Menu
Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Funciones continuas e inyectivas

Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teo...

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

El problema de la velocidad. Deriva…

Un problema relativo a ve...

Prev Next

Elementos filtrados por fecha: Enero 2016

Reflexiones de una alumna sobre la educación

Hace unos días una alumna a la que doy clase de Matemáticas II en un grupo de 2º de Bachillerato, se dirigió a mí para hacerme una consulta. Lo que creí que podía ser una duda más sobre alguna cuestión de matemáticas, se convirtió en una agradable petición. Carlota (así se llama mi alumna) me pidió si podía leer unas reflexiones que había escrito. Unas reflexiones sobre educación. Carlota es una alumna más de la clase, pero además, según veo, especialmente implicada en aspectos de nuestras vidas hasta el punto que escribe sobre ello. En este caso escribe sobre educación. Carlota tiene casi 18 años, sobresale en matemáticas y, según veo, también tiene las ideas bastante claras en otras muchas cosas. Y ella ha pensado y escrito sobre cuestiones relacionadas con la educación en general. Me dijo que no tenía inconveniente en que esto se publicara en la Web. Os dejo pues con sus reflexiones (la transcripción es literal, no le he quitado ni le he puesto nada, os la dejo tal cual ella me la envió a mí), no sin antes agradecer a Carlota lo mucho que nos está dando, a través de su palabra, a todos los que estamos metidos en este mundo de la educación.

Siempre he pensado que la educación es aquello que hace que al final no importe de dónde vienes, sino a dónde vas. La forma más inteligente de justicia social, la que permite que todos tengamos las mismas oportunidades, pase lo que pase, y salgamos de la casilla que salgamos en este juego que es la vida. Por ello creo que como sociedad estamos fallando por estar perdiendo el tiempo y no invertir más en educación, aquello que hace que seamos lo que somos. No hablo sólo de dinero, hablo de ideas, de esfuerzos, de proyectos. Hablo de invertir en grandes cambios que propicien mejores resultados, no sólo académicos, también sociales. Y hacerlo a todos los niveles y a todas las edades. Concebir la educación como algo que nos acompaña toda la vida, como una forma más de crecimiento personal que nos permite, además, afrontar el reto de estar en una sociedad cambiante y flexible. Hagamos que ese cambio sea una oportunidad de mejora, no cerremos los ojos a la necesidad de dar un vuelco a la formación para hacerla más adecuada y más humana. Creo en una sociedad en la que se deben tener más en cuenta los méritos, pero para llegar a ella, hace falta primero crear una sociedad justa y llena de oportunidades para todos.

La vida es una escuela constante y debemos irnos preparando para el reto que se nos viene encima a cualquier edad. Debemos aprender siempre… y no sólo aprender conocimiento, sino aprender a aprender, aprender a tener ganas de aprender, aprender a querer ser mejores y despertar a nuevas experiencias. Aprender a pensar y a llevar la contraria si hace falta, a asumir riesgos necesarios para calibrar nuestros logros. Aprender a creer en nosotros mismos y en nuestras capacidades. Aprender a hacernos cada vez más preguntas que nos ayuden a evolucionar, a mejorar nuestro entorno. Acabar con la rutina y la resignación, estimularse cada día y darse cuenta de que nunca es tarde. Aprender a generar nuevos empleos de calidad para los que no lo tienen y darle la vuelta a las cifras hasta que estén a nuestro favor. Todos salimos ganando.

No hablo de invertir más dinero, quizá no haga falta, pero sí invertir mejor y dar más herramientas a los formadores para poder evolucionar. No sólo eso, darle la vuelta, zarandearlo todo y cambiar el modelo, empezar de nuevo si hace falta. Buscar la forma de crecer como sociedad, educar como sociedad. No me refiero a tutelar ni a controlar, me refiero a crear las condiciones para que nadie necesite más allá de lo necesario esa tutela y pueda desarrollar sus proyectos de futuro.

Educar es el arte de entusiasmar

Formar a otras personas es algo apasionante, una responsabilidad enorme. El buen maestro entusiasma e ilusiona. Comparte la emoción que siente por lo que conoce y debe encontrar la mejor manera de compartirlo. Por ello, si el maestro está cansado, aburrido o no tiene interés por lo que cuenta porque la falta de recursos le ha agotado el ingenio, nunca será capaz de transmitir conocimiento. El maestro debe motivar y estimular. Contagiar entusiasmo y hacerle ver al alumno que puede y que a donde no llegue, él o ella le contará cómo. Por eso, quién más tiene que invertir en aprender es el maestro y necesita todo el apoyo para ello. Se debe formar siempre con cursos que le capaciten para motivar, para negociar, para ayudar al alumno a darse cuenta de que tiene talento y saber cómo descubrirlo. Cursos que le ayuden a dar nuevos enfoques a nuevos pensamientos. El docente no sólo da respuestas, invita a hacerse nuevas preguntas. Tal vez, no llegan más lejos los que más saben, sino aquellos que lo demuestran y se arriesgan a fallar.

Educar es también enseñar a quererse a uno mismo

Esta es la asignatura más importante de la vida para todos. Quererse y conocerse. Y eso, claro, no es sólo trabajo de maestros, es un trabajo de las familias que deben ser cómplices y de la sociedad en general. Todos debemos participar en ello. Individualmente y como padres, madres, amigos, familiares, hermanos, como profesores y desde los medios de comunicación, desde las aulas hasta las cocinas de cada casa. Todos tenemos un trabajo que hacer para fomentar el desarrollo personal y la autoestima de los más jóvenes. Estoy convencida de que en una sociedad sana donde las personas tuviésemos un índice de autoestima elevado (no hablo de ego, ni de complejo de superioridad) se evitarían grandes atrocidades.

