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Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Se proponen a continuación varios ejercicios relacionados con las derivadas y sus aplicaciones (por ejemplo, cálculo de extremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones,...).

Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle y del teorema del valor medio.

Alguno de ellos (el número 12, por ejemplo) es de especial interés, pues haciendo uso del teorema del valor medio se pueden demostrar ciertas desigualdades muy útiles en las matemáticas en general y en el análisis matemático en particular.

Estos ejercicios son de nivel universitario, aunque alguno se podría proponer en bachillerato.

Cada uno de los ejercicios contiene la solución más o menos detallada.

Ejercicio 1

Determinar la imagen de las siguientes funciones:

a) \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x+1\,,\forall\,x\in[0,2]\).

b) \(f:[1,2\text{e}]\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\,,\forall\,x\in[1,2\text{e}]\).

c) \(f:[-2,2]\cup\{3\}\rightarrow\mathbb{R}\), \(f(x)=1-\sqrt{2|x|-x^2}\,,\forall\,x\in[-2,2]\), \(f(3)=2\).

Solución.

a) La función \(f\) es continua y derivable por ser polinómica. Además \(f(0)=1\), \(f(2)=9\) y \(f'(x)=12x^3-24x^2-12x+24\). También tenemos que \(f'(x)=0\) si, y sólo si, \(x=-1\), \(x=1\) o \(x=2\). Esto es equivalente a decir que \(f'(x)\neq0\) si, y sólo si \(x\neq-1\), \(x\neq1\) y \(x\neq2\). Luego \(f\), salvo en \(x=1\), no puede alcanzar ningún extremo relativo en ningún punto del intervalo \([0,2]\). Como \(f(1)=14\) y la imagen por una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado (propiedad de compacidad), la imagen de \(f\) es el intervalo \([1,14]\).

b) La función es continua y derivable en el intervalo \([1,2\text{e}]\) por ser cociente de derivables y no anularse nunca el denominador en dicho intervalo. Por otro lado, \(f(1)=0\) y \(f(2\text{e})=\frac{\ln2\text{e}}{2\text{e}}=\frac{\ln2+1}{2\text{e}}\cong0.31\). Además \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\), con lo que \(f'(x)=0\) si, y sólo si, \(1-\ln x=0\Leftrightarrow x=\text{e}\). Como \(f(\text{e})=\frac{1}{\text{e}}\cong0.368\), entonces la imagen de \(f\) es el intervalo \(\left[0,\frac{1}{\text{e}}\right]=[0,\,0.368]\).

c) Escribamos de una forma equivalente la función \(f\):

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1-\sqrt{-2x-x^2} & \text{si} & -2\leqslant x<0 \\
                    1-\sqrt{2x-x^2} & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant 2\\
                    2 & \text{si} & x=3
                  \end{array}
    \right.\]

Claramente \(f\) es continua en \([-2,2]\). Observemos además que

\[\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\sqrt{2x-x^2}}{x}= \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-2x+x^2}{x\sqrt{2x-x^2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-2+x}{\sqrt{2x-x^2}}=-\infty\]

Por tanto, \(f\) es derivable en \([-2,2]-\{0\}\).De este modo, si \(x\in[-2,2]-\{0\}\), se tiene:

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{-2x-x^2}} & \text{si} & -2\leqslant x<0 \\
                    \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{2x-x^2}} & \text{si} & 0<x\leqslant 2\\
                  \end{array}
    \right.\]

Entonces \(f'(x)=0\) si, y sólo si, \(x=-1\) o \(x=1\). Por tanto, los únicos puntos en los que \(f\) puede alcanzar un extremo relativo en el intervalo \([-2,2]\) y en los que \(f\) sea además derivable son \(x=-1\) y \(x=1\). Haremos las imágenes de estos últimos, de los extremos del intervalo, de los puntos donde \(f\) no es derivable y del punto aislado \(x=3\), para decidir la imagen de \(f\).

\[f(-2)=1\ ,\ f(-1)=0\ ,\ f(0)=1\ ,\ f(1)=0\ ,\ f(2)=1\ ,\ f(3)=2\]

Por tanto, la imagen de \(f\) es \([0,1]\cup\{2\}\)

Ejercicio 2

Sean \(a\) y \(b\) números reales con \(a<b\). Dar un ejemplo de una función \(f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}\), no constante, que alcance un máximo relativo en todo punto de \((a,b)\).

Solución.

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1 & \text{si} &\displaystyle -a<x\leqslant\frac{a+b}{2} \\
                    2 & \text{si} &\displaystyle \frac{a+b}{2}<x<b
                  \end{array}
    \right.\]

Ejercicio 3

Demuéstrese la versión, aparentemente más general, del teorema de Rolle: sea \(f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \((a,b)\) y supongamos que \(f\) tiene límites en los puntos \(a\) y \(b\) con \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow b}f(x)\). Entonces existe un punto \(c\in(a,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Solución.

Sea la función \(g:(a.b)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x) & \text{si} &x=a \\
                    f(x) & \text{si} & a<x<b\\
                    \displaystyle\lim_{x\rightarrow b}f(x) & \text{si} &x=b
                  \end{array}
    \right.\]

Es claro que \(g\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Además, por hipótesis \(g(a)=g(b)\). Por el teorema de Rolle, existe \(c\in(a,b)\) tal que \(g'(c)=f'(c)=0\).

Ejercicio 4

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\). Sean \(x\in I\), \(h\in\mathbb{R^*}\) tales que \(x+h\in I\). Probar que existe un número \(\theta\in(0,1)\) tal que \(f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\). Póngase un ejemplo que demuestre que \(\theta\) no tiene por qué ser único. Compruébese que en los casos \(I=\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) y \(f(x)=\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\), ocurre que, fijados \(x\) y \(h\), el número \(\theta\) que aparece sí es único y es independiente de \(x\).

Solución.

