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Relojes y matemáticas

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De todo el mundo es sabido que cuando un reloj analógico marca las doce en punto, ambas agujas están alineadas hacia arriba en posición vertical.

 relojes-02

Pasada una hora, a la una en punto, el minutero ha girado 360 grados, mientras que la aguja horaria ha girado exactamente 30 grados. Esto es porque las horas de la circunferencia del reloj dividen a esta en \(12\) partes, y \(\displaystyle\frac{360}{12}=30\).

 relojes-03

De aquí se deduce que, pasado el mismo tiempo, el minutero recorre un espacio doce veces mayor que la aguja horaria.

Teniendo en cuenta esta propiedad se pueden realizar fácilmente algunos problemas.


Problema 1. Un reloj señala las tres en punto. ¿A qué hora se superpondrán las manecillas (horaria y de los minutos) nuevamente por primera vez?

relojes-04

Tomando como unidad el ángulo o espacio recorrido en un minuto, llamemos \(x\) a los espacios de minuto que recorre la aguja pequeña o aguja horaria. Evidentemente, el minutero que está en las \(12\) recorre \(15\) espacios de minuto más \(x\) para superponerse por primera vez. Como este espacio es \(12\) veces mayor que el recorrido por la aguja horaria, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[15+x=12x\]

Resolviendo:

\[11x=15\Rightarrow x=\frac{15}{11}=1+\frac{4}{11}\]

\(\displaystyle \frac{4}{11}\) minutos se corresponde con \(\displaystyle \frac{4}{11}\cdot60=\frac{240}{11}=21+\frac{9}{11}\) segundos.

Además \(\displaystyle\frac{9}{11}\) segundos son \(\displaystyle\frac{9}{11}\cdot10=\frac{90}{11}\approx8\) décimas de segundo.

Por tanto, las agujas se superponen a las \(3\) horas, \(16\) minutos, \(21\) segundos y \(8\) décimas de segundo.


Problema 2. ¿A qué hora después de las seis se encuentran las manecillas en prolongación por primera vez?


Problema 3. ¿A qué hora, despues de las \(12\), forman las manecillas por primera vez un ángulo de \(30^o\)?


Problema 4. La manecilla de las horas se encuentra entre las \(11\) y las \(12\). El minutero está entre las \(12\) y la \(1\). ¿Al cabo de cuánto tiempo las manecillas están exactamente en posición invertida? ¿Qué tiempo ha transcurrido? ¿Qué hora era al principio?

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