El maestro es siempre el que más aprende

Todos somos maestros y transmitimos valores cada día. Los formadores de las escuelas también lo hacen cuando imparten conocimientos. Por ello deben estar más valorados por todos y tener oportunidades para crecer y tiempo para poder hacer las cosas sin precipitarse. Preparar sus clases buscando la mejor forma de atraer e interesar y tener métodos para que sus alumnos desmotivados cambien de actitud. Creo que educar es más guiar que corregir. Es dejar margen para el error y enseñar a sobrellevarlo para aprender de él. Deberíamos, entre todos, educar para aceptar el fracaso y exprimirlo, para aprender de nuestras emociones y exprimirlas, no ocultarlas. Educar para aprender y levantarse tras la caída. Educar para vivir en armonía y no sólo para buscar un empleo y hundirse en la rutina y la apatía de la seguridad. Educar para depender de nosotros mismos y saber que durante toda la vida tendremos que continuar aprendiendo.

Educar es crear oportunidades, enseñar a verlas y encontrarlas, enseñar a fabricarlas

Cada uno de nosotros es una persona feliz en potencia. Cada alumno debe saber encontrar qué le hace feliz, sea lo que sea. Entre todos tenemos que decirle que puede y que debe, que se lo merece. Iré aún más lejos, si les educamos sólo para que tengan conocimientos académicos o dominen algunos idiomas, algo muy necesario, cuando lleven su currículum a una empresa, no tendrán nada a su favor que les diferencie de los demás, seguirán en una larga fila de aspirantes sin destacar. Por eso, hay que educar en el respeto a la diferencia y potenciarla, para que cada uno sepa lo que le hace auténtico y extraordinario. Para que nadie se sienta excluido. Cada vez más empresas distinguen a los que se presentan con un currículum que refleja inteligencia emocional y los separa de aquellos que como robots repiten conocimientos. Se buscan personas que siempre estén en proceso de aprendizaje, se busca el poso que esos conocimientos aprendidos ha dejado en ellos y sus ganas de experimentar y conocer. No sólo importan las aptitudes, cada vez más se valoran las actitudes y factores como la resiliencia, la empatía, la capacidad para comunicar y crear, la asertividad, la capacidad de innovar y apasionarse en cada proyecto… y, ¿por qué no nuestros valores y nuestro sentido de la ética? Ya no basta el arte de ejecutar a la perfección, sino de generar nuevas maneras, asumir nuevos retos. Eso es lo que se paga, el ingenio, asumir el riesgo en cualquier disciplina, sea humanística o técnica. Eso se aprende desde el primer momento, a base de conocerse y aceptarse, a base de fracasar y perder miedos, a base de enterrar tabús, prejuicios y perezas. Ese es el empleo de calidad al que debemos aspirar. Empleo de calidad y profesionales convencidos y satisfechos con sus vidas porque se sienten realizados, algo que, lamentablemente, estamos obviando.

Seamos egoístas, invirtamos en educación

Hay maravillosos maestros y maravillosos alumnos. Y la mejor noticia es que serlo sólo depende de nosotros. Como sociedad tenemos una asignatura pendiente, invertir en presente y futuro, educar y dar las mismas oportunidades a todos. No sólo para evitar la injusticia, sino porque con ellos invertimos en nosotros mismos. Ahora mismo, entre los niños y niñas que habitan las aulas hay grandes médicos, investigadores, escritores, emprendedores, periodistas, programadores, artistas en todas las disciplinas… lo son en potencia. ¿Vamos a perder todo ese talento? ¿Nos lo podemos permitir como sociedad? Ellos y todos los que tal vez no lleguen a la cima o no sean conocidos en sus profesiones, pero estén satisfechos con lo que hacen y cada día mejoren la vida de los que les rodean con sus acciones lo merecen. Seamos egoístas, no perdamos ese potencial que nos puede cambiar la vida y darle calidad por no ser capaces de ver más allá de esquemas anticuados. Y, sobre todo, no dejemos que nadie pierda la oportunidad de una vida plena y feliz porque no somos capaces de construir nuestro futuro sin prejuicios.

Porque al contrario de lo que decía el refrán, la letra no entra con sangre, entra con esfuerzo, con respeto y motivación.

Por si alguien quiere seguir a Carlota, esta es su cuenta de Twitter: https://twitter.com/carlotataviro13

Leer más ...

Método de integración por partes

El método de integración por partes se deduce de la regla de derivación de un producto. Dadas dos funciones \(f\) y \(g\) tenemos que:

\[\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

Si despejamos el último sumando la expresión anterior la podemos escribir así:

\[f(x)\cdot g'(x)=\left(f(x)\cdot g(x)\right)'-f'(x)\cdot g(x)\]

Integrando las funciones de ambos miembros de la igualdad tendremos:

\[\int f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx\]

Si cambiamos la variable llamando \(u=f(x)\) y \(v=g(x)\) tendremos que \(du=f'(x)dx\) y \(dv=g'(x)dx\), con lo que sustituyendo en la expresión anterior:

\[\int udv=uv-\int vdu\]

La anterior se conoce con el nombre de fórmula de integración por partes.

La integración por partes es útil cuando la función a integrar puede considerarse como el producto de una función \(u\), cuya derivada es más sencilla que \(u\), por otra función que claramente es de la forma \(dv\) (función \(v\) cuya derivada es \(dv\)).

Veamos algunos ejemplos que ilustren el método de integración por partes.

Ejemplo 1

\[\int xe^xdx=\begin{bmatrix}u=x &;&du=dx\\dv=e^xdx&;&v=e^x\end{bmatrix}=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C\]

Ejemplo 2

\[\int x\text{sen} xdx=\begin{bmatrix}
u=x &;&du=dx\\
dv=\text{sen} xdx&;&v=-\cos x
\end{bmatrix}=-x\cos x-\int-\cos xdx=-x\cos x+\text{sen} x+C\]

Ejemplo 3

\[\int\ln xdx=\begin{bmatrix}u=\ln x &;&du=\dfrac{1}{x}dx\\dv=dx&;&v=x\end{bmatrix}=x\ln x-\int x\frac{1}{x}dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C\]

A veces se utiliza la integración por partes para hallar \(\int h\) en función, otra vez, de \(\int h\), y después despejar \(\int h\) en la ecuación resultante.

