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El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

Un problema relativo a velocidad

Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza de la gravedad no actuara en él, el proyectil continuaría subiendo a velocidad constante, recorriendo una distancia de \(45\) metros cada segundo, y en el tiempo \(t\) se tendría \(f(t)=45t\). Pero a causa de la gravedad, el proyectil va retardándose hasta que su velocidad llega a valer cero, y a partir de ese momento cae al suelo. Experiencias físicas indican que mientras el proyectil está en movimiento su altura \(f(t)\) viene dada aproximadamente por la fórmula

\[f(t)=45t-5t^2\qquad(1)\]

El término \(-5t^2\) es debido a la influencia de la gravedad. Obsérvese que \(f(t)=0\) cuando \(t=0\) y \(t=9\); o sea, que el proyectil regresa a la tierra después de \(9\) segundos, por lo que la fórmula anterior sólo es válida para \(0\leqslant t\leqslant9\).

El problema a considerar es el siguiente: Determinar la velocidad del proyectil en cada instante de su movimiento. Para poder comprender este problema, hay que precisar lo que se entiende por velocidad en cada instante. Para ello, se introduce la noción de velocidad media durante un intervalo de tiempo, es decir, desde el instante \(t\) al \(t+h\), definiéndola como el cociente:

\[\frac{\text{diferencia de distancias en el intervalo de tiempo}}{\text{intervalo de tiempo}}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\]

Este cociente, llamado cociente incremental, es un número que se puede calcular siempre que \(t\) y \(t+h\) pertenezcan ambos al intervalo \([0,9]\). El número \(h\) puede ser positivo o negativo, pero no cero. Se dejará fijo \(t\) y se estudiará lo que le ocurre al cociente incremental, cuando se dan a \(h\) valores cada vez menores en valor absoluto.

Por ejemplo, considérese el instante \(t=2\). La distancia recorrida después de \(2\) segundo es:

\[f(2)=90-20=70\]

En el tiempo \(t=2+h\) la distancia recorrida es:

\[f(2+h)=45(2+h)-5(2+h)^2=70+25h-5h^2\]

Por tanto, la velocidad media en el intervalo entre \(t=2\) y \(t=2+h\) es

\[\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{25h-5h^2}{h}=25-5h\]

Tomando valores de \(h\) cada vez más pequeños en valor absoluto, esta velocidad media se acerca más y más a \(25\). Por ejemplo, si \(h=0,1\) la velocidad media es \(24,5\); si \(h=0,001\), es \(24,995\); si \(h=0,00001\), se obtiene el valor \(24,99995\), y cuando \(h=-0,00001\) se obtiene \(25,00005\). Lo importante es que se puede obtener la velocidad media tan próxima a \(25\) como se desee, si más que tomar \(|h|\) suficientemente pequeño. Se describe este hecho diciendo que la velocidad media tiende al límite \(25\) cuando \(h\) tiende a cero. Parece natural llamar al valor de este límite la velocidad instantánea en el instante \(t=2\).

Los mismos cálculos se pueden efectuar para cualquier otro instante. La velocidad media en un intervalo arbitrario entre \(t\) y \(t+h\) está dado por el cociente:

\[\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{(45(t+h)-5(t+h)^2)-(45t-5t^2)}{h}=45-10t-5h\]

Cuando \(h\) tiende a cero, la expresión de la derecha tiende al límite \(45-10t\) que define la velocidad instantánea en el instante \(t\). Designando la velocidad instantánea por \(v(t)\) se tiene

\[v(t)=45-10t\qquad(2)\]

La fórmula \((1)\) del espacio \(f(t)\), define una función \(f\) que indica la altura a que se encuentra el proyectil en cada instante de su movimiento; \(f\) se denomina función posición o ley de espacios. Su dominio es el intervalo cerrado \([0,9]\) y su gráfica es la siguiente:

grafica espacio 01

La fórmula \((2)\) de la velocidad \(v(t)\) define una nueva función \(v\) que indica la rapidez con que se mueve el proyectil en cada instante de su movimiento, se denomina función velocidad y su gráfica la tienes a continuación.

grafica velocidad 01

Obsérvese que, al crecer \(t\) de \(0\) a \(9\), \(v(t)\) decrece constantemente de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\). Para hallar el instante \(t\) en el cual \(v(t)=0\) se resuelve la ecuación \(45-10t=0\) obteniéndose \(t=\frac{9}{2}\). Por tanto, en el punto central del movimiento la influencia de la gravedad reduce la velocidad a cero y el proyectil queda instantáneamente fijo. La altura en este instante es \(f(\frac{9}{2})=101,25\). Si \(t>\frac{9}{2}\), la velocidad es negativa y la altura decrece.

El proceso por el cual se obtiene \(v(t)\) a partir del cociente incremental se denomina "hallar el límite cuando \(h\) tiende a cero", y se expresa simbólicamente como sigue:

\[v(t)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\qquad(3)\]

Esta expresión usada para definir la velocidad, en el ejemplo anterior, tiene un sentido más amplio y permite definir la velocidad en movimientos a lo largo de una línea recta, cuando se conozca la función de posición \(f\), y siempre que el cociente incremental tienda a un límite cuando \(h\) tiende a cero.

