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La derivada y la recta tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar.

derivadas01

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación \(y=f(x)\) en el punto \((a,f(a))\). La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto \((a,f(a))\) con un punto cercano \((x,f(x))\), de la gráfica de \(f\). Esta recta recibe el nombre de secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Dicho número suele llamarse cociente incremental de \(f\) en \(a\).

Obsérvese que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el punto \((x,f(x))\) esté próximo a \((a,f(a))\). Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\) como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

supuesto, claro está, que dicho límite exista.

Al límite anterior se le llama derivada de \(f\) en el punto \(a\) y se denota por \(f'(a)\). También se dice que \(f\) es derivable en \(x=a\). La recta tangente a la curva en el punto tendrá pues la siguiente ecuación:

\[y-f(a)=f'(a)(x-a)\]

Por ejemplo, si queremos hallar la recta tangente a la curva \(y=x^2-3x+1\) en el punto \(x=3\), hemos de aplicar la ecuación anterior. En este caso \((a\,,\,f(a))=(3\,,\,1)\). Ahora calculamos la derivada en \(x=3\):

\[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-3x+1-1}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-3x}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x(x-3)}{x-3}=3\]

Por tanto la recta tangente es:

\[y-1=3(x-3)\Rightarrow y=3x-8\]

En la siguiente representación con desmos se aprecia con claridad.

derivadas02

De entre todas las rectas que pasan por el punto \((a,f(a))\) la recta tangente es la que mejor aproxima a la función en las proximidades de dicho punto, en el sentido de que, si \(f\) es derivable en \(x=a\) y llamamos \(g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\), entonces \(g\) es la única función que verifica

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

Vamos a formalizar la idea anterior. Las aplicaciones \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) de la forma

\[g(x)=mx+m\ ,\ \forall\,x\in\mathbb{R}\]

en que \(m\) y \(n\) son números reales fijos, se suelen llamar funciones afines de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) (obsérvese que las funciones afines son aquellas cuya representación gráfica es una línea recta).

Proposición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y \(a\in A\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) \(f\) es derivable en el punto \(a\).

ii) \(f\) es continua en el punto \(a\) y existe una función afín \(g\) tal que:

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

En caso de que se cumplan i) y ii) la función \(g\) viene dada por

\[g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\ ,\ \forall\,x\in\mathbb{R}\]

y como consecuencia \(g\) es única.

i) \(\Rightarrow\) ii) Para \(x\in A\) se tiene

\[f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

con lo que, por ser \(f\) derivable en el punto \(a\), tenemos

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

luego \(f\) es continua en el punto \(a\). Además, tomando \(g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) es evidente que \(g\) es una función afín (\(m=f'(a)\), \(n=f(a)-af'(a)\)) y se tiene

\[\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\ ,\ \forall\,x\in A-\{a\}\]

con lo que

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

ii) \(\Rightarrow\) i) Sea \(g(x)=mx+n\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Es claro que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=0\), con lo que aplicando que \(f\) y \(g\) son continuas en \(a\) tenemos \(f(a)=g(a)=ma+n\). Usando esta igualdad obtenemos, para \(x\in A\)

\[\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(a)-g(x)}{x-a}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-m\]

luego

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=m\]

esto es, \(f\) es derivable en \(a\) con \(f'(a)=m\). Finalmente se tiene, para todo \(x\) real

\[g(x)=mx+n=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)(x-a)+f(a)\]

Es importante destacar que la afirmación i) \(\Rightarrow\) ii) nos da una relación entre las dos familias más importantes de funciones reales de variable real: toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco de la anterior afirmación no es cierto: hay funciones continuas que no son derivables: la función valor absoluto es continua en cero pero no es derivable en cero (ver el último ejemplo de este otro artículo dedicado a la derivada de una función).

La representación gráfica de cualquier función afín \(h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) de la forma

\[h(x)=f(a)+K(x-a)\ ,\ \forall\,x\in\mathbb{R}\]

en que \(K\) es cualquier número real, es una recta que pasa por el punto \((a,f(a))\). Tal y como se comentó antes de enunciar la proposición anterior, la función \(g\) es una de las descritas, concretamente la que corresponde al valor \(K=f'(a)\). El hecho de que es la que mejor aproxima a la función \(f\) en las proximidades del punto \(a\) viene dado, tal y como se ha demostrado en la proposición, por el hecho de que es la única que verifica

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0\]

Es natural, por tanto, dar a la función \(g\) el nombre de función afín tangente a la gráfica de la función \(f\) en el punto \((a,f(a))\) y llamar a la representación gráfica de \(g\) recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\). Puesto que esta recta tiene ecuación \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\), resulta que \(f'(a)\) no es otra cosa que la "pendiente" de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\). Se vuelve a redundar en lo comentado al principio de este artículo pero, aún a sabiendas de que uno es pesado, también es conveniente no perder nunca de vista que esta es la interpretación geométrica del concepto de derivada.

Proponemos a continuación una serie de ejercicios de los que se da su solución.

Ejercicios

1. Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) y \(a\in A\). Probar que \(f\) es derivable en \(a\) si, y sólo si, existe el siguiente límite

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

en cuyo caso

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

Si \(f\) es derivable en \(a\), entonces por definición de función derivable en un punto tenemos:

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Llamemos \(x=a+h\). Obsérvese que si \(x\rightarrow a\), entonces \(h\rightarrow0\) y se tiene:

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

Recíprocamente, si existe

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

usando el mismo cambio de variable anterior se tiene que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]

2. Sean \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \(a\in\mathbb{R}\). Sea \(g:\mathbb{R^*}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(h)=\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\ ,\ \forall\,h\in\mathbb{R^*}\]

Probar que si \(f\) es derivable en \(a\) entonces \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}g(h)=f'(a)\). Dar un ejemplo de una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) que no sea derivable en un punto \(a\) y tal que la correspondiente función \(g\) tenga límite en cero.

