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Funciones continuas. Definición y propiedades

Para la lectura de este artículo es recomendable haber leído con anterioridad otros tres artículos relacionados con las sucesiones de números reales y las funciones reales de variable real. Son los siguientes:

Por otro lado, nos gustaría hacer notar que en bachillerato el concepto de función continua en un punto se introduce a través del concepto de límite de una función en un punto y, desde el punto de vista gráfico, diciendo que la gráfica de la función al pasar por ese punto se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". De hecho, del concepto de límite se habla en términos gráficos muy generales y raras veces se da la definición de límite funcional de manera algo más rigurosa (cosa que nosotros haremos en un artículo posterior). Lo que vamos a ver aquí es el concepto de función continua en un punto y en un conjunto, así como sus propiedades, sin necesidad de utilizar el concepto de límite de una función, sino solamente usando sucesiones de números reales, el concepto de sucesión convergente y sus propiedades (merece la pena insistir: ya veremos que para definir el concepto de límite de una función se usa el de límite de una sucesión). Finalmente daremos una caracterización de la continuidad muy útil en algunos casos. Insistimos en que el lenguaje matemático a este nivel puede parecer difícil a un alumno que ha finalizado el bachillerato, pero no hay que preocuparse, con el tiempo y un poco de tesón uno se acostumbra con cierta facilidad. Es un lenguaje preciso y conviene interpretarlo adecuadamente. Empezaremos por definir el concepto de función continua en un punto.

Definición 1.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y sea \(x\) un elemento de \(A\). Diremos que \(f\) es continua en el punto \(x\) si para toda sucesión \(\{x_n\}\) de elementos de \(A\) convergente a \(x\), se tiene que la sucesión \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x)\). Dado un subconjunto no vacío \(B\) de \(A\), es muy natural decir que \(f\) es continua en \(B\) cuando sea continua en todos los puntos de \(B\). Por supuesto, puede ser \(B=A\).

Si pensamos en la definición anterior, y la llevamos a la representación gráfica de la función, seremos capaces de visualizar el significado (que, en realidad es el mismo que se obliga a visualizar a los estudiantes de bachillerato usando el concepto de límite de una función). Por cierto, es conveniente hacer notar que si una función no está definida en un punto no se puede hablar de la continuidad de la función en ese punto; o sea, no es que la función sea o deje de ser continua en el punto, es que no tiene sentido hablar de la continuidad de una función en un punto que no pertenece a su dominio de definición. Así por ejemplo, afirmar que "la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\) no es continua en el punto \(x=1\)" es algo que carece de sentido pues la función no está definida en \(x=1\). Esto supone "liquidarse" de alguna manera la visualización de la idea de continuidad como eso de "dibujar sin levantar el lápiz del papel"; tal idea gráfica conviene reducirla única y exclusivamente al dominio de definición de la función. En los puntos que no pertenezcan al dominio de definición ocurrirán otras cosas. Así por ejemplo, volviendo a la función anterior, lo que ocurre es que \(x=1\) es una asíntota vertical de la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\).

De entrada hay dos funciones continuas en todos los puntos de cualquier conjunto \(A\) no vacío de números reales en los que estén definidas. La demostración de este hecho es prácticamente inmediata usando directamente la definición anterior. Son las siguientes:

  • La función constante en \(A\): dado \(k\in\mathbb{R}\); \(f(x)=k\,,\forall\,x\in A\).
  • La función identidad en \(A\): \(f(x)=x\,,\forall\,x\in A\).

Las proposiciones que demostraremos a continuación permitirán obtener más funciones continuas a partir de las dos anteriores.

Proposición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Si \(f\) y \(g\) son funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\) continuas en un punto \(a\) de \(A\), entonces \(f+g\) y \(fg\) son continuas en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) y \(g\) son continuas en un subconjunto \(B\) de \(A\), también lo serán \(f+g\) y \(fg\).

Sea \(\{x_n\}\) cualquier sucesión de puntos de \(A\) convergente a \(a\). Entonces, por ser \(f\) y \(g\) continuas en \(a\) tenemos que

\[\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\quad\text{y}\quad\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\]

Por tanto:

\[\{(f+g)(x_n)\}=\{f(x_n)+g(x_n)\}\rightarrow f(a)+g(a)=(f+g)(a)\]

y

\[\{(fg)(x_n)\}=\{f(x_n)g(x_n)\}\rightarrow f(a)g(a)=(fg)(a)\]

Aquí hemos utilizado la Proposición 2 y el Corolario 1 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes.

