría tomar, al menos, dos valores distintos. Sean éstos \(x_1,x_2\in I\) con \(x_1<x_2\) tal que, por ejemplo, \(f(x_1)<f(x_2)\). Como \(f\) es continua en \(I\), e \(I\) es un intervalo, \(f(I)\) también es un intervalo y por tanto \([f(x_1),f(x_2)]\subset f(I)\subset\mathbb{Q}\). Esto es absurdo pues entre dos racionales siempre hay algún irracional. Por tanto \(f\) toma un solo valor y \(f\) es constante.

8. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Supongamos que toda función continua de \(A\) en \(\{0,1\}\) (es decir, cuya imagen esté incluida en el conjunto \(\{0,1\}\)) es constante. Pruébese que \(A\) es un intervalo.

Si \(A\) no fuese un intervalo, dados \(x_1,x_2\in A\) con \(x_1<x_2\), sería posible encontrar un número real \(z\) tal que \(x_1<z<x_2\) con \(z\notin A\). Sea ahora la función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{
    \begin{array}{lll}
    0&\text{si}&x<z\\
    1&\text{si}&x>z
    \end{array}
  \right.\]

Es claro que \(f\) es continua en \(A\) (recuérdese que la continuidad es un propiedad local) y además toma el valor \(0\) y el valor \(1\), lo cual contradice el supuesto de que toda función continua de \(A\) en \(\{0,1\}\) es constante. Así pues, \(A\) es un intervalo.

9. Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real.

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función polinómica

\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\]

con \(a_n\neq0\) y \(n\) impar. Podemos suponer \(a_n=1\) (en caso contrario bastaría dividir todo entre \(a_n\)). Por tanto tomaremos

\[f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\]

Entonces

\[\frac{f(x)}{x^n}=1+\frac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\]

Consideremos la sucesión

\[\left\{\frac{f(k)}{k^n}\right\}_{k\in\mathbb{N}}=\left\{1+\frac{a_{n-1}}{k}+\ldots+\frac{a_1}{k^{n-1}}+\frac{a_0}{k^n}\right\}\]

Claramente \(\left\{\dfrac{f(k)}{k^n}\right\}\rightarrow1\). Por tanto existe \(m_1\in\mathbb{N}\) tal que \(\dfrac{f(m_1)}{m_1^n}>0\), de donde se deduce que \(f(m_1)>0\).

Consideremos, por otro lado, la sucesión

\[\left\{\frac{f(-k)}{(-k)^n}\right\}_{k\in\mathbb{N}}=\left\{1-\frac{a_{n-1}}{k}+\ldots+\frac{a_1}{k^{n-1}}-\frac{a_0}{k^n}\right\}\]

También es claro que \(\left\{\dfrac{f(-k)}{(-k)^n}\right\}\rightarrow1\), con lo que existe \(m_2\in\mathbb{N}\) tal que \(\dfrac{f(-m_2)}{(-m_2)^n}>0\), con lo que \(f(-m_2)<0\) (ya que al ser \(n\) impar \((-m_2)^n<0\).

Como consecuencia, por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(-m_2,m_1)\) tal que \(f(c)=0\), es decir, tal que

\[a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\ldots+a_2c^2+a_1c+a_0=0\]

y, por tanto, \(c\) es una raíz del polinomio.

10. Dado un número real positiva \(a\), pruébese que existe \(x\in\mathbb{R}^+\) tal que \(x^2=a\). El tal \(x\) es único.

Sea \(f:[0,b]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2-a\), donde \(b\) es un número real cumpliendo que \(b^2>a\). \(f\) es claramente continua y además \(f(0)=-a<0<b^2-a=f(b)\). Por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,b)\) tal que \(f(c)=c^2-a=0\), o lo que es lo mismo, \(c^2=a\). Si existiera otro valor \(d\in(0,b)\) tal que \(d^2=a\) tendríamos \(c^2=d^2\) de donde se deduce que \(c=d\), ya que tanto \(c\) como \(d\) son números reales positivos. Así pues el número que se busca es único.

11. Sea \(f:[0,1]\rightarrow[0,1]\) una función continua en \([0,1]\). Pruébese que \(f\) tiene un punto fijo: \(\exists\,x\in[0,1]\,:\,f(x)=x\).

Sea \(f:[0,1]\rightarrow[0,1]\) definida por \(g(x)=f(x)-x\). La función \(g\) es continua en \([0,1]\) por serlo \(f\). Además, \(g(0)=f(0)-0=f(0)\geqslant0\) (la imagen de \(f\) es el intervalo \([0,1]\)), y \(g(1)=f(1)-1\leqslant0\). Si en una de las dos desigualdades se da el igual, entonces el punto buscado es el \(0\) o el \(1\). Si las desigualdades son estrictas, por el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,1)\) tal que \(g(c)=f(c)-c=0\), es decir, \(f(c)=c\).

12. Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura.

Consideremos la función temperatura definida sobre una circunferencia, es decir, sobre el Ecuador \(T:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) que según la hipótesis es continua y sea ahora la siguiente función: \(f:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=T(x+\pi)-T(x)\), que es continua por serlo \(T\). Se tiene, por un lado, que \(f(0)=T(\pi)-T(0)\), y por otro \(f(\pi)=T(2\pi)-T(\pi)=T(0)-T(\pi)\). Ahora se pueden dar dos casos. Que \(T(\pi)-T(0)=0\Rightarrow T(\pi)=T(0)\), y hemos terminado. O bien que \(T(\pi)-T(0)\neq0\). En este caso \(f(0)=T(\pi)-T(0)\) y \(f(\pi)=T(0)-T(\pi)\) tienen distinto signo por ser números opuestos. Aplicando el teorema de los ceros de Bolzano, existe \(c\in(0,\pi)\) tal que \(f(c)=T(c+\pi)-T(c)=0\), es decir, \(T(c+\pi)=T(c)\), tal y como queríamos demostrar.


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Funciones continuas. Definición y propiedades

Para la lectura de este artículo es recomendable haber leído con anterioridad otros tres artículos relacionados con las sucesiones de números reales y las funciones reales de variable real. Son los siguientes:

Por otro lado, nos gustaría hacer notar que en bachillerato el concepto de función continua en un punto se introduce a través del concepto de límite de una función en un punto y, desde el punto de vista gráfico, diciendo que la gráfica de la función al pasar por ese punto se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". De hecho, del concepto de límite se habla en términos gráficos muy generales y raras veces se da la definición de límite funcional de manera algo más rigurosa (cosa que nosotros haremos en un artículo posterior). Lo que vamos a ver aquí es el concepto de función continua en un punto y en un conjunto, así como sus propiedades, sin necesidad de utilizar el concepto de límite de una función, sino solamente usando sucesiones de números reales, el concepto de sucesión convergente y sus propiedades (merece la pena insistir: ya veremos que para definir el concepto de límite de una función se usa el de límite de una sucesión). Finalmente daremos una caracterización de la continuidad muy útil en algunos casos. Insistimos en que el lenguaje matemático a este nivel puede parecer difícil a un alumno que ha finalizado el bachillerato, pero no hay que preocuparse, con el tiempo y un poco de tesón uno se acostumbra con cierta facilidad. Es un lenguaje preciso y conviene interpretarlo adecuadamente. Empezaremos por definir el concepto de función continua en un punto.

Definición 1.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y sea \(x\) un elemento de \(A\). Diremos que \(f\) es continua en el punto \(x\) si para toda sucesión \(\{x_n\}\) de elementos de \(A\) convergente a \(x\), se tiene que la sucesión \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x)\). Dado un subconjunto no vacío \(B\) de \(A\), es muy natural decir que \(f\) es continua en \(B\) cuando sea continua en todos los puntos de \(B\). Por supuesto, puede ser \(B=A\).

Si pensamos en la definición anterior, y la llevamos a la representación gráfica de la función, seremos capaces de visualizar el significado (que, en realidad es el mismo que se obliga a visualizar a los estudiantes de bachillerato usando el concepto de límite de una función). Por cierto, es conveniente hacer notar que si una función no está definida en un punto no se puede hablar de la continuidad de la función en ese punto; o sea, no es que la función sea o deje de ser continua en el punto, es que no tiene sentido hablar de la continuidad de una función en un punto que no pertenece a su dominio de definición. Así por ejemplo, afirmar que "la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\) no es continua en el punto \(x=1\)" es algo que carece de sentido pues la función no está definida en \(x=1\). Esto supone "liquidarse" de alguna manera la visualización de la idea de continuidad como eso de "dibujar sin levantar el lápiz del papel"; tal idea gráfica conviene reducirla única y exclusivamente al dominio de definición de la función. En los puntos que no pertenezcan al dominio de definición ocurrirán otras cosas. Así por ejemplo, volviendo a la función anterior, lo que ocurre es que \(x=1\) es una asíntota vertical de la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\).

De entrada hay dos funciones continuas en todos los puntos de cualquier conjunto \(A\) no vacío de números reales en los que estén definidas. La demostración de este hecho es prácticamente inmediata usando directamente la definición anterior. Son las siguientes:

  • La función constante en \(A\): dado \(k\in\mathbb{R}\); \(f(x)=k\,,\forall\,x\in A\).
  • La función identidad en \(A\): \(f(x)=x\,,\forall\,x\in A\).

