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Análisis

La regla de Barrow

Dada una función continua en un intervalo \([a,\,b]\), podemos calcular \(\int_a^b f(x)dx\) de una manera mucho más rápida y eficiente a cómo se ha hecho en uno de los ejemplos del artículo anterior, en el que directamente se había aplicado el teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que la función \(G(x)=\int_a^x ...

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El teorema fundamental del cálculo

En el artículo anterior hemos visto que el concepto de integral definida de una función \(f\) en un intervalo \([a,\,b]\), \(\int_a^b f(x)dx\), viene a representar el área comprendida entre la curva (gráfica de \(f\)), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), tal y como se representa en la siguiente figura. Existe una estrecha relación entre la integral ...

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Integral definida

Consideremos una función \(y=f(x)\) continua en un intervalo \([a,\,b]\). Hagamos una partición de este intervalo por los puntos \(t_0,\,t_1,\,t_2,\,\ldots,\,t_{n-1},\,t_n\). Supongamos también que esta partición cumple que \(a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b\). Consideremos los rectángulos cuyas bases son los intervalos parciales \([t_i,\,t_{i+1}]\) y cuyas alturas son los mínimos \(m_i\) de la función en cada uno de dichos intervalos. La suma de las áreas de esos ...

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Concepto de área de una figura plana

El área de una figura plana es un número indicativo de la extensión ocupada por esa figura. Para el cálculo de áreas admitiremos como un hecho intuitivo que al descomponer un recinto en recintos parciales, las áreas de éstos suman el área del recinto total. Como unidad de medida de áreas se toma el área de un cuadrado de lado ...

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Problema de optimización 2

Problema de optimización para Matemáticas II (2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología). Enunciado. Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r’\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas ...

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Problema de optimización 1

Problema de optimización – Matemáticas II Enunciado. Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x, y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima. Indicación. Tómese cómo origen de coordenadas el centro de la circunferencia.

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Optimización de funciones. Problemas de optimización

Es muy frecuente que en un problema de geometría o de las ciencias experimentales (física, química, biología, etc.), de la economía, la psicología y de las ciencias sociales en general, se trate de optimizar un modelo. Es decir, si el modelo se ajusta a una función matemática, se trata de calcular cuándo esa función alcanza un máximo o un mínimo. ...

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El teorema de Rolle. El teorema del valor medio

Comencemos recordando que, por definición, una función \(f\) alcanza un máximo relativo (respectivamente, un mínimo relativo) en un punto \(a\) si, y solo si, existe un entorno de \(a\), \((a-\delta,\,a+\delta)\), tal que para todo \(x\) de dicho entorno se tiene \(f(x)\leqslant f(a)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(a)\)). Diremos que \(f\) alcanza un extremo relativo en el punto \(a\) cuando \(f\) alcance un ...

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Derivación de funciones en forma implícita

Hay relaciones entre variables cuya expresión analítica no es de la forma \(y=f(x)\). Es decir, la variable dependiente \(y\) no aparece despejada o de forma explícita. Por ejemplo, las ecuaciones de las cónicas relacionan de forma implícita sus variables. Se dice que la función está dada de forma implícita mediante una relación de la forma \[f(x,y)=0\] En muchos de estos ...

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Derivación logarítmica

En matemáticas, habitualmente escribimos una función real de variable real utilizando la siguiente notación: \[\begin{matrix}f\,: &\mathbb{R}  &\longrightarrow  &\mathbb{R} \\  &x  &\longmapsto   &f(x)\end{matrix}\] Abreviadamente escribimos también \(y=f(x)\) para indicar que \(x\) es el original o variable independiente e \(y\) es la imagen por \(f\) de \(x\) o variable dependiente, o sea que \(y\) varía en función de \(x\). Esto es muy ...

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