Proposición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales, \(f\) y \(g\) funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\). Supongamos que \(g(x)\neq0\,,\forall\,x\in A\). Si \(f\) y \(g\) son continuas en un punto \(a\) de \(A\), entonces la función \(\dfrac{f}{g}\) es continua en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) y \(g\) son continuas en un subconjunto \(B\) de \(A\), también lo es \(\dfrac{f}{g}\).

Demostrando que la función \(\dfrac{1}{g}\) es continua en \(a\), haciendo uso la proposición anterior, tendremos demostrado este resultado. Pues bien, si \(\{x_n\}\rightarrow a\) con \(x_n\in A\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), tenemos, por ser \(g\) continua en \(a\), que \(\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\). Además  \(g(x_n)\neq0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(g(a)\neq0\). Por tanto, usando la Proposición 4 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes, tenemos:

\[\left\{\frac{1}{g}(x_n)\right\}=\left\{\frac{1}{g(x_n)}\right\}\rightarrow\frac{1}{g(a)}=\frac{1}{g}(a)\]

tal y como queríamos demostrar.

Puesto que de todos es conocido lo que es un polinomio, podemos definir una función polinómica como sigue. Si \(A\) es un conjunto no vacío de números reales, una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) se dice que es \emph{polinómica} si existe un entero \(p\geq0\) y números reales \(a_0,a_1,\ldots,a_p\) tales que

\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_px^p\,,\forall\,x\in A\]

Diremos también que una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es racional si existen funciones polinómicas \(f_1\) y \(f_2\) en \(A\), con \(f_1(x)\neq0\,,\forall\,x\in A\), tales que

\[f(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,,\forall\,x\in A\]

Puesto que la función constante y la función identidad son continuas, las proposiciones anteriores permiten afirmar que toda función racional definida en un conjunto \(A\) no vacío de números reales es continua en \(A\).

Todo lo anterior se puede resumir diciendo que la continuidad se conserva para la suma, el producto y el cociente de funciones. Básicamente, si dos funciones son continuas, la suma, el producto y el cociente de ambas también son funciones continuas. Recordemos que en el artículo dedicado a la funciones reales de variable real vimos el concepto de composición de funciones. Veremos por último también que si dos funciones son continuas la composición de ambas también lo es.

Proposición 3.

Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) funciones reales de variable real y supongamos \(f(A)\subset B\). Si \(f\) es continua en un punto \(a\) de \(A\) y \(g\) es continua en el punto \(f(a)\), entonces la composición \(g\circ f\) es continua en \(a\). Como consecuencia, si \(f\) es continua en \(A\) y \(g\) es continua en \(f(A)\), entonces \(g\circ f\) es continua en \(A\).

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de puntos de \(A\) tal que \(\{x_n\}\rightarrow a\) y sea \(y_n=f(x_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(\{y_n\}\) es una sucesión de puntos de \(B\) que, por ser \(f\) continua en \(a\), converge a \(f(a)\). Por ser \(g\) continua en \(f(a)\) tenemos que \(\{g(y_n)\}\) converge a \(\{g(f(a))\}\), es decir

\[\{(g\circ f)(x_n)\}\rightarrow(g\circ f)(a)\]

tal y como queríamos.

Vamos a demostrar ahora que la función \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=|x|\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\]

(función valor absoluto) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sea \(a\in\mathbb{R}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales tal que \(\{x_n\}\rightarrow a\). Hemos de demostrar que \(\{g(x_n)\}\rightarrow g(a)\), o lo que es lo mismo, que \(\{|x_n|\}\rightarrow |a|\). Para ello utilizaremos la definición de sucesión convergente. Consideremos \(\varepsilon>0\). Como \(\{x_n\}\rightarrow a\), \(\exists\ m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geq m\), entonces \(|x_n-a|<\varepsilon\). Pero, por las propiedades del valor absoluto, \(||x_n|-|a||\leq|x_n-a|\) siempre que \(n\geq m\), con lo que hemos demostrado que \(\{|x_n|\}\rightarrow |a|\), tal y como queríamos.

De lo anterior se deduce que, dada una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), la función \(|f|:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[|f|(x)=|f(x)|\,,\forall\,x\in A\]

es continua en todo punto de \(A\) donde lo sea \(f\). La razón es que la función anterior es la composición de la función de \(f\) con la función valor absoluto.