Ejemplo 4

\[\int\dfrac{\ln x}{x}dx=\begin{bmatrix}
u=\ln x &;&du=\dfrac{1}{x}dx\\
dv=\dfrac{1}{x}dx&;&v=\ln x
\end{bmatrix}=\ln x\ln x-\int \frac{\ln x}{x}dx\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 2\int \frac{\ln x}{x}dx=\ln^2x\Rightarrow\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{\ln^2 x}{2}+C\]

Otras veces hay que aplicar lo anterior pero integrando por partes más de una vez, lo que requerirá un cálculo algo más elaborado.

Ejemplo 5

\[\int e^x\text{sen} xdx=\begin{bmatrix}u=e^x &;&du=e^xdx\\dv=\text{sen} xdx&;&v=-\cos x\end{bmatrix}=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx=\]

\[=\begin{bmatrix}u=e^x &;&du=e^xdx\\dv=\cos xdx&;&v=\text{sen} x\end{bmatrix}=-e^x\cos x+e^x\text{sen} x-\int e^x\text{sen} xdx\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2\int e^x\text{sen} xdx=e^x\text{sen} x-e^x\cos x\Rightarrow \int e^x\text{sen x}dx=\frac{e^x(\text{sen} x-\cos x)}{2}+C\]

Debido a que la integración por partes está basada en el reconocimiento de que una función es de la forma \(dv\) (la derivada de otra), cuantas más funciones sepamos integrar tanto mayores serán nuestras posibilidades de éxito. Con frecuencia es conveniente hacer una integración preliminar antes de abordar el problema principal.

Ejemplo 6

En este ejemplo vamos a utilizar que \(\displaystyle\int\ln xdx=x\ln x-x\) (que se dedujo en el ejemplo 3 integrando por partes).

\[\int\ln^2xdx=\int\ln x\ln xdx=\begin{bmatrix}
u=\ln x &;&du=\dfrac{1}{x}dx\\
dv=\ln xdx&;&v=x\ln x-x
\end{bmatrix}=\]

\[=\ln x(x\ln x-x)-\int\frac{x\ln x-x}{x}dx=x\ln^2x-x\ln x-\int(\ln x-1)dx=\]

\[=x\ln^2x-x\ln x-(x\ln x-x)+x+C=x\ln^2x-2x\ln x+2x+C\]

Utilizando la fórmula \(\displaystyle\text{sen}^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\) es fácil deducir la integral de la función \(\text{sen}^2x\):

\[\int\text{sen}^2xdx=\int\frac{1-\cos2x}{2}dx=\int\frac{1}{2}dx-\frac{1}{2}\int\cos2x=\frac{x}{2}-\frac{\text{sen} 2x}{4}+C\]

Aunque el procedimiento es más largo, seguiremos ilustrando el método de integración por partes para deducir el resultado anterior.

Ejemplo 7

\[\int\text{sen}^2xdx=\begin{bmatrix}
u=\text{sen}^2x &;&du=2\text{sen} x\cos xdx\\
dv=dx&;&v=x
\end{bmatrix}=x\text{sen}^2x-\int2x\text{sen} x\cos xdx=\]

\[=x\text{sen}^2x-\int x\text{sen}2xdx=\begin{bmatrix}u=x &;&du=dx\\dv=\text{sen}2xdx&;&\displaystyle v=-\frac{\cos2x}{2}\end{bmatrix}=\]

\[=x\text{sen}^2x-\left[-\frac{x\cos2x}{2}+\int\frac{\cos2x}{2}\right]=x\text{sen}^2x+\frac{x\cos 2x}{2}-\frac{\text{sen}2x}{4}+C=\]

\[=\frac{2x\text{sen}^2x}{2}+\frac{x\cos^2x-x\text{sen}^2x}{2}-\frac{\text{sen}2x}{4}+C=\frac{x\text{sen}^2x+x(1-\text{sen}^2x)}{2}-\frac{\text{sen}2x}{4}+C=\]

\[=\frac{x}{2}-\frac{\text{sen}2x}{4}+C\]

Finalmente integraremos por partes las funciones arcotangente, arcoseno y arcocoseno.

Ejemplo 8

\[\int\text{arctg} xdx=\begin{bmatrix}u=\text{arctg} x &;&du=\dfrac{1}{1+x^2}dx\\dv=dx&;&v=x\end{bmatrix}=\]

\[=x\text{arctg} x-\int \frac{x}{1+x^2}dx=x\text{arctg} x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\]

Ejemplo 9

\[\int\text{arcsen} xdx=\begin{bmatrix}
u=\text{arcsen} x &;&du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
dv=dx&;&v=x
\end{bmatrix}=\]

\[=x\text{arcsen} x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=x\text{arcsen} x+\sqrt{1-x^2}+C\]

Ejemplo 10

\[\int\arccos xdx=\begin{bmatrix}
u=\arccos x &;&du=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
dv=dx&;&v=x
\end{bmatrix}=\]

\[=x\arccos x-\int \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}dx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\]

Leer más ...

5. Cálculo de áreas de figuras planas

Tanto en el artículo dedicado al teorema fundamental del cálculo como en el de la regla de Barrow hemos visto ya ejemplos de que la integral definida \(\int_a^b f(x)dx\) se interpreta geométricamente como el área encerrada por la gráfica de la función \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\). En este artículo daremos unas pautas, según los casos, para el cálculo de áreas de figuras planas.