Aplicando el teorema del valor medio al intervalo \([x,x+h]\), se tiene que existe un punto \(c\in(x,x+h)\) tal que \(f(x+h)-f(x)=f'(c)h\). Como \(c\in(x,x+h)\), entonces existe \(\theta\in(0,1)\) tal que \(c=x+\theta h\) y así \(f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\), como queríamos.

Para probar que \smallskip\(\theta\) no tiene por qué ser único considérese la función \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=2\). Entonces \(f'(x)=0\,,\forall\,x\in[0,1]\) y por tanto dados \(x\in[0,1]\), \(h\in\mathbb{R^*}\) tales que \(x+h\in[0,1]\), es claro que \(hf'(x+\theta h)=0=f(x+h)-f(x)\,,\forall\,\theta\in(0,1)\).

Si \(I=\mathbb{R}\) y \(f(x)=x^2\), existe \(\theta\in(0,1)\) tal que \(f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\). Pero

\[f(x+h)-f(x)=x^2+h^2+2xh-x^2=h^2+2xh\]

\[hf'(x+\theta h)=h2(x+\theta h)=2xh+2\theta h^2\]

Entonces

\[h^2+2xh=2xh+2\theta h^2\Rightarrow h^2-2\theta h^2=0\Rightarrow1-2\theta=0\Rightarrow\theta=\frac{1}{2}\]

y por tanto \(\theta\) es único.

Ahora, si \(f(x)=\text{e}^x\), entonces:

\[f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)\Leftrightarrow\text{e}^{x+h}-\text{e}^x=h\text{e}^{x+\theta h}\Leftrightarrow\text{e}^x(\text{e}^h-1)=h\text{e}^x\text{e}^{\theta h}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\text{e}^h-1=h\text{e}^{\theta h}\Leftrightarrow\ln(\text{e}^h-1)=\ln h+\theta h\Leftrightarrow\theta=\frac{1}{h}\ln\frac{\text{e}^h-1}{h}\]

Por tanto, \(\theta\) es único.

Ejercicio 5

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\). Supongamos que existe un número real positivo \(M\) tal que \(|f'(x)|\leqslant M\,,\forall\,x\in I\). Probar que \(f\) es uniformemente continua.

Solución.

Sean \(x\,,y\in I\), y supongamos \(x<y\). Aplicando el teorema del valor medio a la restricción de \(f\) al intervalo \([x,y]\), se tiene que \(\exists\, c\in(x,y)\) tal que \(f(y)-f(x)=f'(c)(x-y)\). Por tanto, \(|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\leqslant M|x-y|\). Entonces, dado un número real y positivo \(\varepsilon>0\) y tomando \(\delta=\frac{\varepsilon}{M}\), tenemos:

\[x\,,y\in I\,,|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\]

con lo que \(f\) es uniformemente continua.

Ejercicio 6

Sea \(f:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(\mathbb{R^+}\). Supongamos que \(f\) y \(f'\) tienen límite en \(+\infty\). Probar que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0\).

Solución:

Sea \(x>0\) y \(n\in\mathbb{N}\). Entonces existe \(\theta\in(0,1)\) cumpliendo \(f(x+n)-f(x)=f'(x+\theta n)n\), o lo que es lo mismo, \(f'(x+\theta n)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}\) (ver ejercicio 4). Sea \(\{x_n\}=\{x+\theta n\}\rightarrow+\infty\). Por hipótesis \(f\) tiene límite en infinito con lo que

\[\{f'(x+\theta n)\}=\{f'(x_n)\}=\left\{\frac{f(x+n)-f(x)}{n}\right\}\rightarrow0\Rightarrow\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0\]

tal y como queríamos demostrar.

Ejercicio 7

Sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) verificando \(f(a)=f(b)=0\). Probar que para todo real \(\lambda\) existe un punto \(c\in(a,b)\) tal que \(f'(c)=\lambda f(c)\).

Indicación: considérese la función \(g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(x)=\text{e}^{-\lambda x}f(x)\,,\forall\,x\in[a,b]\).

Solución.

Apliquemos el teorema del valor medio a la función \(g\):

\[\exists\,c\in(a,b)\,:\,g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)\]

O sea:

\[\text{e}^{-\lambda b}f(b)-\text{e}^{-\lambda a}f(a)=\left(-\lambda\text{e}^{-\lambda c}f(c)+\text{e}^{-\lambda c}f'(c)\right)(b-a)\]

Como \(f(a)=f(b)=0\), entonces:

\[-\lambda\text{e}^{-\lambda c}f(c)+\text{e}^{-\lambda c}f'(c)=0\Leftrightarrow \lambda\text{e}^{-\lambda c}f(c)=\text{e}^{-\lambda c}f'(c)\Leftrightarrow f'(c)=\lambda f(c)\]

Ejercicio 8

Sean \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\) con \(a^2<3b\). Probar que la ecuación \(x^3+ax^2+bx+c=0\) tiene solución real única.

Solución.

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\). Razonando por reducción al absurdo, si existieran \(r,\,t\in\mathbb{R}\) (\(r<t\)) tales que \(f(r)=f(t)=0\), aplicando el teorema del valor medio al intervalo \([r,t]\) tenemos que existe \(s\in(r,t)\) tal que \(f'(s)=0\), es decir, tal que \(3s^2+2as+b=0\). Y esto último ocurrirá siempre que el discriminante de la ecuación \(3x^2+2ax+b=0\) sea mayor o igual que cero: \(4a^2-12b\geqslant0\Leftrightarrow a^2\geqslant3b\), lo cual contradice que \(a^2<3b\). Por tanto la ecuación \(x^3+ax^2+bx+c=0\) tiene solución real única.

Ejercicio 9

Determinar el número de raíces de la ecuación \(3x^5+5x^3-30x=m\) según el valor del número \(m\).

Solución.