Esto nos permite ampliar el conjunto de las funciones continuas. Así, la función \(f(x)=|p(x)|\) donde \(p\) es una función polinómica, es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Por ejemplo, como \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), la función \(|f|(x)=|f(x)|=|x^3-2x^2-5x+6|\) también es continua en todo \(\mathbb{R}\). Sus gráficas son las siguientes:

funcion continua 01

funcion continua 02

Obsérvese que la gráfica de \(|f|\) coincide con la de \(f\) cuando \(f(x)\geq0\) ya que, en este caso, \(|f(x)|=f(x)\). Sin embargo, cuando \(f(x)<0\), tenemos que \(|f(x)|=-f(x)\), con lo que para obtener la gráfica de \(|f|\) basta situar simétricamente al eje \(X\) los puntos en los que la ordenada de \(f\) es menor que cero. Resumiendo:

\[|f|(x)=|f(x)|=\left\{\begin{array}{ccc} f(x) & \text{si} & f(x)\geq0 \\ -f(x) & \text{si} & f(x)<0             \end{array}\right.\]

Sin embargo puede ocurrir que \(|f|\) sea continua en un punto y que \(f\) no lo sea. Por ejemplo, la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & \text{si} & x\geq0 \\ -1 & \text{si} & x<0\end{array}\right.\]

claramente no es continua en cero (¿serías capaz de demostrarlo usando la definición de función continua en un punto?). Sin embargo

\(|f|(x)=|f(x)|=1\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\), es constante y por tanto es continua en cero.

Proponemos a continuación tres ejercicios acerca de la continuidad de funciones reales de variable real.

Ejercicios

1. Estúdiese la continuidad de la función \(f\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
    1-x & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
  \end{array}\right.\]

Sea \(x_0\in\mathbb{Q}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de irracionales convergente a \(x_0\) (que sabemos que existe por el ejercicio 5 del artículo dedicado a las propiedades de las sucesiones convergentes). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{1-x_n\}\rightarrow1-x_0\). Para que \(f\) sea continua en \(x_0\) debe ocurrir que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)=x_0\), es decir, \(1-x_0=x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\).

De manera similar, sea ahora \(x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de racionales convergente a \(x_0\) (que también sabemos que existe por el mismo ejercicio mencionado anteriormente). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{x_n\}\rightarrow x_0\). Para que \(f\) sea continua en \(x_0\) debe ocurrir que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)=1-x_0\), es decir, \(x_0=1-x_0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\). Pero esto es absurdo pues \(x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\).

Debemos concluir por tanto que \(f\) solamente es continua en el punto \(x=\frac{1}{2}\).

2. Sean \(f\) y \(g\) funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), continuas en todo \(\mathbb{R}\). Supongamos que \(f(x)=g(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{Q}\). Pruébese que \(f=g\). En particular, si \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) es continua y la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es constante, entonces \(f\) es constante.

Supongamos que existe un número \(a\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) tal que \(f(a)\neq g(a)\). Sea \(\{a_n\}\) una sucesión de números racionales convergente al punto \(a\). Entonces \(\{f(a_n)\}\rightarrow f(a)\) y \(\{g(a_n)\}\rightarrow g(a)\) por ser \(f\) y \(g\) continuas en todo \(\mathbb{R}\). Pero \(f(a_n)=g(a_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) pues \(a_n\in\mathbb{Q}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto significa que \(f(a)=g(a)\), en contradicción con que \(f(a)\neq g(a)\). Por tanto \(f=g\).

3. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\inf\{|x-a|\,:\,x\in A\}\). Pruébese que \(|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|\,,\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\). Dedúzcase que \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Sea \(a\in A\). De la desigualdad \(||x-a|-|y-a||\leqslant|(x-a)-(y-a)|=|x-y|\) se deduce inmediatamente \(|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|\,,\forall\,x\,,y\in\mathbb{R}\). Sea ahora una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales convergente a un número real \(x\). Entonces dado un número real y positivo \(\varepsilon\) existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces \(|f(x_n)-f(x)|\leqslant|x_n-x|<\varepsilon\). De aquí se deduce que \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)\), y por tanto \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Caracterización de la continuidad

De la misma forma que para la definición de sucesión convergente se usó cierta terminología para dar forma a la idea de que todos los términos de la sucesión, salvo un número finito de ellos, estaban tan cerca del límite como quisiéramos; podemos dar una caracterización de función continua en un punto \(a\in\mathbb{R}\). En este caso, la idea es formalizar mediante una notación adecuada el hecho de que "si en el eje \(Y\) las imágenes por la función \(f\) están tan cerca como queramos de \(f(a)\), es porque en el eje \(X\) también estamos tan cerca como queramos del punto \(a\)". Vamos a formalizar lo anterior adecuadamente.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales, \(f\) una función real definida en \(A\) y \(a\) un punto de \(A\). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) \(f\) es continua en \(a\).