Caso 1

Si la función \(f(x)\) es positiva en el intervalo \([a,\,b]\) (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por encima del eje \(X\)), para hallar el área \(A\) comprendida entre la curva \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), hallaremos una primitiva \(F\) de \(f\) y usaremos directamente la regla de Barrow:

\[A=\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\]

Ejemplo 1

Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=4x-x^2\) y el eje \(X\).

La parábola corta al eje \(X\) en los puntos de abscisas \(0\) y \(4\), y el recinto plano del que se busca el área está situado por encima del eje \(X\).

area figuras planas 01

Por lo tanto, el área buscada será:

\[A=\int_0^4(4x-x^2)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}\,\text{u}^2\]

Caso 2

Si la curva es negativa en el intervalo \([a,\,b]\) (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por debajo del eje \(X\)), al aplicar la regal de Barrow obtendremos un número negativo. Como el área debe ser positiva haremos

\[A=-\int_a^b f(x)dx\]

Ejemplo 2

Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=x^2-6x+5\), las rectas \(x=1\), \(x=2\) y el eje \(X\).

area figuras planas 02

Como el trozo considerado se encuentra por debajo del eje \(X\) tendremos que

\[A=-\int_1^2(x^2-6x+5)dx=-\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\right]_1^2=\]

\[=-\left[\left(\frac{8}{3}-12+10\right)-\left(\frac{1}{3}-3+5\right)\right]=-\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\right)=\frac{5}{3}\,\text{u}^2\]

Caso 3

Si la curva es positiva y negativa a trozos en \([a,\,b]\), entonces hay que integrar cada parte por separado y sumar los valores absolutos de los resultados. Obsérvese que, en este caso, hemos de resolver la ecuación \(f(x)=0\) para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje \(X\).

Ejemplo 3

Hallar el área comprendida entre la curva \(y=\cos x\) y el eje \(X\) entre los puntos \(0\) y \(\pi\).

Si no nos damos cuenta de que hay un trozo positivo y otro negativo e integramos directamente entre \(0\) y \(\pi\) obtenemos

\[A=\int_0^\pi\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,0=0-0\]

y esto no es posible (una situación idéntica se presentaba en el ejemplo 2 del artículo anterior).

area figuras planas 03

Por tanto, hemos de resolver la ecuación \(\cos x=0\), cuya solución es \(x=\frac{\pi}{2}\), e integramos la parte positiva y la parte negativa por separado, obteniendo:

\[A_1=\int_0^{\pi/2}\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^{\pi/2}=\text{sen}\frac{\pi}{2}-\text{sen}\,0=1-0=1\]

\[A_1=\int_{\pi/2}^\pi\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_{\pi/2}^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,\frac{\pi}{2}=0-1=-1\]

Sumando los valores absolutos de las dos partes, tenemos que el área buscada es \(A=1+1=2\,\text{u}^2\).

Caso 4. Área comprendida entre dos curvas

Para calcular el área comprendida entre dos curvas se hallan sus puntos de intersección y se integran ambas, restando después. Es decir, el área comprendida entre dos curvas \(f\) y \(g\) es igual al área comprendida entre la función diferencia, \(f-g\), y el eje \(X\).

Ejemplo 4

Hallar el área encerrada entre las curvas \(y=x^2\), \(y=-x^2+2x+4\).

area figuras planas 04

Hallemos los puntos de intersección de las dos curvas. Para ello resolvemos el sistema correspondiente.

\[\begin{cases}y=x^2\\y=-x^2+2x+4\end{cases}\Rightarrow x^2=-x^2+2x+4\Rightarrow2x^2-2x-4=0\]

Esta última ecuación de segundo grado tiene por soluciones \(x_1=-1\) y \(x_2=2\). Por consiguiente el área buscada es:

\[A=\int_{-1}^2(-x^2+2x+4)dx-\int_{-1}^2x^2dx=\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx=\]

\[=\left[-\frac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^2=\left(-\frac{16}{3}+4+8\right)-\left(\frac{2}{3}+1-4\right)=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{27}{3}=9\,\text{u}^2\]

Ejemplo 5

Hallar el área de la región limitada por la gráficas \(f(x)=x^3-x\) y \(g(x)=x^2\).

Los cortes de \(f\) y \(g\) se obtienen resolviendo la ecuación \(x^3-x=x^2\):

\[x^3-x=x^2\Leftrightarrow x(x^2-x-1)=0\Leftrightarrow x_1=0\ ,\ x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ ,\ x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Además, como se puede observar en la gráfica siguiente

\[g(x)\leq f(x)\Leftrightarrow x\in\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},\,0\right]\quad\text{;}\quad f(x)\leq g(x)\Leftrightarrow x\in\left[0,\,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\]

area figuras planas 05

Por tanto el área \(A\) que se busca es la suma de las áreas de los recintos \(A_1\) y \(A_2\) donde

\[A_1=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx\quad\text{;}\quad A_2=\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx\]

Por un lado

\[A_1=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0\approxeq\]

\[\approxeq0-\left(\frac{(-0.618)^4}{4}-\frac{(-0.618)^2}{2}-\frac{(-0.618)^3}{3}\right)=0-(0.036-0.191+0.079)=0.0761\]

Por otro lado

\[A_2=\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\approxeq\]

\[\approxeq\left(\frac{1.618^3}{3}-\frac{1.618^4}{4}+\frac{1.618^2}{2}\right)-0=1.412-1.713+1.309=1.008\]

Finalmente tenemos

\[A=A_1+A_2=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx+\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx\approxeq0.0761+1.008=1.0841\,\text{u}^2\]


← 4. La regla de Barrow

6. Volumen de un cuerpo de revolución →

Leer más ...

Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad

Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad es el título de un libro cuyos autores son Ángel Manuel Ramos del Olmo y José María Rey Cabezas, profesores titulares de universidad en el Departamento de Matemática aplicada de la Universidad Complutense de Madrid (UCM).


