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Dificultades con los porcentajes. Aumentos y descuentos. Impuestos y rebajas

Porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales

Una parte considerable del alumnado de secundaria (y también de la población en general) encuentra dificultades a la hora de hacer cálculos con porcentajes. No acaban de tener clara la idea de porcentaje, sobre todo la de porcentajes de aumento (aplicar un impuesto) y la de porcentaje de descuento (llevar a cabo una rebaja). O bien, aunque tengan claro como hacer un porcentaje, lo aplican de forma errónea en la práctica. Aunque en esta Web dedicada a las matemáticas ya se ha analizado el asunto de los porcentajes, incluyendo ejemplos de problemas con porcentajes y de aumentos y disminuciones porcentuales, queremos comentar los errores más comunes que se cometen y aclarar cómo las matemáticas nos ayudan a resolverlos.

Empecemos por recordar que un porcentaje es una razón de denominador \(100\), es decir, cuando escribimos \(k\%\) nos referimos a la razón \(\dfrac{k}{100}\). Así, el \(k\%\) de una cantidad \(C\) se calcula mediante la siguiente operación:

\[\frac{k}{100}\cdot C=\frac{k\cdot C}{100}\]

Por ejemplo, el \(40\%\) de \(1260\) es \(\dfrac{40\cdot1260}{100}=\dfrac{50400}{100}=504\).

Hasta aquí todo funciona bien. El problema surge cuando tenemos que aplicar los porcentajes a situaciones cotidianas. Para darnos cuenta vamos a suponer que tenemos una propiedad cuyo valor ha disminuido en un \(50\%\) en el año 2014 y ha aumentado su valor un \(60\%\) en el año 2015. La pregunta es: ¿se ha revalorizado nuestra propiedad?, ¿sí o no? Mucha gente responde que sí, que se se ha revalorizado en un \(10\%\). Y no es cierto. ¿Nuestro sentido común nos juega una mala pasada? Es posible. Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto. Para ello supongamos que, a comienzos de 2014, el valor de la propiedad era de \(1000\) €. Es obvio que a principios de 2015 el valor de la propiedad es de \(500\) €, pues su valor ha disminuido un \(50\%\). Como este valor ha aumentado un \(60\%\) en 2015, tenemos que el valor de la propiedad cuando comienza el año 2016 es:

\[500+\frac{60}{100}500=500+\frac{30000}{100}=500+300=800\]

Por tanto la propiedad ha pasado de tener un valor de \(1000\) euros a comienzos de 2014, a tener un valor de \(800\) euros a principios de 2016. Es decir, no se ha revalorizado, sino que su valor se ha reducido en un \(20\%\).

El cálculo, desde el punto de vista matemático, se puede hacer mediante la siguiente operación combinada:

\[1000\cdot(1-0,5)\cdot(1+0,6)=1000\cdot0,5\cdot1,6=500\cdot1,6=800\]

¿Qué significado tienen los factores \((1-0,5)\) y \((1+0,6)\) en la operación anterior? No es difícil intuir que aplicar el factor \(1-0,5\) supone disminuir o rebajar una cantidad en un \(50\%\), y aplicar el factor \(1+0,6\) implica aumentar o subir una cantidad un \(60\%\).

En general si disminuimos o rebajamos una cantidad \(C\) un \(k\%\), hemos de hacer la siguiente operación matemática:

\[C-\frac{k}{100}\cdot C=\left(1-\frac{k}{100}\right)\cdot C\]

Se observa con claridad que el factor que hay que aplicar a la cantidad \(C\) para disminuirlal un \(k\%\) es \(1-\dfrac{k}{100}\). Si el porcentaje de rebaja, descuento o disminución es del \(50\%\), como en el ejemplo anteior, entonces \(k=50\) y tenemos el factor \(1-\dfrac{50}{100}=1-0,5\).

Análogamente si aumentamos una cantidad \(C\) un \(k\%\), la operacion matemática es muy parecida a la anterior:

\[C+\frac{k}{100}\cdot C=\left(1+\frac{k}{100}\right)\cdot C\]

En el caso del ejemplo anterior, como el aumento en el año 2015 fue del \(60\%\), tenemos que \(k=60\) y el factor de aumento es \(1+\dfrac{60}{100}=1+0,6\).

