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Argumentos a favor del cálculo mental

Este artículo se ha tomado del libro "Festival matemático. 50 pasatiempos y curiosidades", de George Szpiro

Desde que Pitágoras pintaba sus triángulos en los suelos arenosos de Samos hace unos 2500 años, los docentes no han dejado de buscar los mejores métodos para enseñar matemáticas a sus alumnos. Encontramos un ejemplo de ello en un debate surgido entre los expertos reunidos en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid durante el verano de 2006. Se discutieron los distintos enfoques utilizados en los centros de educación primaria y secundaria y las discrepancias fueron inevitables. Los «reformadores», que tienen en cuenta la evolución social y técnica, se enfrentaron a los «tradicionalistas», que defienden la aritmética con papel y lápiz. Hubo réplicas acaloradas, ánimos exaltados, y no salió indemne ni la manipulación aritmética más fundamental. Anthony Ralston, por ejemplo, un reformador precoz de la Universidad de Búfalo, abogó a gritos por la abolición de la aritmética con papel y lápiz en las clases. Aunque admitía la realización de cálculos de cabeza es esencial para el desarrollo de la valoración matemática, afirmaba también que la habilidad para efectural cálculos mentales podría conseguirse con facilidad utilizando calculadoras.Festival Matemático

A esto se opuso Ehud De Shalit, teórico de números de la Universidad Hebrea de Jerusalén muy anclado en las formas tradicionales de enseñar matemáticas. En su opinión, los profesores deben equipar a sus alumnos desde el primer momento con las herramientas que les permitirán manipular objetos matemáticos tales como números, figuras y símbolos. Como ejemplo mencionó las divisiones largas realizadas con lápiz y papel; no es necesario enseñar esa técnica a estudiantes de primaria porque es esencial que avancen en asuntos relacionados con la vida cotidiana, explicó De Shalit. Él entiende que esas operaciones se efectúan con más facilidad mediante calculadoras, pero ayudan a los alumnos a pensar y conceptualizar en términos matemáticos. Según De Shalit, las divisiones largas son, de hecho, todo un tesoro para la docencia, no tanto por su valor práctico sino porque refuerzan la comprensión del sistema decimal y explican cómo funcionan los algoritmos. Para demostrar la supuesta insensatez de las propuestas reformadoras, De Shalit formuló la pregunta retórica de si no querríamos también precindir por completo de las fracciones. Las fracciones se convierten fácilmente en números decimales con ayuda de calculadoras y, por tanto, podrían considerarse obsoletas, pero ése sería el primer paso hacia una cuesta abajo resbaladiza, advirtió a sus colegas. Sin el recurso de la calculadora, los alumnos no tardarían mucho en dejar de saber si \(3/7\) o \(5/9\) son mayores o menore que \(1/2\).

La cuestión de si usar o no calculadoreas y ordenadores en las aulas no fue el único escollo que enfrentó a reformadores y tradicionalistas. También tuvieron un gran día discutiendo cuál es el método óptimo para enseñar técnicas matemáticas a los alumnos. Ralston cree que se debería dejar que los alumnos desarrollasen los métodos con los que se sientan más cómodos. De Shalit enseguida rechazó como ilusorio que niños de 10 años sean capaces de descubrir por sí solos métodos matemáticos considerardos parte de los grandes logros de la antigüedad india y árabe. De modo que pide a los profesores que se concentren en los métodos normalizados, ya comprobados, a través de un programa de ejercitación y práctica. Sólo cuando dominen los métodos normalizados de cálculo podrá permitirse a los alumnos que recurran a sus propias iniciativas (por ejemplo, intercambiando multiplicandos).

Pero De Shalit matizó un tanto su estricta concepción. Las técnicas normalizadas no son lo más importante y, desde luego, tampoco constituyen el único aspecto de la enseñanza de las matemáticas.Para resolver problemas reales resultan esenciales otras habilidades: los alumnos deberían ser capaces de distinguir los datos relevantes de los irrelevantes, saber seleccionar con inteligencia las variables más importantes y ser capaces de traducir la prosa a formulaciones algebraicas. Estas habilidades son indispensables incluso antes de aplicar las técnicas puras y duras para resolver el problema. En geometría, por ejemplo, hay que dibujar las figuras a escala, hay que descomponer los objetos y hay que detectar las partes ocultas antes de utilizar la aritmética para efectuar los verdaderos cálculos.

Ambos bandos coincidieron en un punto: los exámenes son una cuestión política. Estuvieron de acuerdo en que la fijación de exámenes oficiales obstaculiza el trabajo de los docentes. Los exámenes oficiales tienen su utilidad, afirman los tradicionalistas, pero hay que estipular desde un principio qué examinan en realidad los exámenes. ¿Evalúan los conocimientos adquiridos, o el potencial futuro? ¿Miden capacidades algorítmicas, o el razonamiento creativo? ¿Se utilizan como criterio de admisión en una universidad, o para valorar distintos centros o programas de enseñanza?

Por su parte, los reformadores contemplan los exámenes oficiales como un desastre absoluto. Para hacer hincapié en este aspecto, Ralston menciona el decreto federal estadounidense de 2002 que decía «No Child left behind» ['Ningún niño rezagado']. El éxito del programa se midió mediante la puntuación en exámenes oficiales. La presión a la que se vieron sometidos los docentes los llevó a incentivar la capacidad de los chicos para efectuar manipulaciones rutinarias, en lugar de desarrollar su capacidad para resolver problemas. Así que tal vez los alumnos sacaran mejores notas en los exámenes, pero no adquirieron en realidad destreza matemática. Ralston está firmemente convencido de que los exámenes deberían utilizarse tan sólo con fines diagnósticos, ya que pueden servir como instrumento para determinar si un método particular de enseñanza funciona o no.

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Exámenes Matemáticas ESO

  • Publicado en ESO

Exámenes matemáticas Educación Secundaria Obligatoria (ESO) con soluciones, completamente resueltos


¿Eres estudiante de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) y estás haciendo o repasando tus tareas de matemáticas? ¿Preparas tus ejercicios, pruebas y exámenes de matemáticas?

En cualquier caso te propongo en los siguientes enlaces exámenes de matemáticas de ESO para que te sirvan de ayuda. Cada examen de matemáticas contiene, tras los enunciados de los ejercicios, las soluciones de cada uno de ellos. No me refiero a la solución final, sino que cada ejercicio de cada examen está completamente resuelto. Además, con el tiempo, la lista de exámenes va aumentando.

Puedes encontrar más material de matemáticas para la ESO en este enlace (apuntes, ejercicios y presentaciones de matemáticas). Continuamente van apareciendo, conforme pasa el tiempo, más ejercicios y apuntes de matemáticas para la ESO a todos los niveles.

Materiales de Matemáticas ESO

¡Espero que os sirva todo este material de matemáticas para la ESO! 

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Materiales de matemáticas para el Bachillerato

Este sitio Web dedicado a las matemáticas esta constantemente actualizándose añadiendo con cierta frecuencia materiales dedicados a las matemáticas (hágase clic en los enlaces de la tabla inferior). 

Matemáticas I

Matemáticas II

Matemáticas CCSS I

Matemáticas CCSS II

Apuntes Apuntes Apuntes Apuntes
Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios
Exámenes Exámenes Exámenes Exámenes
Presentaciones Presentaciones Presentaciones Presentaciones

Como puedes observar, en esta sección encontrarás materiales útiles para tu preparación de las matemáticas en la etapa del Bachillerato, tanto en la modalidad de Ciencias y Tecnología (Matemáticas I y II) como en la modalidad de Ciencias Sociales (Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II). Sobre todo se proporcionan materiales de matemáticas del siguiente tipo:

  • Apuntes y esquemas teóricos.
  • Ejercicios, actividades y problemas de carácter práctico.
  • Exámenes propuestos en el Bachillerato durante los últimos cursos académicos.

Si estás en segundo de Bachillerato podrás acudir también a la sección del menú superior Selectividad, dedicada a la Prueba de Acceso a los Estudios de Grado (PAEG). En ella podrás encontrar muchos exámenes de Matemáticas II y de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II (en este caso de la Universidad de Castilla-La Mancha) todos ellos completamente resueltos.

Espero que os sirvan.

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Materiales de matemáticas para la ESO

  • Publicado en ESO

Este sitio Web dedicado a las matemáticas está siempre construyéndose y completándose. Ya hay bastante material (hágase clic en los enlaces de la tabla inferior). En todo caso seguiré insertando contenidos matemáticos conforme los vaya generando.

En los enlaces de la tabla que tienes más abajo encontrarás recursos útiles para tu preparación de las matemáticas en la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO). Sobre todo se proporcionan materiales de matemáticas del siguiente tipo:

  • Apuntes y esquemas teóricos.
  • Ejercicios, actividades y problemas de carácter práctico.
  • Exámenes propuestos en la ESO durante los últimos cursos académicos.

1º ESO

2º ESO

3º ESO

4º ESO

Apuntes Apuntes Apuntes Apuntes
Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios
Exámenes Exámenes Exámenes

Exámenes Opción A

Exámenes Opción B

Presentaciones Presentaciones Presentaciones Presentaciones

Muchas gracias por visitar este sitio. Espero que todos estos materiales de matemáticas os sean de utilidad.

 

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