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3. Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura se han trazado, desde un punto \(P\), dos rectas secantes a la circunferencia, que la cortan en los puntos \(A_1\) y \(B_1\), \(A_2\) y \(B_2\), respectivamente.

conicas 07

Los triángulos \(PB_1A_2\) y \(PB_2A_1\) son semejantes porque tienen un ángulo común (el ángulo \(\widehat{P}\)) y dos ángulos iguales (\(\widehat{A_1}\) y \(\widehat{A_2}\) por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco \(B_1B_2\)).

Entonces, como triángulos semejantes tienen sus lados homólogos proporcionales, se cumple que \(\dfrac{\overline{PA_1}}{\overline{PA_2}}=\dfrac{\overline{PB_2}}{\overline{PB_1}}\). Por tanto \(\overline{PA_1}\cdot\overline{PB_1}=\overline{PA_2}\cdot\overline{PB_2}\).

Con cualquier otra secante sucedería lo mismo. Por eso, si \(A\) y \(B\) son los puntos de corte de cualquier secante, que pase por \(P\), con la circunferencia, el producto \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\) es constante y se llama potencia del punto \(P\) respecto de la circunferencia \(c\). Lo escribiremos así:

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}\]

Si ahora tomamos para calcular la potencia, de entre todas las secantes, aquella que pasa por el centro de la circunferencia, como en la figura siguiente, tendremos:

conicas 08

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}=(d+r)\cdot(d-r)=d^2-r^2\]

donde \(d\) es la distancia entre \(P(x_0\,,\,y_0)\) y \(C(a\,,\,b)\), o sea:

\[d=\sqrt{\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2}\]

Por tanto:

\[\text{Pot}_c(P)=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2\]

O también:

\[\text{Pot}_c(P)=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F\]

donde \(D\), \(E\) y \(F\) son los mismos valores que se tomaron al desarrollar la ecuación general de la circunferencia. Por tanto podemos hacer la siguiente afirmación.

Para calcular la potencia del punto \(P(x_0\,,\,y_0)\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), se halla el valor del primer miembro de la ecuación sustituyendo \(x\) por \(x_0\) e \(y\) por \(y_0\).

Ejemplo 3

La potencia del punto \(P(3\,,\,5)\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2-4x+6y-37=0\) es:

\[\text{Pot}_c(P)=9+25-12+30-37=15\]

La potencia de un punto respecto de una circunferencia nos indica la posición relativa del punto y la circunferencia, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

conicas 09

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