Las proposiciones que demostraremos a continuación permitirán obtener más funciones continuas a partir de las dos anteriores.

Proposición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Si \(f\) y \(g\) son funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\) continuas en un punto \(a\) de \(A\), entonces \(f+g\) y \(fg\) son continuas en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) y \(g\) son continuas en un subconjunto \(B\) de \(A\), también lo serán \(f+g\) y \(fg\).

Sea \(\{x_n\}\) cualquier sucesión de puntos de \(A\) convergente a \(a\). Entonces, por ser \(f\) y \(g\) continuas en \(a\) tenemos que

\[\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\quad\text{y}\quad\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\]

Por tanto:

\[\{(f+g)(x_n)\}=\{f(x_n)+g(x_n)\}\rightarrow f(a)+g(a)=(f+g)(a)\]

y

\[\{(fg)(x_n)\}=\{f(x_n)g(x_n)\}\rightarrow f(a)g(a)=(fg)(a)\]

Aquí hemos utilizado la Proposición 2 y el Corolario 1 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes.

Proposición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales, \(f\) y \(g\) funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\). Supongamos que \(g(x)\neq0\,,\forall\,x\in A\). Si \(f\) y \(g\) son continuas en un punto \(a\) de \(A\), entonces la función \(\dfrac{f}{g}\) es continua en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) y \(g\) son continuas en un subconjunto \(B\) de \(A\), también lo es \(\dfrac{f}{g}\).

Demostrando que la función \(\dfrac{1}{g}\) es continua en \(a\), haciendo uso la proposición anterior, tendremos demostrado este resultado. Pues bien, si \(\{x_n\}\rightarrow a\) con \(x_n\in A\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos, por ser \(g\) continua en \(a\), que \(\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\). Además  \(g(x_n)\neq0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(g(a)\neq0\). Por tanto, usando la Proposición 4 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes, tenemos:

\[\left\{\frac{1}{g}(x_n)\right\}=\left\{\frac{1}{g(x_n)}\right\}\rightarrow\frac{1}{g(a)}=\frac{1}{g}(a)\]

tal y como queríamos demostrar.

Puesto que de todos es conocido lo que es un polinomio, podemos definir una función polinómica como sigue. Si \(A\) es un conjunto no vacío de números reales, una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) se dice que es \emph{polinómica} si existe un entero \(p\geq0\) y números reales \(a_0,a_1,\ldots,a_p\) tales que

\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_px^p\,,\forall\,x\in A\]

Diremos también que una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es racional si existen funciones polinómicas \(f_1\) y \(f_2\) en \(A\), con \(f_1(x)\neq0\,,\forall\,x\in A\), tales que

\[f(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,,\forall\,x\in A\]

Puesto que la función constante y la función identidad son continuas, las proposiciones anteriores permiten afirmar que toda función racional definida en un conjunto \(A\) no vacío de números reales es continua en \(A\).

Todo lo anterior se puede resumir diciendo que la continuidad se conserva para la suma, el producto y el cociente de funciones. Básicamente, si dos funciones son continuas, la suma, el producto y el cociente de ambas también son funciones continuas. Recordemos que en el artículo dedicado a la funciones reales de variable real vimos el concepto de composición de funciones. Veremos por último también que si dos funciones son continuas la composición de ambas también lo es.

Proposición 3.

Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) funciones reales de variable real y supongamos \(f(A)\subset B\). Si \(f\) es continua en un punto \(a\) de \(A\) y \(g\) es continua en el punto \(f(a)\), entonces la composición \(g\circ f\) es continua en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) es continua en \(A\) y \(g\) es continua en \(f(A)\), entonces \(g\circ f\) es continua en \(A\).

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de puntos de \(A\) tal que \(\{x_n\}\rightarrow a\) y sea \(y_n=f(x_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(\{y_n\}\) es una sucesión de puntos de \(B\) que, por ser \(f\) continua en \(a\), converge a \(f(a)\). Por ser \(g\) continua en \(f(a)\) tenemos que \(\{g(y_n)\}\) converge a \(\{g(f(a))\}\), es decir

\[\{(g\circ f)(x_n)\}\rightarrow(g\circ f)(a)\]

tal y como queríamos.

Vamos a demostrar ahora que la función \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=|x|\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\]

(función valor absoluto) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sea \(a\in\mathbb{R}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales tal que \(\{x_n\}\rightarrow a\). Hemos de demostrar que \(\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\), o lo que es lo mismo, que \(\{|x_n|\}\rightarrow |a|\). Para ello utilizaremos la definición de sucesión convergente. Consideremos \(\varepsilon>0\). Como \(\{x_n\}\rightarrow a\), \(\exists\ m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geq m\), entonces \(|x_n-a|<\varepsilon\). Pero, por las propiedades del valor absoluto, \(||x_n|-|a||\leq|x_n-a|\) siempre que \(n\geq m\), con lo que hemos demostrado que \(\{|x_n|\}\rightarrow |a|\), tal y como queríamos.