Haciendo transacciones comerciales: echando números en tiendas y establecimientos

Veamos otros dos casos que se pueden dar en la práctica. Salimos a la calle de compras o a realizar alguna gestión. Esta situación implica que tengo que "echar números" por ver si la cuenta está bien, y así convencerme de que no me están "engañando".

Caso 1: ¿me "engaña" el comerciante?

Ya sabemos que, hoy por hoy, me puedo fiar en muchos de los comercios o establecimientos cuando hago una compra y hay rebajas. Los productos ya incluyen el Impuesto sobre el Valor Añadido (IVA) y en la etiqueta aparece el precio antes del descuento y el precio después de la rebaja. Sin embargo hay establecimientos en lo que esto puede no ocurrir. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en comprar cierta bicicleta que hemos visto en el escaparate de un establecimiento especializado, en el que marca un precio de \(350\) euros. Entramos y el vendedor nos dice que la bicicleta tiene, además, el \(25\%\) de descuento, pero que también hay que aplicar el correspondiente \(21\%\) de IVA. Después de ver la bicicleta bien decidimos comprarla y el vendedor nos cobra los \(350\) euros menos un \(4\%\) (la diferencia entre el \(25\%\) de la rebaja y el \(21\%\) del aumento por el IVA). Así, la cuenta es, según hemos visto anteriormente:

\[350\cdot(1-0,04)=350\cdot0,96=336\]

Entonces abonamos los \(336\) euros que nos solicita el vendedor y nos vamos con nuestra bicicleta recién adquirida tan contentos. Pues bien, queriéndolo o no, el vendedor nos ha engañado.

Realmente la cuenta que debemos hacer es la siguiente:

\[350\cdot(1-0,25)\cdot(1+1,21)=350\cdot0,75\cdot1,21=317,625\]

Es decir, tenemos que pagar \(317,625\) euros o, si se quiere y redondeando, \(317,63\) euros (18 euros y 37 céntimos menos de lo que me habían cobrado antes).

Y es que realmente el descuento no es del \(4\%\), sino del \(9,25\%\) ya que los factores multiplicativos son \(0,75\cdot1,21=0,9075\), es decir, hemos de pagar un \(90,75\%\) del producto y ahorrarnos el resto.

Caso 2: ¿estoy por la labor de pagarle al mecánico lo que realmente es justo?

Este caso se da con mucha frecuencia. Supongamos que quiero reparar la chapa de uno de los laterales de mi coche, que está un poco chafada debido a que no me doy mucha maña al aparcarlo en mi plaza de garaje. Pues bien, me voy con mi coche a mi chapista de confianza y le digo que me haga un presupuesto del arreglo. Después de analizar la situación, el chapista me dice que la factura ascendería a \(968\) euros incluyendo el \(21\%\) de IVA, pero que si no quiero factura podría pagar el arreglo en metálico sin el IVA. Estoy de acuerdo y le dejo el coche en el taller. Al cabo de unos días el chapista me llama para que pase a recoger el coche. Yo, que no quiero factura, ya he echado "mis cuentas" y voy con la cantidad justa en metálico: \(764,72\) euros. Cuando voy a pagarle, el chapista me dice que no, que son \(800\) euros. Yo no doy mi brazo a torcer y le demuestro que la cuenta es la siguiente: \(968\) euros menos el \(21\) por ciento de \(968\) es \((1-0,21)\cdot968=0,79\cdot968=764,72\) euros.

Pero el chapista me dice que no funciona así. Que no hay que rebajar en un \(21\%\) una cantidad previamente aumentada en un \(21\%\). El chapista, de manera correcta, hace la cuenta del siguiente modo. Supongamos que el precio del arreglo es \(x\) euros. A esta cantidad hay que añadirle el \(21\%\) de IVA y el total es de \(968\) euros, con lo que:

\[(1+0,21)x=968\Rightarrow1,21\cdot x=968\Rightarrow x=\frac{968}{1,21}=800\]

A regañadientes admito las cuentas del chapista y pago los \(800\) euros, que es lo justo, entre otras cosas porque si a los \(764,72\) euros que pretendía pagar le añado el \(21\%\) de IVA obtengo \(1,21\cdot764,72=925,3112\) cantidad que no coincide con los \(968\) euros que costaba el arreglo con el IVA.