Obsérvese que

\[g(h)=\frac{1}{2}\left[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac{f(a)-f(a-h)}{h}\right]\]

Por el ejercicio anterior tenemos que

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

Llamando \(x=a-h\), el segundo miembro en la expresión de \(g(h)\) es

\[\frac{f(a)-f(x)}{a-x}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

y por tanto

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]

De este modo:

\[\lim_{h\rightarrow0}g(h)=\frac{1}{2}\left(f'(a)+f'(a)\right)=f'(a)\]

Sea la función valor absoluto:

\[f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & x\geqslant0 \\
                  -x & \text{si} & x<0
                \end{array}
  \right.\]

Sabemos que \(f\) no es derivable en cero. Si tomamos entonces \(a=0\) tenemos:

\[\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h}=0\]

El límite anterior es cero porque

\[f(h)-f(-h)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  h-h=0 & \text{si} & h\geqslant0 \\
                  -h-(-h)=0 & \text{si} & h<0
                  \end{array}
  \right.\]

3. Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) y \(a\in A\). Supongamos que \(f\) es derivable en \(a\). Probar que

\[\exists\,M,\delta\in\mathbb{R^+}\,:\,x\in A\,,|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|\leqslant M|x-a|\]

¿Es cierta la misma afirmación suponiendo solamente que \(f\) es continua en \(a\)?

Al ser \(f\) derivable en \(a\) tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right)= \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{x-a}=0\]

Entonces, por la caracterización del límite de una función en un punto tenemos:

\[\forall\,\varepsilon>0\ \exists\,\delta>0\,:\,x\in A\,,0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{x-a}\right|<\varepsilon\]

La última desigualdad es equivalente a

\[|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|<\varepsilon|x-a|\]

Por tanto:

\[|f(x)-f(a)|-|f'(a)(x-a)|\leqslant|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|\Rightarrow\]

\[\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon|x-a|+|f'(a)||x-a|=\left(\varepsilon+|f'(a)|\right)|x-a|\]

Tomando \(M=\varepsilon+|f'(a)|\) se tiene el resultado que se pide.

La afirmación no es cierta suponiendo solamente que f es continua en \(a\). Como ejemplo sea \(f:\mathbb{R^+_0}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\sqrt{x}\). La función \(f\) es continua en \(a=0\), pero no es derivable:

\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\]

La expresión anterior tiende a \(+\infty\) cuando \(x\) tiende a cero. Por tanto, \(f\) no es derivable en \(a=0\).

Además, si fuera \(|f(x)-f(a)|\leqslant|x-a|\) tendríamos que \(|f(x)-f(0)|=|\sqrt{x}|=\sqrt{x}\leqslant Mx\) y entonces \(\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant M\), que es una contradicción pues el conjunto \(\{\frac{1}{\sqrt{x}}\,:\,x\in\mathbb{R^+}\}\) no está acotado.

4. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2-x+1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\). Encontrar los puntos de la gráfica de \(f\) en los que la recta tangente tenga pendiente \(2\).

Sea \(a\in\mathbb{R}\). Entonces:

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^2-x+1-a^2+a-1}{x-a}=\frac{x^2-x-a^2+a}{x-a}=\]

\[=\frac{(x-a)(x+a-1)}{x-a}=x+a-1\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x+a-1)=2a-1\]

y \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) con \(f'(x)=2x-1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

5. Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) y \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2+\alpha  x+\beta\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\). Encontrar los valores de \(\alpha\) y \(\beta\) que hacen que el punto \((2,4)\) pertenezca a la gráfica de \(f\) y que la recta tangente a la misma en dicho punto sea la recta de ecuación \(2x-y=0\).

Dado \(a\in\mathbb{R}\) tenemos:

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^2\alpha x+\beta-a^2-\alpha a-\beta}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}+\frac{\alpha(x-a)}{x-a}=x+a+\alpha\]

Entonces:

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x+a+\alpha)=2a+\alpha\]

y \(f\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) con \(f'(x)=2x+\alpha\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

Si el punto \((2,4)\) pertenece a la gráfica de \(f\), se tiene \(f(2)=2^2+2\alpha+\beta=4\), de donde \(2\alpha+\beta=0\). Además, si la recta tangente a la misma en dicho punto es la recta de ecuación \(2x-y=0\), entonces \(f'(2)=2\Rightarrow2\cdot2+\alpha=2\Rightarrow\alpha=-2\). Por tanto, \(2\cdot(-2)+\beta=0\Rightarrow\beta=4\).

6. Sean \(a,b,c\in\mathbb{R}\) y \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones \(f(x)=x^2+ax+b\,,\,g(x)=x^3-c\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(g\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) (\(f\) lo es por el ejercicio anterior). Determinar los valores de \(a\), \(b\), \(c\) que hacen que las gráficas de \(f\) y \(g\) pasen por el punto \((1,2)\) y tengan la misma recta tangente en dicho punto.

Dado \(a\in\mathbb{R}\):

\[\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{x^3-c-a^3+c}{x-a}=\frac{(x^2+ax+a^2)(x-a)}{x-a}=x^2+ax+a^2\]

Entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}(x^2+ax+a^2)=3a^3\]

Por tanto, \(g\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) con \(g'(x)=3x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

Si las gráficas de \(f\) y \(g\) pasan por el punto \((1,2)\), entonces \(f(1)=2\) y \(g(1)=2\), es decir, \(1+a+b=2\) y \(1-c=2\), o lo que es lo mismo, \(a+b=1\) y \(c=-1\). Además, si \(f\) y \(g\) tienen la misma recta tangente en dicho punto, entonces \(f'(1)=g'(1)\Rightarrow2+a=3\Rightarrow a=1\) y sustituyendo en \(a+b=1\), tenemos \(b=0\).