ii) Para toda sucesión \(\{x_n\}\) de puntos de \(A\), monótona y convergente al punto \(a\), la sucesión \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(a)\).

iii) Para cada número real y positivo \(\varepsilon\) puede encontrarse un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es un punto de \(A\) verificando \(|x-a|<\delta\), se tiene \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\).

i) \(\Rightarrow\) ii) Es evidente pues lo que en i) se exige para todas sucesión de \(A\) que converja al punto \(a\), en ii) se exige solamente para aquellas que sean monótonas.

ii) \(\Rightarrow\) iii) Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que se cumple ii) pero no se cumple iii). Entonces existe un número real positivo \(\varepsilon_0\) con la siguiente propiedad:

\[\forall\,\delta>0\  \ \exists\,x_{\delta}\in A\,:\, |x_{\delta}-a|<\delta\quad\text{y}\quad|f(x_{\delta})-f(a)|\geq\varepsilon_0\]

Para cada natural \(n\), aplicamos lo anterior para \(\delta=\dfrac{1}{n}\) y sea \(y_n=x_{1/n}\). Obtenemos así una sucesión \(\{y_n\}\) de puntos de \(A\) que verifica

\[|y_n-a|<\frac{1}{n}\quad\text{y}\quad|f(y_n)-f(a)|\geq\varepsilon_0\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

Claramente \(\{y_n\}\) converge al punto \(a\); entonces existe con seguridad una sucesión parcial \(\{y_{\sigma(n)}\}\) de \(\{y_n\}\) que es monótona (ver lema 2 del artículo dedicado a las sucesiones parciales y monótonas). Aplicando la hipótesis ii) tenemos que la sucesión \(\{f(y_{\sigma(n)})\}\) converge a \(f(a)\), lo cual es absurdo pues

\[|f(y_{\sigma(n)})-f(a)|\geq\varepsilon_0\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

iii) \(\Rightarrow\) i) Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de puntos de \(A\) convergente al punto \(a\). Sea \(\varepsilon>0\) arbitrario y \(\delta\) el número positivo dado por la hipótesis iii). Por ser \(\{x_n\}\rightarrow a\) tenemos:

\[\exists\,m\in\mathbb{N}\,:\,n\geq m\Rightarrow|x_n-a|<\delta\]

y puesto que \(x_n\in A\) tenemos por iii) que \(|f(x_n)-f(a)|<\varepsilon\) para \(n\geq m\). Esto demuestra que

\[\{f(x_n)\}\rightarrow f(a)\]

y por tanto que \(f\) es continua en el punto \(a\), tal y como queríamos.

Proponemos a continuación otros tres ejercicios para practicar la caracterización de la continuidad.

Ejercicios

1. Sean \(f_1\), \(f_2\) funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). Estúdiese la continuidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    f_1(x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}^- \\
    f_2(x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}_0^+
  \end{array}\right.\]

\(f\) es claramente continua si \(x\in\mathbb{R}^-\) o si \(x\in\mathbb{R}^+\), pues dado un punto cualquiera de \(\mathbb{R}^-\) (respectivamente, de \(\mathbb{R}^+\)), es posible encontrar un intervalo centrado en el punto y contenido en \(\mathbb{R}^-\) (respectivamente, \(\mathbb{R}^+\)), y dado el carácter local de la continuidad se tiene el resultado. Estudiemos pues la continuidad en cero.

Sea la sucesión \(\{\frac{(-1)^n}{n}\}\), que converge a \(0\). Entonces \(\{f(x_n)\}=\{f_1(x_n)\}\) si \(n\) es impar y \(\{f(x_n)\}=\{f_2(x_n)\}\) si \(n\) es par. Consideremos las sucesiones parciales \(\{x_{2n-1}\}\) y \(\{x_{2n}\}\), ambas convergentes a cero. Así, por un lado, \(\{f(x_{2n-1})\}=\{f_1(x_{2n-1})\}\rightarrow f_1(0)\); y por otro, \(\{f(x_{2n})\}=\{f_2(x_{2n})\}\rightarrow f_2(0)\), pues \(f_1\) y \(f_2\) son continuas en todo \(\mathbb{R}\). De aquí se deduce que si \(f_1(0)=f_2(0)\), \(f\) es continua en \(0\). Pero si \(f_1(0)\neq f_2(0)\), entonces \(f\) no es continua en \(0\).