Becas 10 - http://www.becas10.com/


Me ha parecido un libro muy completo, en el que se exponen de manera clara y eficaz todos los contenidos matemáticos necesarios para afrontar con matematicas basicasgarantías de éxito un grado de Ciencias, Tecnología o Ingeniería. El libro es altamente recomendable, como referencia matemática básica e integral, para todos aquellos alumos que deseen realizar algunos de los estudios mencionados. Además, el formato del libro es como el de un libro de matemáticas de universidad "de verdad". Lo que quiero decir con esto es que los libros de texto de secundaria y de bachillerato no tienen el aspecto de los libros de matemáticas con los que el alumno se va a encontrar en la universidad. Estos últimos utilizan para su escritura \(\LaTeX\), que es un es un sistema de composición muy adecuado para realizar documentos científicos y matemáticos de alta calidad tipográfica. Con este sistema están escritas también las fórmulas y expresiones que aparecen en los artículos de este sitio Web dedicado a las matemáticas.

En el prefacio del libro se explican muy bien las intenciones del mismo. Por eso me ha parecido una buena idea transcribirlo tal cual.

Prefacio

Al entrar a la universidad los alumnos a menudo se encuentran con material que los profesores suponen que ya han estudiado y con la típica frase "esto ya lo habéis dado, ¿verdad?", con el correspondiente estrés que esto puede generar. Visto desde el otro lado, el profesor suele oír quejas de algunos estudiantes que afirman que no han recibido clases sobre este material en la enseñanza secundaria y/o en Bachillerato. Además, si se le ocurre formular la pregunta antes citada, en muchas ocasiones verá a los estudiantes removiéndose en sus asientos, miradas perdidas, un murmullo general... y algunas tímidas respuestas.

En este volumen estudiantes y profesores encontrarán una recopilación de material matemático de un nivel previo a la universidad que les puede servir para preparar pruebas de acceso a la universidad, como texto de base para (al menos) el primer año de carrera y como texto al que recurrir, a modo enciclopédico, cuando lo precisen, sin necesidad de buscar una colección de libros y apuntes de cursos anteriores.

El origen de esta obra es un curso de preparación para pruebas de acceso a la universidad que los autores estuvieron impartiendo durante varios años en la Universidad Complutense de Madrid. Es en ese curso y en la interacción con sus estudiantes, cuando surge la idea inicial de su redacción. Además, la experiencia de los autores como profesores en clases de Matemáticas en los primeros años de universidad y como correctores en las actuales pruebas de acceso les ha permitido observar las carencias y necesidades a nivel matemático de muchos estudiantes, lo cual ha terminado de perfilar y completar la mencionada idea inicial. En este sentido este libro puede ser de especial ayuda como texto básico de referencia en los cursos introductorios de Matemáticas Básicas que, cada vez más, se imparten en los grados de Ciencias, Tecnología e Ingeniería.

El texto está dividido en tres partes en las que se clasifican los contenidos que se abordan: I) Álgebra y Geometría, II) Análisis, III) Estadística y Probabilidad. Cada parte está dividida en varios capítulos en los que se desgranan los principales resultados y la mayoría de sus demostraciones, junto con numerosas gráficas y ejemplos ilustrativos. Se ha considerado conveniente incluir, para los lectores interesados, demostraciones de la mayoría de los resultados presentados, a pesar de que muchas de ellas no suelen aparecer en los libros de enseñanza secundaria y de Bachillerato. Cada capítulo termina con una sección de problemas y otra sección con las correspondientes soluciones, lo que permitirá al lector comprobar el grado de conocimiento que ha adquirido sobre los contenidos de cada capítulo.

La parte de Álgebra y Geometría se inicia con la introducción a los números reales y se termina con el estudio del espacio euclídeo y de las cónicas, pasando previamente por capítulos sobres sistemas de ecuaciones lineales, trigonometría...

La parte de Análisis se inicia con el estudio de las sucesiones y su convergencia y de las funciones reales de variable real. Se continúa con un capítulo sobre números complejos (que muchos estudiantes de universidad afirman desconocer, a pesar de su enorme utilidad e importancia... y de ser, supuestamente, parte de los contenidos de Bachillerato). Se termina con la parte dedicada al Cálculo (derivadas e integrales) y sus aplicaciones.

Por último, la parte de Estadística y Probabilidad está dividida en tres capítulos. En el primero se estudia el Análisis Combinatorio, y muestra técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas y técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas cotidianas. El segundo capítulo esta dedicado a la Estadítica Descriptiva (sólo en el caso unidimensional) y presenta herramientas que permitan asimilar de una forma razonable grandes cantidades de información. En el tercer y último capítulo se presentan las nociones básicas de la teoría de la Probabilidad, con el objetivo de disponer de herramientas básicas que sirvan a la hora de intentar sacar conclusiones sobre lo que puede ocurrir en fenómenos o experimentos aleatorios.

Os dejo además, aquí y aquí, dos enlaces donde podréis encontrar más información sobre el libro.

Leer más ...

4. La regla de Barrow

Dada una función continua en un intervalo \([a,\,b]\), podemos calcular \(\int_a^b f(x)dx\) de una manera mucho más rápida y eficiente a cómo se ha hecho en uno de los ejemplos del artículo anterior, en el que directamente se había aplicado el teorema fundamental del cálculo.

Regla de Barrow

Sea \(f\) una función continua en \([a,\,b]\) y \(F\) una primitiva de \(f\). Entonces:

\[\int_a^b f=F(b)-F(a)\]

Demostración:

Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que la función \(G(x)=\int_a^x f\) es una primitiva de \(f\), con lo que \(G'(x)=f(x)\). Como por hipótesis \(F\) también es una primitiva de \(f\) tenemos también que \(F'(x)=f(x)\).

Sabemos que dos funciones que tienen la misma derivada se diferencian, a lo sumo, en una constante, es decir, \(G(x)=F(x)+C\).

Si en la igualdad anterior hacemos \(x=a\) tenemos que \(G(a)=F(a)+C\). Pero \(G(a)=\int_a^a f=0\), con lo que \(0=F(a)+C\Rightarrow C=-F(a)\), con lo que la igualdad se convierte en \(G(x)=F(x)-F(a)\).

Finalmente, si en esta última igualdad, hacemos \(x=b\), obtenemos

\[G(b)=F(b)-F(a)\Rightarrow \int_a^b f=F(b)-F(a)\]

tal y como queríamos demostrar.

En la práctica para calcular la integral definida \(\int_a^b f\) buscamos una primitiva \(F(x)\) de \(f\): \(F(x)=\int f(x)dx\), calculamos \(F(b)\) y \(F(a)\) y hacemos

\[\int_a^b f=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)\]

Por tanto, el cálculo práctico de integrales definidas se hace con las mismas reglas que el cálculo de integrales indefinidas. Además, cuando se utilice un cambio de variable se puede actuar cambiando también los valores de \(a\) y \(b\) (llamados límites de integración), con lo cual no hay necesidad de deshacer el cambio para obtener el valor de la integral definida correspondiente.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Calcular \(\displaystyle\int_1^3(x^2-x)dx\).

Solución:

Una primitiva del integrando es \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\) y por tanto

\[\int_1^3(x^2-x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^3=\left(\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{2}\right)-\left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}\right)=\frac{14}{3}\]

La interpretación geométrica es clara. El área de la región limitada por la curva \(y=x^2-x\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=1\) y \(x=3\) es igual a \(\frac{14}{3}\ \text{u}^2\).

regla barrow 01

Ejemplo 2

Calcular \(\displaystyle\int_{-1}^1(x^3-x)dx\).

Solución:

\[\int_{-1}^1(x^3-x)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=\left(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^2}{2}\right)-\left(\frac{1^4}{4}-\frac{1^2}{2}\right)=0\]

En este caso es evidente que no es \(0\) el área del recinto limitado por la curva \(y=x^3-x\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=-1\) y \(x=1\).

regla barrow 02

Pero es que, por otro lado:

\[\int_{-1}^1(x^3-x)dx=\int_{-1}^0(x^3-x)dx+\int_0^1(x^3-x)dx=\]

\[=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)=0\]

Obsérvese que si la función es negativa en un intervalo, el valor de la integral definida también lo es (ya se comentó en un artículo anterior que un "signo menos delante de un área" sólo indica que el recinto correspondiente se encuentra bajo el eje \(X\)).

En todo caso del cálculo anterior se desprende que el área de cada uno de los dos recintos de la figura anterior es \(\frac{1}{4}\) y que, por tanto, el área de la región encerrada por la gráfica de la función \(f(x)=x^3-x\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=-1\) y \(x=1\), es igual a \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\).

En el siguiente artículo se propondrá un método para el cálculo de áreas de recintos planos.

Ejemplo 3

Calcular \(\displaystyle\int_0^4\frac{x}{\sqrt{2x+1}}dx\).

Solución:

Hagamos el cambio de variable \(t=2x+1\ \text{;}\ dt=2dx\). Entonces \(x=\frac{t-1}{2}\ \text{;}\ dx=\frac{dt}{2}\). Los límites de integración \(a\) y \(b\) (en este caso \(0\) y \(4\)) también cambiarán. Para \(x=0\) resulta \(t=2\cdot0+1=1\) y para \(x=4\) resulta \(t=2\cdot4+1=9\). Por lo tanto:

\[\int_0^4\frac{x}{\sqrt{2x+1}}dx=\int_1^9\frac{\frac{t-1}{2}}{\sqrt{t}}\frac{dt}{2}=\frac{1}{4}\int_1^9\frac{t-1}{\sqrt{t}}dt\]

Calculemos ahora una primitiva \(F(t)\) de \(\dfrac{t-1}{\sqrt{t}}\):

\[F(t)=\int\frac{t-1}{\sqrt{t}}dt=\int\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}}\right)dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}-2t^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{t^3}-2\sqrt{t}\]

Entonces:

\[\int_1^9\frac{t-1}{\sqrt{t}}dt=F(9)-F(1)\]

Pero:

\[F(9)=\frac{2}{3}\sqrt{9^3}-2\sqrt{9}=\frac{2}{3}\cdot27-2\cdot3=18-6=12\]

\[F(1)=\frac{2}{3}\sqrt{1^3}-2\sqrt{1}=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}\]

Por tanto:

\[\int_0^4\frac{x}{\sqrt{2x+1}}dx=\frac{1}{4}\int_1^9\frac{t-1}{\sqrt{t}}dt=\frac{1}{4}\left(12-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{40}{3}=\frac{10}{3}\]

De la regla de Barrow se puede deducir otra práctica regla para derivar bajo el signo integral.

Derivación bajo el signo integral

Sea \(f\) una función continua en un intervalo \([c,\,d]\) y sean \(u\) y \(v\) funciones derivables en un intervalo \((a,\,b)\), de tal forma que las imágenes de las funciones \(u\) y \(v\) están contenidas en el intervalo \([c,\,d]\). Entonces, para todo \(x\in(a,\,b)\), se verifica que

\[\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)\]

Nota: el símbolo \(\displaystyle \frac{d}{dx}\) en la expresión \(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\), significa "derivada respecto de la variable \(x\)" de la función \(\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}f\).

Demostración:

Consideremos las funciones

\[\Phi(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\,,\,x\in(a,\,b)\quad\text{;}\quad F(y)=\int f(y)dy\,,\,y\in[c,\,d]\]

Por la regla de Barrow, para todo \(x\in(a,\,b)\) se tiene que

\[\Phi(x)=F(v(x))-F(u(x))\]

Derivando la expresión anterior haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que

\[\Phi'(x)=F'(v(x))v'(x)-F'(u(x))u'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)\]

tal y como queríamos demostrar.