7. Poner un ejemplo de una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) que sea derivable por la izquierda en cero y no sea continua en cero.

Sea \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
  x & \text{si} & -2\leqslant x\leqslant0 \\
  x+1 & \text{si} & 0<x\leqslant 2
  \end{array}
  \right.\]

Tenemos que

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\neq1=\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)\]

lo que demuestra que \(f\) no es continua en cero. Sin embargo

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\]

de donde se deduce que \(f\) es derivable por la izquierda en cero y la derivada por la izquierda en cero vale \(1\).

8. Sea \(\alpha\) un número real. Estudiar la continuidad y derivabilidad en \(0\) de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
  0 & \text{si} & x\leqslant0 \\
  x^{\alpha} & \text{si} & x>0
  \end{array}
  \right.\]

Si \(\alpha\neq0\), tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\quad;\quad\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
  0 & \text{si} & \alpha>0 \\
  1 & \text{si} & \alpha=0 \\
  +\infty & \text{si} & \alpha>0
  \end{array}
  \right.\]

Por tanto, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0=f(0)\) solamente cuando \(\alpha>0\), es decir, \(f\) es continua en cero si \(\alpha>0\) y no es continua en cero si \(\alpha\leqslant0\). Además:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\]

\[\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x^{\alpha}}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}x^{\alpha-1}=
  \left\{\begin{array}{ccc}
  1 & \text{si} & \alpha=1 \\
  0 & \text{si} & \alpha>1 \\
  +\infty & \text{si} & 0<\alpha<1
         \end{array}
  \right.\]

En conclusión, \(f\) será derivable en cero cuando \(\alpha>1\), y en este caso \(f'(0)=0\).

9. Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) y \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  \alpha x+\beta & \text{si} & x\leqslant0 \\
                  x^2 & \text{si} & x>0
                \end{array}
  \right.\]

¿Para qué valores de \(\alpha\) y \(\beta\) es \(f\) derivable en cero?

Claramente

\[\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=\beta\quad;\quad\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=0\]

Entonces para que \(f\) sea continua en cero debe ser \(\beta=0\) y en este caso

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\alpha\quad;\quad\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\]

Así, para que \(f\) sea derivable en cero ha de ser \(\alpha=0\). O sea, que para que la función sera continua y derivable en cero debe estar definida del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  0 & \text{si} & x\leqslant0 \\
                  x^2 & \text{si} & x>0
                \end{array}
  \right.\]

10. Estudiar la derivabilidad en cero de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{    \begin{array}{ccc}
                      x^2 & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                      0 & \text{si} & x\notin\mathbb{Q}
                    \end{array}
  \right.\]

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales distintos de cero convergente a cero. Entonces \(\{f(x_n)\}\rightarrow0\), ya sea \(x_n\in\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\); o \(x_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), pues en el primer caso \(\{f(x_n)\}=\{x_n^2\}\) y en el segundo \(\{f(x_n)\}=\{0\}\). Así, \(f\) es continua en cero.

Supongamos ahora que \(\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{Q}\). Entonces

\[\left\{\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}\right\}=\left\{\frac{x_n^2}{x_n}\right\}=\{x_n\}\rightarrow0\]

Ahora bien, si \(\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), tenemos

\[\left\{\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}\right\}=\{0\}\rightarrow0\]

En todo caso \(\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\), con lo que \(f\) es derivable en cero y \(f'(0)=0\)

Referencia bibliográfica.

Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).


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Fórmulas trigonométricas

Puedes encontrar aquí un esquema, en una sola página, de las 16 fórmulas que se demuestran en este artículo

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma \(\alpha+\beta\) en función de las razones trigonométricas de \(\alpha\) y de \(\beta\). Para ello usaremos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\alpha+\beta\).

formulas trigonometricas 1

En el triángulo de color rojo \(OAB\), cuya hipotenusa \(\overline{OB}\) la tomamos como unidad, se tiene claramente que:

\[\cos\beta=\overline{OA}\quad\text{;}\quad\text{sen}\,\beta=\overline{AB}\]

En el triángulo de color azul \(OPB\) tenemos que:

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\frac{\overline{PB}}{\overline{OB}}=\overline{PB}\qquad(\text{I})\]

Además, podemos expresar \(\overline{PB}\) como \(\overline{QA}+\overline{AC}\). También tenemos que:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{\overline{QA}}{\overline{OA}}\Rightarrow\overline{QA}=\overline{OA}\,\text{sen}\,\alpha=\cos\beta\,\text{sen}\,\alpha\]

\[\cos\alpha=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\Rightarrow\overline{AC}=\overline{AB}\,\cos\alpha=\text{sen}\,\beta\,\cos\alpha\]

Por tanto:

\[\overline{PB}=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(\text{II})\]

Igualando \((\text{I})\) y \((\text{II})\), obtenemos:

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

A partir de la fórmula anterior y usando que \(\text{sen}(90^{\text{o}}+\phi)=\cos\phi\), y que \(\cos(90^{\text{o}}+\phi)=-\text{sen}\,\phi\), \(\forall\,\phi\), podemos demostrar una fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos:

\[\cos(\alpha+\beta)=\text{sen}\left(90^{\text{o}}+(\alpha+\beta)\right)=\text{sen}\left((90^{\text{o}}+\alpha)+\beta\right)=\]

\[=\text{sen}(90^{\text{o}}+\alpha)\cos\beta+\cos(90^{\text{o}}+\alpha)\,\text{sen}\,\beta=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

También podemos probar igualmente una fórmula para la tangente de la suma de dos ángulos:

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{sen}(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}=\]

Dividiendo todos los términos del numerador y del denominador entre \(\cos\alpha\cos\beta\) y simplificando nos queda:

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}{1-\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\]

Hemos obtenido pues las siguientes tres fórmulas, que son las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos.

