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Un juego de matemáticas con cartas. El once y los montones de la baraja

Cuando yo era muy jovencito (con unos 10 años o así), mi abuelo Pedro Castro me enseñó un juego de cartas. A mi abuelo le gustaba mucho hacer (e inventar) juegos con cartas, con números y con cuerdas. Un amigo suyo y él pasaban las horas muertas dándole vueltas a estos asuntos. De él me viene sin duda la pasión por las matemáticas y los números. El juego al que me refiero en esta entrada utiliza una baraja española de 40 cartas con 4 palos (10 cartas de oros, 10 de copas, 10 de espadas y 10 de bastos). Para entender bien el juego, tal y como mi abuelo me lo explicó, hay que asignar a la sota de cada palo el número 8, al caballo el número 9 y al rey el número 10.

juego-cartas-01

Barajamos bien el mazo de 40 cartas. El juego consiste en tomar la primera carta del mazo y mirar su número, ponerla boca abajo sobre la mesa y colocar sobre ella, una carta tras otra, tantas cartas como vamos contando desde el número visto hasta el 10. Por ejemplo, si al extraer la primera carta vemos un 7, colocamos esta boca abajo sobre la mesa y a continuación vamos contando hasta 10, con lo que pondríamos encima otras tres cartas más (la correspondiente al 8, al 9 y al 10). Bien, ya tenemos el primer montón de cartas. Ahora repetimos el proceso hasta hacer varios montones. Si la carta que miramos es un rey (que se corresponde con un 10), el montón tendrá, naturalmente, sólo una carta. Al final es posible que no podamos completar el último montón, con lo que ofreceremos también el número de cartas sobrantes.

He realizado el juego y obtengo la siguiente configuración (8 montones y 3 cartas que sobran pues con ellas no he podido completar otro montón):

 juego-cartas-02

La pregunta es: ¿cuánto suman los números de las cartas que hay al final de cada montón? Podréis pensar que es fácil, pues al ir echando las cartas podemos ir memorizando el número de la carta primera a la que damos la vuelta y con la que se comienza cada montón. Luego basta hacer la suma. Pero la cosa no es así. Mi abuelo me enseñó a echar las cartas. El desaparecía de la habitación mientras yo hacía los montones, es decir, una realización del juego. Cuando yo finalizaba lo llamaba, él volvía y veía el número de montones y de cartas sobrantes. De manera prácticamente inmediata decía un número («¡51!» decía, por ejemplo, que es el caso de la imagen anterior). Yo me preguntaba: «¿pero cómo lo sabe?». Luego dábamos la vuelta a los montones y sumábamos (recordad que la sota vale 8, el caballo 9 y el rey 10). Efectivamente la suma era igual a la cantidad que él había dicho en voz alta. Sumad si queréis:

 juego-cartas-03

Yo me desesperaba y así me mantuvo en vilo durante días hasta que me dijo el "truco". ¿Te atreves con esta otra configuración: 10 montones y una carta sobrante?

juego-cartas-04

Mi abuelo Pedro me dijo que mentalmente separara 4 montones del resto. Llamemos \(r\) al resto de montones (6, en este caso) y \(k\) al número de cartas que sobran. Entonces la suma \(S\) de las cartas del final de cada montón se calcula así:

\[S=11\cdot r+4+k\]

En este caso \(r=6\) y \(k=1\). Entonces:

\[S=11\cdot6+4+1=66+4+1=71\]

Démosle la vuelta a los montones y sumemos. Efectivamente el resultado es 71 (¡recuerda de nuevo!: la sota vale 8, el caballo 9 y el rey 10).

juego-cartas-05

Una vez que conocí la fórmula que proporcionaba la suma, hacía el experimento de los montones varias veces, y siempre funcionaba. Luego disfrutaba enseñándoles el juego a los amigos y a otros familiares. Pero... ¿por qué funcionaba siempre esta fórmula? No me lo pregunté hasta mucho tiempo después. Pasaron varios años y mi abuelo murió justo el verano anterior al curso en el que yo comencé el bachillerato. Por entonces me propuse encontrar la justificación matemática a tal fórmula. Cuando la encontré experimenté una gran satisfacción y pensé si mi abuelo la había deducido igual que yo. Imagino que sí, o de manera muy similar.

El reto es demostrar la fórmula de la suma de los números de las cartas correspondientes a la última carta de cada montón (o de la primera en extraer cada vez que nos disponemos a empezar un nuevo montón). No es difícil dar con ella, en serio (una pista la contiene el título de este artículo). Algún día la pondré aquí mismo. ¡Echa las cartas y ponte a pensar!

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