Sea \(f(x)=3x^5+5x^3-30x-m\). Entonces

\[f'(x)=15x^4+15x^2-30=15(x^4+x^2-2)=15(x-1)(x+1)(x^2+2)\]

De este modo:

\[f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\quad;\quad f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(-1,1)\]

Esto quiere decir que \(f\) es estrictamente creciente en \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\) y estrictamente decreciente en \((-1,1)\). Por tanto, \(x=-1\) es un máximo relativo y \(x=1\) es un mínimo relativo. Como \(f(-1)=22-m\) y \(f(1)=-22-m\), y teniendo en cuenta además que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty\), pueden ocurrir las siguientes situaciones:

  • Si \(m<-22\), \(f(-1)>0\) y \(f(1)>0\), con lo que \(f\) tiene solo una raíz real situada a la izquierda de \(-1\).
  • Si \(m=-22\), \(f(-1)>0\) y \(f(1)=0\), con lo que \(f\) tiene dos raíces reales, una de ellas en \(x=1\) y otra menor que \(-1\).
  • Si \(-22<m<22\), \(f(-1)>0\) y \(f(1)<0\), con lo que \(f\) tiene tres raíces reales, una menor que \(-1\), otra situada entre \(-1\) y \(1\) y la tercera mayor que \(1\).
  • Si \(m=22\), \(f(-1)=0\) y \(f(1)<0\), con lo que \(f\) tiene dos raíces reales, una de ellas en \(x=-1\) y otra mayor que \(1\).
  • Si \(m>22\), \(f(-1)<0\) y \(f(1)<0\), con lo que \(f\) tiene solo una raíz real situada a la derecha de \(1\).

Ejercicio 10

Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) derivable y verificando \(f(0)=0\). Supongamos que la función \(f'\) es creciente. Probar que la función \(g:(0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\,,\forall\,x\in(0,1]\) también es creciente.

Solución.

La función \(g\) es creciente en el intervalo \((0,1]\) si, y sólo si, para todo \(x\in(0,1]\):

\[\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\geqslant0\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)\geqslant0\]

Sea \(0<x\leqslant1\) y apliquemos el teorema del valor medio a la función \(f\) en el intervalo \([0,x]\). Existe pues \(c\in(0,x)\) tal que:

\[f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)\Leftrightarrow f(x)=f'(c)x\leqslant f'(x)x\Leftrightarrow xf'(x)-f(x)\geqslant0\]

que es justo lo que queríamos demostrar (obsérvese que la penúltima desigualdad se justifica por la hipótesis de que \(f'\) es creciente).

Ejercicio 11

Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable, verificando que \(f(0)=0\) y \(|f'(x)|\leqslant|f(x)|\) para todo \(x\in[0,1]\). Probar que \(f(x)=0\,,\forall\,x\in[0,1]\).

Solución.

Sea \(0<x\leqslant1\). Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo \([0,x]\) tenemos que existe \(c\in(0,x)\) tal que \(f(x)=f'(c)x\), es decir, tal que \(f'(c)=\frac{f(x)}{x}\). Como \(0<x\leqslant1\), \(|f(x)|\leqslant\frac{|f(x)|}{x}\) y entonces, para todo \(x\in(0,1]\), existe \(c\in(0,1]\) tal que \(|f(x)|\leqslant f'(c)\leqslant|f(c)|\). Por tanto, no queda más remedio que \(f(x)=0\,,\forall\,x\in[0,1]\).

Ejercicio 12

Probar las dobles desigualdades siguientes:

\[1+x\leqslant\text{e}^x\leqslant 1+x\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\quad;\quad\frac{x}{1+x}\leqslant\ln(1+x)\leqslant x\,,\forall\,x\in(-1,+\infty)\]

Solución.

Sea \(f(x)=\text{e}^x\) y \(x>0\). Aplicando el teorema del valor medio al intervalo \([0,x]\), existe \(c\in(0,x)\) tal que

\[f(x)-1=f'(c)x\Leftrightarrow \text{e}^x-1=\text{e}^cx\Leftrightarrow\text{e}^x=1+\text{e}^cx\]

Por otro lado, como \(0<c<x\), entonces, al ser la función exponencial estrictamente creciente tenemos que \(\text{e}^0<\text{e}^c<\text{e}^x\), y como \(x>0\) tenemos también que

\[x<x\text{e}^c<x\text{e}^x\Leftrightarrow 1+x<1+x\text{e}^c<1+x\text{e}^x\Leftrightarrow1+x<\text{e}^x<1+x\text{e}^x\]

tal y como queríamos demostrar. Si \(x<0\) basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo \([x,0]\) y proceder como anteriormente. Si \(x=0\), la doble desigualdad es doble igualdad. Por tanto \(1+x\leqslant\text{e}^x\leqslant 1+x\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

Sea ahora \(f(x)=\ln(1+x)\) y \(x>0\). Volviendo a aplicar el teorema del valor medio al intervalo \([0,x]\), existe \(c\in(0,x)\) tal que \(\ln(1+x)=\frac{1}{1+c}x\). Pero:

\[0<c<x\Leftrightarrow1<1+c<1+x\Leftrightarrow\frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+c}<1\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}<\frac{1}{1+c}x<x\Leftrightarrow \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\]

tal y como queríamos demostrar. Si \(-1<x<0\) se aplica el teorema del valor medio al intervalo \([x,0]\). Si \(x=0\) la doble desigualdad es claramente una doble igualdad. Por tanto, \(\frac{x}{1+x}\leqslant\ln(1+x)\leqslant x\,,\forall\,x\in(-1,+\infty)\).

Ejercicio 13

robar que \(x^{\text{e}}\leqslant \text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R^+}\).

Indicación: estudiar la función \(f:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R^+}\).

Solución.