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(1)\]

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(2)\]

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}{1-\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\qquad(3)\]

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Teniendo en cuenta que \(\text{sen}(-\phi)=-\text{sen}\,\phi\) y que \(\cos(-\phi)=-\cos\phi\), si en la primera de las fórmulas anteriores ponemos \(-\beta\) en lugar de \(\beta\) obtenemos:

\[\text{sen}(\alpha-\beta)=\text{sen}(\alpha+(-\beta))=\text{sen}\,\alpha\,\cos(-\beta)+\cos\alpha\,\text{sen}(-\beta)=\]

\[=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,(-\text{sen}\,\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Análogamente procederíamos con \(\cos(\alpha-\beta)\) y con \(\text{tg}(\alpha-\beta)\) para obtener las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos. Las demostraciones son muy similares a la anterior.

\[\text{sen}(\alpha-\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(4)\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(5)\]

\[\text{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha-\text{tg}\,\beta}{1+\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\qquad(6)\]

Razones trigonométricas del ángulo doble

Si en las fórmulas \((1)\), \((2)\) y \((3)\) hacemos \(\alpha=\beta\), obtenemos las razones trigonométricas de \(2\alpha\) en función de \(\alpha\), es decir, las razones trigonométricas del ángulo doble. La demostración es obvia.

\[\text{sen}\,2\alpha=2\,\text{sen}\,\alpha\,\cos\alpha\qquad(7)\]

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\text{sen}^2\,\alpha\qquad(8)\]

\[\text{tg}\,2\alpha=\frac{2\text{tg}\,\alpha}{1-\text{tg}^2\,\alpha}\qquad(9)\]

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Veremos ahora cómo se obtienen las razones trigonométricas del ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\) en función de \(\cos\alpha\).

Teniendo en cuenta que \(\alpha=2\cdot\dfrac{\alpha}{2}\), aplicando la fórmula \((8)\) tenemos:

\[\cos\alpha=\cos\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\qquad(\text{III})\]

También es cierta la fórmula fundamental de la trigonometría para cualquier ángulo, en particular, para el ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\):

\[1=\cos^2\frac{\alpha}{2}+\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\qquad(\text{IV})\]

Sumando y restando las igualdades \((\text{III})\) y \((\text{IV})\) se obtienen las dos igualdades siguientes:

\[1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}\]

\[1-\cos\alpha=2\,\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\]

De estas igualdades se despejan, respectivamente, \(\cos\dfrac{\alpha}{2}\) y \(\text{sen}\dfrac{\alpha}{2}\). A partir de ellas se obtiene también \(\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\). Llegamos pues así a las razones trigonométricas del ángulo mitad.

\[\text{sen}\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\qquad(10)\]

\[\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\qquad(11)\]

\[\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\qquad(12)\]

En cada caso, el signo será positivo o negativo según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\).

Sumas y diferencias de senos y de cosenos: transformación de sumas y diferencias en productos

A veces conviene expresar una suma o una diferencia en forma de producto. Vamos a deducir, por ejemplo, en qué producto se transforma la suma \(\cos A+\cos B\). Para ello nos basaremos en las fórmulas \((2)\) y \((5)\):

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Sumando y restando las dos fórmulas anteriores obtenemos, respectivamente:

\[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\qquad(\text{V})\]

\[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(\text{VI})\]

Es conveniente cambiar la notación para facilitar los cálculos, así que llamaremos \(\displaystyle\begin{cases}\alpha+\beta=A\\\alpha-\beta=B\end{cases}\). Si en el sistema anterior despejamos \(\alpha\) y \(\beta\) tenemos que \(\alpha=\dfrac{A+B}{2}\), \(\beta=\dfrac{A-B}{2}\). Si ahora sustituimos los valores anteriores en \((\text{V})\) y \((\text{VI})\), obtenemos:

\[\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\]

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\]

Si se procede de manera similar utilizando las fórmulas del seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos se pueden obtener expresiones para transformar sumas y diferencias de senos en productos. De esta manera tenemos finalmente las sumas y diferencias de senos y cosenos, las cuales transforman sumas y diferencias en productos.

\[\text{sen}\,A+\text{sen}\,B=2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\cos\frac{A-B}{2}\qquad(13)\]

\[\text{sen}\,A+\text{sen}\,B=2\cos\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\qquad(14)\]

\[\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\,\cos\frac{A-B}{2}\qquad(15)\]

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\qquad(16)\]

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Cuatro problemas de trigonometría para profundizar

Se proponen a continuación cuatro problemas de trigonometría para profundizar un poco más en esta parte de las matemáticas. Estos apuntes de trigonometría os pueden servir para aprender o repasar los conceptos fundamentales. Estos mismos conceptos los podéis ver en la siguiente presentación sobre trigonometría.

Es importante intentar hacerlos antes de hacer clic sobre el desplegable para ver la resolución del problema correspondiente.

Problema 1

Dos vías de tren de \(1,4\) m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de \(40^\text{o}\), ¿cuánto valdrá el lado del rombo?

Este problema se puede resolver con cierta facilidad si se realiza un dibujo adecuado.

problema trigonometria 1

Observa que las dos vías se cruzan en el rombo \(ABCD\), y que el triángulo \(ADE\) es claramente rectángulo. En este último triángulo conocemos el lado \(DE=1,4\ \text{m}\) (el ancho de las vías). Además hemos llamado \(x=AD\) al lado del rombo. Entonces:

\[\text{sen}\,40^{\text{o}}=\frac{DE}{AD}=\frac{1,4}{x}\Rightarrow x=\frac{1,4}{\text{sen}\,40^{\text{o}}}=\frac{1,4}{0,643}\approx2,18\]

Por tanto el lado del rombo mide, aproximadamente, \(2,18\) metros.

