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Integrales indefinidas y cálculo de áreas

Uno de los problemas típicos que se proponen siempre en Selectividad, en la materia de Matemáticas II, son el cálculo de integrales indefinidas y el uso de las integrales para el cálculo de áreas. Os propongo un par de integrales indefinidas (racionales) y un par de problemas de cálculo de áreas. Como siempre, hay que pensarlos e intentar hacerlos antes ...

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Aplicación de las progresiones geométricas a la cuadratura de hipérbolas infinitas

Consideremos la función \(y=\dfrac{1}{x^2}\), definida en el intervalo \([0,5\,,\,+\infty)\). Su gráfica es la siguiente: El área limitada por la curva anterior, el eje \(X\) y la recta \(x=\dfrac{1}{2}\) se puede ver representada en la figura dada a continuación. Con una suficiente formación en análisis matemático, se puede hallar el área anterior mediante el cálculo de la integral impropia \[\int_{1/2}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\] De ...

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Cuadratura de un segmento de parábola

Una forma de acercarse al cálculo del área bajo una curva es calcular el área de la región \(R\) comprendida por la parábola \(y=x^2\), el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Este problema, como veremos, es equivalente a la cuadratura de un segmento de parábola. En primer lugar, aproximaremos el área de la región \(R\) anterior mediante la suma ...

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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir: \[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\] Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función ...

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Interpretando ecuaciones e inecuaciones matemáticas con desmos

En un examen de matemáticas de 1º de Bachillerato (Matemáticas I, modalidad de Ciencias y Tecnología) les propuse a mis alumnos, entre otras cosas, que resolvieran un par de ecuaciones, un sistema de ecuaciones no lineal, una inecuación con la incógnita en el denominador, y un sistema de inecuaciones. Si representamos cada una de ellas con una aplicación gráfica, en ...

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La función cuadrática o parabólica. La parábola

Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí Una función real de variable real es una función cuadrática o parabólica si su ecuación viene dada por un polinomio de segundo grado. Es decir, es una función de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y, además, \(a\neq0\) (indistintamente utilizaremos la notación \(y=ax^2+bx+c\)). La representación gráfica de una ...

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La función lineal. Ecuación de la recta

Se dice que una función real de variable real es una función lineal si es de la forma \(f(x)=mx+n\) (indistintamente utilizaremos la escritura \(y=mx+n\)). Es decir, la ecuación de la función se corresponde con un polinomio de primer grado. La representación gráfica de una función lineal es siempre una recta. El coeficiente \(m\) recibe el nombre de pendiente de la recta ...

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Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas (II)

En la entrada anterior sobre integrales indefinidas se obtuvieron las siguientes: \[\int{\cos^2x\,dx}=\frac{x+\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\] \[\int{\text{sen}^2x\,dx}=\frac{x-\text{sen}\,x\cos x}{2}+C\] \[\int{x\cos x\,dx}=x\,\text{sen}\,x+\cos x+C\] \[\int{x\,\text{sen}\,x\,dx}=-x\cos x+\text{sen}\,x+C\] \[\int{\text{sen}\,x\cos x\,dx}=\frac{\text{sen}^2x}{2}+C=-\frac{\cos^2x}{2}+C\]  Vamos a calcular un par de ellas más. Para ello utilizaremos algunas de las fórmulas anteriores. Si introduces la expresión x*(sin(x))^2 en WolframAlpha obtienes la integral indefinida: \[\int{x\,\text{sen}^2x\,dx}=\frac{1}{8}\left(2x(x-\text{sen}\,2x)-\cos2x\right)+C\] que es equivalente a la obtenida anterioremente ya que \[\frac{1}{8}\left(2x(x-\text{sen}\,2x)-\cos2x\right)=\frac{1}{8}(2x^2-2x\,\text{sen}\,2x-\cos2x)=\] ...

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Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas (I)

Utilizando distintos métodos de integración se resuelven muchas integrales al nivel de 2º de Bachillerato Científico-Técnico (en la materia de Matemáticas II). Las que siguen contienen senos y cosenos y una técnica común es utilizar el método de integración por partes. Hay otra forma más rápida de hacer esta integral, pero hemos de recordar una fórmula trigonométrica: \[\cos 2x=\cos^2x-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos 2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)\Rightarrow\] ...

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La raíz cuadrada

Es muy probable que muchos estudiantes de matemáticas de secundaria y bachillerato no tengan muy claro el concepto de raíz cuadrada. Lo digo porque cuando calculamos la “raíz de cuatro” a veces escribimos \(\sqrt{4}=2\) y otras veces escribimos \(\sqrt{4}=\pm2\) ¿Por qué esta confusión? Bueno, el problema radica en saber lo que estamos haciendo en cada momento. No es lo mismo ...

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