Derivada de una función

El ejemplo expuesto en el apartado anterior señala el camino para introducir el concepto de derivada. Sea \(f\) una función definida por lo menos en un intervalo abierto \((a,b)\) del eje \(X\). Se elige un punto \(x\) en este intervalo y se forma el cociente de diferencias

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

donde el número \(h\) puede ser positivo o negativo (pero no cero), y tal que \(x+h\) pertenezca también a \((a,b)\). El numerador de este cociente mide la variación de la función cuando \(x\) varía de \(x\) a \(x+h\). El cociente representa la variación media de \(f\) en el intervalo que une \(x\) a \(x+h\).

Seguidamente se hace tender \(h\) a cero y se estudia lo que le ocurre a ese cociente. Si tiende hacia un cierto valor como límite (y será el mismo, tanto si \(h\) tiende a cero con valores positivos como negativos), entonces ese límite se denomina derivada de \(f\) en \(x\) y se indica por el símbolo \(f'(x)\). Por tanto, la definición formal de \(f'(x)\) puede establecerse del siguiente modo.

Definición de derivada.

La derivada \(f'(x)\) está definida por la igualdad

\[f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\qquad(4)\]

con tal que el límite exista. El número \(f'(x)\) también se denomina coeficiente de variación de \(f\) en \(x\).

Comparando la igualdad \((4)\) con la igualdad \((3)\) se ve que el concepto de velocidad instantánea es simplemente un ejemplo del concepto de derivada. La velocidad \(v(t)\) es igual a la derivada \(f'(t)\) cuando \(f\) es la ley de espacios; lo que frecuentemente se expresa diciendo que la velocidad es la relación entre la variación del espacio y la del tiempo. Ya hemos visto en el apartado anterior que la ley de espacios está dada por la ecuación \(f(t)=45t-t^2\), y su derivada \(f'\) es una nueva función (velocidad) dada por \(f'(t)=45-10t\).

En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene \(f'(x)\) a partir de \(f(x)\), abre un camino para obtener una nueva función \(f'\) a partir de una función dada \(f\). Este proceso se denomina derivación, y \(f'\) es la primera derivada de \(f\). Si \(f'\) a su vez está definida en un intervalo abierto, se puede también calcular su primera derivada, indicada por \(f''\) y que es la segunda derivada de \(f\). Análogamente, la derivada \(n\)-sima de \(f\), que se indica por \(f^{(n)}\), se define como la derivada primera de \(f^{(n-1)}\). Convendremos en que \(f^{(0)}=f\), esto es, la derivada de orden cero es la misma función.

En el caso del movimiento rectilíneo, la primera derivada de la velocidad (segunda derivada del espacio) se denomina aceleración. Por ejemplo, para calcular la aceleración en el ejemplo del apartado anterior, se puede utilizar la ecuación \((2)\) para formar el cociente de diferencias

\[\frac{v(t+h)-v(t)}{h}=\frac{(45-10(t+h))-(45-10t)}{h}=\frac{-10h}{h}=-10\]

Como este cociente no varía al tender \(h\) a \(0\), se puede considerar que tiende a \(-10\) (puesto que es \(-10\) cuando \(h\) está próximo a \(0\)). Se concluye pues que la aceleración en este problema es constante e igual a \(-10\), lo que indica que la velocidad decrece a una razón de \(10\) metros por segundo cada segundo. En \(9\) segundos el decrecimiento total de la velocidad es \(9\cdot10=90\) metros por segundo, que está de acuerdo con el hecho de que durante los \(9\) segundos de movimiento la velocidad cambie de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\).

Ejemplos de derivadas

EJEMPLO 1. Derivada de la función constante. Supongamos que \(f\) es una función constante: sea por ejemplo \(f(x)=k\), para todo \(x\). El cociente de diferencias es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0\]

Puesto que el cociente es \(0\) para todo \(x\), su límite cuando \(h\) tiende a cero, \(f'(x)\), es también \(0\) para todo \(x\). Dicho de otro modo, una función constante tiene derivada nula para todo \(x\).

EJEMPLO 2. Derivada de la función lineal. Sea \(f\) una función lineal, por ejemplo \(f(x)=mx+n\) para todo real \(x\). Si \(h\neq0\), tenemos

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{m(x+h)+b-(mx+b)}{h}=\frac{mh}{h}=m\]

Como que el cociente de diferencias no cambia cuando \(h\) tiende a \(0\), resulta que \(f'(x)=m\), para cada \(x\). Así que, la derivada de una función lineal es una función constante.

EJEMPLO 3. Derivada de una función potencial de exponente entero positivo. Consideremos el caso \(f(x)=x^n\), siendo \(n\) un entero positivo. El cociente de diferencias es ahora

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\]

En álgebra elemental se tiene la igualdad (¡compruébese!)

\[a^n-b^n=(a-b)\left(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\ldots+a^{n-2}b+a^{n-1}\right)\]

Es conveniente observar que el segundo paréntesis del segundo miembro tiene \(n\) sumandos. Si en la igualdad anterior se toma \(a=x+h\) y \(b=x\), la identidad se transforma en:

\[(x+h)^n-x^n=h\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\right)\]

Si dividimos entre \(h\) los dos miembros de la igualdad tenemos:

\[\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\]

Insistimos en que en la suma del segundo miembro hay \(n\) términos. Cuando \(h\) tiende a \(0\) tenemos:

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\right)=\]

\[=x^{n-1}+x\cdot x^{n-2}+x^2\cdot x^{n-3}+\ldots+x^{n-2}\cdot x+x^{n-1}=x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\ldots n\text{ veces}\ldots+x^{n-1}\]

Por tanto, la suma de los últimos \(n\) términos es \(nx^{n-1}\). En definitiva: \(f'(x)=nx^{n-1}\), para todo \(x\).

