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El infinito, jarra milagrosa de las matemáticas

El símbolo de infinito en matemáticas El símbolo de infinito en matemáticas
Este artículo es un extracto del libro "Experiencia Matemática", de Phillip J. Davis y Reuben Hersch.

Las matemáticas son, según cierta forma de entenderlas, la ciencia de lo infinito. Mientras que las frases:  «2+3=5»,  «1/2+1/3=5/6»,  «71 es un número primo» son otros tantos enunciados de matemática finita, se considera que la matemática verdaderamente importante emerge cuando se ensancha el universo del discurso hasta abarcar lo infinito. El acervo contemporáneo de objetos matemáticos está repleto de infinitudes. Y es que lo infinito resulta difícil de evitar. Fijémonos en la frases típicas: «el número de puntos de una recta es infinito», «el conjunto de los números primos es infinito», «¿será infinito el conjunto de los números primos gemelos?», «la cinta de una máquina de Turing se supone de longitud infinita», «sea N un entero infinito extraído del conjunto de los hiperreales»; o en las expresiones matemáticas siguientes:

infinito01

Tenemos infinitos e infinitos de infinitos; infinitos a granel, infinitos que desbordan todo sueño de avaricia conceptual.

El más sencillo de los objetos infinitos es el sistema de los enteros positivos 1, 2, 3, 4, 5,... Los puntos suspensivos pretenden indicar que la lista prosigue eternamente. Jamás tiene fin. Este sistema es tan corriente y útil que conviene darle nombre. Muchos autores lo denotan de cualquiera de estas dos maneras:

infinito02

La primera de ellas hace notar al conjunto de los números naturales. La segunda de ellas al conjunto de los números enteros positivos y proviene de Zahl, número en alemán, para darle cierto aroma centroeuropeo. El conjunto de los números naturales (o, equivalentemente, el de los enteros positivos) tiene la propiedad de que si un número pertenece a él, también su siguiente. No puede, por lo tanto, haber un número máximo, pues, de haberlo, podríamos sumarle 1 y obtener otro estrictamente mayor. Otra de las propiedades de los naturales es que jamás podremos agotarlo extrayendo de él sus elementos de uno en uno. Si eliminamos, por ejemplo, el 6 y el 83, lo que queda o subsiste es un conjunto infinito. El conjunto de los números naturales es una jarra inagotable, una jarra prodigiosa que nos recuerda el milagro de la multiplicación de los panes y los peces en Mateo 15:34.

Esta jarra milagrosa, con todas sus propiedades (que parecen ir contra todas las experiencias de nuestras vidas), es un objeto absolutamente básico y fundamental de las matemáticas, que se supone al alcance de los niños de escuela elemental. Las matemáticas nos piden creer en esta jarra milagrosa; no iremos lejos si no lo hacemos.

Resulta fascinante especular sobre cómo pudo abrirse paso en las matemáticas la noción de infinitud. ¿Cuáles fueron sus orígenes? ¿La percepción de grandes intervalos de tiempo? ¿La percepción de grandes distancias, como los vastos desiertos mesopotámicos, o la línea recta de la mirada dirigida a las estrellas? ¿Sería acaso el ansia del alma hacia la percepción y la compresión, la aspiración por alcanzar explicaciones definitivas, aunque incompresibles?

Lo infinito es lo que no tiene fin. Es lo eterno, lo inmortal, lo renovable por sí mismo, es el aperion de los griegos, el ein-sof de la Cábala, el ojo cósmico de los místicos, que nos observa y provee de energía desde la deidad.

Fijémonos en la igualdad

infinito03

 o con notación más compacta e imaginativa

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Parece que en el primer miembro hay incompletitud, pugnaz tendencia al infinito. En el segundo hay compleción y finitud. Existe entre uno y otro miembro una tensión, que es manantial de potencia y de paradoja. Sentimos un agobiante deseo matemático de tender un puente que salve el vacío entre lo finito y lo infinito. Ansiamos completar lo incompleto, atraparlo, enjaularlo, domarlo.

La matemática cree haber tenido éxito en la empresa. Se le ha dado nombre a lo innombrable, se ha operado con ello, ha sido domesticado, explotado, finitizado y, en definitiva, trivializado. ¿No será una falsificación este infinito matemático? ¿Representa quizá algo que no es auténticamente infinito? ¿Será un mero artificio del lenguaje, por el cual nos limitamos a identificar ciertos tipos de frases como alusivas a «cosas infinitas»? Cuando la infinitud ha sido domada goza de vida simbólica.

Cantor introdujo el símbolo

infinito05

(aleph-subcero) para denotar el cardinal infinito representado por el conjunto de los números naturales. Demostró que este número obedecía a leyes aritméticas muy distintas de las de los números finitos. He aquí un par de ejemplos:

infinito06

Ahora bien, se podría fabricar sin dificultad una calculadora de bolsillo provista de una tecla aleph-subcero para obedecer a este tipo de leyes cantorianas. Por otra parte, si hemos llegado a encapsular algorítmicamente a aleph-subcero e integrarlo en una estructura finita, ¿en qué consiste entonces su infinitud? ¿No estaremos acaso tratando nada más con conjuntos nominalmente infinitos? Pensamos en grande, pero actuamos en pequeño. Concebimos infinidades; computamos finitudes. Tal reducción resulta bastante obvia después de realizada, pero la metafísica del acto dista de estar clara.

