Matemáticas Bachillerato

En un examen de matemáticas de 1º de Bachillerato (Matemáticas I, modalidad de Ciencias y Tecnología) les propuse a mis alumnos, entre otras cosas, que resolvieran un par de ecuaciones, un sistema de ecuaciones no lineal, una inecuación con la incógnita en el denominador, y un sistema de inecuaciones. Si representamos cada una de ellas con una aplicación gráfica, en ...

En la entrada anterior sobre integrales indefinidas se obtuvieron las siguientes: \[\int{\cos^2x\,dx}=\frac{x+\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\] \[\int{\text{sen}^2x\,dx}=\frac{x-\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\] \[\int{x\cos x\,dx}=x\,\text{sen}\,x+\cos x+C\] \[\int{x\,\text{sen}\,x\,dx}=-x\cos x+\text{sen}\,x+C\] \[\int{\text{sen}\,x\cos x\,dx}=\frac{\text{sen}^2x}{2}+C=-\frac{\cos^2x}{2}+C\]  Vamos a calcular un par de ellas más. Para ello utilizaremos algunas de las fórmulas anteriores. Si introduces la expresión x*(sin(x))^2 en WolframAlpha obtienes la integral indefinida: \[\int{x\,\text{sen}^2x\,dx}=\frac{1}{8}\left(2x(x-\text{sen}\,2x)-\cos2x\right)+C\] que es equivalente a la obtenida anterioremente ya que \[\frac{1}{8}\left(2x(x-\text{sen}\,2x)-\cos2x\right)=\frac{1}{8}(2x^2-2x\,\text{sen}\,2x-\cos2x)=\] ...

Utilizando distintos métodos de integración se resuelven muchas integrales al nivel de 2º de Bachillerato Científico-Técnico (en la materia de Matemáticas II). Las que siguen contienen senos y cosenos y una técnica común es utilizar el método de integración por partes. Hay otra forma más rápida de hacer esta integral, pero hemos de recordar una fórmula trigonométrica: \[\cos 2x=\cos^2x-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos 2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)\Rightarrow\] ...

El álgebra, y en concreto las ecuaciones, son instrumentos que nos permiten resolver con facilidad muchos problemas que se plantean en la vida real. Aunque no existe una “receta mágica” para la resolución de problemas, sí que podemos sugerir unas técnicas y etapas para enfrentarnos a los problemas por difíciles que estos sean. Son las siguientes: Veamos algunos ejemplos típicos ...

En matemáticas se hace mucho uso de las desigualdades numéricas y algebraicas. A veces tenemos que acotar una cantidad por otra para obtener un objetivo deseado. Por eso es buena cosa tener una técnica más o menos depurada en la demostración de desigualdades numéricas. Una técnica para demostrar una desigualdad numérica consiste en “trabajar para atrás” y luego dar la ...

Propongo un par de problemas donde se pide demostrar un par de cosas relacionadas con números. El nivel es de Matemáticas I (1º de Bachillerato Ciencias y Tecnología). Se trata de pensar, de razonar, de involucrarse con el problema matemático hasta que uno ve la idea con la que poder atacarlo. Animo a mis alumnos de 1º de Bachillerato a ...

Cuando se estudian las matemáticas a un nivel básico en la secundaria, una de las cosas que primero se aprende a resolver es una ecuación de primer grado. A continuación se puede introducir sin mucha dificultad el concepto de sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. La forma, digamos reducida, de un sistema de este tipo es: \[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\] Los ...

Hoy hemos estado haciendo y discutiendo en clase un problema de probabilidad. Mis alumnos y alumnas llevan poco tiempo en esto de la probabilidad y es natural que, al principio, se sientan un poco desorientados. Les digo que es importante describir con palabras los sucesos de los cuales algo se nos dice en el enunciado del problema. Esto de la ...

Problema 1 Es conocido que en los sorteos ordinarios de la lotería hay \(5\) bombos con los números del \(0\) al \(9\). Pues bien: ¿cuál es la probabilidad de que en un sorteo ordinario de lotería toque un número capicúa comprendido entre el \(50\,000\) y el \(70\,000\)? Problema 2 Se sabe que la probabilidad de obtener un seis doble en ...

En estos apuntes se desarrollan los siguientes contenidos del bloque de estadística y probabilidad, correspondientes a la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, de segundo de Bachillerato. Al final se propone una relación con 24 ejercicios, de los que se incluye su solución final.