EJEMPLO 4. Derivada de la función seno. Sea \(f(x)=\text{sen}\,x\). El cociente de diferencias es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}\,x}{h}\]

Para transformarlo de modo que haga posible calcular el límite cuando \(h\rightarrow0\), utilizamos la identidad trigonométrica

\[\text{sen}\,A-\text{sen}\,B=2\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\]

Poniendo \(A=x+h\) y \(B=x\) tenemos

\[\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}\,x}{h}=\frac{2\,\text{sen}\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}}{h}=\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\]

Cuando \(h\rightarrow0\), el factor \(\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\rightarrow\cos x\) por la continuidad del coseno. Asimismo, el siguiente límite

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\]

(ver gráfica de la función \(\frac{\text{sen}\,x}{x}\), la cual tienes a continuación), demuestra que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1\]

grafica senx partido x

Por lo tanto el cociente de diferencias tiene como límite \(\cos x\) cuando \(h\rightarrow0\). Dicho de otro modo, \(f'(x)=\cos x\) para todo \(x\), es decir, la derivada de la función seno es el coseno.

EJEMPLO 5. Derivada de la función coseno. Sea \(f(x)=\cos x\). Demostraremos que \(f'(x)=-\text{sen}\,x\), esto es, que la derivada de la función coseno es menos la función seno. Hemos de partir ahora de la identidad trigonométrica siguiente:

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\text{sen}\frac{A+B}{2}\]

Pongamos \(A=x+h\) y \(B=x\). De manera similar a como se ha procedido en el ejemplo anterior, esto nos conduce a la fórmula

\[\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=-\frac{2\,\text{sen}\frac{h}{2}\text{sen}\frac{2x+h}{2}}{h}=-\frac{\text{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\text{sen}\left(x+\frac{h}{2}\right)\]

La continuidad de la función seno demuestra que \(\text{sen}(x+\frac{h}{2})\rightarrow\text{sen}\,x\) cuando \(h\rightarrow0\). Además, recordemos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\). Por tanto \(f'(x)=-\text{sen}\,x\).

EJEMPLO 6. Derivada de la función raíz n-sima. Si \(n\) es un entero positivo, sea \(f(x)=x^{1/n}\) para \(x>0\). El cociente de diferencias para \(f\) es

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{1/n}-x^{1/n}}{h}\]

Pongamos \(u=(x+h)^{1/n}\) y \(v=x^{1/n}\). Tenemos entonces \(u^n=x+h\) y \(v^n=x\), con lo que \(h=u^n-v^n\), y el cociente de diferencias toma la forma (ver ejemplo 3)

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{u-v}{u^n-v^n}=\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\ldots+uv^{n-2}+v^{n-1}}\]

La continuidad de la función raíz \(n\)-sima prueba que \(u\rightarrow v\) cuando \(h\rightarrow0\). Por consiguiente, cada término del denominador del miembro de la derecha tiene límite \(v^{n-1}\) cuando \(h\rightarrow0\). En total hay \(n\) términos, con lo que el cociente de diferencias tiene como límite \(\frac{1}{nv^{n-1}}=\frac{v^{1-n}}{n}\). Puesto que \(v=x^{1/n}\), esto demuestra que

\[f'(x)=\frac{x^{(1/n)(1-n)}}{n}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}\]

EJEMPLO 7. Continuidad de las funciones que admiten derivadas. Si una función \(f\) tiene derivada en un punto \(x\), es también continua en \(x\). Para demostrarlo, empleamos la identidad

\[f(x+h)=f(x)+h\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\]

que es válida para \(h\neq0\). Si hacemos que \(h\rightarrow0\), el cociente de diferencias del segundo miembro tiende a \(f'(x)\) y, puesto que este cociente está multiplicado por un factor que tiende hacia \(0\), el segundo término del segundo miembro tiende a \(0\). Esto demuestra que \(f(x+h)\rightarrow f(x)\) cuando \(h\rightarrow0\), y por tanto que \(f\) es continua en \(x\) (obsérvese que esto es lo mismo que decir, haciendo un adecuado cambio de variable, que \(f(x)\rightarrow f(a)\) cuando \(x\rightarrow a\)).

