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¿Qué son las matemáticas?

¿Qué son las matemáticas?

Una definición ingenua, válida para hacerse una primera idea, es que las matemáticas son la ciencia de la cantidad y el espacio. Se podría ampliar un poco esta definición y añadir que las matemáticas se ocupan igualmente de los simbolismos concernientes a la cantidad y al espacio.

Hay un gran libro titulado "Experiencia matemática", cuyos autores son Philip J. Davis y Reuben Hersch. Su primera parte, El Paisaje Matemático, comienza precisamente con el título de este artículo y se introduce con el párrafo anterior. Este libro vio la luz en 1982 y se publicó aquí en España en 1989 (coeditado por el Centro de Publicaciones del MEC y la Editorial Labor). Para mi fue, es y será (nunca se acaba de leer del todo) uno de los pilares que hace que siga con mucha ilusión en esto de las matemáticas. El libro pretende modificar y ampliar la anterior definición de las matemáticas de forma que refleje el desarrollo de las matemáticas a lo largo de los últimos siglos e indique qué visión tuvieron diversas escuelas sobre lo que esta ciencia debería ser.

Uno de los objetivos de este sitio Web, además de aportar material para estudiantes y profesores y servir de divulgación científico-matemática, también es ése: mostrar algo más sobre las matemáticas. Así es que no dudaré en echar mano de este maravilloso texto todas las veces que sea necesario transcribiendo y parafraseando distintos lugares del mismo.

Este inicio del libro continúa así:

Las ciencias de la cantidad y el espacio, en sus versiones más sencillas, se conocen como aritmética y geometría. La aritmética que se enseña en la escuela elemental o primaria se ocupa de números de diversas clases y de las reglas para operar con números, como la adición, la sustracción, etc. Al mismo tiempo, aborda situaciones de la vida cotidiana en que se utilizan estas operaciones.

La geometría se enseña en cursos posteriores. Se ocupa, en parte, de problemas de medición espacial. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un rectángulo de 4 cm de base y 8 cm de altura? Si trazo (imaginariamente) dos rectas en el espacio que no se corten, ¿cuál será la distancia entre ambas? La geometría estudia también aspectos del espacio que están provistos de fuerte atractivo estético o de elementos sorprendentes. Nos dice, por ejemplo, que en un paralelogramo cualquiera las diagonales se cortan en sus puntos medios; o que en todos los triángulos, las tres medianas se intersectan en un punto. Nos enseña que podemos embaldosar un suelo con triángulos equiláteros o con hexágonos, pero no con pentágonos regulares.

Pero la geometría, cuando se enseña según la estructuró Euclides hacia el año 300 a.C., tiene otra faceta cuya importancia es vital. Consiste en su presentación como ciencia deductiva. Partiendo de cierto número de ideas elementales, admitidas como evidentes por sí, y fundándose en unas pocas reglas de manipulación matemática y lógica, la geometría euclídea va tejiendo un entramado de deducciones de complejidad creciente.

En la enseñanza de la geometría elemental no se destacan solamente los aspectos visuales o espaciales de esta materia sino también su metodología, en la cual es la hipótesis la que lleva hasta la conclusión. Tal proceso deductivo se denomina prueba, o demostración. La geometría euclídea fue el primer ejemplo de sistema deductivo formalizado, y ha adquirido carácter de paradigma para la totalidad de tales sistemas. La geometría ha sido el gran campo de prácticas del razonamiento lógico, y se ha sostenido (con razón o sin ella) que el estudio de la geometría proporciona al estudiante una formación básica en tal razonamiento.

Aunque los matemáticos de la Antigüedad comprendían claramente los aspectos deductivos de la aritmética, hasta el siglo XIX no se hizo hincapié en ellos ni en la enseñanza de las matemáticas ni en su creación. De hecho, en fechas tan cercanas como el decenio de 1950 no faltaban profesores de secundaria que, aturdidos por el impacto de la "matemática moderna", afirmasen que la geometría tenía "demostración", mientras que la aritmética y el álgebra no.

El creciente énfasis con que fueron acentuados los aspectos deductivos de todas las ramas de las matemáticas hicieron que, a mediados del siglo XIX, C. S. Peirce anunciase que "la matemática es la ciencia de la formación de conclusiones necesarias". ¿Conclusiones acerca de qué? ¿Sobre la cantidad? ¿Referentes al espacio? En esta definición de Peirce no se especifica cuáles han de ser los contenidos de la matemática; la matemática podría "tratar" de cualquier cosa, en tanto su estudio se atenga al esquema hipótesis-deducción-conclusión. En El signo de los cuatro, Sherlock Holmes le hace notar a Watson que la labor detectivesca "es, o tendría que ser, una ciencia exacta, que debiera ser tratada con ese mismo talante, desapasionado y frío. Se ha esforzado usted en teñirla de romanticismo, lo cual produce efectos muy similares al de incluir en el quinto postulado de Euclides una historia amorosa o la fuga de dos amantes". Conan Doyle está afirmando aquí, en tono irónico, que la detección criminal podría perfectamente ser considerada como una rama de la matemática. Peirce hubiera estado de acuerdo.

La definición de las matemáticas es cambiante. Cada generación y cada matemático reflexivo de cada generación formula una definición, según sus luces. Habrán sido examinadas cierto número de distintas formulaciones antes de poner a este volumen la palabra Finis.

Espero que este sitio Web sea capaz también de arrojar luz sobre algunas formulaciones de las matemáticas o, al menos, de conseguir que se piense en ellas como algo más cercano, agradable y tangible, a diferencia de lo que, desgraciadamente, muchos creen o están acostumbrados.

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