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Matematicas ESO

Semejanza. El teorema de Tales

En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes. Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los ángulos (o vértices) de un triángulo ...

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Repartos proporcionales

Repartos directamente proporcionales Imaginemos que deseamos repartir una cantidad \(n\) en tres partes directamente proporcionales a las cantidades \(a\), \(b\) y \(c\). Supongamos que a la parte de \(n\) directamente proporcional a la cantidad \(a\) la llamamos \(x\), a la parte de \(n\) directamente proporcional a la cantidad \(b\) la llamamos \(y\), y que a la parte de \(n\) directamente ...

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Inecuaciones con la incógnita en el denominador

Entenderemos aquí por inecuaciones con la incógnita en el denominador a aquellas inecuaciones racionales donde el numerador y el denominador son polinomios. Es decir inecuaciones de la forma: \[\frac{p(x)}{q(x)}<0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}\leq0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}>0\quad;\quad\frac{p(x)}{q(x)}\geq0\] donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios. El procedimiento para resolver este tipo de inecuaciones es similar al que se ha seguido para resolver inecuaciones de segundo grado y de grado superior: se ...

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Inecuaciones de segundo grado y de grado superior

Una inecuación de segundo grado se puede reducir, en su forma general, a uno de los siguientes cuatro tipos: \[ax^2+bx+c<0\quad;\quad ax^2+bx+c\leq0\] \[ax^2+bx+c>0\quad;\quad ax^2+bx+c\geq0\] La resolución de este tipo de inecuaciones se lleva a cabo factorizando el polinomio de segundo grado y estudiando el signo de los factores. Veámoslo con un ejemplo. Resolver la inecuación: \[x^2+4x-12\geq0\] En primer lugar, resolvemos la ...

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Ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales

En este tipo de ecuaciones la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Nos vamos a ceñir al caso en que la incógnita se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para resolver este tipo de ecuaciones se aísla la raíz (o una de las raíces si hay más de una) en uno de los miembros y luego se elevan los dos ...

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Ecuaciones con la incógnita en el denominador

Si algunos de los términos de una ecuación contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la incógnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los téminos por el producto de todos ellos o, mejor aún, por su mínimo común múltiplo. Una vez eliminados los denominadores, la ecuación a la que se llega puede ser de las ...

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Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado a la que le faltan los términos de grado impar. \[ax^4+bx^2+c=0\quad;\quad a\neq0\] Para resolverlas se realiza el cambio de variable \(x^2=z\), y entonces ocurre lo siguiente: \[ax^4+bx^2+c=0\Rightarrow a\left(x^2\right)^2+bx^2+c=0\Rightarrow az^2+bz+c=0\] Esta última es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es ahora \(z\). Ahora, para obtener las soluciones de la ecuación original ...

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Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un número real cualquiera \(x\) se define de la siguiente manera: \[|x|=\begin{cases}x&\text{si}&x\geqslant0\\-x&\text{si}&x<0\end{cases}\] En otro artículo hablábamos del valor absoluto y de sus propiedades, y en él ya se hizo referencia a la posibilidad de resolver algunas ecuaciones o inecuaciones utilizando estas propiedades. Aquí seremos más explícitos y resolveremos de hecho varias ecuaciones e inecuaciones ...

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