Un ejemplo sería el siguiente:

\[\frac{d}{dx}\int_{\text{e}^x}^{\text{sen}\,x}\left(2+\sqrt[3]{t}\right)dt=\left(2+\sqrt[3]{\text{sen}\,x}\right)\cos x-\left(2+\sqrt[3]{\text{e}^x}\right)\text{e}^x\]


← 3. El teorema fundamental del cálculo

5. Cálculo de áreas de figuras planas →

Leer más ...

3. El teorema fundamental del cálculo

En el artículo anterior hemos visto que el concepto de integral definida de una función \(f\) en un intervalo \([a,\,b]\), \(\int_a^b f(x)dx\), viene a representar el área comprendida entre la curva (gráfica de \(f\)), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), tal y como se representa en la siguiente figura.

th fdtal calculo 01

Existe una estrecha relación entre la integral definida o, lo que es lo mismo, el cálculo del área bajo la curva, y la derivación. Esto, en principio, es bastante sorprendente. El teorema fundamental del cálculo pone de manifiesto la relación mencionada. Antes de enunciarlo demostraremos un resultado de interés, el teorema del valor medio para integrales. También introduciremos el concepto de función área de una función \(f\) en un intervalo cerrado.

Teorema del valor medio para integrales

Si \(f(x)\) es continua en \([a,\,b]\), entonces existe un punto \(c\in(a,\,b)\) tal que

\[\int_a^b f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)\]

Demostración:

Sean \(m\) y \(M\) el mínimo y el máximo de \(f(x)\) en \([a,\,b]\). Entonces

\[m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)\]

th fdtal calculo 03

Es decir:

\[m\leq\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq M\]

Sean \(x_1\), \(x_2\) los puntos de \([a,\,b]\) tales que \(f(x_1)=m\), \(f(x_2)=M\). Entonces la igualdad anterior también se puede escribir así:

\[f(x_1)\leq\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq f(x_2)\]

Aplicando el teorema de los valores intermedios existirá un punto \(c\in(x_1,\,x_2)\) tal que

\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\]

O lo que es lo mismo, hemos demostrado que existe \(c\in(a,\,b)\) tal que

\[\int_a^b f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)\]

como queríamos demostrar.

El teorema del valor medio para integrales puede interpretarse geométricamente de la siguiente manera: existe un punto \(c\in(a,\,b)\) tal que el rectángulo de base \(b-a\) y altura \(f(c)\) tienen la misma área que la encerrada por la curva \(f\), el eje \(X\) y las rectas \(x=a\), \(x=b\).

th fdtal calculo 02

La función área

Dada una función \(f\), continua en un intervalo \([a,\,b]\), podemos calcular \(\int_a^c f\) para todo número \(c\in[a,\,b]\). Podemos entonces considerar una nueva función:

\[F(x)=\int_a^x f\, ,\ \forall\,x\in[a,\,b]\]

La función anterior es el área encerrada bajo la gráfica de \(f\) entre \(a\) y un punto variable \(x\).

Cuanto mayor sea la ordenada de \(f\), más rápidamente crece el área bajo ella, \(F\), y por tanto, mayor es \(F'\). Cuando \(f\) es negativa, lo es el área. Por tanto, \(F\) decrece y su derivada es negativa. Estas consideraciones intuitivas entre las funciones \(f\) y \(F'\) quedan patentes con mayor precisión en el siguiente teorema.

Teorema fundamental del cálculo

Si \(f\) es una función continua en \([a,\,b]\), entonces la función \(\displaystyle F(x)=\int_a^x f\), \(x\in[a,\,b]\), es derivable y se verifica que \(F'(x)=f(x)\).

Demostración:

Para hallar \(F'(x)\) calcularemos

\[\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

El numerador es

\[F(x+h)-F(x)=\int_a^{x+h}f-\int_a^x f=\int_a^{x+h}f-\left(-\int_x^a f\right)=\int_x^a f+\int_a^{x+h}f=\int_x^{x+h}f\]

th fdtal calculo 04

Por el teorema del valor medio para integrales, al ser \(f\) continua en \([x,\,x+h]\), existe \(c\in[x,\,x+h]\) tal que

\[\int_x^{x+h}f=f(c)\cdot(x+h-x)=f(c)\cdot h\]

Por tanto:

\[F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\left[\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f\right]=\lim_{h\to0}\left[\frac{1}{h}f(c)\cdot h\right]=\lim_{h\to0}f(c)\]

Como \(c\in[x,\,x+h]\), el límite \(\displaystyle\lim_{h\to0}f(c)=f(x)\), pues \(f\) es continua.

Por tanto, \(F'(x)=f(x)\), que es lo queríamos demostrar.

Veamos algunos ejemplos del uso del teorema fundamental del cálculo

Ejemplo 1

Podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo para calcular la derivada de la función \(F(x)=\int_1^x(\ln t-2)dt\). Puesto que la función \(f(t)=\ln t-2\) es continua en todo su dominio, se tiene que \(F'(x)=\ln x-2\). Por otro lado, como \(F'(x)=0\Rightarrow\ln x-2=0\Rightarrow x=e^2\) y, además, \(F''(e^2)>0\), la función \(F\) tiene en el punto \(x=e^2\) un mínimo. Obsérvese que gracias al teorema fundamental del cálculo hemos obtenido el mínimo de la función sin necesidad de resolver la integral.

