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Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un número real cualquiera \(x\) se define de la siguiente manera: \[|x|=\begin{cases}x&\text{si}&x\geqslant0\\-x&\text{si}&x<0\end{cases}\] En otro artículo hablábamos del valor absoluto y de sus propiedades, y en él ya se hizo referencia a la posibilidad de resolver algunas ecuaciones o inecuaciones utilizando estas propiedades. Aquí seremos más explícitos y resolveremos de hecho varias ecuaciones e inecuaciones ...

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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado

Una inecuación es como una ecuación, con la diferencia de que cada uno de los dos miembros que la componen no está separado por el signo \(=\) sino por una desigualdad. Las desigualdades son cuatro: mayor \(>\), menor \(<\), mayor o igual \(\geq\) y menor o igual \(\leq\). No vamos a entrar aquí en un estudio exhaustivo de las propiedades ...

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Valor absoluto

Hasta aquí, y en tres documentos anteriores, hemos hecho un repaso del conjunto de los números reales. En primer lugar vimos cómo se introducen en la Educación Secundaria Obligatoria. Y posteriormente se recordó la importancia de percibir el conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto, y con la relación de orden \(\leq\,\), como un conjunto dotado ...

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El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado conmutativo

En un artículo anterior repasábamos la construcción del conjunto de los números reales y en otro artículo posterior veíamos que dicho conjunto tiene estructura de cuerpo, el cuerpo conmutativo de los números reales. Ahora vamos a ver, además, que el conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\), es un cuerpo ordenado. No solamente sabemos hacer sumas y productos con números, incluso operaciones combinadas con ...

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El conjunto de los números reales tiene estructura de cuerpo

En un artículo anterior se hablaba del conjunto de los números reales como unión de los racionales y los irracionales, y de cómo se introducía en la Educación Secundaria Obligatoria. De manera natural se habían introducido los naturales \(\mathbb{N}\), y se habían extendido a los enteros \(\mathbb{Z}\) y a los racionales \(\mathbb{Q}\). El conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales contiene ...

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Introducción al número real. Un paseo por el concepto de número en la Secundaria Obligatoria

Mi profesor de geometría de primero de carrera insertaba citas al comienzo de las relaciones de ejercicios que nos entregaba de cada tema. Recuerdo perfectamente una de las primeras: He de ser cruel para ser piadoso. El principio es malo, pero lo peor aún está por venir. Hamlet, Shakespeare. Con el tiempo descubrí que la cita no pretende desanimar, sino ...

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Factorial de un número y números combinatorios

Factorial de un número natural Se define el factorial de un número natural \(n\), que escribiremos \(n!\) y leeremos “\(n\) factorial”, de la siguiente manera \[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots3\cdot2\cdot1\] También, por definición, convendremos que \(0!=1\). Así por ejemplo \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040\) El número \(n!\) es el total de permutaciones distintas que se pueden hacer con \(n\) elementos. Así, si consideramos \(3\) elementos, por ejemplo \(\{a,\,b,\,c\}\) ...

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Progresiones geométricas

Definición Un par de ejemplos de progresiones geométricas pueden ser los siguientes: Primer término \(2\) y razón \(2\): \(\{2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64,\,128,\ldots\}\) Primer término \(\dfrac{1}{2}\) y razón \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{8},\,\dfrac{1}{16},\,\dfrac{1}{32},\,\dfrac{1}{64},\ldots\right\}\) Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices: \[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\] Con esta notación podemos definir una progresión geométrica como una sucesión ...

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Progresiones aritméticas

Definición Algunos ejemplos de progresiones aritméticas pueden ser los siguientes: Primer término \(6\) y diferencia \(3\): \(\{6,\,9,\,12,\,15,\,18,\,21,\ldots\}\) Primer término \(14\) y diferencia \(-4\): \(\{14,\,10,\,6,\,2,\,-2,\,-6,\ldots\}\) Primer término \(0\) y diferencia \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{0,\,\dfrac{1}{2},\,1,\,\dfrac{3}{2},\,2,\,\dfrac{5}{2},\,3,\,\dfrac{7}{2},\ldots\right\}\) Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices: \[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\,a_n,\ldots\] Con esta notación podemos definir una ...

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Ecuaciones de segundo grado y de grado superior

Dado un polinomio de grado \(n\): \[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\, ,\ a_n\neq0\] nos planteamos como objetivo resolver la ecuación \[p(x)=0\] Si \(n=1\) la ecuación anterior es de primer grado y la podemos escribir de la forma \(ax+b=0\) con \(a\neq0\), cuya solución es \(\displaystyle x=-\frac{b}{a}\). Para más información sobre ecuaciones de primer grado puedes hacer clic aquí: apuntes 3º ESO. Si \(n=2\) la ecuación ...

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