Menu
¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Prev Next

Elementos filtrados por fecha: Miércoles, 03 Abril 2013

Corderos, ovejas y simetrías

  • Publicado en Retos

El otro día recibí un correo electrónico en el que, entre otras cosas, se proponía el siguiente acertijo:

La fe implícita que los antiguos griegos, romanos y egipcios depositaban en los oráculos de sus dioses puede apreciarse cuando advertimos que, desde la declaración de una guerra hasta la venta de una vaca, no se llevaba a cabo ninguna transacción sin el consejo y la aprobación de los oráculos. Dos pobres campesinos que desean saber si el gran Júpiter sonreirá de manera auspiciosa ante la compra de un cordero y una oveja consultan con el oráculo y este les obliga a situarse frente al espejo sagrado y les contesta: "¡Se reproducirán, hasta que los corderos multiplicados por las ovejas den un producto que, reflejado en el sagrado espejo, muestre el número del rebaño completo!". ¿Cuántas ovejas y corderos llegarán a poseer los campesinos?

Para solucionarlo hay que pensar en números cuya simetría especular sea el mismo número. Puedes intentarlo durante un rato. No es difícil.

Sólo hay tres números que, reflejados en un espejo, tengan el mismo aspecto que sin reflejarse en él: el cero, el uno y el ocho.

espejo

Por ensayo y error podríamos empezar así: hay 1 cordero y 8 ovejas pues 1 por 8 es 8, que reflejado en el espejo también es 8, pero este número, que según el enunciado del acertijo, sería el número del rebaño completo, no coincide con lo que hemos supuesto (1 cordero y 8 ovejas hacen un total de 9 en el rebaño). También se podría pensar en 2 corderos y 4 ovejas, cuyo producto es 8, pero tampoco sería correcto pues 2+4=6.

Si emparejamos el cero, el uno y el ocho para obtener números con dos dígitos tenemos los siguientes: 01, 10, 08, 80, 18, 81. Su reflejo en el espejo son, respectivamente, 10, 01, 80, 08, 81, 18.

Si empezamos a tantear, por ejemplo, con el número 80 (cuyo reflejo es 08, número del rebaño completo según el enunciado), tendríamos que buscar parejas números cuyo producto sea 80 y cuya suma sea 8, pero esto es imposible (8 por 10 es 80, pero la suma de los factores es 18; 5 por 16 es 80, pero la suma de los factores es 21; etcétera).

Si probamos con 81 obtenemos la solución. Su reflejo en el espejo es 18, que sería el número del rebaño completo. El número 81 se puede expresar como producto de 9 por 9 y, además la suma de 9 y 9 es 18.

Así pues los campesinos llegarán a poseer 9 ovejas y 9 corderos.

Leer más ...

Abel, un héroe trágico

Extraído del libro La vida secreta de los números, de George G. Szpiro

Niels Henrik Abel nació en Noruega, el 5 de agosto de 1802. Murió el 6 de abril de 1829, de tuberculosis, cuando aún no tenía 27 años. Abel ha sido uno de los matemáticos más eminentes de la historia.

Su trabajo es tan importante que en el año 2001, Thorvald Stoltenberg, primer ministro de Noruega en aquel momento, anunció la creación del Fondo de Dotación Abel, que a partir de entonces otorgaría un premio anual de 800.000 euros en su honor. Este premio, que toma como modelo el Premio Nobel, pretendía convertirse en el más importante del campo de las matemáticas.

Abel creció en Gjerstad, un pueblo del sur de Noruega, como el segundo hermano de una familia de siete hijos. Su padre era un pastor luterano y miembro del Parlamento Noruego. Hasta los 13 años, Niels fue educado en casa por su padre. Sólo cuando fue un adolescente, empezó a asistir a las clases de una escuela religiosa en Christiana, a 120 millas de su pueblo, donde su talento empezó a hacerse evidente. Un profesor de matemáticas reconoció la rara habilidad del joven y le animó lo mejor que pudo.

Cuando Abel tenía 18 años, su padre murió y se encontró de repente en la tesitura de tener que mantener a su familia, lo que consiguió dando clases particulares de matemáticas básicas y con trabajos variopintos. Gracias a la ayuda económica de sus profesores, Abel pudo acceder en 1821 a la Universidad de Christiana, que más tarde se convertiría en la Universidad de Oslo. No pasaría mucho tiempo antes de que superara a sus profesores. Su primer gran éxito, sin embargo, demostró ser un error. Abel creía haber encontrado un método para resolver ecuaciones de quinto grado y mandó su artículo para que se lo publicara una revista científica. El editor no podía comprender la solución y le pidió un ejemplo numérico.

Abel se puso manos a la obra, pero pronto se dio cuenta de que había un error en la demostración. Sin embargo, este error resultó beneficioso. Mientras intentaba corregirlo, se dio cuenta de que es simplemente imposible resolver una ecuación de quinto grado o superior mediante una fórmula. Para llegar a esta conclusión y demostrarla, Abel introdujo un concepto llamado teoría de grupos, que acabaría convirtiéndose en una rama muy importante de las matemáticas modernas.