Este último ejemplo proporciona un nuevo procedimiento para probar la continuidad de las funciones. Cada vez que establecemos la existencia de una derivada \(f'(x)\), establecemos también, al mismo tiempo, la continuidad de \(f\) en \(x\). Debería observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La continuidad en \(x\) no implica necesariamente la existencia de la derivada \(f'(x)\). Por ejemplo, cuando \(f(x)=|x|\), el punto \(x=0\) es de continuidad de \(f\) (ya que \(f(x)\rightarrow f(0)=0\) cuando \(x\rightarrow0\)), pero no existe derivada en \(0\). El cociente de diferencias \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) es igual a \(\frac{|h|}{h}\). Éste vale \(1\) si \(h>0\) y \(-1\) si \(h<0\), y por consiguiente no tiene límite cuando \(h\rightarrow0\).

grafica valor absoluto

Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Movimiento en un plano vertical

Aceleración de la gravedad

Todos los cuerpos en caída libre cerca de la superficie terrestre, tienen una misma aceleración dirigida hacia el centro de la tierra, de magnitud

\[g=9,8\ \text{m/s}^2\]

Un cuerpo que cae en el vacío partiendo del reposo tiene una velocidad de \(9,8\ \text{m/s}\) al final del primer segundo, \(19,6\ \text{m/s}\) al final del siguiente segundo, y así sucesivamente. La rapidez de un cuerpo es mayor cuanto mayor es la distancia que ha descendido.

Un cuerpo en caída libre tiene la misma aceleración hacia abajo bien sea que parta del reposo, o posea inicialmente una velocidad en cualquier dirección.

La presencia del aire afecta el movimiento de los cuerpos que caen, en parte por el empuje y en parte por la resistencia del aire. Así en general, dos objetos diferentes que caen en el aire desde la misma altura no llegarán a tierra exactamente en el mismo tiempo. Debido a que la resistencia del aire aumenta con la velocidad, un cuerpo que cae alcanza finalmente una velocidad terminal que depende de su masa, tamaño y forma, y continuaría cayendo sin aumentar su velocidad.

Caída libre de los cuerpos

Cuando el empuje y la resistencia del aire pueden despreciarse, un cuerpo cae con la aceleración constante \(g\), y se pueden aplicar las fórmulas para movimiento uniformemente acelerado. Así, un cuerpo que se deja caer a partir del reposo tiene, despues de un tiempo \(t\), una velocidad

\[v=gt\]

y ha recorrrido una distancia vertical de

\[h=\frac{1}{2}gt^2\]

De la última ecuación vemos que

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

y, por consiguiente, la velocidad de un cuerpo y la distancia que ha recorrido en su caída mantienen la relación \(v=gt\), o

\[v=\sqrt{2gh}\]

Para que un cuerpo lanzado hacia arriba alcance una cierta altura \(h\), debe tener una velocidad inicial igual a la velocidad final de un cuerpo que cae desde esa altura, a saber, \(v=\sqrt{2gh}\).

Movimiento de proyectiles

En ausencia de resistencia del aire, un proyectil lanzado con una velocidad inicial \(v_0\) formando un ángulo \(\theta\) con la horizontal tiene un alcance de

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta\]

El tiempo de vuelo es

\[T=\frac{2v_0\text{sen}\,\theta}{g}\]

En este artículo sobre usos de la trigonometría se puede ver la deducción de las fórmulas anteriores. Veamos algunos ejemplos de las situaciones descritas.

Problemas resueltos

Problema 1

Desde un puente se deja caer una piedra que golpea el agua \(2,5\) segundos más tarde. Hallar su velocidad final en metros por segundo y la altura del puente.


\[v=gt=9,8\cdot2,5=24,5\,\text{m/s}\]

\[h=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot9,8\cdot2,5^2=30,6\,\text{m}\]

Problema 2

Se deja caer un balón desde una ventana que se encuentra a \(19,6\) metros del piso. Determinar el tiempo que tarda en llegar al piso y su velocidad final.


Puesto que \(h=\dfrac{1}{2}gt^2\)

\[t=\sqrt{\frac{2g}{h}}=\sqrt{\frac{2\cdot19,6}{9,8}}=\sqrt{4}=2\,\text{s}\]

\[v=gt=9,8\cdot2=19,6\,\text{m/s}\]

Problema 3

¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse hacia arriba un balón para que alcance una altura de 30 metros?


La velocidad inicial del balón debe ser igual a la velocidad que tendría después de haber descendido en caída libre desde la misma altura. Entonces

\[\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9,8\cdot30}=\sqrt{588}=24,2\text{m/s}\]

Problema 4

Un balón se lanza hacia abajo con una velociad inicial de \(6\) metros por segundo. Determinar su velocidad al cabo de \(2\) segundos, y la distancia que recorre en esos \(2\) primeros segundos.


\[v=v_0+gt=6+9,8\cdot2=6+19,6=25,6\,\text{m/s}\]

\[s=v_0t+\frac{1}{2}gt^2=6\cdot2+\frac{1}{2}\cdot9,8\cdot2^2=12+19,6=31,6\,\text{m}\]

Problema 5

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de \(6\) metros por segundo. Averiguar la magnitud y dirección de su velocidad al cabo de medio segundo, y la magnitud y dirección de su velocidad \(2\) segundos después del lanzamiento.


Consideramos la dirección haci arriba positiva (\(+\)), y hacia abajo negativa (\(-\)). Por tanto \(v_0=+6\,\text{m/s}\) y \(g=-9,8\,\text{m/s}^2\), de modo que

\[v=v_0+gt=6-9,8\cdot0,5=6-4,9=1,1\,\text{m/s}\]

que es positiva y por consiguiente está dirigida hacia arriba. Después de \(2\) segundos

\[v=v_0+gt=6-9,8\cdot2=6-19,6=-13,6\,\text{m/s}\]

que es negativa y por consiguiente está dirigida hacia abajo.

Problema 6

Un hombre se encuentra en un ascensor cerrado sin indicador de pisos y no sabe si el ascensor está parado, si sube o baja a velocidad constante. Intenta averiguarlo dejando caer desde una altura de \(1,80\) metros una moneda y midiendo el tiempo de caída con un cronómetro. ¿Qué tiempo mediría en cada caso?


Puesto que la moneda en el momento en que se suelta tiene exactamente la misma velocidad que el ascensor, este experimento daría el mismo tiempo de caída en cada caso, a saber

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot1,8}{9,8}}=\sqrt{0,367}=0,61\,\text{s}\]

Sin embargo, si el ascensor estuviera subiendo o bajando aceleradamente, el tiempo de caída sería respectivamente menor o mayor que éste.

Problema 7

Un avión que vuela horizontalmente a \(1500\) metros de altura, con una velocidad de \(500\) kilómetros por hora, deja caer una bomba. ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra? ¿Qué distancia horizontal recorre la bomba durante su caída? ¿Cuál será su velocidad en el momento del impacto?


La velocidad horizontal de la bomba no afecta a su movimiento vertical (ver figura). La boma entonces llega a tierra en el mismo tiempo que una bomba que se deja caer a partir del reposo desde una altura de \(1500\) metros, es decir, después de un tiempo

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot1500}{9,8}}=\sqrt{306,12}=17,5\,\text{s}\]

movimiento plano vertical

La componente horizontal de la velocidad es, en metros por segundo

\[v_x=500\,\text{km/h}\cdot\frac{1000\,\text{m/km}}{3600\,\text{s/h}}=138,8\,\text{m/s}\]

En el tiempo \(t=17,5\,\text{s}\), la bomba recorrerá una distancia horizontal

\[s=v_0t=138,9\cdot17,5=2430,75\,\text{m}\]

La velocidad final de la bomba tiene la componente horizontal \(v_x=138,9\,\text{m/s}\), y la componente vertical

\[v_y=gt=9,8\cdot17,5=171,5\,\text{m/s}\]

Entonces la magnitud de la velocidad final es

\[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{138,9^2+171,5^2}=220,7\,\text{m/s}\]

Problema 8

Un futbolista lanza el balón con una velocidad de \(10\,\text{m/s}\) y un ángulo de \(30^\text{o}\) sobre la horizontal. ¿A qué distancia debe colocarse el jugador que va a recibirla? Determinar el tiempo de vuelo.


La distancia es, según hemos visto en las fórmulas anteriores:

\[R=\dfrac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta=\dfrac{10^2}{9,8}\text{sen}\,60^\text{o}=8,84\,\text{m}\]

Y el tiempo de vuelo es:

\[T=\frac{2v_0\text{sen}\,\theta}{g}=\frac{2\cdot10\cdot\text{sen}\,30^\text{o}}{9,8}=1,02\,\text{s}\]

Problema 9

Se dispara un rifle de juguete con un ángulo de \(60^\text{o}\) sobre la horizontal. Si la velocidad inicial de la bala es de \(12\,\text{m/s}\), ¿qué distancia horizontal recorrerá? ¿Cuál es su tiempo de vuelo?


Este problema es prácticamente idéntico al anterior.

La distancia horizontal que recorrerá es:

\[R=\dfrac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta=\dfrac{12^2}{9,8}\text{sen}\,120^\text{o}=12,73\,\text{m}\]

Y el tiempo de vuelo es:

\[T=\frac{2v_0\text{sen}\,\theta}{g}=\frac{2\cdot12\cdot\text{sen}\,60^\text{o}}{9,8}=2,12\,\text{s}\]

Problema 10

Encontrar el ángulo de tiro de un proyectil para que su alcance sea máximo.


El alcance de un proyectil está dado por

\[R=\dfrac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta\]

El mayor valor que puede tener la función seno es \(1\). Puesto que \(\text{sen}\,90^\text{o}=1\), el alcance máximo se consigue cuando \(2\theta=90^\text{o}\), es decir, cuando \(\theta=45^\text{o}\). En este caso

\[R_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{g}\]

Problema 11

Determinar la mínima velocidad inicial que debe tener un proyectil para alcanzar un blanco colocado a \(160\,\text{km}\) del lugar de lanzamiento.


El alcance máximo de un proyectil de velocidad inicial \(v_0\) hemos visto que es \(R=\dfrac{v_0^2}{g}\). Despejando \(v_0\), tenemos \(v_0=\sqrt{Rg}\). Pasando los kilométros a metros del alcance, \(R=160\,\text{km}=160000\,\text{m}\), y aplicando la fórmula anterior, tenemos:

\[v_0=\sqrt{Rg}=\sqrt{160000\cdot9,8}=1252,2\,\text{m/s}\]

La velocidad anterior equivale, en kilómetros por hora, a (recuérdese que para pasar de metros por segundo a kilómetros por hora basta multiplicar por \(3600\) y dividir entre \(1000\)):

\[v_0=1252,2\cdot\frac{3600}{1000}=4507,92\,\text{km/h}\]

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Usos de la trigonometría (I). Movimiento con aceleración constante. Movimiento de proyectiles.

Un caso especial del movimiento en dos o tres dimensiones se presenta cuando la aceleración es constante tanto en módulo como en dirección y sentido. Un ejemplo de movimiento con aceleración constante es el de un proyectil lanzado cerca de la superficie de la Tierra si puede despreciarse el rozamiento del aire.

Sea \(\vec{a}\) el vector aceleración instantánea, que es constante. Las ecuaciones para los vectores velocidad y posición \(\vec{v}\) y \(\vec{r}\) son generalización de las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme (en una dimensión). 

\[\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t\]

\[\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\]

\[\vec{v_m}=\frac{1}{2}(\vec{v_0}+\vec{v})\]

\(\vec{v_0}\) es la velocidad inicial y \(\vec{r_0}\) es el vector posición inicial. La velocidad media \(\vec{v_m}\) es, naturalmente, la media aritmética entre la velocidad inicial y la velocidad en el instante \(t\).

movimiento-proyectiles-02

En la figura anterior se muestra la relación entre el vector desplazamiento \(\vec{r}-\vec{r_0}\), la velocidad inicial \(\vec{v_0}\), y la aceleración \(\vec{a}\). Como se puede apreciar, el desplazamiento en un instante cualquiera \(t\) está contenido en el plano formado por los vectores \(\vec{v_0}\) y \(\vec{a}\). Por tanto, el movimiento es bidimensional. Admitamos pues que la posición inicial de la partícula está contenida en el plano \(xy\). El movimiento tiene lugar entonces en dicho plano. Los componentes \(x\) e \(y\) de las dos primeras ecuaciones anteriores son:

\[v_x=v_{0x}+a_xt\quad\text{;}\quad x=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_xt^2\]

\[v_y=v_{0y}+a_yt\quad\text{;}\quad y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a_yt^2\]

Insistimos en que, cuando la aceleración es constante, el movimiento tiene lugar en un plano y los movimientos \(x\) e \(y\) pueden describirse separadamente mediante ecuaciones idénticas a las correspondientes al movimiento rectilíneo (en una dimensión) con aceleración constante.

Vamos a aplicar ahora estos resultados al movimiento de un proyectil, es decir, a cualquier objeto lanzado al aire y al que se le permite moverse libremente. El estudio del movimiento general de proyectiles es complicado debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la Tierra y las variaciones en la aceleración de la gravedad. Para mayor simplicidad, despreciaremos estos factores. De esta forma puede considerarse que el proyectil posee una aceleración constante dirigida verticalmente hacia abajo y cuya magnitud es \(g=9,81 \text{m/s}^2\). Si escogemos el eje \(y\) como el vertical y con su sentido positivo hacia arriba y el eje \(x\) como horizontal en el sentido de la componente horizontal de la velocidad original del proyectil, tenemos para la aceleración:

\[a_y=-g\quad\text{;}\quad a_x=0\]

Como la aceleración horizontal es nula, la componente horizontal de la velocidad es constante. Por otro lado, el movimineto vertical es un movimiento simple con aceleración constante. Eligiendo como origen la posición inicial del proyectil, las componentes de la velocidad y la posición vienen dadas por:

\[v_x=v_{0x}\quad\text{;}\quad v_y=v_{0y}-gt\]

\[x=v_{0x}t\quad\text{;}\quad y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\]

movimiento-proyectiles-03 

Como se indica en la figura anterior, si el vector velocidad inicial \(v_0\) forma un ángulo \(\theta_0\) con el eje horizontal, las componentes de la velocidad son (y aquí viene el uso de la trigonometría):

 \[\text{cos}\,\theta_0=\frac{v_{0x}}{v_0}\Rightarrow v_{0x}=v_0\cdot\text{cos}\,\theta_0\quad\text{;}\quad\text{sen}\,\theta_0=\frac{v_{0y}}{v_0}\Rightarrow v_{0y}=v_0\cdot\text{sen}\,\theta_0\]

Ejemplo

Se lanza una pelota al aire con velocidad inicial de \(50\ \text{m/s}\) formando un ángulo de \(37^{\text{o}}\) con la horizontal. Utilizando la aproximación \(g=10\ \text{m/s}^2\), hallar el tiempo total que la pelota está en el aire y la distancia horizontal recorrida.


 Las componentes del vector velocidad inicial son:

\[v_{0x}=50\cdot\text{cos}\,37^{\text{o}}\approx40\ \text{m/s}\]

\[v_{0y}=50\cdot\text{sen}\,37^{\text{o}}\approx30\ \text{m/s}\]

Como durante cada segundo el proyectil se desplaza \(40\) metros horizontalmente, podemos representar este esquema de modo que aparezca \(y\) en función de \(x\) cambiando la escala, pasando de una escala de tiempo a otra escala de distancia multiplicando los valores de tiempo por \(40\ \text{m/s}\).

 movimiento-proyectiles-04

La curva \(y\) en función de \(x\) es una parábola. El tiempo total que el proyectil está en el aire es el doble del tiempo que tarda en alcanzar su punto más alto. Este tiempo se obtiene a partir de \(v_y=v_{0y}-gt=30-10t\), y de esta ecuación puede despejarse \(t\) para el instante en que \(v_y\) es cero (cuando la pelota está en el punto más alto): \(0=30-10t\Rightarrow t=3\ \text{s}\). Por tanto, el tiempo total que el proyectil permanece en el aire es de \(6\ \text{s}\). Como se desplaza horizontalmente con velocidad constante de \(40\ \text{m/s}\), la distancia total recorrida es \(40\cdot6=240\ \text{m}\). Esta distancia se denomina alcance de un proyectil.

Podemos aplicar estos métodos para hallar el alcance \(R\) en el caso de una velocidad inicial \(v_0\) y un ángulo inicial \(\theta_0\) generales. El tiempo que se tarda en alcanzar el punto más elevado se halla haciendo \(v_y=0\). Sustituyendo en la ecuación \(v_y=v_{0y}-gt\):

\[0=v_{0y}-gt\Rightarrow gt=v_{0y}\Rightarrow t=\frac{v_{0y}}{g}\]

El alcance es, por tanto, la distancia horizontal recorrida en el doble de este tiempo. Sustituyendo en \(x=v_{0x}t\):

\[R=v_{0x}\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}\]

En función de la velocidad inicial \(v_0\) y del ángulo \(\theta_0\), el alcance es:

\[R=\frac{2(v_0\cdot\text{cos}\,\theta_0)(v_0\cdot\text{sen}\,\theta_0)}{g}=\frac{v_0^2}{g}(2\text{sen}\,\theta_0\text{cos}\,\theta_0)\]

Utilizando la fórmula del seno del ángulo doble \(2\text{sen}\,\theta_0\text{cos}\,\theta_0=\text{sen}\,2\theta_0\), tenemos finalmente que

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta_0\]

En el caso del ejemplo anterior:

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta_0=\frac{50^2}{10}\text{sen}\,(2\cdot37^{\text{o}})=250\cdot\text{sen}\,74^{\text{o}}=250\cdot0,96\approx240\ \text{m.}\]

El alcance máximo se obtiene cuando \(\text{sen}\,2\theta_0=1\), es decir, cuando \(2\theta=90^{\text{o}}\Rightarrow\theta=45^{\text{o}}\). Esto es tanto como decir que se obtiene un alcance máximo cuando ambas componentes de la velocidad, \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\), son iguales.

La ecuación general para la trayectoria \(y(x)\) puede obtenerse a partir de las ecuaciones \(x=v_{0x}t\), \(y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\), eliminando la variable \(t\) entre ambas. De la primera de ellas se tiene que \(t=\dfrac{x}{v_{0x}}\) y sustituyendo en la segunda:

\[y=v_{0y}\frac{x}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2\Rightarrow y=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x-\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2\]

En el caso del ejemplo anterior, la ecuación general de la trayectoria es:

\[y=\frac{30}{40}x-\frac{10}{2\cdot40^2}x^2=-\frac{10}{3200}x^2+\frac{30}{40}x=-\frac{1}{320}x^2+\frac{3}{4}x\]

Observa que la ecuación anterior es la de una parábola que se abre hacia abajo (justamente la representada más arriba) cuya coordenada \(x\) del vértice es:

\[x=\frac{-\frac{3}{4}}{2\left(-\frac{1}{320}\right)}=\frac{960}{8}=120\]

Lo que indica que, a mitad de recorrido, la pelota ha recorrido ya, horizontalmente, \(120\ \text{m}\). Por tanto recorrerá en total \(240\ \text{m}\). Se obtiene así otra forma de calcular el alcance máximo de la pelota.

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Problemas de móviles

Consideraciones previas

La velocidad, el espacio y el tiempo son tres magnitudes físicas relacionadas entre sí. Llamaremos \(v\) a la velocidad, \(s\) al espacio y \(t\) al tiempo. Consideraremos que los móviles se mueven en línea recta y a velocidad constante en todo el trayecto que estén llevando a cabo (esto es lo que se llama movimiento rectilíneo y uniforme).

La velocidad del móvil es la razón entre el espacio y el tiempo: \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\). Por ejemplo, si recorro \(200\ \text{km.}\) en \(5\ \text{h.}\) la velocidad es \(\displaystyle v=\frac{s}{t}=\frac{200}{5}=40\ \text{km/h.}\)

El tiempo empleado es la razón entre el espacio y la velocidad: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\). Por ejemplo, si se recorren \(360\ \text{km.}\) a una velocidad de \(90\ \text{km/h.}\), el tiempo empleado es \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{360}{90}=4\ \text{h.}\)

El espacio recorrido es la velocidad multiplicada por el tiempo: \(s=v\cdot t\). Por ejemplo, si durante dos horas y media (\(2,5\ \text{h.}\)), un móvil va a una velocidad de \(80\ \text{km/h.}\), el espacio recorrido es \(s=v\cdot t=80\cdot2,5=200\ \text{km.}\)

Observa que:

  • El espacio \(s\) y la velocidad \(v\) son magnitudes directamente proporcionales (a más velocidad, más espacio recorrido).
  • El tiempo \(t\) y la velocidad \(v\) son magnitudes inversamente proporcionales (a más velocidad, menos tiempo se tarda en recorrer un determinado espacio).
  • El espacio \(s\) y el tiempo \(t\) son magnitudes directamente proporcionales (a más espacio, más tiempo tardaremos en recorrerlo).

