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Examen de probabilidad, distribución normal e intervalos de confianza. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Las soluciones al final


Problema 1

De los alumnos de la modalidad de Ciencias e Ingeniería de un instituto, el 25% ha suspendido la Física, el 15% las Matemáticas y el 10% ambas asignaturas.

a) Calcular la probabilidad de que un alumno haya suspendido una de las dos asignaturas por lo menos.

b) Encontrar la probabilidad de que haya aprobado ambas asignaturas.

c) Calcular la probabilidad de que sólo haya aprobado las Matemáticas.

d) Si ha suspendido la Física, ¿cuál es la probabilidad de que haya suspendido también las Matemáticas?

e) Si ha aprobado las Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado la Física?


Problema 2

Un taller tiene distribuidos los coches en tres naves: N1, N2 y N3. En la nave N1 hay 12 coches, de los cuales 4 están averiados; en la nave N2 hay 1 coche averiado y otros 5 que no están averiados, y en la nave N3 hay 8 coches, de los cuales hay 3 averiados. Se elige una nave al azar y se saca un coche.

a) Realiza un diagrama de árbol donde se aprecie el experimento señalado con los posibles sucesos y sus probabilidades.

b) Hallar la probabilidad de que el coche que se ha sacado esté averiado.

c) Supongamos que el coche que se ha sacado no está averiado. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la nave N3?


Problema 3

Para aprobar cierta oposición del ministerio de las administraciones públicas se necesita obtener un mínimo de 100 puntos. Para obtener una plaza fija en tal ministerio se necesitan como mínimo 125 puntos. Se sabe que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución normal de media 110 y desviación típica 15.

a) ¿Qué probabilidad tiene un opositor elegido al azar de haber aprobado?

b) ¿Y de obtener una plaza fija?

c) ¿Y de aprobar pero no de obtener plaza fija?

d) ¿Qué porcentaje de opositores obtienen menos de 90 puntos?

e) Si sabemos que hay 1000 opositores y sólo 300 plazas, ¿qué puntuación mínima debería exigirse para ajustar el número de aprobados al de plazas existentes?


Problema 4

La dirección de un centro de secundaria ha establecido que la media de horas semanales dedicadas al estudio es 15 o más, con una desviación típica igual a 1 hora. Durante el presente curso, el Departamento de Matemáticas quiere demostrar que esta media ha disminuido. Para ello, elige una muestra aleatoria de 150 alumnos, obteniendo una media muestral de 12,7 horas.

a) Halla un intervalo, al 92% de confianza, para la media de horas semanales dedicadas al estudio.

b) ¿Puede afirmarse, con el mismo nivel de confianza anterior, que ha disminuido el tiempo medio dedicado al estudio por los alumnos y alumnas del centro? Razona la respuesta.

c) Si aceptamos un error de un cuarto de hora con una confianza del 98%, ¿a cuántos estudiantes es necesario entrevistar?


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Examen de distribuciones binomial y normal e intervalos de confianza. Matemáticas aplicadas a las CCSS II

Las soluciones al final


Problema 1

Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o falso:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte 4?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte dos o menos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte seis o más?

d) ¿Cuánto valen la media y la varianza del número de preguntas acertadas?

e) ¿Sería válido contestar a las preguntas anteriores aproximando por una normal? Explica por qué.


Problema 2

Un examen se califica entre 0 y 10. Tales calificaciones siguen una distribución Normal de media 5,6 y desviación típica 0,8. Elegido un alumno al azar, hallar la probabilidad de que:

a) Obtenga una puntuación igual o inferior a 4.

b) Apruebe, es decir, obtenga un 5 o más.

c) Obtenga notable o sobresaliente, es decir, un 7 o más.

d) Obtenga muy deficiente, es decir, un 2 o menos.

e) Supongamos que superan el examen solamente el 10% de los alumnos. Entonces el aprobado no será a partir exactamente de 5. ¿A partir de qué calificación tendría que aprobar a un alumno?


Problema 3

Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador de transporte público. Se toma para ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros.

a) Con un nivel de confianza del 90%, determina el intervalo de confianza para el sueldo medio de un trabajador del transporte público.

b) Con el mismo nivel de confianza que en el apartado anterior, ¿cómo procederías para hacer que la amplitud del intervalo de confianza fuera menor y, por tanto, la estimación más fiable?

c) Si se quiere que el error máximo de estimación sea de 10 euros, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%.


Problema 4

Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95 % de una variable es (6,66, 8,34). Calcula la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener el intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3.


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