Así como para calcular el precio de un producto con IVA basta multiplicar el precio original por \(1,21\); es importante observar que, para la operación contraria, obtener la cantidad sin IVA de una cantidad que ya contiene el IVA, basta con dividir entre \(1,21\). Muchos de los comerciales que trabajan ofreciendo sus productos a empresas tienen esto muy presente y hacen las cuentas con mucha rapidez.

 

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Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes

En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes y que se utilizan a menudo en las matemáticas de bachillerato a la hora de calcular límites de funciones. Nos referimos a aquello de que el límite de la suma, producto o división es la suma, producto o división de los límites (entre otras propiedades). Todo el mundo usa estas propiedades, pero... ¿de dónde vienen? A continuación lo justificamos demostrándolo para límites de sucesiones, pues el concepto de límite funcional está íntimamente ligado al de límite de una sucesión.

Antes de demostrar las propiedades de la sucesiones convergentes, definiremos unos conceptos relacionados con las sucesiones que también se utilizan a menudo. Nos referimos a las sucesiones acotadas. Para ello recordemos que un conjunto de números reales está mayorado (respectivamente, minorado) si existe un número real que es mayor o igual (respectivamente, menor o igual) que todos los del conjunto. Diremos también que un conjunto de números reales está acotado si está a la vez mayorado y minorado. Esto es lo mismo que decir que, dado \(A\subset\mathbb{R}\), \(A\) está acotado si existe un número real \(M>0\) tal que \(M\geqslant |a|,\,\forall a\in A\) ya que, por las propiedades del valor absoluto, esto es equivalente a decir que \(-M\leqslant a\leqslant M,\,\forall a\in A\), con lo que \(A\) está a la vez mayorado y minorado.

Considerando lo anterior diremos que una sucesión está mayorada (respectivamente, minorada) si el conjunto de sus términos está mayorado (respectivamente, minorado). Diremos también que una sucesión está acotada si está a la vez mayorada y minorada. Podemos escribir lo anterior de manera simbólica:

  • \(\{x_n\}\) esta mayorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,K\in\mathbb{R}\ |\ K\geqslant x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\).
  • \(\{x_n\}\) esta minorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,k\in\mathbb{R}\ |\ k\leqslant x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\).
  • \(\{x_n\}\) esta mayorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,M\in\mathbb{R}^+\ |\ M\geqslant |x_n|,\,\forall n\in\mathbb{N}\).

Un resultado importante es el siguiente:

Proposición 1.

Toda sucesión de números reales convergente está acotada.

Si \(\{x_n\}\rightarrow x\) tenemos

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<1\]

con lo que para \(n\geqslant m\):

\[|x_n|=|x_n-x+x|\leqslant|x_n-x|+|x|<1+|x|\]

lo que prueba que el conjunto \(\{x_n\ :\ n\geqslant m\}\) está acotado. Pero ello implica que \(\{x_n\}\) está acotada, ya que \(\{x_n\ :\ n<m\}\) es finito y por tanto acotado, luego entonces el conjunto

\[\{x_n\ :\ n\in\mathbb{N}\}=\{x_n\ :\ n<m\}\cup\{x_n\ :\ n\geqslant m\}\]

es acotado, tal y como queríamos demostrar.

Propiedades de las sucesiones convergentes

Veamos ahora la relación entre sucesiones convergentes y las tres operaciones básicas en intervienen en el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales: suma, producto y relación de orden. Recordamos que estas son las reglas básicas para el cálculo de límites, no sólo de sucesiones de números reales, sino también para el cálculo de límites de funciones.

Proposición 2.

Si \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son dos sucesiones de números reales convergentes, entonces la sucesión \(\{x_n+y_n\}\) es convergente y se tiene

\[\lim\{x_n+y_n\}=\lim\{x_n\}+\lim\{y_n\}\]

Si \(x=\lim x_n\), \(y=\lim y_n\), dado \(\varepsilon>0\) arbitrario se tiene

\[\exists\, m_1\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

\[\exists\, m_2\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_2\Rightarrow|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}\]

Tomemos \(m\in\mathbb{N}\) tal que \(m\geqslant m_1\) y \(m\geqslant m_2\). Entonces, para \(n\geqslant m\) se cumple que

\[|(x_n+y_n)-(x+y)|\leqslant|x_n-x|+|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

Con lo que, usando la definición de sucesión convergente, hemos demostrado que \(\{x_n+y_n\}\rightarrow x+y\), tal y como queríamos.