Problema 2

Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles \(A\) y \(B\), fijamos dos puntos \(C\) y \(D\) tales que \(\overline{CD}=300\) m, y medimos los siguientes ángulos: \(\widehat{ADB}=25^\text{o}\), \(\widehat{BDC}=40^\text{o}\), \(\widehat{ACD}=46^\text{o}\) y \(\widehat{ACB}=32^\text{o}\). Calcula la distancia entre \(A\) y \(B\).

problemas trigonometria 01

Con estos datos podemos calcular los ángulos \(\widehat{CAD}=180^\text{o}-65^\text{o}-46^\text{o}=69^\text{o}\) y \(\widehat{CBD}=180^\text{o}-40^\text{o}-78^\text{o}=60^\text{o}\).

Calculamos ahora \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\). Para ello aplicamos el teorema de los senos.

\[\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,46^\text{o}}=\frac{300}{\text{sen}\,69^\text{o}}\Rightarrow \overline{AD}=\frac{300\cdot\text{sen}\,46^\text{o}}{\text{sen}\,69^\text{o}}\approx223,22\]

De manera similar calculamos \(\overline{BD}\) en el triángulo \(BCD\).

\[\frac{\overline{BD}}{\text{sen}\,78^\text{o}}=\frac{300}{\text{sen}\,60^\text{o}}\Rightarrow \overline{AD}=\frac{300\cdot\text{sen}\,78^\text{o}}{\text{sen}\,60^\text{o}}\approx338,84\]

Finalmente calculamos la distancia entre \(A\) y \(B\), \(\overline{AB}\), aplicando el teorema del coseno en el triángulo \(ABD\).

\[\overline{AB}^2=\overline{AD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\overline{AD}\cdot\overline{BD}\cdot\cos\,25^\text{o}\approx\]

\[\approx223,22^2+338,84^2-2\cdot223,22\cdot338,84\cdot0,91=27540,97\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{27540,97}=165,95\]

Por tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es, aproximadamente, \(165,95\) metros.

Problema 3

En un círculo de \(15\) cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda de \(20\) cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.

Hagamos un dibujo de la situación expresada en el enunciado del problema:

problema trigonometria 2

Podemos dividir la zona sombreada, cuya área queremos calcular, en tres partes, \(S_1\), \(S_2\) y \(S_3\).

\(S_2\) es un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden \(15\) cm y el lado desigual mide \(20\) cm. El área de este triángulo, que llamaremos \(A_2\), es \(A_2=\dfrac{20 h}{2}=10h\), donde \(h\) es la altura correspondiente al lado desigual. Es fácil darse cuenta de que, por el teorema de Pitágoras, \(15^2=10^2+h^2\), de donde \(h=\sqrt{15^2-10^2}=11,18\) cm2. Por tanto \(A_2=10\cdot11,18=111,8\) cm2.

También, utilizando el teorema del coseno, podemos calcular en este mismo triángulo el ángulo \(\beta\):

\[20^2=15^+15^2-2\cdot15\cdot15\cdot\cos\beta\Rightarrow450\cos\beta=225+225-400\Rightarrow\]

\[\Rightarrow450\cos\beta=50\Rightarrow\cos\beta=1,11\Rightarrow \beta=83,62^{\text{o}}\]

Obsérvese ahora que los sectores circulares \(S_1\) y \(S_3\) son iguales y de ángulo fácil de calcular una vez conocido \(\beta\): \(\alpha=\dfrac{180-\beta}{2}=48,19^{\text{o}}\). Si llamamos \(A_1\) y \(A_3\) al área de estos dos sectores tenemos que:

\[A_1=A_3=\dfrac{\pi\cdot r^2}{360^{\text{o}}}\alpha=\dfrac{\pi\cdot15^2}{360^{\text{o}}}48,19^{\text{o}}=94,62\,\text{cm}^2\]

Por tanto el área que nos piden es:

\[A_1+A_2+A_3=94,62+111,8+94,62=301,04\,\text{cm}^2\]

Problema 4

Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden \(9\) m y \(4\) m. Halla el ángulo \(2\alpha\), que forman sus tangentes comunes.

Observa la siguiente figura:

problemas trigonometria 02

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8 usos de la trigonometría para el cálculo de alturas y distancias

Con unas nociones básicas de trigonometría se puede hacer uso de la misma para calcular alturas y distancias entre puntos en situaciones muy diversas. Presentamos aquí 8 usos de la trigonometría para el cálculo de alturas y distancias. Son aplicaciones prácticas en las que se supone que contamos con el material necesario para medir ciertos ángulos (ángulos verticales, sobre todo de elevación, y ángulos horizontales) como, por ejemplo, un teodolito. En Topografía, el estudio de instrumentos y aparatos de medición es fundamental, pero eso es materia de estudios superiores. En todo caso estos apuntes sobre instrumentos topográficos son muy completos para el que desee echarles un vistazo. Sin embargo, a un nivel de matemáticas en Bachillerato, lo que interesa es ver la manera de establecer un método para solucionar el problema que se plantea, usando nociones básicas de trigonometría, por ejemplo, el teorema de los senos y/o el teorema del coseno.

