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Archivo del Autor: Pedro Castro Ortega

Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Tanto en la educación secundaria obligatoria como en el bachillerato se habla poco de las sucesiones de números reales. Si acaso se dedica una unidad didáctica a las progresiones aritméticas y a las progresiones geométricas. Puesto que las sucesiones de números reales y, sobre todo, el concepto de convergencia para dichas sucesiones, son fundamentales para el estudio de las funciones ...

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La función de proporcionalidad inversa. La función hiperbólica. Hipérbolas

La función de proporcionalidad inversa es una función real de variable real cuya ecuación viene dada por \(f(x)=\dfrac{k}{x}\), donde \(k\) es un número real distinto de cero. La gráfica de la función de proporcionalidad inversa es una hipérbola. Es muy fácil darse cuenta de que si \(x\rightarrow\pm\infty\), entonces \(f(x)\rightarrow0\); y si \(x\rightarrow0\), entonces \(f(x)\rightarrow\pm\infty\). Es decir: \[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{k}{x}=0\quad\text{;}\quad\lim_{x\to0}\frac{k}{x}=\pm\infty\] De lo anterior ...

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Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real de variable real, así como en las operaciones con funciones, en particular de la composición de funciones y el concepto de función inversa de una función en el sentido de la composición de funciones. En este artículo hablaremos sobre funciones y ...

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Continuidad de una función en un intervalo. El teorema del valor intermedio

Ya hemos tratado en un artículo anterior el problema de la continuidad de una función. Ahora nos hemos de preguntar sobre las ventajas que, en análisis matemático, nos proporciona este hecho. Existen una serie de resultados importantes que nos dan propiedades fundamentales de las funciones continuas, sobre todo de las funciones definidas por intervalos. Lo pondremos de manifiesto en este ...

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El teorema de los ceros de Bolzano

Continuidad de una función en un punto Sabemos que una función \(f\) es continua en un punto \(x=a\) cuando se cumplen las tres condiciones siguientes: La continuidad es una propiedad local. Lo que queremos decir con esto es que para estudiar la continuidad de una función en un punto nos interesa saber lo que ocurre “en las cercanías del punto”. ...

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La regla de L’Hôpital y el cálculo de límites

La regla de L’Hôpital permite calcular límites que presentan la indeterminación “cero partido por cero”. Debemos enunciar la regla con rigor pues en ella hay que asegurarse de que las dos funciones que intervienen (la del numerador y la del denominador) son ambas derivables en un entorno del punto donde se quiere hallar el límite. Es decir, si \(f\) y ...

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Comparando infinitos. Infinitésimos equivalentes

Comparación de infinitos A veces es muy útil para el cálculo de límites, tanto en un punto como en el infinito, comparar el carácter de distintas funciones elementales conocidas con el objetivo de que el cálculo de límite sea más fácil de hacer. Normalmente, si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\pm\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\pm\infty\), se dice que \(f(x)\) es un infinito de orden superior a \(g(x)\) ...

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Resolviendo algunas indeterminaciones. Límites funcionales de interés (I)

Se ha demostrado en un artículo anterior que \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\text{e}\quad(1)\] La demostración la puedes ver aquí. Es más, en realidad se ha demostrado un resultado más general: \[f(x)\rightarrow\pm\infty\Rightarrow\left(1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\rightarrow\text{e}\quad(2)\] Si en la expresión \((2)\) hacemos el cambio de variable \(h(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) entonces, como \(f(x)\rightarrow\pm\infty\), tenemos que \(h(x)\rightarrow0\), con lo que obtenemos el siguiente resultado equivalente: \[h(x)\rightarrow0\Rightarrow\left(1+h(x)\right)^{\frac{1}{h(x)}}\rightarrow\text{e}\quad(3)\] Supongamos ahora que deseamos estudiar el carácter ...

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Intersección de una cónica y una recta

Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica. La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado. Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema ...

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La parábola

Definición Entre las muchas aplicaciones de la parábola es destacable el hecho de que la trayectoria de cualquier proyectil es parabólica. Ecuación reducida Hallaremos la ecuación de una parábola cuyo foco se encuentre en el eje de abscisas y cuya directriz sea una recta vertical a la misma distancia del origen que el foco. Como la distancia entre foco y ...

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