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Archivo del Autor: Pedro Castro Ortega

La parábola

Definición Entre las muchas aplicaciones de la parábola es destacable el hecho de que la trayectoria de cualquier proyectil es parabólica. Ecuación reducida Hallaremos la ecuación de una parábola cuyo foco se encuentre en el eje de abscisas y cuya directriz sea una recta vertical a la misma distancia del origen que el foco. Como la distancia entre foco y ...

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La hipérbola

Definición A esa constante se la suele llamar \(2a\). La hipérbola es también una curva con abundantes aplicaciones. Un ejemplo bastante conocido es la relación entre la presión y el volumen de un gas ideal a temperatura constante, que viene representada por la rama positiva de una hipérbola equilátera. Lo veremos al final de esta entrada. Ecuación reducida Veremos la ...

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La elipse

Definición A esa constante se la suele designar por \(2a\). Las órbitas de los planetas en torno al sol y la del electrón en torno al núcleo del átomo son elípticas. Ecuación reducida Vamos a averiguar la ecuación de una elipse cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas (ver figura). ...

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Eje radical de dos circunferencias

Si tenemos dos circunferencias y buscamos los puntos cuya potencia respecto de las dos circunferencias es la misma, obtendremos una recta: el eje radical. Vamos a comprobar que, en efecto, dicho lugar geométrico es una recta. Si \(P(x_0\,,\,y_0)\) es un punto del lugar geométrico y \[c\equiv x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad;\quad c’\equiv x^2+y^2+D’x+E’y+F’=0\] son las dos circunferencias, se ha de tener: \[\text{Pot}_c(P)=\text{Pot}_c'(P)\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F=x_0^2+y_0^2+D’x_0+E’y_0+F’\] Pasando ...

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Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura se han trazado, desde un punto \(P\), dos rectas secantes a la circunferencia, que la cortan en los puntos \(A_1\) y \(B_1\), \(A_2\) y \(B_2\), respectivamente. Los triángulos \(PB_1A_2\) y \(PB_2A_1\) son semejantes porque tienen un ángulo común (el ángulo \(\widehat{P}\)) y dos ángulos iguales (\(\widehat{A_1}\) y \(\widehat{A_2}\) por ser ángulos inscritos en la circunferencia que ...

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La circunferencia

Definición La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es el radio \(r\). Ecuación general Consideramos en el plano un sistema de referencia ortonormal \(\{O\,;\,\{\textbf{i},\,\textbf{j}\}\}\) (obsérvese la figura siguiente). Si \(C(a\,,\,b)\) es el centro de la circunferencia y \(P(x\,,\,y)\), un punto cualquiera de la misma, la definición nos dice (utilizamos la distancia entre dos puntos): \[d(C\,,\,P)=r\Leftrightarrow\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\] ...

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Secciones planas de una superficie cónica

Una superficie cónica está engendrada por el giro de una recta \(g\) (llamada generatriz) alrededor de otra recta \(e\) (llamada eje) con la cual se corta en un punto \(V\) (vértice). La podemos ver representada en la siguiente figura. Si a una superficie cónica la cortamos por un plano que no pasa por el vértice, la intersección que resulta es ...

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Sobre la ecuación de tercer grado (III)

El rumor del concurso entre Tartaglia y Fiore se extendió como la pólvora, llegando a oídos de Gerolamo Cardano (1501-1576), una de las figuras más brillantes y controvertidas del siglo XVI. Cardano era hijo ilegítimo del abogado milanés Fazio Cardano. Este último asesoró a Leonardo da Vinci en geometría en diversas ocasiones y animó a su hijo a estudiar matemáticas, ...

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Sobre la ecuación de tercer grado (II)

Durante el siglo XVI resurgió en Bolonia el interés por las matemáticas. En ocasiones, matemáticos y otros eruditos se enzarzaban en debates públicos. Estas disputas atraían no sólo a profesores universitarios y jueces que se designaban para dirimir el resultado de las mismas, sino también a estudiantes, partidarios de los litigantes y espectadores que acudían a divertirse o incluso para ...

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Sobre la ecuación de tercer grado (I)

Los babilónicos, los griegos y en particular los matemáticos hindúes del siglo VII, ya sabían resolver ecuaciones de segundo grado de varios tipos. De hecho, la solución de estas ecuaciones se estudia en tercer curso de matemáticas de la educación secundaria obligatoria como parte del álgebra elemental. La forma más general de la ecuación de segundo grado es: \[ax^2+bx+c=0\ ;\ ...

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