Así pues, las matemáticas nos piden creer en un conjunto infinito. ¿Qué significado tiene decir que existe un conjunto infinito? ¿Por qué habríamos de creer en su existencia? En la exposición formal, tal petición adquiere un carácter institucional, ya que forma parte de la axiomática. Así, por ejemplo, en Introduction to Set Theory, de Hrbacek y Jech, leemos en la página 54:

Axioma de infinitud. Existe un conjunto inductivo (por ejemplo, un conjunto infinito).

Comparemos este axioma con el axioma de Dios, en la forma en que Maimónides lo enuncia (Mishné Torá, Libro I, cap. 1):

El principio fundamental de todos los principios fundamentales, y pilar de todas las ciencias, es la comprensión de que hay un Ser Primero que dio ser a toda cosa existente.

Los axiomas matemáticos tienen la reputación de ser evidentes por sí mismos; podría pensarse que los axiomas de infinitud y de Dios tienen un mismo carácter en lo que a autoevidencia se refiere. ¿Cuál de ellos es matemática, y cuál es teología? ¿Nos lleva esto, así pues, a la idea de que un axioma es meramente una posición dialéctica en la cual fundar la argumentación ulterior, la jugada de apertura de un juego, sin la cual no se puede iniciar la partida?

Donde hay poder hay peligro, y esto vale tanto para la realeza como para las matemáticas. Es preciso escrutar con especial atención todos los razonamientos donde intervenga el infinito, porque éste ha desmostrado ser escondrijo de gran parte de lo extraño y paradójico. Entre las diversas paradojas en las que el infinito toma parte se cuentan la paradoja de Zenón, de Aquiles y la tortuga, la paradoja de Galileo, la paradoja de Berkeley sobre infinitésimos, una extensa gama de paradojas consecuencia de la manipulación de sumas o integrales infinitas, paradojas de no-compacidad, etcétera. Cada una de estas paradojas nos ha enseñado algo nuevo sobre el comportamiento de los objetos matemáticos, y de la forma en que debemos hablar de ellos. De cada uno de ellos hemos extraído la ponzoña de la contradicción y hemos reducido la paradoja a mero comportamiento típico en un ambiente atípico.

La paradoja de Aquiles y la tortuga afirma que Aquiles no le puede dar alcance a la tortuga, porque ha de llegar primero al punto que ésta acaba de abandonar y, por consiguiente, la tortuga llevará siempre la delantera.

La paradoja de Galileo enuncia que hay tantos números que sean cuadrados perfectos como números enteros. Este hecho queda de manifiesto en la correspondencia

infinito07

Ahora bien, ¿cómo puede ser así, cuando no todo número es cuadrado perfecto?

Las paradojas de reordenación afirman que la suma de una serie infinita puede cambiar al redisponer sus términos. Por ejemplo,

infinito08

La paradoja de Aquiles no es más que un ejemplo de parametrización irrelevante:

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Evidentemente, la tortuga va por delante en la sucesión infinita de instantes t1, t2, t3,... en los que Aquiles acaba de llegar a la posición que la tortuga ocupaba un momento antes. Bueno, ¿y qué? ¿Por qué hemos de limitar nuestro análisis a la sucesión de instantes t1t2t3,...? Tenemos aquí un caso claro de la necesidad de mantener la mirada sobre la rosquilla y no en el agujero.

La paradoja de Galileo queda regularizada al observar que el fenómeno que describe es característica distintiva de los conjuntos infinitos. Un conjunto infinito es, sencillamente, un conjunto que puede ponerse en correspondencia biunívoca con alguno de sus subconjuntos propios. La aritmética infinita no es igual que la aritmética finita, eso es todo. Si Cantor nos dice que

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es una fórmula verdadera, no estamos autorizados a tratar a alef-subcero como si fuera una cantidad finita, restarlo de ambos miembros de la igualdad, y llegar a la paradójica situación de que 1=0.

Al principio, la paradoja de Berkeley sobre infinitésimos no fue tomada en consideración. La dificultad que presentaba fue después rodeada a base de reformular todo el cálculo mediante procesos de paso al límite. Durante el último decenio ha sido regularizada merced al análisis «no estándar», regularización que parece preservar el aroma original que dieron al cálculo sus creadores.

Las paradojas de reordenación, agregación, no compacidad, reciben un tratamiento coyuntural, a base de condicionamientos y restricciones a series absolutamente convergentes, integrales absolutamente convergentes, convergencia uniforme, conjuntos compactos. El matemático precavido se encuentra, lo mismo que el esquiador de slalom, encarrilado entre centenares de banderolas, entre cuyos límites ha de trazar su carrera.

Así pues, con el concurso de multitud de medios, el infinito ha sido uncido y después amansado y reducido a domesticidad. Pero en la naturaleza del infinito está su carácter abierto, por lo que la necesidad de nuevas acciones cosméticas volvera a presentarse siempre.


Para curiosear y saber más acerca del infinito en matemáticas.

ALEMÁN BERENGUER, R. A.: Del cálculo diferencial al funcional consideraciones epistemológicas sobre dos desarrollos históricos.

BOMBAL GORDÓN, F.: Rigor y demostración en matemáticas.

LÓPEZ PELLICER, M.: La estructura racional del pensamiento matemático. El infinito matemático.

MACHO STADLER, M.: Historias de matemáticas. Matemáticas a través de la paradoja.

MARTÍNEZ, G.: Borges y la matemática.

MUÑOZ SÁNCHEZ, R.: Paradojas, acertijos y demostraciones inválidas.

ORTIZ, J. R.: El concepto de infinito.

PÉREZ, J.: Número y límites. El infinito matemático.

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