De lo anterior se deduce que, dada una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), la función \(|f|:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[|f|(x)=|f(x)|\,,\forall\,x\in A\]

es continua en todo punto de \(A\) donde lo sea \(f\). La razón es que la función anterior es la composición de la función de \(f\) con la función valor absoluto.

Esto nos permite ampliar el conjunto de las funciones continuas. Así, la función \(f(x)=|p(x)|\) donde \(p\) es una función polinómica, es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Por ejemplo, como \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), la función \(|f|(x)=|f(x)|=|x^3-2x^2-5x+6|\) también es continua en todo \(\mathbb{R}\). Sus gráficas son las siguientes:

funcion continua 01

funcion continua 02

Obsérvese que la gráfica de \(|f|\) coincide con la de \(f\) cuando \(f(x)\geq0\) ya que, en este caso, \(|f(x)|=f(x)\). Sin embargo, cuando \(f(x)<0\), tenemos que \(|f(x)|=-f(x)\), con lo que para obtener la gráfica de \(|f|\) basta situar simétricamente al eje \(X\) los puntos en los que la ordenada de \(f\) es menor que cero. Resumiendo:

\[|f|(x)=|f(x)|=\left\{\begin{array}{ccc} f(x) & \text{si} & f(x)\geq0 \\ -f(x) & \text{si} & f(x)<0             \end{array}\right.\]

Sin embargo puede ocurrir que \(|f|\) sea continua en un punto y que \(f\) no lo sea. Por ejemplo, la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & \text{si} & x\geq0 \\ -1 & \text{si} & x<0\end{array}\right.\]

claramente no es continua en cero (¿serías capaz de demostrarlo usando la definición de función continua en un punto?). Sin embargo

\(|f|(x)=|f(x)|=1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\), es constante y por tanto es continua en cero.

Proponemos a continuación tres ejercicios acerca de la continuidad de funciones reales de variable real.

Ejercicios

1. Estúdiese la continuidad de la función \(f\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
    1-x & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
  \end{array}\right.\]

Sea \(x_0\in\mathbb{Q}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de irracionales convergente a \(x_0\) (que sabemos que existe por el ejercicio 5 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{1-x_n\}\rightarrow1-x_0\). Para que \(f\) sea continua en \(x_0\) debe ocurrir que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)=x_0\), es decir, \(1-x_0=x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\).

De manera similar, sea ahora \(x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de racionales convergente a \(x_0\) (que también sabemos que existe por el mismo ejercicio mencionado anteriormente). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{x_n\}\rightarrow x_0\). Para que \(f\) sea continua en \(x_0\) debe ocurrir que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)=1-x_0\), es decir, \(x_0=1-x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\). Pero esto es absurdo pues \(x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\).

Debemos concluir por tanto que \(f\) solamente es continua en el punto \(x=\frac{1}{2}\).

2. Sean \(f\) y \(g\) funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), continuas en todo \(\mathbb{R}\). Supongamos que \(f(x)=g(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{Q}\). Pruébese que \(f=g\). En particular, si \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) es continua y la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es constante, entonces \(f\) es constante.

Supongamos que existe un número \(a\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) tal que \(f(a)\neq g(a)\). Sea \(\{a_n\}\) una sucesión de números racionales convergente al punto \(a\). Entonces \(\{f(a_n)\}\rightarrow f(a)\) y \(\{g(a_n)\}\rightarrow g(a)\) por ser \(f\) y \(g\) continuas en todo \(\mathbb{R}\). Pero \(f(a_n)=g(a_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) pues \(a_n\in\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto significa que \(f(a)=g(a)\), en contradicción con que \(f(a)\neq g(a)\). Por tanto \(f=g\).

3. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\inf\{|x-a|\,:\,x\in A\}\). Pruébese que \(|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|\,,\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\). Dedúzcase que \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Sea \(a\in A\). De la desigualdad \(||x-a|-|y-a||\leqslant|(x-a)-(y-a)|=|x-y|\) se deduce inmediatamente \(|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|\,,\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\). Sea ahora una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales convergente a un número real \(x\). Entonces dado un número real y positivo \(\varepsilon\) existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces \(|f(x_n)-f(x)|\leqslant|x_n-x|<\varepsilon\). De aquí se deduce que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)\), y por tanto \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Caracterización de la continuidad

