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Archivo del Autor: Pedro Castro Ortega

Fracciones continuas y raíces cuadradas

Rafael Bombelli, matemático italiano nacido en Bolonia, ideó un procedimiento de aproximación de raíces cuadradas expuesto en el libro I de su obra L’Álgebra parte maggiore dell’aritmetica divisa in tre libri (1572). Utilizando el simbolismo moderno, el procedimiento de Bombelli se puede esquematizar del modo siguiente: \[\sqrt{n}=\sqrt{a^2+b}=a+\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{1}{x}=\sqrt{a^2+b}-a\Rightarrow\] \[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{(\sqrt{a^2+b}-a)(\sqrt{a^2+b}+a)}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\] \[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle\left(a+\frac{1}{x}\right)+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}\] Por tanto: \[\sqrt{n}=a+\frac{1}{x}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}}=\] \[=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\ldots}}}}\] Veamos un ...

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Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparecen razones trigonométricas, cierta para cualquier valor de la variable o parte literal. Las identidades trigonométricas más conocidas son la fórmula fundamental de la trigonometría y la identidad que relaciona las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Son, respectivamente, las siguientes: \[\text{sen}^2x+\cos^2x=1\quad;\quad \text{tg}\,x=\frac{\text{sen}\,x}{\cos x}\] Las razones trigonométricas secante, ...

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Ecuaciones trigonométricas

Antes de comenzar la lectura de este artículo es conveniente tener unas nociones básicas de trigonometría. Para ello puedes leer los siguientes apuntes de trigonometría (son sólo 10 páginas). También, si quieres, puedes ver esta presentación sobre trigonometría básica. Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita está afectada por alguna razón trigonométrica o, lo que es lo ...

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Logaritmos. ¿Qué son? Definición, propiedades y ejercicios

Consideremos la ecuación \(2^x=75\). Como quiera que \(2^6=64\) y \(2^7=128\), es fácil darse cuenta de que la solución de la ecuación debe ser un número comprendido entre \(6\) y \(7\). Esto es porque, cuanto mayor es \(x\), mayor es \(2^x\) (la razón precisa que daría un matemático es que la función exponencial de base mayor que \(1\) es creciente). Por ...

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Matemática algorítmica y matemática dialéctica

Para exponer más fácilmente la diferencia de concepción y perspectiva que separa la matemática dialéctica de la algorítmica trabajaremos con un ejemplo. Supogamos que el problema que tenemos planteado sea el de obtener una solución de la ecuación \(x^2=2\). Es éste un problema pra el cual los babilonios, hacia el 1700 a. de C., habían hallado la excelente aproximación \(\sqrt{2}=1;24,51,10\) ...

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Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. Es decir, conocemos que el seno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es “cateto opuesto dividido entre hipotenusa”, el coseno del ángulo es “cateto contiguo dividido entre hipotenusa” y la tangente del ángulo es “cateto opuesto dividido entre cateto contiguo”. \[\text{sen}\,\alpha=\frac{a}{c}\quad;\quad\cos\alpha=\frac{b}{c}\quad;\quad \text{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}\] También ...

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Ecuaciones logarítmicas

En una ecuación logarítmica la incógnita está afectada por un logaritmo. Al igual que ocurría con las ecuaciones exponenciales, no hay un procedimiento concreto para resolver una ecuación logarítmica, pero debemos conocer y aplicar con criterio las propiedades de los logaritmos. En general, la estrategia para resolver ecuaciones logarítmicas consiste en transformar la ecuación hasta que los dos miembros de ...

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Ecuaciones exponenciales

Digamos que una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita se encuentra en el exponente. En general, de una un otra manera, una ecuación exponencial se puede reducir a una ecuación de la forma \[a^x=b\] donde \(a\) y \(b\) son números reales mayores que cero. La solución de la ecuación anterior se puede obtener aplicando logaritmos en los ...

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Operaciones con raíces. Radicales (2)

Instrucciones: Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Por cierto, son prácticamente idénticos a los de la relación número 1 de radicales. Repasa aquella primero, incluso con sus soluciones y observaciones. Así ...

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