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VIII)

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Distancia entre dos puntos inaccesibles

Deseamos calcular la distancia \(\overline{AB}=x\) entre dos puntos \(A\) y \(B\) a los que no tenemos acceso, tal y como se muestra en la figura.

trig13

Para ello medimos una base arbitraria \(\overline{CD}\), situada en el mismo plano que \(A\) y \(B\). Desde \(C\) medimos los ángulos \(\widehat{ACD}=\alpha\) y \(\widehat{BCD}=\beta\). Desde \(D\) medimos también los ángulos \(\widehat{CDB}=\gamma\) y \(\widehat{CDA}=\delta\). Con estos datos también podemos conocer el ángulo \(\widehat{CAD}=180^{\text{o}}-\alpha-\delta\) y el ángulo \(\widehat{CBD}=180^{\text{o}}-\beta-\gamma\).

El método a seguir consiste en calcular previamente \(\overline{AC}\) en el triángulo \(ACD\) aplicando el teorema de los senos:

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,\widehat{CDA}}=\frac{\overline{CD}}{\text{sen}\,\widehat{CAD}}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\delta}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\alpha-\delta)}\]

A continuación se calcula \(\overline{BC}\) en el triángulo \(BCD\) aplicando otra vez el teorema de los senos:

\[\frac{\overline{BC}}{\text{sen}\,\widehat{BDC}}=\frac{\overline{CD}}{\text{sen}\,\widehat{CBD}}\Rightarrow\overline{BC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\gamma}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\beta-\gamma)}\]

Por último calculamos \(\overline{AB}=x\) en el triángulo \(ABC\) aplicando el teorema del coseno:

\[x^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\alpha-\beta)\]

Ejemplo

Para calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles \(A\) y \(B\), se ha medido una base \(\overline{CD}\) de 240 metros, situada en el mismo plano que \(A\) y \(B\); también se han medido los ángulos \(\widehat{DCA}=106^{\text{o}}\), \(\widehat{DCB}=39^{\text{o}}\), \(\widehat{CDB}=122^{\text{o}}\) y \(\widehat{CDA}=41^{\text{o}}\). Calcular la distancia entre \(A\) y \(B\).

Solución

trig14

Llamemos \(x\) a la distancia entre \(A\) y \(B\). En este caso, según los datos del problema \(\alpha=106^{\text{o}}\), \(\beta=39^{\text{o}}\), \(\gamma=122^{\text{o}}\) y \(\delta=41^{\text{o}}\). Calculemos \(\overline{AC}\) y \(\overline{BC}\).

\[\overline{AC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\delta}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\alpha-\delta)}=\frac{240\cdot\text{sen}\text{sen}41^{\text{o}}}{\text{sen}33^{\text{o}}}\approxeq289,1\]

\[\overline{BC}=\frac{\overline{CD}\cdot\text{sen}\,\gamma}{\text{sen}(180^{\text{o}}-\beta-\gamma)}=\frac{240\cdot\text{sen}122^{\text{o}}}{\text{sen}19^{\text{o}}}\approxeq325,16\]

Finalmente calculamos \(x\) aplicando el teorema del coseno en el triángulo \(ABC\):

\[x^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\alpha-\beta)=\]

\[=289.1^2+325.16^2-2\cdot289.1\cdot625.16\cdot\cos37^{\text{o}}\approxeq333167,23\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\sqrt{333167,23}\Rightarrow x\approxeq577,2\]

Por tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es, aproximadamente, \(577,2\) metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VII)

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Altura de un objeto situado sobre un montículo, desde un terreno horizontal sin obstáculos

Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un objeto situado sobre un montículo o punto elevado, desde un terreno horizontal sin obstáculos en el que estamos situados, tal y como se muestra en la figura.

trig11

Elegimos un punto \(C\) arbitrario y medimos el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\alpha\). Moviéndonos en el plano determinado por \(A\), \(B\) y \(C\) nos desplazamos hasta un punto \(D\) y medimos \(\overline{CD}=d\), desde donde calculamos los respectivos ángulos de elevación de \(A\) y de \(B\), a los que llamaremos \(\beta\) y \(\gamma\), respectivamente.

El método a seguir consiste en calcular \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\) aplicando el teorema de los senos. Téngase en cuenta que en el triángulo \(ACD\) conocemos \(\overline{CD}=d\) y dos ángulos, \(\widehat{ACD}=\alpha\) y \(\widehat{ADC}=180^{\text{o}}-\beta\), lo que significa que también podemos calcular el tercero de los ángulos: \(\widehat{CAD}=180^{\text{o}}-(\alpha+180^{\text{o}}-\beta)=\beta-\alpha\).

\[\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,\widehat{ACD}}=\frac{d}{\text{sen}\,\widehat{CAD}}\Rightarrow\overline{AD}=\frac{d\cdot\text{sen}\,\alpha}{\text{sen}(\beta-\alpha)}\]

Finalmente, con el resultado anterior, se calcula \(x\) en el triángulo \(ABD\) aplicando otra vez el teorema de los senos. En este triángulo conocemos un lado, \(\overline{AD}\) y dos ángulos, \(\widehat{ADB}=\beta-\gamma\) y \(\widehat{DAB}=90^{\text{o}}-\beta\). Al igual que anteriormente esta información permite calcular el tercero de los ángulos: \(\widehat{ABD}=180^{\text{o}}-(\beta-\gamma+90^{\text{o}}-\beta)=90^{\text{o}}+\gamma\).

\[\frac{x}{\text{sen}\,\widehat{ADB}}=\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,\widehat{ABD}}\Rightarrow x=\frac{\overline{AD}\cdot\text{sen}(\beta-\gamma)}{\text{sen}(90^{\text{o}}+\gamma)}\]

Ejemplo

Una columna está situada sobre un peñón. Desde un punto \(C\) la parte superior de la misma se ve con un ángulo de elevación de \(55^{\text{o}}\). Situándonos en un punto \(D\), 40 metros más cerca, se constata que dicho ángulo de elevación se transforma en \(80^{\text{o}}\) y que el ángulo de elevación a la base de la columna es de \(60^{\text{o}}\). ¿Cuál es la altura de la columna?

