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8. Intersección de una cónica y una recta

Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica.

La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado.

Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. Normalmente este sistema lo resolveremos por sustitución, despejando la incógnita \(y\) en la ecuación de la recta, y sustituyendo su expresión en la ecuación de la cónica.

Este proceso nos llevará a una ecuación de segundo grado, que podrá tener dos, una o ninguna solución.

Lo mejor es verlo con un ejemplo.

Ejemplo 13

La circunferencia \(x^2+y^2-2x-3=0\) y la recta \(3x+y-5=0\) se cortan enn los puntos solución del sistema

\[\begin{cases}x^2+y^2-2x-3=0\\3x+y-5=0\end{cases}\]

Sustituyendo \(y=5-3x\) en la primera ecuación se tiene:

\[x^2+(5-3x)^2-2x-3=0\Rightarrow 10x^2-32x+22=0\Rightarrow 5x^2-16x+11=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{16\pm\sqrt{256-220}}{10}=\frac{16\pm6}{10}=\begin{cases}x_1=\frac{11}{5}\\x_2=1\end{cases}\]

Por tanto los puntos de intersección son \(\left(\dfrac{11}{5}\,,\,-\dfrac{8}{5}\right)\) y \((1\,,\,2)\).

En general, tal y como se ha visto, al resolver el sistema por sustitución, se obtiene una ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\), que tendrá (dependiendo del signo del discriminante \(\Delta=b^2-4ac\)):

  1. Dos soluciones (si \(\Delta>0\): la recta y la cónica son secantes.
  2. Una solución (si \(\Delta=0\)): la recta y la cónica son tangentes.
  3. Ninguna solución (si \(\Delta<0\)): la recta y la cónica son exteriores.

conicas 29

Esta regla general tiene dos excepciones: en los casos que nos muestran las dos figuras siguientes, a pesar de cónica y recta se cortan en un solo punto, la recta no es tangente a la cónica. La recta \(r\) paralela a una asíntota de la hipérbola corta a ésta en un sólo punto \(P\). Sin embargo no es tangente a la hipérbola en \(P\) (la tangente es la recta \(t\). Esto nos indica que la definición tradicional de tangente a una curva en un punto como «recta que corta a la curva solamente en ese punto», no es suficiente. Una definición correcta de tangente precisa del concepto de derivada.

conicas 30

En el caso de la figura siguiente, la recta \(r\) paralela al eje de la parábola, corta a ésta en un solo punto \(P\). Sin embargo no es la tangente a la parábola en \(P\) (la tangente es la recta \(t\)).

conicas 31

Teniendo en cuenta todo lo anterior es posible resolver algunos problemas de tangencia como el cálculo de las tangentes desde un punto exterior de una cónica y el cálculo de la tangente en un punto perteneciente a la cónica, aunque en este último caso, el uso de propiedades geométricas y sobre todo de la derivada, simplifican enormemente los cálculos. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 14

Encontrar las tangentes a la circunferencia \(x^2+y^2=4\) desde el punto exterior \(P(3\,,\,0)\)

Cualquier recta que pasa por \(P(3\,,\,0)\) cumple la ecuación

\[y=m(x-3)\]

Así pues, para hallar su intersección con la circunferencia resolvemos el sistema:

\[\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=m(x-3)\end{cases}\Rightarrow x^2+m^2(x-3)^2=4\Rightarrow x^2+m^2x^2+9m^2-6m^2x=4\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(1+m^2)x^2-6m^2x+9m^2-4=0\]

Para que esta ecuación de segundo grado tenga una sola solución, y que por tanto la recta y la circunferencia sean tangentes, se necesita que

\[\Delta=b^2-4ac=(-6m^2)^2-4(1+m^2)(9m^2-4)=0\Rightarrow36m^4-36m^2-36m^4+16+16m^2=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -20m^2+16=0\Rightarrow m^2=\frac{4}{5}\Rightarrow m=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Por tanto las tangentes son las rectas

\[y=\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\quad;\quad y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\]

Ejemplo 15

Hallar la ecvuación de la tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=4\) en el punto \(P(1\,,\,\sqrt{3})\)

El punto \(P\) pertenece a la circunferencia.

Podría seguirse el método del ejemplo anterior, pero resulta muy engorroso; en cambio si tenemos en cuenta que la tangente es perpendicualr al radio en el punto de tangencia tendremos lo siguiente.

Como el centro es el punto \(C(0\,,\,0)\), la ecuación del radio \(CP\) es:

\[\dfrac{x-0}{1-0}=\dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}\Rightarrow x=\dfrac{y}{\sqrt{3}}\]

Utilizando la condición de perpendicularidad, la ecuación de la tangente en \(P\) es:

\[\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{y}{-1}\]

Para terminar, vamos a fijarnos en un caso de particular interés. Se trata de hallar la intersección de una hipérbola con una recta que pase por el origen de coordenadas (ver figura siguiente).

conicas 32

Ecuación de la hipérbola: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\).

Ecuación de la recta: \(y=mx\).

Entonces:

\[\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\y=mx\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}-\frac{m^2x^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2=a^2b^2\Rightarrow (b^2-a^2m^2)x^2=a^2b^2\]

Caben tres posibilidades:

  1. \(b^2-a^2m^2=0\). En este caso resulta \(0=a^2b^2\), lo cual es imposible.
  2. \(b^2-a^2m^2<0\). En este caso \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2m^2}<0\), lo cual es así mismo imposible, pues un cuadrado no puede ser negativo.
  3. \(b^2-a^2m^2>0\). En este caso \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2m^2}>0\), y \(x\) tiene dos soluciones.

Por tanto, el sistema sólo tiene solución si:

\[b^2-a^2m^2>0\Rightarrow b^2>am^2\Rightarrow\frac{b^2}{a^2}>m^2\Rightarrow \frac{b}{a}>|m|\Rightarrow \frac{b}{a}>m>-\frac{b}{a}\]

Si recordamos que las asíntotas de la hipérbola tenían pendientes respectivamente iguales a \(\dfrac{b}{a}\) y \(-\dfrac{b}{a}\), concluimos que las rectas que pasen por el origen de coordenadas y corten a la hipérbola son las de pendiente comprendida entre las pendientes de las dos asíntotas, o dicho de modo más intuitivo: las asíntotas son las «primeras» rectas que pasan por el origen y no cortan a la hipérbola.

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