Derivando la función dada en la indicación tenemos \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\). Entonces:

\[f'(x)=0\Leftrightarrow1-\ln x=0\Leftrightarrow\ln x=1\Leftrightarrow x=\text{e}\]

Por tanto, todo punto de \(\mathbb{R^+}\) distinto de \(\text{e}\) no puede ser extremo relativo. Además, por un lado:

\[f'(x)\geqslant0\Leftrightarrow1-\ln x\geqslant0\Leftrightarrow\ln x\leqslant1\Leftrightarrow x\leqslant\text{e}\]

Y, por otro lado,

\[f'(x)\leqslant0\Leftrightarrow1-\ln x\leqslant0\Leftrightarrow\ln x\geqslant1\Leftrightarrow x\geqslant\text{e}\]

Esto quiere decir que la función \(f\) alcanza un máximo relativo en el punto \(x=\text{e}\), y éste es único (será pues un máximo absoluto). Por tanto, para todo \(x\in\mathbb{R^+}\) tenemos:

\[f(x)\leqslant f(\text{e})\Leftrightarrow\frac{\ln x}{x}\leqslant\frac{1}{\text{e}}\Leftrightarrow\text{e}\ln x\leqslant x\Leftrightarrow\ln x^{\text{e}}\leqslant \ln\text{e}^x\Leftrightarrow x^{\text{e}}\leqslant\text{e}^x\]

tal y como queríamos demostrar.

Ejercicio 14

Sea \(f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I=[0,1]\) verificando \(f(0)=f'(0)=0\) y que \(f(1)=1\). Probar que \([0,1]\subset f'(I)\).

Solución.

Como \(f'(0)=0\), entonces \(0\in f'(I)\). Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo \([0,1]\), existe \(c\in(0,1)\) tal que

\[f(1)-f(0)=f'(c)(1-0)\Leftrightarrow f(1)=f'(c)\Leftrightarrow f'(c)=1\]

De lo anterior se deduce que también \(1\in f'(I)\). Por tanto, al ser \(f'(I)\) un intervalo (ver parte v) del teorema 3 del artículo dedicado al teorema del valor medio), todo punto comprendido entre \(0\) y \(1\) también pertenece a \(f'(I)\). Es decir, \([0,1]\subset f'(I)\).

Ejercicio 15

Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(\mathbb{R}\). Sea \(a\) un número real tal que \(f'(a)>0\) y supongamos que \(f'\) es continua en \(a\). Probar que \(f\) es estrictamente creciente en un cierto intervalo abierto de centro \(a\).

Solución.

Como \(f'\) es continua en \(a\) y \(f'(a)>0\), utilizando el lema de conservación del signo, existe un número real y positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es cualquier punto de \(\mathbb{R}\) verificando \(|x-a|<\delta\), se tiene que \(f'(x)f'(a)>0\) (\(f'(x)\) tiene el mismo signo que \(f'(a)\)). Como \(f'(a)>0\), entonces \(f'(x)>0\,,\forall\,x\in(a-\delta,a+\delta)\), es decir, \(f\) es estrictamente creciente en un cierto intervalo abierto de centro \(a\).

Ejercicio 16

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales que no tenga puntos aislados. Probar que si \(A\) no es un intervalo existe una función de \(A\) en \(\mathbb{R}\) derivable con derivada nula en todo punto de \(A\) y que no es constante.

Solución.

Si \(A\) no es un intervalo, existen \(a\,,b\in A\) con \(a<b\), de forma que \((a,b)\) no está contenido en \(A\). Luego existe \(c\in(a,b)\) tal que \(c\notin A\). Así \(A=A_1\cup A_2\), donde \(A_1=\{a\in A\,:\,a<c\}\) y \(A_2=\{a\in A\,:\,a>c\}\). Tomemos pues

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1 & \text{si} & x\in A_1 \\
                    0 & \text{si} & x\in A_2
                  \end{array}
    \right.\]

Es claro que \(f'(x)=0\,,\forall x\in A\) y \(f\) no es constante.

Ejercicio 17

Dar un ejemplo de una función \(f:\mathbb{R^*}\rightarrow\mathbb{R}\) derivable en \(\mathbb{R^*}\), con \(f'(x)\neq0\) para todo \(x\in\mathbb{R^*}\), que no sea monótona.

Solución.

Sea \(f:\mathbb{R^*}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\). Entonces \(f'(x)=2x\neq0\,,\forall x\in\mathbb{R^*}\). Además, \(f\) decrece estrictamente en \((-\infty,0)\) y crece estrictamente \((0,+\infty)\), luego no es monótona.

Referencia bibliográfica.

Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Ya hemos hablado en un par de artículos anteriores del concepto de derivada y de su interpretación tanto desde el punto de vista geométrico como desde el punto de vista físico. Son los siguientes:

En este artículo desarrollaremos las propiedades de las funciones derivables y se pondrá de manifiesto la importancia y utilidad del concepto de derivada.

Los resultados más destacados harán referencia a funciones derivables en un intervalo, tal y como ocurría con las funciones continuas.

Comenzaremos introduciendo el concepto de extremo relativo.

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) una función real de variable real y \(a\) un punto de \(A\). Diremos que \(f\) alcanza un máximo relativo (respectivamente, mínimo relativo) en el punto \(a\) si existe un número real positivo \(\delta\) tal que el intervalo abierto \((a-\delta,a+\delta)\) está contenido en \(A\) y para todo \(x\) de dicho intervalo se tiene: \(f(x)\leqslant f(a)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(a)\)).

Diremos que \(f\) alcanza un extremo relativo en el punto \(a\) cuando \(f\) alcance un máximo relativo o un mínimo relativo en \(a\).

Al intervalo abierto del tipo \((a-\delta,a+\delta)\), centrado en el punto \(a\), se le llama también entorno del punto \(a\) y se le suele designar mediante la notación \(V_\delta(a)\).

Podríamos decir incluso que \(f\) alcanza un máximo relativo en el punto \(a\) de \(A\) si existe un cierto intervalo abierto \(I\) que contiene al punto \(a\) y tal que \(f(x)\leqslant f(a)\) para todo \(x\) situado en \(I\cap A\) (análoga definición para mínimo relativo invirtiendo la desigualdad).

Es conveniente analizar con detalle la definición anterior y, sobre todo, compararla con la noción de máximo o mínimo absoluto (que se vio en el artículo dedicado a la propiedad de compacidad para funciones continuas). La relación entre ambos conceptos se puede clarificar con el siguiente ejemplo.