Proposición 3.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales convergente a cero, e \(\{y_n\}\) una sucesión de números reales acotada. Entonces la sucesión \(\{x_ny_n\}\) converge a cero.

Sea \(M>0\) tal que \(M>|y_n|,\,\forall n\in\mathbb{N}\). Como \(\{x_n\}\rightarrow0\), dado \(\varepsilon>0\) se tiene

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m\Rightarrow|x_n|<\frac{\varepsilon}{M}\]

Entonces, para \(n\geqslant m\) tenemos

\[|x_ny_n|<\frac{\varepsilon}{M}M=\varepsilon\]

con lo que hemos probado que \(\{x_ny_n\}\rightarrow0\).

Corolario 1.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes. Entonces la sucesión \(\{x_ny_n\}\) es convergente y se tiene:

\[\lim(x_ny_n)=\lim(x_n)\lim(y_n)\]

Si \(x=\lim x_n\), usando que la sucesión constantemente igual a \(-x\), \(\{-x\}\), converge a \(-x\) y que la suma de sucesiones convergentes es convergente, tenemos que \(\{x_n-x\}\rightarrow0\). Como \(\{y_n\}\) es acotada, por la proposición anterior, \(\{x_ny_n-xy_n\}\rightarrow0\). Por otro lado, si \(y=\lim y_n\) se tiene claramente que \(\{y_n-y\}\rightarrow0\) y \(\{xy_n-xy\}\rightarrow0\), luego \(\{xy_n\}\rightarrow xy\). Finalmente, volviendo a usar que la suma de sucesiones convergentes es convergente, tenemos

\[\{x_ny_n\}=\{x_ny_n-xy_n+xy_n\}\rightarrow0+xy=xy\]

tal y como queríamos demostrar.

Proposición 4.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos, convergente a un límite no nulo \(x\). Entonces la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\) converge a \(\dfrac{1}{x}\).

Por ser \(\{x_n\}\) convergente a \(x\) y \(x\neq0\) tenemos

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\frac{|x|}{2}\]

de donde si \(n\geqslant m\) se verifica (ver las propiedades del valor absoluto) que

\[|x_n|=|x-(x-x_n)|\geqslant|x|-|x-x_n|>|x|-\frac{|x|}{2}=\frac{|x|}{2}\]

y por tanto, para \(n\geqslant m\)

\[\left|\frac{1}{x_n}\right|<\frac{2}{|x|}\]

de donde se deduce que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\) es acotada.

Por último, como

\[\left\{\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\right\}=\left\{\dfrac{x-x_n}{x}\dfrac{1}{x_n}\right\}\]

y \(\left\{\dfrac{x-x_n}{x}\right\}\rightarrow0\), la proposición anterior nos asegura que \(\left\{\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\right\}\rightarrow0\), es decir, \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\rightarrow\dfrac{1}{x}\).

Corolario 2.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes respectivamente a \(x\), \(y\). Supongamos que \(y_n\neq0\) para todo natural \(n\) y que \(y\neq0\). Entonces la sucesión \(\left\{\dfrac{x_n}{y_n}\right\}\) converge a \(\dfrac{x}{y}\).

Es consecuencia inmediata de la proposición anterior aplicada a la sucesión \(\{y_n\}\) y del corolario 1.

Proposición 5.

Sean \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes a los números reales \(x\) e \(y\), respectivamente. Supongamos que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leq y_n\}\) es infinito. Entonces \(x\leqslant y\).

Supongamos por el contrario que \(x>y\). Tomando \(\varepsilon=\dfrac{x-y}{2}>0\) tenemos:

\[\exists\, m_1\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow x_n>x-\varepsilon=\frac{x+y}{2}\]

\[\exists\, m_2\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_2\Rightarrow y_n<y+\varepsilon=\frac{x+y}{2}\]

Si tomamos \(m\in\mathbb{N}\) tal que \(m\geqslant m_1\) y \(m\geqslant m_2\), entonces si \(n\geqslant m\), se tiene que \(x_n>y_n\), es decir,

\[\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leqslant y_n\}\subset\{n\in\mathbb{N}\ :\ n<m\}\]

y por tanto el primero de estos dos conjuntos es finito, lo cual es una contradicción.