De la misma forma que para la definición de sucesión convergente se usó cierta terminología para dar forma a la idea de que todos los términos de la sucesión, salvo un número finito de ellos, estaban tan cerca del límite como quisiéramos; podemos dar una caracterización de función continua en un punto \(a\in\mathbb{R}\). En este caso, la idea es formalizar mediante una notación adecuada el hecho de que "si en el eje \(Y\) las imágenes por la función \(f\) están tan cerca como queramos de \(f(a)\), es porque en el eje \(X\) también estamos tan cerca como queramos del punto \(a\)". Vamos a formalizar lo anterior adecuadamente.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales, \(f\) una función real definida en \(A\) y \(a\) un punto de \(A\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) \(f\) es continua en \(a\).

ii) Para toda sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(A\), monótona y convergente al punto \(a\), la sucesión \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(a)\).

iii) Para cada número real y positivo \(\varepsilon\) puede encontrarse un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es un punto de \(A\) verificando \(|x-a|<\delta\), se tiene \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\).

i) \(\Rightarrow\) ii) Es evidente pues lo que en i) se exige para todas sucesión de \(A\) que converja al punto \(a\), en ii) se exige solamente para aquellas que sean monótonas.

ii) \(\Rightarrow\) iii) Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que se cumple ii) pero no se cumple iii). Entonces existe un número real positivo \(\varepsilon_0\) con la siguiente propiedad:

\[\forall\,\delta>0\  \ \exists\,x_{\delta}\in A\,:\, |x_{\delta}-a|<\delta\quad\text{y}\quad|f(x_{\delta})-f(a)|\geq\varepsilon_0\]

Para cada natural \(n\), aplicamos lo anterior para \(\delta=\dfrac{1}{n}\) y sea \(y_n=x_{1/n}\). Obtenemos así una sucesión \(\{y_n\}\) de puntos de \(A\) que verifica

\[|y_n-a|<\frac{1}{n}\quad\text{y}\quad|f(y_n)-f(a)|\geq\varepsilon_0\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

Claramente \(\{y_n\}\) converge al punto \(a\); entonces existe con seguridad una sucesión parcial \(\{y_{\sigma(n)}\}\) de \(\{y_n\}\) que es monótona (ver lema 2 del artículo dedicado a las sucesiones parciales y monótonas). Aplicando la hipótesis ii) tenemos que la sucesión \(\{f(y_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(a)\), lo cual es absurdo pues

\[|f(y_{\sigma(n)})-f(a)|\geq\varepsilon_0\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

iii) \(\Rightarrow\) i) Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de puntos de \(A\) convergente al punto \(a\). Sea \(\varepsilon>0\) arbitrario y \(\delta\) el número positivo dado por la hipótesis iii). Por ser \(\{x_n\}\rightarrow a\) tenemos:

\[\exists\,m\in\mathbb{N}\,:\,n\geq m\Rightarrow|x_n-a|<\delta\]

y puesto que \(x_n\in A\) tenemos por iii) que \(|f(x_n)-f(a)|<\varepsilon\) para \(n\geq m\). Esto demuestra que

\[\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\]

y por tanto que \(f\) es continua en el punto \(a\), tal y como queríamos.

Proponemos a continuación otros tres ejercicios para practicar la caracterización de la continuidad.

Ejercicios

1. Sean \(f_1\), \(f_2\) funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). Estúdiese la continuidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    f_1(x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}^- \\
    f_2(x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}_0^+
  \end{array}\right.\]

\(f\) es claramente continua si \(x\in\mathbb{R}^-\) o si \(x\in\mathbb{R}^+\), pues dado un punto cualquiera de \(\mathbb{R}^-\) (respectivamente, de \(\mathbb{R}^+\)), es posible encontrar un intervalo centrado en el punto y contenido en \(\mathbb{R}^-\) (respectivamente, \(\mathbb{R}^+\)), y dado el carácter local de la continuidad se tiene el resultado. Estudiemos pues la continuidad en cero.

Sea la sucesión \(\{\frac{(-1)^n}{n}\}\), que converge a \(0\). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{f_1(x_n)\}\) si \(n\) es impar y \(\{f(x_n)\}=\{f_2(x_n)\}\) si \(n\) es par. Consideremos las sucesiones parciales \(\{x_{2n-1}\}\) y \(\{x_{2n}\}\), ambas convergentes a cero. Así, por un lado, \(\{f(x_{2n-1})\}=\{f_1(x_{2n-1})\}\rightarrow f_1(0)\); y por otro, \(\{f(x_{2n})\}=\{f_2(x_{2n})\}\rightarrow f_2(0)\), pues \(f_1\) y \(f_2\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\). De aquí se deduce que si \(f_1(0)=f_2(0)\), \(f\) es continua en \(0\). Pero si \(f_1(0)\neq f_2(0)\), entonces \(f\) no es continua en \(0\).

