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Álgebra

Suma de los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Una demostración algebraica y otra gráfica

En este artículo se deducía que la suma \(S_1=1+2+3+\ldots+n\) de los \(n\) primeros números naturales viene dada por la fórmula \[S_1=\frac{n(n+1)}{2}\] También deducíamos que la suma \(S_2=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\) de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales es \[S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\] Un procedimiento similar permite deducir la suma \(S_3=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Veámoslo. Para ello utilizaremos las dos ...

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Eliminando denominadores de una ecuación

En las matemáticas de 4º de Educación Secundaria Obligatoria se suele proponer la resolución de ecuaciones de primer grado como la siguiente: \[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\] Para resolverla hay que eliminar los denominadores. Para ello se reducen todos los términos a común denominador, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Siguen siendo demasiados los alumnos que cometen un error muy común. Veamos: ...

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Números aproximados. Error absoluto y relativo

“La física es demasiado importante para ser dejada a los físicos.” David Hilbert Los números reales reflejan con absoluta precisión los resultados teóricos. Así por ejemplo, la longitud de una circunferencia de radio  \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\) es, exactamente, \(\displaystyle \frac{2\pi\sqrt{5}}{3}\), número real del cual no se puede dudar (en este artículo sobre radicales se proponen problemas donde sus soluciones son números reales ...

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Notación científica y cifras significativas

“Cuando se olvide a Esquilo, Arquímedes será todavía recordado, porque los lenguajes mueren, pero las ideas matemáticas no. Puede que inmortalidad sea una palabra tonta, pero probablemente un matemático tiene la mejor oportunidad de alcanzar lo que sea que signifique.” G. H. Hardy, en A Mathematician’s Apology En ocasiones hemos de utilizar números muy grandes, como la distancia en kilómetros ...

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El binomio de Newton. Ejercicios resueltos

Al final de estos apuntes sobre el binomio de Newton se propone una relación con 24 ejercicios. Los hay de muchos tipos. En concreto: Desarrollo de potencias de binomios cuyos términos sólo incluyen coeficientes enteros. Desarrollo de potencias de binomios cuyos términos incluyen radicales y fracciones. Escribir y simplificar el término que ocupa una posición determinada en el desarrollo de ...

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En matemáticas, saber resolver ecuaciones es fundamental. En las matemáticas de bachillerato una de las cosas que hacemos a principio de curso es repasar todos los tipos de ecuaciones que hemos aprendido durante la educación secundaria obligatoria. Incluso se aprenden algunos más, como las ecuaciones exponenciales, las ecuaciones logarítmicas y las ecuaciones trigonométricas. Aquí puedes descargar unos apuntes teóricos en ...

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Un par de problemas de teoría de números

Hace un tiempo encontré un par de problemas de matemáticas en la Web Gaussianos. En concreto se trata de dos problemas de teoría de números. Empecé a pensar en ellos e intenté resolverlos utilizando únicamente matemáticas básicas, sin recurrir a estrategias de las que se dan en la facultad. Es realmente fascinante enfrascarse con un problema de teoría de números y ...

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Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas: \[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\] \[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\] Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita. En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que \[x=\sqrt{1+x}\] Entonces: \[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\] Y resolviendo ...

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Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. Recordemos pues, en primer lugar, el enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius. Teorema de Rouché-Frobenius Sea \[\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\ {a_{21}}{x_1} ...

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Rango de una matriz usando determinantes

En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz \(A\), \(r(A)\), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz: una vez aplicado el método, el rango de una matriz coincide con el número de filas no nulas. Pero hay otro método, en ...

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