Es conveniente darse cuenta de que si suponemos la desigualdad estricta en la hipótesis de la proposición anterior, es decir, si suponemos que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n< y_n\}\) es infinito, no podemos afirmar que se cumpla también la desigualdad estricta en la tesis, es decir, no podemos afirmar que \(\lim x_n<\lim y_n\).\\ Por ejemplo, dadas las sucesiones \(\{x_n\}=\left\{\dfrac{1}{n+1}\right\}\), \(\{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\), es muy fácil darse cuenta de que \(x_n<y_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Pero \(\lim x_n=\lim y_n=0\).

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de la proposición anterior, consecuencia que en la práctica se presenta más a menudo.

Corolario 3.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales convergente y sea \(a\) un número real cualquiera. Si el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leqslant a\}\) (respectivamente, \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\geqslant a\}\)) es infinito, se tiene \(\lim x_n\leqslant a\) (respectivamente, \(\lim x_n\geqslant a\)).

Finalmente damos un resultado muy útil para el cálculo de límites te sucesiones, conocido popularmente como "regla del sandwich".

Proposición 6.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\), \(\{z_n\}\) sucesiones de números reales verificando que \(x_n\leq y_n\leq z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Supongamos que \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\) son convergentes a un mismo límite \(l\). Entonces \(\{y_n\}\) converge a ese mismo límite \(l\).

Dado \(\varepsilon>0\) podemos encontrar un natural \(m\) tal que para \(n\geq m\) se tenga simultáneamente que \(|x_n-l|<\varepsilon\) y \(|z_n-l|<\varepsilon\). Entonces, para \(n\geq m\) tenemos:

\[l-\varepsilon<x_n\leq y_n\leq z_n<l+\varepsilon\]

de donde \(|y_n-l|<\varepsilon\) y, por tanto, \(\{y_n\}\rightarrow l\)

Proponemos a continuación una serie de ejercicios con sus respectivas soluciones.

Ejercicios

1. Probar que si \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son sucesiones de números reales acotadas, entonces la sucesiones \(\{x_n+y_n\}\) y \(\{x_ny_n\}\) están acotadas.

Como \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son acotadas, existen \(M_1,\,M_2\in\mathbb{R}^+\) tales que \(|x_n|\leqslant M_1\), \(|y_n|\leqslant M_2\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\).

Entonces \(|x_n+y_n|\leqslant|x_n|+|y_n|\leqslant M_1+M_2\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(\{x_n+y_n\}\) está acotada.

Por otro lado, \(|x_ny_n|=|x_n||y_n|\leqslant M_1M_2\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), lo que demuestra que la sucesión \(\{x_ny_n\}\) también está acotada.

2. Dar dos sucesiones \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) de números reales no convergentes, tales que \(\{x_n+y_n\}\) sea convergente.

Sean \(\{x_n\}=\{n\}\), \(\{y_n\}=\{-n\}\). Ya se demostró en el artículo anterior (ejemplo 2) que la sucesión \(\{x_n\}\) no es convergente. Por tanto, tampoco lo será \(\{y_n\}\) pues, de serlo, también lo sería la sucesión \(\{(-1)(-n)\}=\{n\}\), y esto es una contradicción. Sin embargo, \(\{x_n+y_n\}={0}\rightarrow0\) (sucesión constantemente igual a cero).

3. Supongamos que \(\{x_n+y_n\}\) es convergente. ¿Qué puede afirmarse sobre la posible convergencia de \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\)?

Que, o son las dos convergentes, o ninguna lo es (véase ejercicio anterior). Si, por ejemplo, fuese \(\{x_n\}\) convergente e \(\{y_n\}\) no fuera convergente, la sucesión \(\{(x_n+y_n)-x_n\}=\{y_n\}\) sería convergente (por ser suma de convergentes), lo cual es una contradicción, pues hemos supuesto que \(\{y_n\}\) no es convergente.

4. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y sea \(x\) un mayorante de \(A\). Probar que \(x\) es el supremo de \(A\) si y sólo si existe una sucesión de elementos de \(A\) convergente a \(x\).

