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Matemáticas universitarias

Cuadratura de un segmento de parábola

Una forma de acercarse al cálculo del área bajo una curva es calcular el área de la región \(R\) comprendida por la parábola \(y=x^2\), el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Este problema, como veremos, es equivalente a la cuadratura de un segmento de parábola. En primer lugar, aproximaremos el área de la región \(R\) anterior mediante la suma ...

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La raíz cuadrada

Es muy probable que muchos estudiantes de matemáticas de secundaria y bachillerato no tengan muy claro el concepto de raíz cuadrada. Lo digo porque cuando calculamos la “raíz de cuatro” a veces escribimos \(\sqrt{4}=2\) y otras veces escribimos \(\sqrt{4}=\pm2\) ¿Por qué esta confusión? Bueno, el problema radica en saber lo que estamos haciendo en cada momento. No es lo mismo ...

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Un par de problemas de teoría de números

Hace un tiempo encontré un par de problemas de matemáticas en la Web Gaussianos. En concreto se trata de dos problemas de teoría de números. Empecé a pensar en ellos e intenté resolverlos utilizando únicamente matemáticas básicas, sin recurrir a estrategias de las que se dan en la facultad. Es realmente fascinante enfrascarse con un problema de teoría de números y ...

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Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Se proponen a continuación varios ejercicios relacionados con las derivadas y sus aplicaciones (por ejemplo, cálculo de extremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones,…). Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle y del teorema del valor medio. Alguno de ellos (el número 12, por ejemplo) es de especial interés, pues ...

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Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Ya hemos hablado en un par de artículos anteriores del concepto de derivada y de su interpretación tanto desde el punto de vista geométrico como desde el punto de vista físico. Son los siguientes: La derivada y la recta tangente a una curva. El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas. En este artículo desarrollaremos las ...

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Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de la derivada de una función en un punto usando la definición y aprovechando el cálculo de límites. A continuación, se introducen inmediatamente las reglas de derivación: de un número por una función, de la suma y la ...

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Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teorema afirmaba que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos, pero nada nos informa sobre los puntos en los que se alcanzan. Bajo la hipótesis adicional de que la función es inyectiva vamos a ver enseguida que el máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, pero esto ...

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La propiedad de compacidad para funciones continuas

En un artículo anterior hemos obtenido dos importantes resultados relacionados con la continuidad de una función en un intervalo: el teorema de los ceros de Bolzano y el teorema del valor intermedio. De hecho, este último afirma que la imagen por una función continua de un intervalo es otro intervalo. Sin embargo el intervalo imagen no tiene por qué ser ...

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Sólidos de revolución. El Cuerno de Gabriel

Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma. En lenguaje matemático, si tenemos dos funciones ...

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El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

Un problema relacionado con la velocidad Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza ...

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