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Elementos filtrados por fecha: Jueves, 18 Abril 2013

La regla de L'Hôpital y el cálculo de límites

La regla de L'Hôpital permite calcular límites que presentan la indeterminación "cero partido por cero".

Debemos enunciar la regla con rigor pues en ella hay que asegurarse de que las dos funciones que intervienen (la del numerador y la del denominador) son ambas derivables en un entorno del punto donde se quiere hallar el límite.

Es decir, si \(f\) y \(g\) son dos funciones derivables en un entorno de un punto \(a\), con

\[\lim_{x\to a}f(x)=0\quad\text{;}\quad\lim_{x\to a}g(x)=0\]

y existe

\[\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

entonces también existe

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\]

y se cumple que

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

En resumen:

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\ ,\ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L\]

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el siguiente límite:

\[\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\]

Tomando \(f(x)=e^x-1-x\) y \(g(x)=x^2\) se tiene que \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\) y que \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=0\) (nos encontramos pues con una indeterminación del tipo "cero partido por cero"). Como \(f\) y \(g\) son claramente derivables en todo \(\mathbb{R}\) podemos aplicar la regla de L'Hôpital.

\[ \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\]

El límite anterior vuelve a presentar la indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\).

Obsérvese que estamos en condiciones de volver a aplicar la regla de L'Hôpital, con lo que derivando otra vez numerador y denominador se tiene:

\[\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x}{2}=\dfrac{1}{2}\].

Entonces, por la regla de L'Hôpital,

\[\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{2}\]

Así pues:

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}\]


 En esta presentación tienes otro ejemplo de cálculo de un límite utilizando esta regla


 Por cierto. El límite calculado en la presentación anterior requiere de aplicar dos veces la regla de L'Hôpital. La segunda vez que se aplica se vuelven a derivar, después de simplificar, las funciones que aparecen en el numerador y en el denominador. Pero se podría haber hecho también de otra manera similar. ¿Sabes cómo?

La regla de L'Hôpital también se puede aplicar cuando aparece la indeterminación "infinito partido por infinito". Como resumen práctico diremos que los límites del tipo \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\), donde \(a\) es \(-\infty\), \(+\infty\) o un número, si dan lugar a una indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\), pueden obtenerse derivando numerador y denominador y calculando (si existe) el límite del cociente de sus derivadas. A veces, después de este primer paso, se llega a otra indeterminación, por lo que se puede repetir el proceso. Hay indeterminaciones del tipo \(\infty-\infty\), \(1^{\infty}\) u otras que, con un poco de habilidad, se puede poner en forma de cociente para poder aplicar la regla de L'Hôpital.

En este enlace puedes encontrar, completamente resueltos, muchos más límites que se propuesieron en las pruebas de selectividad de la universidad de Castilla-La Mancha.

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Apuntes y ejercicios de derivadas. Matemáticas aplicadas a las CCSS I.

En estos apuntes esquemáticos se desarrollan los contenidos correpondientes a la parte de derivadas en la materia de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I. También se incluye una relación de ejercicios con la solución final de cada uno de ellos. Esta relación contiene aplicaciones de las derivadas a la economía.

Derivadas. Matemáticas aplicadas a las CCSS I

  • Tabla de derivadas.
  • Propiedades de las derivadas. Reglas de derivación.
  • Ejemplos: ejercicios resueltos de cálculo de derivadas.
  • Recta tangente a una función en un punto.
  • Ejemplo: ejercicio resuelto de cálculo de la recta tangente a una función en un punto.
  • Monotonía y extremos relativos de una función.
  • Cálculo práctico del crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función.
  • Ejemplo: ejercicio resuelto donde se estudia, entre otras cosas, la monotonía y extremos relativos de una función. Representación gráfica.

Apuntes de derivadas

Relación de ejercicios de derivadas


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