2. Utilícese la afirmación iii) del teorema anterior para probar que la función \(f\) del ejercicio 1 de la sección anterior es continua en el punto \(\frac{1}{2}\).

Hemos de demostrar que dado un número real y positivo \(\varepsilon\), existe un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es un punto de \(\mathbb{R}\) verificando \(|x-\frac{1}{2}|<\delta\), entonces \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|<\varepsilon\). Pero es que si \(x\in\mathbb{Q}\), entonces \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|=|x-\frac{1}{2}|\) y basta tomar \(\delta=\varepsilon\). Ahora bien, si \(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), se tiene que \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|=|1-x-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{2}-x|=|x-\frac{1}{2}|\), y basta en este caso tomar también \(\delta=\varepsilon\).

3. Pruébese, utilizando la afirmación iii) del teorema anterior, que la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sea \(x_0\in\mathbb{R}\). Tenemos:

\[|f(x)-f(x_0)|=|x^2-x_0^2|=|(x+x_0)(x-x_0)|=|x+x_0||x-x_0|\]

Dado \(\varepsilon>0\) sea \(\delta=\frac{\varepsilon}{|x+x_0|}\). Entonces, si \(|x-x_0|<\delta\):

\[|f(x)-f(x_0)|=|x+x_0||x-x_0|<|x+x_0|\delta=|x+x_0|\frac{\varepsilon}{|x+x_0|}=\varepsilon\]

con lo que \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Finalmente, procede de nuevo insistir en que en este artículo se ha definido la continuidad de una función en un punto haciendo uso de la convergencia de una sucesión en un punto. En algunos textos se define directamente la continuidad de una función en un punto sin haber visto para nada las sucesiones de números reales. En su lugar se define el límite de una función en un punto de una forma equivalente a la parte iii) del teorema anterior y luego se dice que una función \(f\) es continua en un punto \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\) . Las dos formas de introducir la continuidad son completamente lícitas. No olvidemos que, usemos sucesiones o usemos el concepto de límite para definir la continuidad, en realidad estamos hablando de lo mismo. Nosotros introduciremos el concepto de límite de una función en un punto (y en el infinito) en un artículo posterior. Lo que haremos a continuación es presentar algunos teoremas relacionados con la continuidad de importancia capital en el análisis matemático.


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Sucesiones de Cauchy. El teorema de complitud de R

Hemos dedicado varios artículos a hablar de sucesiones de números reales y de la noción de convergencia de una sucesión de números reales. De hecho, hemos visto ejemplos en los que se demostraba, haciendo uso de la definición, que una sucesión era convergente hacia cierto límite. También hemos demostrado que toda sucesión monótona y acotada es convergente, pero salvo en estos casos, para determinar si una sucesión es convergente debemos conocer de antemano su posible límite. Dedicaremos este breve artículo a obtener una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una sucesión de números reales, en términos de la propia sucesión, sin presuponer el conocimiento de un posible límite. Intuitivamente, si una sucesión de números reales es convergente, sus términos suficientemente avanzados son tan próximos entre sí como se quiera. La siguiente definición formaliza esta idea intuitiva.

Definición.

Se dice que una sucesión de números reales \(\{x_n\}\) es de Cauchy si verifica la siguiente condición:

\[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\, m\in\mathbb{N}\ :\ p,q\geqslant m\Rightarrow|x_p-x_q|<\varepsilon\]

Teorema (de complitud de \(\mathbb{R}\)).

Una sucesión de números reales es convergente si, y solo si, es una sucesión de Cauchy.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales. Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow x\). Dado \(\varepsilon>0\) tenemos que \(\exists\, m\in\mathbb{N}\) tal que \(n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\). Así, para \(p,q\geqslant m\) tenemos

\[|x_p-x_q|\leqslant|x_p-x|+|x-x_q|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

lo que prueba que \(\{x_n\}\) es una sucesión de Cauchy.

Recíprocamente, supongamos que \(\{x_n\}\) es una sucesión de Cauchy. Entonces \(\exists\, m\in\mathbb{N}\) tal que \(p,q\geqslant m\Rightarrow|x_p-x_q|<1\), y en particular, si \(K=x_m\) y tomamos \(q=m\), tenemos: \(p\geqslant m\Rightarrow K-1<x_p<K+1\), luego el conjunto \(\{x_n\,;\,n\geqslant m\}\) es acotado. Ello implica que la sucesión \(\{x_n\}\) está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass \(\{x_n\}\) admite una sucesión parcial convergente \(\{x_{\sigma(n)}\}\). Sea \(x=\lim x_{\sigma(n)}\). Entonces, dado \(\varepsilon>0\), tenemos que \(\exists\,m_1\in\mathbb{N}:n\geqslant m_1\Rightarrow|x_{\sigma(n)}-x|<\frac{\varepsilon}{2}\), y \(\exists\,m_2\in\mathbb{N}:n\geqslant m_2\Rightarrow|x_p-x_q|<\frac{\varepsilon}{2}\), con lo que finalmente \(|x_n-x|\leqslant|x_n-x_{\sigma(n)}|+|x_{\sigma(n)}-x|<\varepsilon\), lo que prueba que \(\{x_n\}\rightarrow x\), como queríamos demostrar.

En ocasiones la condición de Cauchy se consigue probar con facilidad. A título de ejemplo, destacamos el siguiente caso.

Corolario.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales. Supongamos que existe un número real \(K\), con la condición \(0<K<1\), y tal que \(|x_{n+1}-x_n|\leqslant K^n\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces la sucesión \(\{x_n\}\) es convergente.

Para cualesquiera números naturales, \(n\) y \(h\), se tiene:

\[|x_{n+h}-x_n|\leqslant|x_{n+h}-x_{n+h-1}|+|x_{n+h-1}-x_{n+h-2}|+\ldots+|x_{n+1}-x_n|\leqslant\]

\[\leqslant K^{n+h-1}+K^{n+h-2}+\ldots+K^n=K^n(1+K+\ldots+K^{h-1})=K^n\frac{1-K^h}{1-K}<\frac{K^n}{1-K}\]

Como la sucesión \(\frac{K^n}{1-K}\) converge a cero, dado \(\varepsilon>0\), tenemos que \(\exists\, m\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant m\Rightarrow\frac{K^n}{1-K}<\varepsilon\). Entonces si \(p,q\leqslant m\), tomando \(n=p\), \(h=q-p\) (si \(p<q\), o a la inversa si \(p>q\)), tenemos \(|x_p-x_q|<\frac{K^n}{1-K}<\varepsilon\), lo que prueba que \(\{x_n\}\) es de Cauchy y, por el teorema anterior, convergente.

Proponemos a continuación tres ejercicios. El primero y el tercero son de utilidad para demostrar la convergencia de ciertas sucesiones de números reales.

Ejercicios

1. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos. Supongamos que existe \(K\), con \(0<K<1\), tal que \(\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|<K\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Probar que \(\{x_n\}\) converge a cero.

Como \(0<K<1\), entonces \(\{K^n\}\rightarrow0\). Luego \(\forall\, \varepsilon  > 0\,,\,\exists \,m \in\mathbb{N} \,:\,n \geqslant m \Rightarrow {K^n} < \frac{\varepsilon }{{\left| {{x_1}} \right|}}\).

Pero, por hipótesis, \(\left| {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}} \right| \leqslant K\,,\,\forall\, n \in\mathbb{N}\); es decir, \(|x_{n+1}|\leqslant K|x_n|\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por tanto, dado \(\varepsilon>0\), \(\left| {{x_{n + 1}}} \right| \le K\left| {{x_n}} \right| \le {K^2}\left| {{x_{n - 1}}} \right| \le {K^3}\left| {{x_{n - 2}}} \right| \le  \ldots  \le {K^n}\left| {{x_1}} \right| < \frac{\varepsilon }{{\left| {{x_1}} \right|}}\left| {{x_1}} \right| = \varepsilon \), siempre que \(n\geqslant m\). Hemos demostrado pues que \(\forall\,\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant m\Rightarrow \left| {{x_{n + 1}}} \right| < \varepsilon\), es decir, que la sucesión \(\{x_n\}\) converge a cero.

2. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales acotada. Sea \(\alpha\in\mathbb{R}\) con \(\alpha>1\), y definamos una sucesión \(\{y_n\}\) de números reales de la forma \(y_1=\frac{x_1}{\alpha}\), \(y_{n+1}=y_n+\frac{x_n}{\alpha^n}\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Probar que \(\{y_n\}\) es una sucesión convergente.