Ejemplo 2

Supongamos que queremos calcular el área encerrada por la gráfica de la función seno entre \(0\) y \(\pi\). Es decir, queremos hallar \(\int_0^\pi \text{sen}\,x\,dx\). Para ello llamaremos \(F(x)=\int_a^x\text{sen}\,t\,dt\)

th fdtal calculo 05

Por el teorema fundamental del cálculo, \(F'(x)=\text{sen}\,x\). Por tanto, al ser \(F\) una primitiva de la función seno:

\[F(x)=\int \text{sen}\,x\,dx=-\cos x+C\]

Como \(F(0)=\int_0^0\text{sen}\,t\,dt=0\), entonces \(-\cos0+C=0\), es decir, \(C=\cos0=1\). Por tanto tenemos que \(F(x)=-\cos x+1\). De este modo, el área que queremos calcular es:

\[\int_0^\pi\text{sen}\,x\,dx=F(\pi)=-\cos\pi+1=-(-1)+1=2\]

Por tanto el área que se buscaba es de \(2\ \text{u}^2\).

En el artículo siguiente veremos otro método (el que se usa habitualmente) para el cálculo de áreas: la regla de Barrow.

Finalmente reseñar que el teorema fundamental del cálculo afirma que la función área bajo la gráfica de \(f\), \(F(x)=\int_a^x f\), es una primitiva de \(f(x)\), ya que \(F'(x)=f(x)\). Esta es la razón por la que al cálculo de primitivas se le llama integración o cálculo de integrales, y se utiliza la expresión \(\int f(x)dx\) para designar una primitiva de la función \(f(x)\).

Obsérvese en la siguiente figura la relación entre \(F\) y \(f\) (haz clic sobre la figura para ver el movimiento):

En este ejemplo la gráfica de color rojo es \(f(x)=(x-3)^3+3(x-3)^2\) en el intervalo \([1,\,4]\). De manera similar a como se ha hecho en el ejemplo anterior, se puede comprobar con facilidad que \(F(x)=\dfrac{(x-3)^4}{4}+(x-3)^3+4\) (la gráfica de color azul). La ordenada de esta última función (el punto de color azul) nos da el área encerrada por la gráfica de \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales que pasan por las abscisas \(1\) y \(x\) (en color verde).


← 2. Integral definida

4. La regla de Barrow →

Leer más ...

2. Integral definida

Consideremos una función \(y=f(x)\) continua en un intervalo \([a,\,b]\). Hagamos una partición de este intervalo por los puntos \(t_0,\,t_1,\,t_2,\,\ldots,\,t_{n-1},\,t_n\). Supongamos también que esta partición cumple que \(a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b\).

Consideremos los rectángulos cuyas bases son los intervalos parciales \([t_i,\,t_{i+1}]\) y cuyas alturas son los mínimos \(m_i\) de la función en cada uno de dichos intervalos. La suma de las áreas de esos rectángulos la vamos a llamar suma inferior y la denotaremos con la letra \(s\).

integral definida 01

Procedamos de manera y similar y hagamos la misma operación de antes tomando en lugar de los mínimos, los máximos \(M_i\) de la función en cada uno de los intervalos. La suma de las áreas de esos rectángulos la denotaremos por \(S\), y se llama suma superior.

integral definida 02

En caso de que la altura de alguno de esos rectángulos sea negativa, el área de dicho rectángulo también se tomará negativa (esto ocurre en el caso de que la gráfica de la función se encuentre por debajo del eje \(X\)). Dicho de otro modo, el signo "menos" que preceda a un área expresa únicamente que dicha área corresponde a una región situada bajo el eje \(X\) (en otro caso, un área negativa sería algo difícil de imaginar).

Es inmediato comprobar que, dada una partición del intervalo \([a,\,b]\), la suma inferior es siempre menor o igual que la suma superior: \(s\leq S\).

Si añadimos un nuevo punto a la partición, por ejemplo \(t_1'\), las nuevas sumas inferior \(s'\) y superior \(S'\) cumplen que \(s\leq s'\) y \(S\geq S'\). En efecto, si el punto \(t_1'\) está situado, por ejemplo, entre \(t_1\) y \(t_2\), observando la figura siguiente vemos que \(s'\) excede a \(s\) y que \(S\) excede a \(S'\) en los trozos sombreados de color naranja.

integral definida 06

Así pues, al ir añadiendo puntos, las particiones correspondientes tendrán sumas inferiores cada vez más grandes y sumas superiores cada vez más pequeñas, y puede demostrarse que tomando un número suficientemente grande de puntos para que los "intervalitos" de la partición sean suficientemente pequeños, las sumas inferior y superior se acercan tanto como queramos, es decir, \(\lim s=\lim S\) (donde estos límites representan el número al que tienden \(s\) y \(S\) cuando la longitud de los intervalitos de la partición tiende a cero).

El valor de los límites anteriores recibe el nombre de integral definida de la función \(f(x)\) en el intervalo \([a,\,b]\), y se representa del siguiente modo:

\[\int_a^b f(x)dx\]

Cuando la función \(f(x)\) es positiva, la integral definida \(\int_a^b f(x)dx\) representa el área comprendida entre la curva, el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\).

integral definida 09

Si la función \(f(x)\) no es continua en todos los puntos de \([a,\,b]\), pero este intervalo puede descomponerse en un número finito de intervalos cerrados \([a_i,\,b_i]\) en los que \(f(x)\) es continua, se define \(\int_a^b f(x)dx\) como la suma de las integrales \(\int_{a_i}^{b_i} f(x)dx\) en cada intervalo parcial \([a_i,\,b_i]\) (ver figura siguiente).

integral definida 07

Por definición, la integral definida cumple las siguientes propiedades (se recomienda pensar en la interpretación geométrica de cada una de ellas).

\[\int_a^a f(x)dx=0\]

\[\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\]

\[\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx\]

Desde un punto de vista intuitivo, la integral definida se ha de entender como una suma de infinitos sumandos que son infinitamente pequeños, es decir, el área que queda encerrada bajo la curva \(y=f(x)\) puede considerarse como suma de las áreas de los infinitos "rectangulitos" de base \(dx\) y altura \(f(x)\) (ver figura).

integral definida 08


← 1. Concepto de área de figura plana

3. El teorema fundamental del cálculo →

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas