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Factorial de un número y números combinatorios

Factorial de un número natural Se define el factorial de un número natural \(n\), que escribiremos \(n!\) y leeremos “\(n\) factorial”, de la siguiente manera \[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots3\cdot2\cdot1\] También, por definición, convendremos que \(0!=1\). Así por ejemplo \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040\) El número \(n!\) es el total de permutaciones distintas que se pueden hacer con \(n\) elementos. Así, si consideramos \(3\) elementos, por ejemplo \(\{a,\,b,\,c\}\) ...

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Progresiones geométricas

Definición Un par de ejemplos de progresiones geométricas pueden ser los siguientes: Primer término \(2\) y razón \(2\): \(\{2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64,\,128,\ldots\}\) Primer término \(\dfrac{1}{2}\) y razón \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{8},\,\dfrac{1}{16},\,\dfrac{1}{32},\,\dfrac{1}{64},\ldots\right\}\) Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices: \[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\] Con esta notación podemos definir una progresión geométrica como una sucesión ...

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Progresiones aritméticas

Definición Algunos ejemplos de progresiones aritméticas pueden ser los siguientes: Primer término \(6\) y diferencia \(3\): \(\{6,\,9,\,12,\,15,\,18,\,21,\ldots\}\) Primer término \(14\) y diferencia \(-4\): \(\{14,\,10,\,6,\,2,\,-2,\,-6,\ldots\}\) Primer término \(0\) y diferencia \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{0,\,\dfrac{1}{2},\,1,\,\dfrac{3}{2},\,2,\,\dfrac{5}{2},\,3,\,\dfrac{7}{2},\ldots\right\}\) Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices: \[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\,a_n,\ldots\] Con esta notación podemos definir una ...

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Ecuaciones de segundo grado y de grado superior

Dado un polinomio de grado \(n\): \[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\, ,\ a_n\neq0\] nos planteamos como objetivo resolver la ecuación \[p(x)=0\] Si \(n=1\) la ecuación anterior es de primer grado y la podemos escribir de la forma \(ax+b=0\) con \(a\neq0\), cuya solución es \(\displaystyle x=-\frac{b}{a}\). Para más información sobre ecuaciones de primer grado puedes hacer clic aquí: apuntes 3º ESO. Si \(n=2\) la ecuación ...

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Igualdades notables, completando cuadrados y resolviendo ecuaciones cuadráticas

Las igualdades o identidades notables y una técnica que utiliza éstas para completar cuadrados fue algo muy común en el pasado para resolver ecuaciones de segundo grado. El objetivo consiste en transformar la ecuación original en otra de primer grado, tras extraer una raíz cuadrada. Antes que nada recordemos las igualdades o identidades notables, en concreto el cuadrado de una ...

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El binomio de Newton

El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: Así comienzan unos breves apuntes sobre el binomio de Newton, útiles para los alumnos al comenzar la etapa de Bachillerato, en ...

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Porcentajes

Porcentajes Un porcentaje o tanto por ciento, \(k\)% de una cantidad dada \(c\) es una parte \(a\) de dicha cantidad \(c\), que viene dada mediante la siguiente fórmula: \[\frac{k\cdot c}{100}=a\qquad\qquad(1)\] Así por ejemplo, el 35% de 6200 es \(\displaystyle\frac{35\cdot6200}{100}=\displaystyle\frac{217000}{100}=2170\). Problemas con porcentajes Ya hemos visto que en los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el propio porcentaje o tanto por ...

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Ecuaciones aparentemente difíciles

En matemáticas es muy común resolver ecuaciones. La mejor forma de resolver ecuaciones es hacer muchas ecuaciones. En muchas ocasiones los alumnos se quejan porque ha salido en el examen de matemáticas una ecuación que responde a una tipología, según ellos, desconocida. Y suelen decir o pensar: “menuda ecuación difícil”, “de ese tipo no hemos hecho ecuaciones en clase”, “y ...

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La construcción de los números enteros

En la materia de matemáticas de Educación Secundaria Obligatoria los números naturales, naturalmente, no se definen sino que se asume su existencia o, al menos, su conocimiento. Se dice de los números negativos que son los números naturales con el “signo menos delante”. Ya tenemos parejas: un número natural y su correspondiente con “signo menos”, un número natural y su ...

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