Como \(x\) es un mayorante de \(A\), tenemos que \(x\geqslant a\,,\forall\,a\in A\).

\(\Rightarrow)\) Supongamos que \(x=\sup A\). Por definición de supremo, para cada número real y positivo \(\varepsilon\), existe \(a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon\). Consideremos la sucesión \(\{a_n\}=\{x-\frac{1}{n}\}\). Por lo anterior es claro que \(a_n\in A\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por tanto \(\{a_n\}\) es una sucesión de elementos de \(A\). Además, como \(\{x\}\rightarrow x\) y \(\{\frac{1}{n}\}\rightarrow0\), entonces \(\{a_n\}=\{x-\frac{1}{n}\}\rightarrow x\).

\(\Leftarrow)\) Supongamos que existe una sucesión de elementos de \(A\),\(\{a_n\}\), convergente a \(x\). Dado \(\varepsilon>0\), existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces \(|a_n-x|<\varepsilon\), es decir, \(x-\varepsilon<a_n<x+\varepsilon\). En particular, \(a_m>x-\varepsilon\) y, por tanto, \(x=\sup A\).

También se puede demostrar, de forma completamente análoga, la misma afirmación cambiando mayorante por minorante y supremo por ínfimo.

5. Sea \(x\) un número real cualquiera. Probar que existen cuatro sucesiones \(\{r_n\}\), \(\{s_n\}\), \(\{\alpha_n\}\), \(\{\beta_n\}\) convergentes a \(x\), que verifican \(r_n,\,s_n\in\mathbb{Q}\), \(\alpha_n,\,\beta_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), \(r_n<x<s_n\), \(\alpha_n<x<\beta_n\).

Sabemos por el ejercicio 2 del artículo dedicado a la existencia de los números irracionales que

\[x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{s\in\mathbb{Q}\,:\,s>x\}\]

y también que

\[x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{\beta\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\beta>x\}\]

Por el ejercicio anterior es claro que existen sucesiones \(\{r_n\}\), \(\{s_n\}\), \(\{\alpha_n\}\), \(\{\beta_n\}\) convergentes a \(x\), que verifican: \(r_n,\,s_n\in\mathbb{Q}\), \(\alpha_n,\,\beta_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), \(r_n<x<s_n\), \(\alpha_n<x<\beta_n\).

6. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos tal que \(\{x_n\}\rightarrow0\). Probar que \(\{\frac{1}{x_n}\}\) no está acotada.

Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que \(\{\frac{1}{x_n}\}\) es una sucesión acotada. Entonces existe \(M\in\mathbb{R}^+\) tal que \(|\frac{1}{x_n}|\leqslant M\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), es decir, \(|x_n|\geqslant\frac{1}{M}>\frac{1}{M+1}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto contradice que \(\{x_n\}\rightarrow0\). Por tanto, la sucesión \(\{\frac{1}{x_n}\}\) no está acotada.

7. Mostrar con un ejemplo que, en la proposición 6, la hipótesis \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), no se puede sustituir por la de que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\,:\,x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\}\) sea infinito. ¿Bastaría exigir la existencia de un natural \(p\) tal que para \(n\geqslant p\) se verificase \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\)?

Sean \(\{x_n\}=\{0\}\), \(\{y_n\}=\{(-1)^n\}\) y \(\{z_n\}=\{1\}\). Es claro que \(\{n\in\mathbb{N}\,:\,x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\}\) es infinito (el conjunto de los números pares:\(\{2k\,:\,k\in\mathbb{N}\}\)), pero \(\{y_n\}\) no es convergente.

Supongamos que existe \(p\in\mathbb{N}\) tal que \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) con \(n\geqslant p\). Sea la sucesión \(\{r_n\}\) definida por

\[r_n=\left\{\begin{array}{ccc}
                y_n & \text{si} & n\geqslant p \\
                x_n & \text{si} & n<p
              \end{array}
  \right.\]

Entonces \(x_n\leqslant r_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(\{r_n\}\) es convergente al mismo límite que \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\). Pero \(y_n=r_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) con \(n\geqslant p\). Por el ejercicio 2.11.4 \(\{y_n\}\) es convergente y

\[\lim y_n=\lim r_n=\lim x_n=\lim z_n\]


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