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Determinantes

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En la imagen superior tienes el desarrollo de un determinante de orden tres por la regla de Sarrus.

\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})-\\ \qquad\qquad\qquad -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\]

El determinante de orden dos es muy sencillo de calcular:

\[\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} \\
a_{21} &a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

Cuando el determinante es de orden mayor que tres no queda más remedio que desarrollar por una fila o por una columna, usando la siguiente propiedad:

Si los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa fila o de esa columna.

Para usar está propiedad a veces es conveniente, y de manera previa, "hacer ceros" en casi todos los términos de la fila o de la columna por la que vayamos a desarrollar. Y en estos casos hay que utilizar con cierto ingenio el resto de las propiedades de los determinantes. Las enumeramos a continuación y después se proponen cuatro ejercicios de este tipo.

  • El determinande de una matriz es igual que el de su traspuesta: \(|A|=|A^t|\).
  • Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila o de una columna son ceros, su determinante es cero.
  • Si se permutan dos filas o dos columnas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
  • Si en una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero.
  • Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.
  • Si una matriz cuadrada tienen dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero. \[|c_1,\ldots,c_i+c_i',\ldots,c_n|=|c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n|+|c_1,\ldots,c_i',\ldots,c_n|\] Esta descomposición es válida cualesquiera sean la fila o la columna en la que se encuentren los sumandos.
  • Si denotamos por \(c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n\) a las \(n\) columnas de una matriz cuadrada de orden \(n\), tenemos:
  • Si una matriz tiene una fila o una columna que es combinación lineal de las demás filas o columnas paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente, si un determinate es cero, entonces tiene una fila (y una columna) que es combinación lienal de las demás.
  • El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\)

Obtener el valor de los siguientes determinantes usando, previamente, las propiedades de los mismos. Posteriormente puedes desarrollar por los elementos de una fila o de una columna.

a) \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{vmatrix}\)

b) \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}\)

c) \(\displaystyle \begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}\)

d) \(\displaystyle \begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}\)

a) Restando a la quinta fila la cuarta, a la cuarta la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera, resulta ser el determinande de una matriz triangular, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal (basta desarrollar por los elementos de la primera columna).

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=16\]

Restando a cada fila la siguiente y sacando factor común \(x\) de la primera fila e \(y\) de la tercera, se tiene

\[\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & x & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & y & y\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la cuarta fila la primera y desarrollando por la primera columna

\[(1)\ =x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} -x & -y & 0\\ 0 & 1 &1\\ 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot(-x)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 1-y\end{vmatrix}=\]

\[=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(1-y-1)=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(-y)=x^2\cdot y^2\]

Multiplicando la segunda y tercera filas por \(x\)

\[\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}=\frac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ x^2y & xy^2+x & xyz\\ x^2z & xyz & xz^2+x\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la segunda fila la primera multiplicada por \(y\), y restando a la tercera fila la primera multiplicada por \(x\)

\[(1)\ =\frac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ -y & x & 0\\ -z & 0 & x\end{vmatrix}=\ (2)\]

Sacando factor común \(x\) en la segunda y tercera columna y desarrollando por la regla de Sarrus

\[(2)\ =\frac{1}{x^2}\cdot x^2\cdot \begin{vmatrix} x^2+1 & y & z\\ -y & 1 & 0\\ -z & 0 & 1\end{vmatrix}=(x^2+1)-(-z^2-y^2)=x^2+y^2+z^2+1\]

Sumando las filas segunda y tercera a la primera

\[\begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x+2y & 2x+2y & 2x+2y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la segunda columna la primera y a la tercera columna la primera

\[(1)\ =2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ y & x & x-y\\ x+y & -y & -x\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix}x&x-y\\-y&-x\end{vmatrix}=\]

\[=2(x+y)\left(-x^2-(-y(x-y)\right)=2(x+y)(-x^2+xy-y^2)=\]

\[=2(-x^3+x^2y-xy^2-x^2y+xy^2-y^3)=-2(x^3+y^3)\]

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