Por ser \(\{x_n\}\) acotada, existe \(M\in\mathbb{R}^+\) tal que \(|x_n|\leqslant M\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Además:

\[\left|{{y_{n + h}} - {y_n}} \right| \leqslant \left| {{y_{n + h}} - {y_{n + h - 1}}} \right| + \left| {{y_{n + h - 1}} - {y_{n + h - 2}}} \right| +  \ldots  + \left| {{y_{n + 2}} - {y_{n + 1}}} \right| + \left| {{y_{n + 1}} - {y_n}} \right| =\]

\[ = \left| {{y_{n + h - 1}} + \frac{{{x_{n + h - 1}}}}{{{\alpha ^{n + h - 1}}}} - {y_{n + h - 1}}} \right| + \left| {{y_{n + h - 2}} + \frac{{{x_{n + h - 2}}}}{{{\alpha ^{n + h - 2}}}} - {y_{n + h - 2}}} \right| +  \ldots\]

\[\ldots+\left| {{y_{n + 1}} + \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{\alpha ^{n + 1}}}} - {y_{n + 1}}} \right| + \left| {{y_n} + \frac{{{x_n}}}{{{\alpha ^n}}} - {y_n}} \right| = \]

\[= \left| {\frac{{{x_{n + h - 1}}}}{{{\alpha ^{n + h - 1}}}}} \right| + \left| {\frac{{{x_{n + h - 2}}}}{{{\alpha ^{n + h - 2}}}}} \right| +  \ldots  + \left| {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{\alpha ^{n + 1}}}}} \right| + \left| {\frac{{{x_n}}}{{{\alpha ^n}}}} \right|=\]

\[= \frac{1}{{{\alpha ^n}}}\left( {\left| {\frac{{{x_{n + h - 1}}}}{{{\alpha ^{h - 1}}}}} \right| + \left| {\frac{{{x_{n + h - 2}}}}{{{\alpha ^{h - 2}}}}} \right| +  \ldots  + \left| {\frac{{{x_{n + 1}}}}{\alpha }} \right| + \left| {{x_n}} \right|} \right) \leqslant {\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)^n}\left( {\frac{M}{{{\alpha ^{h - 1}}}} + \frac{M}{{{\alpha ^{h - 2}}}} +  \ldots  + \frac{M}{\alpha } + M} \right)=\]

\[={\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)^n}M\left( {\frac{1}{{{\alpha ^{h - 1}}}} + \frac{1}{{{\alpha ^{h - 2}}}} +  \ldots  + \frac{1}{\alpha } + 1} \right) = {\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)^n}M\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{\alpha }}} < \frac{{M{K^n}}}{{1 - K}}\]

donde hemos llamado \(K=\frac{1}{\alpha}\). Como \(\alpha>1\), entonces \(0<\frac{1}{\alpha}<1\), es decir, \(0<K<1\), con lo que la sucesión \(\{\frac{MK^n}{1-K}\}\) converge a cero, es decir, \(\forall\,\varepsilon  > 0,\,\exists \,m \in\mathbb{M}\,:\,n \geqslant m \Rightarrow \frac{{M{K^n}}}{{1 - K}} < \varepsilon\).

Entonces, si \(p,q\geqslant m\), tomando \(n=p\), \(h=q-p\) (si \(p<q\), o a la inversa si \(p>q\)), tenemos \(\left| {{y_p} - {y_q}} \right| = \left| {{y_{n + h}} - {y_n}} \right| \leqslant \frac{{M{K^n}}}{{1 - K}} < \varepsilon\), lo que prueba que \(\{y_n\}\) es de Cauchy y, por el teorema de complitud de \(\mathbb{R}\), convergente.

3. Pruébese la siguiente generalización del corolario anterior: sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales; supongamos que existe una sucesión \(\{y_n\}\) de números reales convergente a cero, tal que \(|x_{n+h}-x_n|\leqslant y_n\,\forall\,n\in\mathbb{N},\forall\,h\in\mathbb{N}\); entonces \(\{x_n\}\) es una sucesión convergente.

Como la sucesión \(\{y_n\}\) converge a cero tenemos: \(\forall\, \varepsilon  > 0\,,\,\exists \,m \in \,:\,n \geqslant m \Rightarrow  - \varepsilon  < {y_n} < \varepsilon\). En particular, sean \(p,q\geqslant m\). Entonces \(-\varepsilon<y_p<\varepsilon\) ; \(-\varepsilon<y_q<\varepsilon\).

Supongamos que \(q>p\). Llamando \(h=q-p\), se tiene que \(q=p+h\), luego

\[\left| {{x_p} - {x_q}} \right| = \left| {{x_p} - {x_{p + h}}} \right| \leqslant {y_p} < \varepsilon\]

Supongamos que \(p>q\). Llamando \(h=p-q\), se tiene que \(p=q+h\), luego

\[\left| {{x_p} - {x_q}} \right| = \left| {{x_{q + h}} - {x_q}} \right| \leqslant {y_q} < \varepsilon\]

En cualquier caso, \(\forall \varepsilon  > 0\,,\,\exists \,m \in \,:\,p,\,q \geqslant m \Rightarrow \left| {{x_p} - {x_q}} \right| < \varepsilon\). Así pues \(\{x_n\}\) es una sucesión de Cauchy y, por el teorema de complitud de \(\mathbb{R}\), convergente.


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