Abel se apresuró a publicar este artículo, corriendo él mismo con los gastos. Después, emprendió un viaje por Alemania con el apoyo económico del gobierno noruego para contactar con el famoso matemático Carl Friedrich Gauss en Gotinga (Göttingen, en alemán). Gauss, sin embargo, nunca leyó el artículo que Abel le había mandado antes de su visita. Es más, le hizo saber sin ningún tipo de ambages que no tenía interés en encontrarse con él. Desilusionado, Abel siguió viajando hasta Francia, un viaje extra que tendría un efecto secundario fortuito. En el viaje hacia París, conoció al ingeniero August Leopold Crelle en Berlín, que se convertiría en un buen amigo y un gran apoyo. El Journal für die reine und Angewandte Mathematik (Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas), que fundó Crelle y que sigue publicándose hoy en día, sacó a la luz muchos de los originales artículos de Abel.

Sus colegas franceses no se mostraron más hospitalarios con él que el profesor alemán. Los trabajos sobre funciones elípticas, obra de Abel y que había mandado como tarjeta de presentación a Augustin Cauchy, el matemático francés más importante del momento, pasaron desapercibidos. Su artículo cayó en el olvido, y al final se perdió completamente. A pesar de este contratiempo, Abel perseveró, se quedó en París e hizo todo lo posible para que su trabajo fuera reconocido. Era extremadamente pobre y sólo podía permitirse una comida al día.

Pero al final, ninguno de sus sacrificios mereció la pena. Crelle hizo todo lo que pudo para convencer a su amigo de que se quedara en Alemania, pero Abel, enfermo y sin dinero, volvió a su país natal. Tras su marcha, Crelle intentó encontrarle un puesto académico y por fin sus esfuerzos dieron fruto. En una carta fechada el 8 de abril de 1829 le comunicaba con gran regocijo que la Universidad de Berlín le había ofrecido un puesto como profesor. Por desgracia, era demasiado tarde: Niels Henrik Abel había muerto de tuberculosis dos días antes.

De los muchos conceptos conectados con Abel, mencionaremos brevemente el de "grupo abeliano". El álgebra moderna define una serie de elementos como grupo si dichos elementos se pueden conectar entre ellos mediante alguna operación. Han de cumplirse cuatro condiciones: primero, el resultado de la operación debe ser también un elemento del grupo (esto se conoce desde formalmente diciendo que la operación debe ser una "ley de composición interna"); segundo, la operación debe ser "asociativa", lo que quiere decir que no importa el orden en el que se realicen dos operaciones sucesivas; tercero, ha de existir un elemento llamado "neutro" que deja el resultado de la operación sin cambios; y cuarto, cada elemento ha de tener un "simétrico", de tal manera que siempre que se efectúe la operación entre un elemento y su simétrico el resultado que se obtiene sea el elemento neutro.

Por ejemplo, el conjunto de los números enteros constituye un grupo con la operación suma. Se cumplen para este conjunto las cuatro condiciones mencionadas anteriormente: la suma de números enteros siempre es otro número entero; la suma es asociativa pues \((a+b)+c=a+(b+c)\); el cero es el elemento neutro, ya que un número más cero da como resultado el número original: \(a+0=a\); y el simétrico de un elemento \(a\) es \(–a\) pues \(a+(−a)=a−a=0\). En este caso al simétrico se le llama opuesto.

Los números racionales (es decir, los números enteros y las fracciones) no forman un grupo con la operación producto o multiplicación, a pesar de que el producto de los números racionales es también un número racional, de que se cumple la propiedad asociativa y de que hay un elemento neutro, el \(1\), ya que el resultado de multiplicar cualquier número racional por \(1\) es el número original. Sin embargo hay un número que no tiene inverso: el cero. Todos los demás números sí que tienen inverso: por ejemplo, el inverso de \(3/5\) es \(5/3\) pues al multiplicarlos se obtiene \(15/15\) que es igual a \(1\). Pero eso no ocurre con el cero pues al multiplicar cero por todo número el resultado siempre es cero.

Los grupos se pueden subdividir en "abelianos" y "no abelianos". Un grupo es abeliano si los elementos pueden intercambiarse cuando los conectamos entre sí (por ejemplo \(4+7=7+4\)). Un ejemplo de elementos que forman un grupo no abeliano son las rotaciones del dado. Si giramos un dado alrededor de dos ejes diferentes en secuencia, es relevante en qué orden se hagan estas rotaciones. Prueba y lo verás por ti mismo. Coge dos dados y ponlos sobre la mesa en la misma posición. Gira el primer dado alrededor del eje vertical y después alrededor del eje horizontal. Después gira el segundo dado en las mismas direcciones, pero primero alrededor del eje horizontal y después alrededor del vertical. Verás que las caras del dado apuntan a direcciones diferentes. Por tanto el grupo de rotaciones de un dado es "no abeliano". Es por esto, entre otras cosas, que resolver el cubo de Rubik es tan condenadamente complicado.

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas