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Elementos filtrados por fecha: Miércoles, 22 Mayo 2013

Triángulo equilátero inscrito en un círculo

  • Publicado en Retos

En un círculo se inscribe un triángulo equilátero de área 12 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la región sombreada de azul?

triangulo-circulo-01

Os aseguro que no es difícil. Con algo de imaginación, el área del triángulo, el área del círculo y ¡Pitágoras!, se puede dar con la solución.

El triángulo \(ABC\), de área \(12\), se puede dividir en tres triángulos iguales: \(AOB\), \(AOC\) y \(BOC\) de área \(4\) cada uno de ellos. El triángulo \(BOD\) tendrá pues área \(2\) por ser justo la mitad del triángulo \(BOC\).

triangulo-circulo-02

Si llamamos \(l\) al lado del triángulo \(ABC\) su área será:

triangulo-circulo-03

Obsérvese que su altura es \(r+\dfrac{r}{2}\) pues \(BOD\) y \(BED\) también son triángulos iguales. Así pues:

triangulo-circulo-04

Por otro lado, en el triángulo \(BOD\), aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

triangulo-circulo-05

Sustituyendo el valor de \(l^2\):

triangulo-circulo-06

El área del la región sombreada de azul es el área del círculo menos la del triángulo:

triangulo-circulo-07

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