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pi antes de pi

Pi es irracional: tiene infinitas cifras decimales no periódicas Pi es irracional: tiene infinitas cifras decimales no periódicas
Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

El pasaje de la Biblia que es quizá el más citado por los matemáticos no proviene, como el lector tal vez pueda esperar, del Libro de los Números, sino del Libro de los Reyes. En la versión clásica de Reina-Valera dice así:

Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Reyes I, 7:23

Si hemos de entender de un lado al otro como la medida del diámetro y que el cordón de alrededor representa la medida de la circunferencia, esos números no pueden ser más que aproximaciones. Un diámetro de \(10\) codos solamente es compatible con una circunferencia de más de \(31\) codos, pues, como sabemos

\[l=\pi\cdot d\]

donde \(l\) es la longitud de la circunferencia, \(d\) el diámetro de la misma y \(\pi=3,14159265358979\ldots\)

El Libro de los Reyes no es, ni pretende ser, un tratado de geometría, de forma que la cita tiene solo un valor descriptivo. No se pueden tomar esos números como literalmente exactos, igual que no se puede tomar con su sentido literal la palabra mar, o los siete días de la creación del mundo, por poner otro ejemplo.

Otros documentos de la época del Libro de los Reyes (hacia el siglo VII a.C.) muestran un mejor conocimiento de las proporciones circulares. Pero quienes escribieron el Libro de los Reyes no estaban interesados en las matemáticas, ni probablemente tenían conciencia de que existiese una relación constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

¿Qué se sabía sobre la existencia del número \(\pi\) antes de que la cultura griega clásica empezase a arrojar luz sobre él?

En unas excavaciones en la ciudad de Susa, en lo que fue Mesopotamia, se descubrió una tablilla de barro con unas inscripciones cuneiformes que los expertos han datado en unos 1600 años a.C. Para nuestros intereses, lo que viene a asegurar esa tablilla es que para calcular una circunferencia se debe multiplicar su diámetro por \(3+\dfrac{1}{8}=3,125\).

Para fines prácticos, usar \(3+\dfrac{1}{8}\) da una aproximación muy útil: el error es poco más del \(0,5\,\%\). Incluso usar \(3\) es aceptable en la práctica, y otras tablillas mesopotámicas dan instrucciones para que así se haga. Pero lo realmente interesante es que implícitamente se afirma que la relación entre la circunferencia y el diámetro es constante, es igual para todas las circunferencias, sin que importe su tamaño. Es decir, que saben que existe \(\pi\).

Uno de los documentos matemáticos más antiguos que se conocen es el papiro de Rhind. El egiptólogo escocés Henry Rhind lo compró en un mercado de Luxor en 1858 y hoy se conserva en el Museo Británico. En él se describen soluciones a una serie de problemas con cálculos sencillos y geometría elemental. Fue escrito por el escriba Ahmes en Egipto, alrededor del año 1650 a.C. Lo que hizo Ahmes, sin embargo, fue solo copiar un papiro anterior y su contenido original bien podría ser varios siglos anterior.

El papiro Rhind tiene dos entradas que tratan del área del círculo. Recordemos que para obtener el área \(A\) de un círculo hay que multiplicar el número \(\pi\) por el cuadrado del \(r\):

\[A=\pi\cdot r^2\]

Estamos, por tanto, cambiando no solo de documento, de lugar y de siglo, sino de foco de interés: antes hablábamos de la longitud de la circunferencia y ahora del área del círculo.

En el problema 48 del papiro se describe la siguiente forma de calcular el área de un círculo: considerarla igual a la del octógono de la siguiente figura:

pi antes pi 01

Esta ya no es una mera estimación experimental, es decir, no se puede haber obtenido mediante medidas directas, sino que es un razonamiento geométrico, aunque sea solo aproximado y basado en la intuición visual. Y este no es un método con números, sino con figuras.

