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Problema de optimización 1

optimización: circunferencia y trapecio optimización: circunferencia y trapecio

Problema de optimización - Matemáticas II 

Enunciado. Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x, y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.

Indicación. Tómese cómo origen de coordenadas el centro de la circunferencia.

optimizacion01

optimizacion02

El área \(S\) del trapecio es \(S=\dfrac{(\text{base mayor}+\text{base menor})\cdot\text{altura}\ }{2}\). En este caso:

optimizacion03

Si no se conoce la fórmula del área del trapecio, también se puede obtener la expresión anterior sumando el área del rectángulo \(CBDP\) y la del triángulo \(ACP\).

Por otro lado, el triángulo \(POC\) es rectángulo, con lo que:

optimizacion04

Entonces, sustituyendo en la expresión del área del trapecio:

optimizacion05

S se puede tomar como una función "área" que depende de la coordenada \(x\) del punto \(P\) y cuyo dominio es el intervalo \([0\,,\,1]\).

Derivando:

optimizacion06

optimizacion07

Igualando la derivada a cero se obtiene el valor o valores de \(x\) para los que el área del trapecio es máxima:

optimizacion08

La solución negativa correspondería a un punto que no se encuentra sobre nuestra circunferencia, o lo que es lo mismo, no pertenece al dominio de definición de \(S\), y tendría otra interpretación.

Así pues:

optimizacion09

Por tanto el punto \(P\) es:

optimizacion10

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