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Matemáticas Bachillerato

¿Por qué un número no nulo elevado a cero es igual a uno?

El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo. Esto quiere decir, entre otras cosas, que cualquier número real no nulo tiene inverso. En notación matemática esto lo escribimos así: \[\forall\,a\in\mathbb{R}-\{0\}\,, \exists\,b\in\mathbb{R}\ :\ a\cdot b=1\] Según lo anterior, si \(a\) es un número real no nulo, existe otro número \(b\) tal que, al ...

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Integrales indefinidas y cálculo de áreas

Uno de los problemas típicos que se proponen siempre en Selectividad, en la materia de Matemáticas II, son el cálculo de integrales indefinidas y el uso de las integrales para el cálculo de áreas. Os propongo un par de integrales indefinidas (racionales) y un par de problemas de cálculo de áreas. Como siempre, hay que pensarlos e intentar hacerlos antes ...

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Un clásico en probabilidad. El teorema de Bayes

Supongamos que nos dan el siguiente problema: Llamemos \(A\) al suceso “estar sano o, equivalentemente, no padecer la enfermedad” y \(B\) al suceso “estar enfermo o, lo que es lo mismo, padecer la enfermedad”. Entonces las probabilidades de estar sano y de no estarlo son, respectivamente: \[P(A)=\frac{199}{200}=0,995\quad\text{;}\quad P(B)=\frac{1}{200}=0,005\] Obsérvese que el suceso \(B\) es el contrario de \(A\) y que ...

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Expresiones, identidades y ecuaciones trigonométricas

En Matemáticas I (1º de Bachillerato) se trabaja mucho la demostración de identidades trigonométricas, la simplificación de expresiones en las que aparecen razones trigonométricas, la resolución de ecuaciones trigonométricas y de sistemas de ecuaciones trigonométricas. Veamos unos ejemplos. Identidades trigonométricas Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: \[\frac{\cos x+\text{sen}\,x}{\cos x-\text{sen}\,x}-\frac{\cos x-\text{sen}\,x}{\cos x+\text{sen}\,x}=2\text{tg}\,2x\] \[\frac{\text{tg}\,x}{\cos^2x}=\frac{1+\text{tg}^2x}{\text{cotg}^2x}\] Expresiones trigonométricas Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas: \[\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{cotg}\,\alpha}{\text{tg}\,\alpha+\text{cosec}\,\alpha}\] \[2\text{tg}\,\alpha\cdot\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}\,\alpha\] ...

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El radián

Cuando se comienza a trabajar la trigonometría, la medida de los ángulos que se utiliza es el grado sexagesimal. Esta medida proviene de la antigua Babilonia. Los babilonios supusieron, en un principio, que el año tenía 360 días y tomaron como medida angular “el recorrido diario del sol alrededor de la Tierra”. Esta forma de medir ha perdurado hasta nuestros ...

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Fórmulas trigonométricas

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma \(\alpha+\beta\) en función de las razones trigonométricas de \(\alpha\) y de \(\beta\). Para ello usaremos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\alpha+\beta\). En el triángulo de color rojo \(OAB\), cuya hipotenusa \(\overline{OB}\) la tomamos como ...

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Cinco fórmulas para obtener el área de un triángulo

Consideremos el triángulo de la figura siguiente: Sabemos que el área o superficie \(S\) del mismo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente, es decir, viene dada por la conocida fórmula “base por altura partido por dos”: Observemos que en el triángulo rectángulo \(BHC\), se cumple que \(\text{sen}\,C=\dfrac{h}{a}\), es decir, \(h=a\cdot\text{sen}\,C\). Poniendo esta igualdad en ...

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Cuadratura de un segmento de parábola

Una forma de acercarse al cálculo del área bajo una curva es calcular el área de la región \(R\) comprendida por la parábola \(y=x^2\), el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Este problema, como veremos, es equivalente a la cuadratura de un segmento de parábola. En primer lugar, aproximaremos el área de la región \(R\) anterior mediante la suma ...

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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir: \[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\] Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función ...

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