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Álgebra

Trabajando y conjeturando con representaciones de cuadrados

En otro artículo de esta Web ya habíamos hablado sobre sumas de cuadrados. Pero… ¿qué números, sean o no cuadrados, pueden descomponerse en dos cuadrados? Este artículo está extraído (con alguna que otra modificación) del libro Uno + uno son diez, de José María Letona. Editorial La Muralla, S.A., 2010 El autor del primer libro impreso sobre matemáticas recreativas, Bachet ...

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Ecuaciones de primer y de segundo grado – Presentaciones

Adjunto a continuación un par de presentaciones en las que se desarrollan contenidos sobre la resolución de ecuaciones de primer y de segundo grado, a un nivel de la materia de matemáticas para segundo o tercero de Educación Secundaria Obligatoria (ESO). Aunque también pueden servir como repaso o introducción para cualquier otro curso de matemáticas ya sea en cuarto de ...

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Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales

¿Y si nos preguntaran por la suma de los cuadrados de los \(100\) primeros números naturales? Ya, ya sé que podemos ponernos a la faena y, con paciencia, realizarla: \[1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+97^2+98^2+99^2+100^2=\] \[=1+4+9+16+\ldots+9409+9604+9801+10000=\ ?\] Pero esto es muy pesado. ¿Se podrá deducir una fórmula general? Seguro que sí. Gauss, con no más de siete años, sumó los \(100\) primeros números enteros. Hizo ...

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Sobre vectores y matrices. Independencia lineal. Rango de una matriz

Espacios vectoriales Llamaremos \(\mathbb{R}^2\) al conjunto de todos los pares ordenados de la forma \((a_1,a_2)\) tal que \(a_1,a_2\in\mathbb{R}\). Es decir: \[\mathbb{R}^2=\{(a_1,a_2):a_1,a_2\in\mathbb{R}\}\] De la misma forma: \[\mathbb{R}^3=\{(a_1,a_2,a_3):a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\}\] \[\mathbb{R}^4=\{(a_1,a_2,a_3,a_4):a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}\}\] Y, en general: \[\mathbb{R}^n=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n):a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\}\] Si vemos los elementos de \(\mathbb{R}^n\) como matrices fila podemos identificar este conjunto con el conjunto de las matrices de una fila y \(n\) columnas: \(\mathcal{M}_{1\times n}\). Recordemos que ...

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Determinantes. Propiedades y ejercicios

En la imagen superior tienes el desarrollo de un determinante de orden tres por la regla de Sarrus. \[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})-\\ \qquad\qquad\qquad -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\] El determinante de orden dos es muy sencillo de calcular: \[\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\] Cuando el determinante es de orden ...

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Determinantes

Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada \(A\) lleva asociado un número, llamado determinante de \(A\), y que denotaremos mediante el símbolo \(|A|\). Este número, entre otras cosas, permite saber cuándo una matriz cuadrada tiene inversa y, caso de que ésta exista, también se utiliza para su cálculo utilizando otro método alternativo al método de Gauss, método que ya ...

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Matrices. Álgebra de matrices

Primeras definiciones Una matriz es un conjunto de elementos (números) ordenado en filas y columnas. En general una matriz se nombra con una letra mayúscula y a sus elementos con letras minúsculas indicando en subíndices la fila y la columna que ocupan. \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{…..}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{33}}}&{…..}&{{a_{2n}}}\\ {…..}&{…..}&{…..}&{…..}&{…..}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{{a_{m3}}}&{…..}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {{a_{i\,j}}} \right)\quad{\begin{cases}i=1,2,\ldots,m\\j=1,2,\ldots,n\end{cases}}\] La matriz anterior tiene ...

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El teorema de Rouché-Frobenius

En estos apuntes (los puedes descargar en un enlace al final de esta entrada) se desarrolla parte del bloque temático de álgebra, en la materia Matemáticas II de 2º de Bachillerato, en su modalidad de Ciencias y Tecnología: sistemas de ecuaciones lineales y el teorema de Rouché-Frobenius (este teorema lo enunció el matemático francés Eugène Rouché y lo demostró el matemático ...

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