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4. Eje radical de dos circunferencias

Si tenemos dos circunferencias y buscamos los puntos cuya potencia respecto de las dos circunferencias es la misma, obtendremos una recta: el eje radical.

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias

Vamos a comprobar que, en efecto, dicho lugar geométrico es una recta.

Si \(P(x_0\,,\,y_0)\) es un punto del lugar geométrico y

\[c\equiv x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad;\quad c'\equiv x^2+y^2+D'x+E'y+F'=0\]

son las dos circunferencias, se ha de tener:

\[\text{Pot}_c(P)=\text{Pot}_c'(P)\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F=x_0^2+y_0^2+D'x_0+E'y_0+F'\]

Pasando al primer miembro:

\[Dx_0+Ey_0+F-D'x_0-E'y_0-F=0\]

Sacando factor común:

\[(D-D')x_0+(E-E')y_0+F-F'=0\]

Por tanto, los puntos como \(P\) que tienen la misma potencia respecto de \(c\) y de \(c'\) cumplen la ecuación

\[(D-D')x+(E-E')y+F-F'=0\]

que es la ecuación de una recta. Esta recta tienes dos propiedades.

Propiedad 1.

El eje radical es la secante común (si existe) de las dos circunferencias.

Demostración.

Suponemos la existencia de la secante común, que la llamaremos \(e\). Llamamos \(P_1(x_1\,,\,y_1)\) y \(P_2(x_2\,,\,y_2)\) a los puntos pertenecientes a las dos circunferencias \(c\) y \(c'\) (ver figura).

conicas 10

\[\begin{cases}P_1\in c\Rightarrow\text{Pot}_c(P_1)=0\\P_1\in c'\Rightarrow\text{Pot}_c'(P_1)=0\end{cases}\Rightarrow \text{Pot}_c(P_1)=\text{Pot}_c'(P_1)\Rightarrow P_1\in e\]

Razonando del mismo modo se tiene que \(P_2\in e\). Como el eje radical es una recta, queda determinado por \(P_1\) y \(P_2\), es decir, el eje radical es la secante común \(e\).

Propiedad 2.

El eje radical es perpendicular a la recta que pasa por los centros.

Demostración.

La ecuación del eje radical es \((D-D')x+(E-E')y+F-F'=0\), de donde se deduce que la pendiente del eje radical es

\[m=-\frac{D-D'}{E-E'}=-\frac{-2a+2a'}{-2b+2b'}=\frac{a-a'}{b'-b}\]

La ecuación de la recta que pasa por los centros es

\[\frac{x-a}{a'-a}=\frac{y-b}{b'-b}\Rightarrow y-b=\frac{b'-b}{a'-a}\cdot(x-a)\]

Es decir, la pendiente de la recta que pasa por los centros es \(m'=\dfrac{b'-b}{a'-a}\). Es muy fácil darse cuenta de que \(m'=-\dfrac{1}{m}\), con lo que queda propada la perpendicularidad de las dos rectas.

Gracias a las dos propiedades anteriores es posible dibujar con facilidad el eje radical de dos circunferencias (véase la figura siguiente).

conicas 11

En el tercer caso (circunferencias exteriores) se utiliza una circunferencia auxiliar \(c''\) que corta a \(c\) y a \(c'\), según el siguiente procedimiento.

  1. Se traza una circunferencia auxiliar \(c''\) secante a \(c\) y a \(c'\).
  2. Se determina el eje radical de \(c''\) con las otras dos circunferencias obteniéndose el punto \(P\) perteneciente a los dos ejes radicales.
  3. Se traza una perpendicular al segmento \(\overline{CC'}\), que une los dos centros, por el punto de corte \(P\), obteniéndose el eje radical.

El punto \(P\) tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias y se llama centro radical.

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