Sea \(f:[0,3]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                x & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant 1 \\
                2-x & \text{si} & 1<x\leqslant 2 \\
                2x-4 & \text{si} & 2<x\leqslant 3 \\
              \end{array}
\right.\]

cuya representación gráfica es

teorema valor medio 01

Es inmediato comprobar que la imagen de \(f\) es el intervalo \([0,2]\). Resulta por tanto que \(f\) alcanza su mínimo absoluto en los puntos \(0\) y \(2\). Es claro que \(f\) alcanza un mínimo relativo en \(2\), pues basta tomar \(\delta=1\) en la definición anterior; sin embargo \(f\) no alcanza un mínimo relativo en cero, pues no hay ningún intervalo abierto de centro cero contenido en \([0,3]\). Tomando también \(\delta=1\) en la definición, comprobamos fácilmente que \(f\) alcanza un máximo relativo en el punto \(1\), pero no alcanza su máximo absoluto en \(1\), ya que \(f(1)=1\neq2\). Finalmente \(f\) alcanza su máximo absoluto en \(3\), pero no alcanza un máximo relativo en \(3\).

Resumiendo, si una función \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) alcanza un máximo (respectivamente, mínimo) absoluto en un punto \(a\in A\), \(f\) no tiene por qué alcanzar un extremo relativo en \(a\), de hecho lo alcanza si, y solo si, existe un intervalo abierto de centro \(a\) contenido en \(A\). Además, si \(f\) alcanza un extremo relativo en \(a\), puede ocurrir que \(f\) no alcance en \(a\) ni su máximo ni su mínimo absolutos, de hecho \(f\) no tiene por qué tener máximo ni mínimo absolutos y puede incluso no estar acotada.

La siguiente proposición nos da una condición necesaria para que una función derivable en un punto alcance un extremo relativo en él.

Proposición 1.

Sea \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) una función real de variable real y supongamos que \(f\) alcanza un extremo relativo en un punto \(a\) de \(A\) en el que \(f\) es derivable. Entonces \(f'(a)=0\).

Sea la función \(h\) definida de la siguiente manera:

\[h(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                \displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} & \text{si} & x\neq a \\
                f'(a) & \text{si} & x=a
              \end{array}
\right.\]

Como \(f\) es derivable en \(a\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}h(x)=f'(a)=h(a)\), con lo que \(h\) es continua en \(a\). Supongamos que \(h(a)>0\). Según el lema de conservación del signo, existe \(\delta>0\) tal que \(h(x)>0\) para todo \(x\) del intervalo \((a-\delta,a+\delta)\). Esto quiere decir que el numerador y el denominador de \(h(x)\) tienen el mismo signo, para todo \(x\neq a\) en ese intervalo. Dicho de otro modo, \(f(x)>f(a)\) cuando \(x>a\), y \(f(x)<f(a)\) cuando \(x<a\). Esto contradice la hipótesis de que \(f\) alcanza un extremo relativo en \(a\). Luego, la desigualdad \(h(a)>0\) es imposible. De manera similar se demuestra que tampoco puede ser \(h(a)<0\). Por consiguiente ha de ser \(h(a)=0\), o sea, \(f'(a)=0\), tal y como se quería demostrar.

Es importante notar que el hecho de que la derivada se anule en \(a\) no implica que \(f\) alcance un extremo relativo en \(a\) (la condición anterior era necesaria, pero no es suficiente). Por ejemplo, sea la función \(f(x)=x^3\). Puesto que \(f'(x)=3x^2\), tenemos que \(f'(0)=0\). Sin embargo, esta función es creciente en todo intervalo que contenga al origen, por lo que 0 no es extremo relativo.

Por poner otro ejemplo, la función \(f(x)=|x|\) demuestra que un cero de la derivada no siempre se presenta en un extremo. Aquí hay un mínimo relativo en \(0\), pero en el mismo punto \(0\) la función no es derivable (\(0\) es un punto "anguloso" y en este tipo de puntos no existe la derivada). Lo que dice la proposición anterior es que cuando la gráfica es "suave" (o lo que es lo mismo, en ausencia de puntos "angulosos"), la derivada necesariamente debe anularse en un extremo, si éste se presenta en el interior de un intervalo.

El teorema del valor medio

El teorema del valor medio para derivadas es importante en Análisis Matemático porque muchas de las propiedades de las funciones pueden deducirse fácilmente a partir de él. Antes de establecer el teorema del valor medio, examinaremos uno de los casos particulares a partir del cual puede deducirse el teorema general. Este caso particular lo descubrió Michel Rolle (1652-1719), matemático francés.

Teorema 1 (de Rolle).

Sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) verificando que \(f(a)=f(b)\). Entonces existe un punto \(c\) del intervalo \((a,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Razonando por reducción al absurdo, supongamos que \(f'(x)\neq0\) para todo \(x\) en el intervalo abierto \((a,b)\). Como \(f\) es una una función continua en \([a,b]\), la propiedad de compacidad nos asegura que \(f\) debe alcanzar su máximo absoluto \(M\) y su mínimo absoluto \(m\) en algún punto del intervalo cerrado \([a,b]\). Además, la proposición anterior nos dice que ningún extremo puede ser alcanzado en puntos interiores (de otro modo sería nula la derivada allí). Luego, ambos valores extremos son alcanzados en los extremos \(a\) y \(b\). Pero como \(f(a)=f(b)\), esto significa que \(m=M\), y por tanto \(f\) es constante en \([a,b]\). Esto contradice el hecho de que \(f'(x)\neq0\) para todo \(x\) en \((a,b)\). Resulta pues que \(f'(c)=0\) por lo menos en un punto \(c\) que satisfaga \(a<c<b\), lo que demuestra el teorema.