trig12

Solución

Si nos fijamos en la figura anterior, los datos que proporciona el enunciado del problema son los siguientes. \(\alpha=55^{\text{o}}\), \(\beta=80^{\text{o}}\), \(\gamma=60^{\text{o}}\) y \(d=40\) metros. Entonces, en el triángulo \(ACD\) tenemos:

\[\overline{AD}=\frac{d\cdot\text{sen}\,\alpha}{\text{sen}(\beta-\alpha)}=\frac{40\cdot\text{sen}\,55^{\text{o}}}{\text{sen}\,25^{\text{o}}}\approxeq77,53\]

Por tanto, en el triángulo \(ABD\):

\[x=\frac{\overline{AD}\cdot\text{sen}(\beta-\gamma)}{\text{sen}(90^{\text{o}}+\gamma)}=\frac{77.53\cdot\text{sen}\,20^{\text{o}}}{\text{sen}\,150^{\text{o}}}\approxeq53,03\]

Es decir, la altura \(\overline{AB}\) de la columna es, aproximadamente, 53,03 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VI)

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos

Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos, tal y como se muestra en la figura (piénsese que la figura está dibujada en perspectiva).

trig9

Tomemos una base auxiliar \(\overline{CD}=d\). Desde \(C\) medimos el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\alpha\), el ángulo \(\widehat{ACD}\), al que llamaremos \(\beta\) y, finalmente, desde \(D\) mediremos también el ángulo \(\widehat{ADC}\), al que llamaremos \(\gamma\).

El método a seguir consiste en calcular \(\overline{AC}\) en el triángulo \(ACD\) y luego calcular \(x\) en el triángulo rectángulo \(ABC\). Aplicando el teorema de los senos en el triángulo \(ACD\):

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,\gamma}=\frac{d}{\text{sen}\,\widehat{CAD}}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,\gamma}{\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\gamma-\beta)}\]

Finalmente, en el triángulo rectángulo \(ABC\) se tiene:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{x}{\overline{AC}}\Rightarrow x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha\]

Ejemplo

Desde un barco fondeado frente a la costa se desea calcular la altura \(\overline{AB}\) de una torre. Para ello, desde la proa \(C\), a 4 metros sobre el nivel del mar, se mide el ángulo de elevación de \(A\): \(7^{\text{o}}\), y \(\widehat{ACD}=85^{\text{o}}\). Asimismo, desde la popa \(D\), también a 4 metros sobre el nivel del mar, se mide el ángulo \(\widehat{ACD}=87^{\text{o}}\) (ver figura). Si la distancia entre la proa y la popa es \(\overline{CD}=60\) metros, calcular la altura de la torre.

trig10

Solución

Llamemos \(B\,'\) al punto de la torre situado al nivel de la cubierta del barco (4 metros sobre el nivel del mar) y que se toma como referencia para medir el ángulo de elevación de \(A\): \(\alpha=7^{\text{o}}\). Llamaremos \(x=\overline{AB\,'}\), con lo que la altura de la torre será \(\overline{AB}=4+x\). Según el enunciado tenemos que \(\beta=85^{\text{o}}\), \(\gamma=87^{\text{o}}\) y \(d=60\) metros.

Tenemos pues, aplicando la fórmula vista anteriormente en el triángulo \(ACD\), que:

\[\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180\text{\grad}-\gamma-\beta)}{\text{sen}\,\gamma}=\frac{60\cdot\text{sen}\,87^{\text{o}}}{\text{sen}\,8^{\text{o}}}\approxeq430,53\]

Por tanto:

\[x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,7^{\text{o}}\approxeq52,47\]

Es decir, la altura de la torre es, aproximadamente, \(\overline{AB}=4+x\approxeq56,47\) metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (V)

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado sin obstáculos

Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado, tal y como se muestra en la figura.

trig7

Sea \(\gamma\) el ángulo de inclinación del terreno. Nos situamos en un punto \(C\) y calculamos el ángulo de elevación de \(A\), que lo llamaremos \(\alpha\). Sobre el plano que contiene el triángulo \(ABC\) medimos la distancia \(\overline{CE}=d\) y desde \(E\) volvemos a calcular el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\beta\).

El método a seguir consiste en calcular \(overline{AC}\) en el triángulo \(ACE\) y a partir de aquí calcular \(x\) en el triángulo \(ABC\). Por un lado está claro que \(\widehat{ACE}=\alpha-\gamma\), y por otro que \(\widehat{CAE}=\beta-\alpha\). Esto último está menos claro. Veamos la demostración:

\[\widehat{CAE}=\widehat{CAB}-\widehat{DAB}=(90^{\text{o}}-\alpha)-(90^{\text{o}}-\beta)=\beta-\alpha\]

Obsérvese que con estos dos ángulos también se puede calcular el ángulo \(\widehat{CAE}\):

\[\widehat{CEA}=180^{\text{o}}-\widehat{ACE}-\widehat{CAE}=180^{\text{o}}-(\alpha-\gamma)-(\beta-\alpha)=180^{\text{o}}+\gamma-\beta\]

Ahora aplicamos el teorema de los senos en el triángulo \(ACE\):

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,\widehat{CEA}}=\frac{d}{\text{sen}\,\widehat{CAE}}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}+\gamma-\beta)}{\text{sen}\,(\beta-\alpha)}\]

Finalmente, en el triángulo \(ABC\) se tiene:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{x}{\overline{AC}}\Rightarrow x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha\]

Ejemplo

El ángulo de elevación de una peña \(\overline{AB}\) mide \(47^{\text{o}}\). Después de caminar 1000 metros hacia ella, subiendo una pendiente inclinada \(32^{\text{o}}\) respecto de la horizontal, su ángulo de elevación es de \(77^{\text{o}}\). Hallar la altura de la peña con respecto al plano horizontal de la primera observación.

Solución

trig8

Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura de la peña. En este caso tenemos que \(\alpha=47^{\text{o}}\), \(\beta=77^{\text{o}}\), \(\gamma=32^{\text{o}}\) y \(d=1000\). De los datos anteriores obtenemos los necesarios para aplicar la fórmula vista anteriormente: \(\widehat{CAE}=\beta-\alpha=77^{\text{o}}-47^{\text{o}}=30^{\text{o}}\), \(\widehat{CEA}=180^{\text{o}}+\gamma-\beta=180^{\text{o}}+32^{\text{o}}-77^{\text{o}}=135^{\text{o}}\).

\[\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}+\gamma-\beta)}{\text{sen}\,(\beta-\alpha)}=\frac{1000\cdot\text{sen}\,135^{\text{o}}}{\text{sen}\,30^{\text{o}}}\approxeq1414,21\]

Por tanto:

\[x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,47^{\text{o}}\approxeq1034,29\]

Es decir, la altura de la peña es de, aproximadamente, 1034,29 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (IV)

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos

Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un punto de pie inaccesible, tal y como se muestra en la figura.

Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos

Para ello elegimos un punto \(C\) y medimos el ángulo de elevación de \(A\), que lo llamaremos \(\alpha\). Avanzamos una distancia \(\overline{CD}=d\) y desde \(D\) volvemos a medir el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\beta\).

El método a seguir consiste en calcular \(\overline{AC}\) en el triángulo \(ACD\) y luego calcular \(x\) en el triángulo \(ACB\) (o bien calcular \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\) y a continuación \(x\) en el triángulo \(ADB\)). Obsérvese en primer lugar que conocidos \(\alpha\) y \(\beta\) se puede calcular \(\gamma\):

\[\gamma=180^{\text{o}}-(\alpha+180^{\text{o}}-\beta)=\beta-\alpha\]

Ahora aplicamos el teorema de los senos en el triángulo \(ACD\):

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\beta)}=\frac{d}{\text{sen}\,\gamma}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\beta)}{\text{sen},\gamma}\]

Finalmente, en el triángulo \(ACB\) se tiene:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{x}{\overline{AC}}\Rightarrow x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha\]

De una manera análoga podemos calcular la distancia \(\overline{CB}\) si nos interesa:

\[\cos\,\alpha=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}\Rightarrow \overline{CB}=\overline{AC}\cdot\cos\,\alpha\]

Ejemplo

Desde un punto a ras de suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º. Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 14º. Calcular la altura del edificio.

Solución

Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos

Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura del edificio. En este caso tenemos que \(\alpha=48^{\text{o}}\), \(\beta=62^{\text{o}}\), \(d=20\) y \(\gamma=\beta-\alpha=62^{\text{o}}-48^{\text{o}}=14^{\text{o}}\) Entonces, según se ha explicado anteriormente:

\[\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\beta)}{\text{sen}\,\gamma}=\frac{20\cdot\text{sen}\,118^{\text{o}}}{\text{sen}14^{\text{o}}}\approxeq72,994\]

Por tanto:

\[x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,48^{\text{o}}\approxeq54,245\]

Es decir, la altura del edificio es de, aproximadamente, 54,245 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (III)

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Altura de un punto de pie accesible

Para calcular la altura de un punto de pie accesible se pueden presentar dos casos distintos. El primero de ellos, que el suelo sea horizontal (figura 1) y el segundo, que el suelo presente una determinada inclinación (ver figura 2).

 Altura de un punto de pie accesible

Si el suelo es horizontal (figura 1) el triángulo \(ABC\) es rectángulo y entonces es muy fácil hallar la altura \(h\).

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{h}{\overline{CB}}\Rightarrow h=\overline{CB}\cdot\text{tg}\,\alpha\]

Si el suelo presenta una inclinación dada, \(\beta\) (figura 2), conocemos también el ángulo \(\widehat{ACB}=\alpha-\beta\) y el ángulo \(\widehat{CAB}=90^{\text{o}}-\alpha\). Utilizando el teorema de los senos tenemos:

\[\frac{\overline{CB}}{\text{sen}\,\widehat{CAB}}=\frac{x}{\text{sen}\,\widehat{ACB}}\Rightarrow\frac{\overline{CB}}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}=\frac{x}{\text{sen}\,(\alpha-\beta)}\]

Y de aquí podremos despejar con facilidad la altura \(x\):

\[x=\frac{\overline{CB}\cdot\text{sen}\,(\alpha-\beta)}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}\]

Ejemplo

Un pasillo plano de 10 metros de largo y que forma un ángulo de \(25^{\text{o}}\) con la horizontal, conduce al pie de una gran torre. Calcular la altura de ésta, sabiendo que desde el inicio del pasillo el ángulo de elevación de su punto más alto es de \(82^{\text{o}}\).

Solución

Cálculo de la altura de una torre

Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura de la torre. En este caso \(\overline{CB}=10\), \(\widehat{ACB}=\alpha-\beta=82^{\text{o}}-25^{\text{o}}=57^{\text{o}}\) y \(\widehat{CAB}=90^{\text{o}}-\alpha=90^{\text{o}}-82^{\text{o}}=8^{\text{o}}\). Por tanto:

\[x=\frac{\overline{CB}\cdot\text{sen}\,(\alpha-\beta)}{\text{sen}\,(90^{\text{o}}-\alpha)}=\frac{10\cdot\text{sen}\,57^{\text{o}}}{\text{sen}\,8^{\text{o}}}\Rightarrow x\approxeq60,26\]

Así pues, la altura de la torre es de, aproximadamente, 60,26 metros.

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