Un problema como ejemplo

Un caminante y un ciclista marchan por la misma vía. El caminante lleva una velocidad de \(4\ \text{km/h.}\) y el ciclista de \(20\ \text{km/h.}\).

a) Si parten al mismo tiempo, desde puntos opuestos que distan entre sí \(12\ \text{km.}\), ¿cuánto tardarán en encontrarse? ¿Qué espacio habrá recorrido cada uno?

b) Si parten del mismo punto y el caminante lleva una ventaja de \(4\ \text{km.}\), ¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo el ciclista? ¿Qué espacio habrá recorrido cada uno?

Solución:

a) Observa el la figura siguiente:

problemas-moviles-1

Hemos llamado \(x\) a la distancia recorrida por el caminante desde el punto de partida al punto de encuentro (marcado con un punto rojo). Entonces la distancia recorrida por el ciclista hasta el punto de encuentro será \(12-x\), pues la distancia original que separa a ambos era de \(12\ \text{km.}\) Además, ha pasado el mismo tiempo \(t\) cuando llegan al punto de encuentro pues ambos partieron al mismo tiempo. Entonces, como \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\), podemos establecer una proporción entre el espacio recorrido y la velocidad tanto del caminante como del ciclista:

\[\frac{x}{4}=\frac{12-x}{20}\Rightarrow20x=48-4x\Rightarrow24x=48\Rightarrow x=\frac{48}{24}\Rightarrow x=2\]

Esto quiere decir que el caminante habrá recorrido \(x=2\ \text{km.}\), y el ciclista \(12-x=12-2=10\ \text{km.}\)

El tiempo empleado es \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{2}{4}=0.5\ \text{h.}\) (media hora). Hemos empleado en la fórmula el espacio y velocidad del caminante, pero si se emplea la del ciclista el resultado es el mismo: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{10}{20}=0.5\ \text{h.}\)

b) Observa ahora esta otra figura:

problemas-moviles-2

Otra vez hemos llamado \(x\) a la distancia recorrida por el caminante desde su punto de partida (\(x=2\ \text{km.}\) por delante del ciclista) al punto de encuentro. Entonces la distancia recorrida por el ciclista hasta el punto de encuentro será ahora \(4+x\). Ahora procedemos como en el apartado anterior, teniendo en cuenta que \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\), y que el tiempo transcurrido hasta el punto de encuentro es el mismo para ambos.

\[\frac{x}{4}=\frac{4+x}{20}\Rightarrow20x=16+4x\Rightarrow16x=16\Rightarrow x=\frac{16}{16}\Rightarrow x=1\]

Esto quiere decir que el caminante ha recorrido \(x=1\ \text{km.}\), y el ciclista \(x+4=1+4=5\ \text{km.}\)

El tiempo empleado es \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{1}{4}=0.25\ \text{h.}\) (un cuarto de hora). Hemos empleado en la fórmula el espacio y velocidad del caminante, pero si se emplea la del ciclista el resultado es el mismo: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{5}{20}=0.25\ \text{h.}\)

Una observación más

El ejercicio se puede hacer utilizando la velocidad total o resultante de ambas velocidades. Veámoslo.

En el caso de que vayan en distinta dirección, la velocidad resultante se llama velocidad de encuentro y se halla sumando los módulos de ambas pues hay que tener en cuenta que tienen distinto signo al ser ambas de distinto sentido (la velocidad es una magnitud vectorial):

\[v=v_1-(-v_2)=v_1+v_2=20+4=24\ \text{km/h.}\]

Ahora volvemos a aplicar nuestra fórmula: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{12}{24}=0.5\ \text{h.}\) (media hora).

En el caso de que vayan en la misma dirección, la velocidad resultante se llama velocidad de alcance y se halla restando la mayor de la menor:

\[v=v_1-v_2=20-4=16\ \text{km/h.}\]

Ahora volvemos a aplicar nuestra fórmula: \(\displaystyle t=\frac{s}{v}=\frac{4}{16}=0.25\ \text{h.}\) (un cuarto de hora).

Un par de ejercicios propuestos para practicar

Ejercicio 1. De dos ciudades, distantes \(84\ \text{km.}\), parten a encontrarse dos móviles, uno con velocidad de \(9\ \text{km/h.}\) y otro con velocidad de \(13\ \text{km/h.}\) ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse si el primero salió \(2\ \text{h.}\) antes que el segundo?

Tardarán en encontrarse \(3\ \text{h.}\) a partir de la salida del segundo, o lo que es lo mismo, \(5\ \text{h.}\) a partir de la salida del primero.

Ejercicio 2. En una carretera, y por este orden, se encuentran las ciudades \(A\), \(B\) y \(C\). A las \(9\) de la mañana sale de \(B\) hacia \(C\) un móvil, con velocidad de \(15\ \text{km/h.}\); \(2\ \text{h.}\) después sale de \(A\) un móvil persiguiendo al anterior con velocidad \(20\ \text{km/h.}\). Si la distancia \(AB\) es de \(40\ \text{km.}\), ¿a qué hora alcanza el segundo móvil al primero? ¿Qué espacio habrá recorrido cada móvil?

El tiempo que tardan en encontrarse es de \(16\ \text{h.}\) a partir de la salida del primer móvil. Por tanto, el segundo móvil alcanza al primero a la una de la madrugada del día siguiente.

El primer móvil (origen en \(B\)) recorre \(240\ \text{km.}\)

El segundo móvil (origen en \(A\)) recorre \(280\ \text{km.}\)

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