El significado geométrico del teorema de Rolle está representado en la figura siguiente. En este teorema se afirma tan sólo que la curva debe tener al menos una tangente horizontal en algún punto entre \(a\) y \(b\).

teorema valor medio 02

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema del valor medio. Antes de enunciarlo, vamos a examinar su significado geométrico. Observemos la figura siguiente.

teorema valor medio 03

La curva dibujada es la gráfica de una función \(f\) continua con tangente en cada punto del intervalo \((a,b)\). En el punto \(c\) indicado, la tangente es paralela a la cuerda \(AB\). El teorema del valor medio asegura que existirá \emph{por lo menos un punto} con esta propiedad.

Para traducir al lenguaje matemático esta propiedad geométrica, tan sólo necesitamos observar que el paralelismo de dos rectas significa la igualdad de sus pendientes. Puesto que la pendiente de la cuerda es el cociente \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) y ya que la pendiente de la tangente en \(c\) es la derivada \(f'(c)\), la afirmación anterior puede expresarse así:

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]

para algún \(c\) del intervalo abierto \((a,b)\).

Para hacer más intuitiva la validez de la fórmula anterior, podemos imaginar \(f(t)\) como el camino recorrido por una partícula móvil en el tiempo \(t\). Entonces el cociente del primer miembro de la fórmula representa la velocidad media en el intervalo de tiempo \([a,b]\), y la derivada \(f'(t)\) representa la velocidad instantánea en el tiempo \(t\) (ver artículo dedicado al problema de la velocidad). La igualdad afirma que debe existir un momento en que la velocidad instantánea es igual a la velocidad media. Por ejemplo, si la velocidad media de un automóvil en un viaje es de 90 km por hora, el velocímetro debe registrar 90 km por hora por lo menos una vez durante el viaje.

Teorema 2 (del valor medio).

Sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Entonces existe un punto \(c\) del intervalo abierto \((a,b)\) tal que

\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\]

Sea \(g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[g(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\,,\forall\,x\in[a,b]\]

Claramente \(g\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) con

\[g'(x)=(f(b)-f(a))-(b-a)f'(x)\,,\forall\,x\in(a,b)\]

Además, es fácil comprobar que \(g(a)=g(b)\). Por el teorema de Rolle existe \(c\in(a,b)\) tal que \(g'(c)=0\), esto es, tal que

\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\]

Obsérvese que el teorema anterior no concreta nada acerca de la posición exacta del "valor o valores medios" \(c\), y sólo indica que todos pertenecen al intervalo abierto \((a,b)\). Para algunas funciones se puede especificar con exactitud la posición de los valores medios, pero en la mayoría de los casos es muy difícil hacer una determinación precisa de estos puntos. Sin embargo, la utilidad real del teorema está en el hecho de que se pueden sacar muchas conclusiones del mero conocimiento de la existencia de un valor medio por lo menos.

También es importante comprobar que el teorema del valor medio puede dejar de cumplirse si hay algún punto entre \(a\) y \(b\) en el que la derivada no exista. Por ejemplo, la función \(f\) definida por la ecuación \(f(x)=|x|\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) y tiene derivada en todos los puntos del mismo excepto en \(0\) (obsérvese en la figura siguiente que en \(0\) hay un punto anguloso y por tanto no es derivable en él).

teorema valor medio 04

La pendiente de la cuerda que une el punto \((2,f(2))\) con el punto \((-1,f(1))\) es

\[\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}\]

pero la derivada no es igual a \(\frac{1}{3}\) en ningún punto.

Teorema 3.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\).

i) \(f\) es creciente si, y sólo si, \(f'(a)\geqslant0\,,\forall\,a\in I\).

ii) \(f\) es decreciente si, y sólo si, \(f'(a)\leqslant0\,,\forall\,a\in I\).

iii) Si \(f'(a)=0\,,\forall\,a\in I\), entonces \(f\) es constante.

iv) Supongamos que \(f'(a)\neq0\,,\forall\,a\in I\). Entonces \(f\) es estrictamente monótona y ocurre una de las dos posibilidades siguientes:

\[f'(a)>0\,,\forall\,a\in I\quad\text{o bien}\quad f'(a)<0\,,\forall\,a\in I\]

v) El conjunto \(f'(I)=\{f'(x)\,:\,x\in I\}\) es un intervalo (teorema del valor intermedio para las derivadas).

i) Supongamos que \(f\) es creciente. Para cualesquiera \(a,x\in I\) con \(x\neq a\) se tiene

\[f_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geqslant0\]

de donde \(f'(a)\geqslant0\,,\forall\,a\in I\).

Recíprocamente, supongamos que \(f'(a)\geqslant0\,,\forall\,a\in I\) y sean \(x,y\in I\) con \(x<y\). Aplicando el teorema del valor medio a la restricción de \(f\) al intervalo \([x,y]\) tenemos

\[\exists\,a\in(x,y)\,:\,f(y)-f(x)=f'(a)(y-x)\]

con lo que \(f(x)\leqslant f(y)\) por ser \(f'(a)\geqslant0\).

ii) Basta aplicar i) a la función \(-f\).

iii) Consecuencia directa de i) y ii).

iv) Sean \(x,y\in I\) con \(x\neq y\) y supongamos que fuese \(f(x)=f(y)\). Por el teorema de Rolle existiría un punto \(a\) del intervalo abierto de extremos \(x\) e \(y\) tal que \(f'(a)=0\), lo cual es una contradicción. Así pues \(f\) es inyectiva, pero también es continua, luego es estrictamente monótona en virtud del teorema 1 del artículo dedicado al estudio de las funciones continuas e inyectivas. Finalmente, aplicando i) y ii) tenemos que, o bien \(f'(a)\geqslant0\,,\forall\,a\in I\) o bien \(f'(a)\leqslant0\,,\forall\,a\in I\) lo que, junto con \(f'(a)\neq0\,,\forall\,a\in I\), concluye la demostración.