¿Hasta qué punto es buena esta aproximación? Calculemos un poco. El octógono consta de \(5\) "cuadraditos" enteros y \(4\) mitades: en total \(7\) "cuadraditos". Así que, si llamamos \(A\) al área del octógono, \(A_c\) al área de un "cuadradito" y \(l\) al lado de un "cuadradito", tenemos:

\[A=7\cdot A_c=7\cdot l^2=7\cdot\left(\dfrac{2r}{3}\right)^2=\dfrac{28}{9}\cdot r^2=3,111\cdot r^2\]

donde hemos utilizado que el diámetro del círculo (el doble del radio) equivale a tres lados de "cuadraditos": \(2r=3l\), o lo que es lo mismo, \(l=\dfrac{2r}{3}\).

Si tomamos esto como aproximación al valor de \(\pi\), es algo peor que la usada por los babilonios, ya que \(3,125\) está un poco más cerca de \(\pi\) que \(3,111\ldots\) Sin embargo, como modo de razonamiento, la geometría es mejor que la mera aproximación experimental, y será clave, siglos después, para mejorar el cálculo del área del círculo y el cálculo del valor de \(\pi\).

En otra parte del papiro Rhind, en el problema 50, se da otra regla para hallar el área de un círculo: eliminar \(\dfrac{1}{9}\) del diámetro, levantar un cuadrado con dicho segmento como lado y hallar su área. Es decir, se considera que el área \(A\) del círculo (en gris en la figura siguiente) es igual a la del cuadrado (cuyas esquinas están marcadas en rojo)

pi antes pi 02

Así, el área del cuadrado sería \(\left(\dfrac{8}{9}\cdot d\right)^2\). Como el diámetro es el doble del radio (\(d=2\cdot r\)), la fórmula es:

\[A=\left(\frac{8}{9}\cdot2\cdot r\right)^2=\left(\frac{16}{9}\right)^2r^2=3,16049\cdot r^2\]

Así que este método del escriba Ahmes equivale a multiplicar \(r^2\) por \(3,16049\ldots\), que es ligeramente superior a \(\pi\).

Hoy sabemos que los números \(\pi\) que aparecen en las fórmulas para la longitud de la circunferencia y para el área del círculo

\[l=2\pi r\qquad\text{;}\qquad A=\pi r^2\]

son el mismo número. ¿Lo sabían hace 4000 años? Nada nos hace pensar que así fuera.

La tablilla de Susa nos habla claramente de una relación constante entre circunferencia y diámetro. Además, esa relación se puede medir con instrumentos sencillos: cójase una cuerda del tamaño del diámetro y véase cuántas veces cabe en la circunferencia.

Por contra, solo de forma indirecta podemos deducir en los escritos de Ahmes una relación entre el área del círculo y el cuadrado del radio. E incluso si hubieran sospechado esa relación, su medición directa se antoja complicada. Y parece del todo fuera de lugar preguntar a aquellos nuestros antepasados si es el mismo número el que aparece en esos dos cálculos.

Aunque, en realidad... no era tan complicado. La figura siguiente es una reproducción de un documento japonés del siglo XVII d.C., el Tengen Shinan. Hemos saltado en el tiempo y hemos cambiado de continente porque el documento es tan bonito y tan claro que no nos hemos resistido a presentarlo al lector.

pi antes pi 03

Lo que muestra la figura es cómo un círculo se puede dividir en finos gajos (que se muestran alternativamente en blanco y negro) que, recompuestos, forman un rectángulo. Bueno, casi. Cuanto más finos sean los gajos, más cerca estaremos de un rectángulo. Un matemático actual dirá que en el límite eso es un rectángulo. Ese rectángulo tiene como base el radio del círculo, y como altura, la mitad de la longitud de la circunferencia. Así que el área del rectángulo (y, por tanto, la del círculo) es

\[A=\text{base}\cdot\text{altura}=r\cdot\frac{l}{2}=r\cdot\frac{2\pi r}{2}=\pi r^2\]

pi antes pi 04

En el siglo III a.C., Arquímedes había llegado a la misma conclusión usando un método distinto (lo dejó en Sobre la medida del círculo). Antes de los maestros griegos, seguramente nadie.

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