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Geometría

Aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de hipérbolas infinitas

Consideremos la función \(y=\dfrac{1}{x^2}\), definida en el intervalo \([0,5\,,\,+\infty)\). Su gráfica es la siguiente: El área limitada por la curva anterior, el eje \(X\) y la recta \(x=\dfrac{1}{2}\) se puede ver representada en la figura dada a continuación. Con una suficiente formación en análisis matemático, se puede hallar el área anterior mediante el cálculo de la integral impropia \[\int_{1/2}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\] De ...

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Expresiones, identidades y ecuaciones trigonométricas

En Matemáticas I (1º de Bachillerato) se trabaja mucho la demostración de identidades trigonométricas, la simplificación de expresiones en las que aparecen razones trigonométricas, la resolución de ecuaciones trigonométricas y de sistemas de ecuaciones trigonométricas. Veamos unos ejemplos. Identidades trigonométricas Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: \[\frac{\cos x+\text{sen}\,x}{\cos x-\text{sen}\,x}-\frac{\cos x-\text{sen}\,x}{\cos x+\text{sen}\,x}=2\text{tg}\,2x\] \[\frac{\text{tg}\,x}{\cos^2x}=\frac{1+\text{tg}^2x}{\text{cotg}^2x}\] Expresiones trigonométricas Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas: \[\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{cotg}\,\alpha}{\text{tg}\,\alpha+\text{cosec}\,\alpha}\] \[2\text{tg}\,\alpha\cdot\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}\,\alpha\] ...

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El radián

Cuando se comienza a trabajar la trigonometría, la medida de los ángulos que se utiliza es el grado sexagesimal. Esta medida proviene de la antigua Babilonia. Los babilonios supusieron, en un principio, que el año tenía 360 días y tomaron como medida angular “el recorrido diario del sol alrededor de la Tierra”. Esta forma de medir ha perdurado hasta nuestros ...

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Fórmulas trigonométricas

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma \(\alpha+\beta\) en función de las razones trigonométricas de \(\alpha\) y de \(\beta\). Para ello usaremos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\alpha+\beta\). En el triángulo de color rojo \(OAB\), cuya hipotenusa \(\overline{OB}\) la tomamos como ...

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Cinco fórmulas para obtener el área de un triángulo

Consideremos el triángulo de la figura siguiente: Sabemos que el área o superficie \(S\) del mismo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente, es decir, viene dada por la conocida fórmula “base por altura partido por dos”: Observemos que en el triángulo rectángulo \(BHC\), se cumple que \(\text{sen}\,C=\dfrac{h}{a}\), es decir, \(h=a\cdot\text{sen}\,C\). Poniendo esta igualdad en ...

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Apuntes de Geometría para Matemáticas II

En los apuntes siguientes se trata, de manera esquemática (son “sólo” 13 páginas), todo el bloque de geometría de la materia Matemáticas II, de 2º de Bachillerato (modalidad de Ciencias y Tecnología). Los puedes descargar en un enlace al final de esta entrada. Los contenidos están divididos de la siguiente manera. Descárgalos aquí: Apuntes de geometría. Matemáticas II. 2º Bachillerato.

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Ángulos central e inscrito en una circunferencia

Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí Dados dos puntos \(A\) y \(C\) en una circunferencia, los radios desde el centro \(O\) de la circunferencia a esos dos puntos forman un ángulo central \(\widehat{AOC}\). Un ángulo inscrito es un ángulo subtendido en un punto \(B\) de la circunferencia por otros dos puntos de la circunferencia \(A\) y \(C\). El ángulo inscrito \(\widehat{ABC}\) ...

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El árbelos

Leyendo algunos textos de matemáticas en busca de problemas para poner a mis alumnos de secundaria y de bachillerato, me topé con una figura geométrica que ya estaba lejana en mi memoria, pero que me encantó reencontrarme con ella: el árbelos. En concreto, el libro que consultaba en ese momento tiene por título Expediciones Matemáticas, su autor es Frank J. Swetz ...

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