v) Sean \(a,b\in f'(I)\) con \(a<b\) y sea \(c\in(a,b)\). Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que \(c\notin f'(I)\). Sea \(g:I\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \(g(x)=f(x)-cx\,,\forall\,x\in I\). Es claro que \(g\) es derivable en \(I\) y como \(f'(x)\neq0\,,\forall\,x\in I\), se tiene \(g'(x)\neq0\,,\forall\,x\in I\). Aplicando iv) a la función \(g\) obtenemos que, o bien \(f'(x)-c=g'(c)>0\,,\forall\,x\in I\) o bien \(f'(x)-c=g'(c)<0\,,\forall\,x\in I\). En el primer caso, al ser \(f'(x)>c\,,\forall\,x\in I\), llegaríamos a que \(a\notin f'(I)\) y, en el segundo, al ser \(f'(x)<c\,,\forall\,x\in I\), obtendríamos que \(b\notin f'(I)\). En ambos casos llegamos a una contradicción. Por tanto \(c\in f'(I)\) y hemos probado que \([a,b]\subset f'(I)\), luego \(f'(I)\) es un intervalo.

La hipótesis de que \(I\) sea un intervalo en el teorema anterior es esencial. Por ejemplo, consideremos el conjunto \(A=[0,1]\cup[2,3]\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    0 & \text{si} & x\in[0,1] \\
    1 & \text{si} & x\in[2,3]
  \end{array}\right.
\]

Claramente \(f\) es derivable en \(A\) con \(f'(a)=0\,,\forall\,a\in A\); sin embargo \(f\) no es constante. No es difícil dar contraejemplos para ver que el resto de las afirmaciones del teorema son falsas si I no es un intervalo.

Hagamos notar también que la afirmación recíproca de iv) no es cierta. La función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^3\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\), es estrictamente creciente y derivable en \(\mathbb{R}\) pero \(f'(0)=0\). Por tanto, si \(f\) es una función estrictamente creciente y derivable en un intervalo \(I\), sólo podemos afirmar (parte i) del teorema) que \(f'(x)\geqslant0\,,\forall\,x\in I\), pero no que \(f'(x)>0\,,\forall\,x\in I\). Semejante comentario puede hacerse de las funciones estrictamente decrecientes.

A continuación vamos a dar interesantes aplicaciones del teorema anterior. La primera es una condición suficiente para que una función alcance un extremo relativo en un punto, utilizada muy a menudo en la práctica.

Corolario 1.

Sea \(a\) un número real, \(\delta\) un número real positivo, \(I=(a-\delta,a+\delta)\) y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(I\) y derivable en \(I-\{a\}\). Entonces:

i) Supongamos que \(x\in I\,,x<a\Rightarrow f'(x)\geqslant0\) y que \(x\in I\,,x>a\Rightarrow f'(x)\leqslant0\). Entonces \(f\) alcanza su máximo absoluto en \(a\). Por tanto cualquier extensión de \(f\) alcanza un máximo relativo en \(a\).

ii) Supongamos que \(x\in I\,,x<a\Rightarrow f'(x)\leqslant0\) y que \(x\in I\,,x>a\Rightarrow f'(x)\geqslant0\). Entonces \(f\) alcanza su mínimo absoluto en \(a\). Por tanto cualquier extensión de \(f\) alcanza un mínimo relativo en \(a\).

i) Aplicando el teorema anterior, la restricción de \(f\) al intervalo \((a-\delta,a)\) (respectivamente, \((a,a+\delta)\)) es creciente (respectivamente, decreciente). Sea \(x\in(a-\delta,a)\) y sea la sucesión \(\{x_n\}=\{a-\frac{a-x}{n+1}\}\). Claramente \(x<x_n<a\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(\{x_n\}\rightarrow a\), con lo que se tiene que \(f(x)\leqslant f(x_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\) (por ser \(f\) continua en \(a\)). Así, \(f(x)\leqslant f(a)\,,\forall\,x\in(a-\delta,a)\). Razonando de manera similar, se demuestra que si \(x\in I\) y \(x>a\), entonces \(f(x)\leqslant f(a)\). En suma, \(f(x)\leqslant f(a)\,,\forall\,x\in I\), como se quería.

ii) Aplíquese i) a la función \(-f\).

La afirmación iii) del teorema anterior es de gran utilidad. Un enunciado, evidentemente equivalente, de la misma es el siguiente: si \(f,g:I\rightarrow\mathbb{R}\) son funciones derivables en el intervalo \(I\) y ser verifica que \(f'(x)=g'(x)\,,\forall x\in I\), entonces existe una constante \(C\in\mathbb{R}\) tal que \(f(x)=g(x)+C\,,\forall\,x\in I\). O sea, que el conocimiento de la función derivada de una función derivable en un intervalo determina a dicha función salvo una constante aditiva.

Una consecuencia muy interesante de lo anterior es que si la derivada de una función es ella misma, entonces dicha función es la función exponencial de base el número \(\text{e}\), más conocida simplemente por función exponencial.

Corolario 2.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\). Supongamos que existe un número real \(k\) tal que

\[f'(x)=kf(x)\,,\forall\,x\in I\]

Entonces existe un número real \(C\) tal que

\[f(x)=C\text{e}^{kx}\,,\forall\,x\in I\]

En particular, si \(I=\mathbb{R}\), \(k=1\) y suponemos \(f(0)=1\), entonces \(f\) es la función exponencial.

Sea \(g:I\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(x)=\text{e}^{-kx}f(x)\,,\forall\,x\in I\). Se tiene que \(g\) es derivable en \(I\) y que, dado \(x\in I\):

\[g'(x)=-k\text{e}^{-kx}f(x)+\text{e}^{-kx}f'(x)=-k\text{e}^{-kx}f(x)+k\text{e}^{-kx}f(x)=0\]

Por la parte iii) del teorema anterior existe \(C\in\mathbb{R}\) tal que \(g(x)=C\,,\forall x\in I\), tal y como se quería.

Ya habíamos demostrado en otro artículo el teorema de la función inversa para funciones derivables. Sin embargo volvemos a enunciarlo aquí como una consecuencia o corolario, pues la parte iv) del teorema 3 facilita, en la mayoría de los casos, la comprobación de las hipótesis del citado teorema de la función inversa.

