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Geometría

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura se han trazado, desde un punto \(P\), dos rectas secantes a la circunferencia, que la cortan en los puntos \(A_1\) y \(B_1\), \(A_2\) y \(B_2\), respectivamente. Los triángulos \(PB_1A_2\) y \(PB_2A_1\) son semejantes porque tienen un ángulo común (el ángulo \(\widehat{P}\)) y dos ángulos iguales (\(\widehat{A_1}\) y \(\widehat{A_2}\) por ser ángulos inscritos en la circunferencia que ...

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La circunferencia

Definición La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es el radio \(r\). Ecuación general Consideramos en el plano un sistema de referencia ortonormal \(\{O\,;\,\{\textbf{i},\,\textbf{j}\}\}\) (obsérvese la figura siguiente). Si \(C(a\,,\,b)\) es el centro de la circunferencia y \(P(x\,,\,y)\), un punto cualquiera de la misma, la definición nos dice (utilizamos la distancia entre dos puntos): \[d(C\,,\,P)=r\Leftrightarrow\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\] ...

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Secciones planas de una superficie cónica

Una superficie cónica está engendrada por el giro de una recta \(g\) (llamada generatriz) alrededor de otra recta \(e\) (llamada eje) con la cual se corta en un punto \(V\) (vértice). La podemos ver representada en la siguiente figura. Si a una superficie cónica la cortamos por un plano que no pasa por el vértice, la intersección que resulta es ...

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Lugares geométricos

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada, de un modo integrante y excluyente. Integrante significa que todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico. Excluyente, que todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico. Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha ...

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Área del triángulo

Trabajaremos en el triángulo de la figura 11. En él, la ecuación de la recta \(r\) es \[r\equiv\frac{x-c_1}{b_1-c_1}=\frac{y-c_2}{b_2-c_2}\Leftrightarrow(b_2-c_2)x+(b_1-c_1)y+(b_1c_2-c_1b_2)=0\] El área \(S\) del triángulo \(ABC\) es \[S=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot|\overrightarrow{AH}|\] Pero \[|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}\] \[|\overrightarrow{AH}|=\frac{|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|}{\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}}\] Obsérvese que para hallar \(AH\) se ha utilizado la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección anterior. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del área del ...

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Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto \(P(p_1,p_2)\) a una recta \(r\equiv Ax+By+C=0\) es la longitud del segmento de perpendicular a la recta, trazada por el punto \(P\), comprendido entre éste y aquella. En la figura 10, \(d(P,r)=d(P,M)\). Para calcularla podemos hallar la recta s perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\), resolver el sistema formado por ambas  rectas para hallar el punto ...

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Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

En la figura 9 hemos tomado la recta \[r\equiv Ax+By+C=0\] Sobre ella se consideran los puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(X(x,y)\) que determinan el vector \[\overrightarrow{AX}=(x-a_1,y-a_2)\] El vector \(\vec{z}\) se ha construido unitario y perpendicular a \(r\). Por tanto tiene la misma dirección que el vector \(\vec{v}=(A,B)\). Para obtener \(\vec{z}\) basta multiplicar \(\vec{v}\) por el inverso de su módulo: \[\vec{z}=\frac{1}{|\vec{v}|}\cdot(A,B)=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\] Ahora bien: \[\overrightarrow{AX}\perp\vec{z}\Rightarrow\frac{A\cdot(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}+\frac{B\cdot(y-a_2)}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\] O sea: ...

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Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas \(r\) y \(s\) de pendientes respectivas \(m_1\) y \(m_2\) son paralelas, forman un ángulo de \(0^{\circ}\). En ese caso: \[\text{tg}\,0^{\circ}=0\Rightarrow\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}=0\Rightarrow m_2-m_1=0\Rightarrow m_2=m_1\] Esto nos lleva a un resultado conocido: dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. \[r||s\Leftrightarrow m_r=m_s\] Este resultado está de acuerdo con la fórmula que veíamos en la sección 1 pues, efectivamente, si consideramos dos ...

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Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

Observemos la figura 5: En primer lugar vamos a hallar el vector director \(\vec{p}=(p_1,p_2)\) de la recta \(r\) que venga dada en su forma general: \[r\equiv Ax+By+C=0\] En la figura se ha dibujado la recta \(r\) y otra paralela a ella, \(s\), que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación de s será de la forma: \[s\equiv Ax+By=0\] Tomemos ...

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Ángulo de dos rectas

Al cortarse dos rectas aparecen cuatro ángulos, dos a dos iguales (figura 4). Se conviene en llamar ángulo de las rectas \(r\) y \(s\) a uno de los dos menores iguales que forman. Por tanto: \[\alpha\leqslant90^{\circ}\] y, entonces, \[0\leqslant\cos\alpha\leqslant1\] El ángulo de dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores. Si las rectas son: \[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{p}\] \[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+k\cdot\vec{q}\], el ángulo que ...

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