Corolario 3 (teorema de la función inversa).

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(I\) con \(f'(a)\neq0\,,\forall\,a\in I\). Entonces \(f\) es estrictamente monótona, \(f^{-1}\) es derivable en \(f(I)\) y

\[(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\,,\forall\,a\in I\]

Por el apartado iv) del teorema 3, \(f\) es estrictamente monótona. Por el corolario 2 del artículo dedicado a las funciones continuas e inyectivas, \(f^{-1}\) es continua en \(f(I)\), con lo que basta aplicar el teorema de la función inversa para funciones derivables.

Para poner en práctica todo el desarrollo teórico visto en este artículo puedes visitar este otro: ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio.

Referencias bibliográficas.

Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).

Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).


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El teorema de Rolle. El teorema del valor medio

Comencemos recordando que, por definición, una función \(f\) alcanza un máximo relativo (respectivamente, un mínimo relativo) en un punto \(a\) si, y solo si, existe un entorno de \(a\), \((a-\delta,\,a+\delta)\), tal que para todo \(x\) de dicho entorno se tiene \(f(x)\leqslant f(a)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(a)\)).

Diremos que \(f\) alcanza un extremo relativo en el punto \(a\) cuando \(f\) alcance un máximo relativo o un mínimo relativo en \(a\).

Un resultado de gran importancia es la condición necesaria de máximo o mínimo relativo en funciones derivables.

Si \(f(x)\) es derivable en \(a\) y tiene un máximo o un mínimo relativo en él, entonces \(f'(a)=0\).

Teorema de Rolle

Antes de enunciar el teorema de Rolle vamos a reflexionar sobre su interpretación geométrica. La idea es la siguiente. Tenemos la gráfica de una función cuyo "dibujo" se puede hacer sin levantar el lápiz del papel (continua) y de manera suave, sin picos o "puntos angulosos" (derivable) y, además, toma los mismos valores en los extremos de un intervalo (o sea, empezamos y terminamos el dibujo de la gráfica a la misma altura). Entonces, sea como sea el dibujo, tiene que haber al menos un punto del interior del intervalo en el que la recta tangente en el mismo es horizontal. Esto se comprende mejor observando la siguiente figura.

Rolle ValorMedio 01

Teorema de Rolle

Sea \(f:[a,\,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\) verificando que \(f(a)=f(b)\). Entonces existe un punto \(c\) del intervalo \((a,\,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Según el teorema de Weierstrass sobre la continuidad de funciones (lo puedes encontrar en el artículo dedicado al teorema de Bolzano), existen dos puntos de \([a,\,b]\) tales que la función alcanza respectivamente su máximo \(M\) y mínimo \(m\) absolutos.

Distinguiremos dos casos.

Si estos puntos son los extremos del intervalo, entonces \(f(a)=f(b)=m=M\), luego la función es constante en todos los puntos de \([a,\,b]\), por lo que \(f'(c)=0\) en cualquier punto de \((a,\,b)\).

Si \(f\) alcanza el máximo o el mínimo absoluto en un punto \(c\) del interior del intervalo (distinto de los extremos), tenemos que dicho máximo o mínimo absoluto también será máximo o mínimo relativo, con lo que por la condición necesaria de máximo o mínimo relativo vista más arriba, tenemos que \(f'(c)=0\)

Hay que tener presente que, si en el teorema de Rolle suprimimos alguna de las hipótesis, no podemos asegurar que el teorema se cumpla. Asi, en las tres funciones siguientes tenemos que la primera no es continua en \([a,\,b]\), aunque es derivable en \((a,\,b)\) y \(f(a)=f(b)\). La segunda no es derivable en \((a,\,b)\), aunque es continua en \([a,\,b]\) y \(f(a)=f(b)\). La tercera es continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\), aunque \(f(a)\neq f(b)\). En ninguna de ellas hay un punto \(c\in(a,\,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Rolle ValorMedio 03

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio también se conoce con el nombre de teorema del valor medio de Lagrange o teorema de los incrementos finitos.

Al igual que hemos hecho anteriormente, nos aproximaremos al teorema del valor medio mediante su interpretación geométrica. La idea consiste en que una curva continua y sin picos que va de \(A\) hasta \(B\) tendrá algún punto intermedio en el que su recta tangente sea paralela al segmento \(\overline{AB}\). También se comprende mejor si observamos la siguiente figura.

Rolle ValorMedio 02

Teorema del valor medio

Sea \(f:[a,\,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\). Entonces existe un punto \(c\) del intervalo abierto \((a,\,b)\) tal que \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\).

Sea \(f:[a,\,b]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por:

\[g(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\,,\,\forall x\in[a,\,b]\]

Claramente \(g\) es continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\) con

\[g'(x)=(f(b)-f(a))-(b-a)f'(x)\,,\,\forall x\in(a,\,b)\]

Además, es fácil comprobar que \(g(a)=g(b)\). Por el teorema de Rolle existe un \(c\in(a,\,b)\) tal que \(g'(c)=0\), esto es, tal que

\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\]

Fijémonos otra vez en la figura anterior. Supongamos que la recta que pasa por \(A=(a,\,f(a))\) y \(B=(b,\,f(b))\) es \(y=mx+n\). Entonces, precisamente por pasar por los puntos \(A\) y \(B\) tenemos que

\[\begin{cases}f(b)=mb+n\\f(a)=ma+n\end{cases}\Rightarrow f(b)-f(a)=mb-ma\Rightarrow\]

\[\Rightarrow f(b)-f(a)=m(b-a)\Rightarrow m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

O sea, que la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\) es \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Pero el teorema del valor medio afirma que existe \(c\in(a,\,b)\) tal que \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\), o sea, tal que \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Lo que viene a decir que la pendiente de la recta tangente en un punto intermedio es igual que la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\), es decir, que ambas son paralelas.

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