2. Utilícese la afirmación iii) del teorema anterior para probar que la función \(f\) del ejercicio 1 de la sección anterior es continua en el punto \(\frac{1}{2}\).

Hemos de demostrar que dado un número real y positivo \(\varepsilon\), existe un número real positivo \(\delta\) tal que si \(x\) es un punto de \(\mathbb{R}\) verificando \(|x-\frac{1}{2}|<\delta\), entonces \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|<\varepsilon\). Pero es que si \(x\in\mathbb{Q}\), entonces \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|=|x-\frac{1}{2}|\) y basta tomar \(\delta=\varepsilon\). Ahora bien, si \(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), se tiene que \(|f(x)-f(\frac{1}{2})|=|1-x-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{2}-x|=|x-\frac{1}{2}|\), y basta en este caso tomar también \(\delta=\varepsilon\).

3. Pruébese, utilizando la afirmación iii) del teorema anterior, que la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^2\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sea \(x_0\in\mathbb{R}\). Tenemos:

\[|f(x)-f(x_0)|=|x^2-x_0^2|=|(x+x_0)(x-x_0)|=|x+x_0||x-x_0|\]

Dado \(\varepsilon>0\) sea \(\delta=\frac{\varepsilon}{|x+x_0|}\). Entonces, si \(|x-x_0|<\delta\):

\[|f(x)-f(x_0)|=|x+x_0||x-x_0|<|x+x_0|\delta=|x+x_0|\frac{\varepsilon}{|x+x_0|}=\varepsilon\]

con lo que \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).

Finalmente, procede de nuevo insistir en que en este artículo se ha definido la continuidad de una función en un punto haciendo uso de la convergencia de una sucesión en un punto. En algunos textos se define directamente la continuidad de una función en un punto sin haber visto para nada las sucesiones de números reales. En su lugar se define el límite de una función en un punto de una forma equivalente a la parte iii) del teorema anterior y luego se dice que una función \(f\) es continua en un punto \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\) . Las dos formas de introducir la continuidad son completamente lícitas. No olvidemos que, usemos sucesiones o usemos el concepto de límite para definir la continuidad, en realidad estamos hablando de lo mismo. Nosotros introduciremos el concepto de límite de una función en un punto (y en el infinito) en un artículo posterior. Lo que haremos a continuación es presentar algunos teoremas relacionados con la continuidad de importancia capital en el análisis matemático.


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Sucesiones de Cauchy. El teorema de complitud de R

Hemos dedicado varios artículos a hablar de sucesiones de números reales y de la noción de convergencia de una sucesión de números reales. De hecho, hemos visto ejemplos en los que se demostraba, haciendo uso de la definición, que una sucesión era convergente hacia cierto límite. También hemos demostrado que toda sucesión monótona y acotada es convergente, pero salvo en estos casos, para determinar si una sucesión es convergente debemos conocer de antemano su posible límite. Dedicaremos este breve artículo a obtener una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una sucesión de números reales, en términos de la propia sucesión, sin presuponer el conocimiento de un posible límite. Intuitivamente, si una sucesión de números reales es convergente, sus términos suficientemente avanzados son tan próximos entre sí como se quiera. La siguiente definición formaliza esta idea intuitiva.

Definición.

Se dice que una sucesión de números reales \(\{x_n\}\) es de Cauchy si verifica la siguiente condición:

\[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\, m\in\mathbb{N}\ :\ p,q\geqslant m\Rightarrow|x_p-x_q|<\varepsilon\]

Teorema (de complitud de \(\mathbb{R}\)).

Una sucesión de números reales es convergente si, y solo si, es una sucesión de Cauchy.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales. Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow x\). Dado \(\varepsilon>0\) tenemos que \(\exists\, m\in\mathbb{N}\) tal que \(n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\). Así, para \(p,q\geqslant m\) tenemos

\[|x_p-x_q|\leqslant|x_p-x|+|x-x_q|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

lo que prueba que \(\{x_n\}\) es una sucesión de Cauchy.

Recíprocamente, supongamos que \(\{x_n\}\) es una sucesión de Cauchy. Entonces \(\exists\, m\in\mathbb{N}\) tal que \(p,q\geqslant m\Rightarrow|x_p-x_q|<1\), y en particular, si \(K=x_m\) y tomamos \(q=m\), tenemos: \(p\geqslant m\Rightarrow K-1<x_p<K+1\), luego el conjunto \(\{x_n\,;\,n\geqslant m\}\) es acotado. Ello implica que la sucesión \(\{x_n\}\) está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass \(\{x_n\}\) admite una sucesión parcial convergente \(\{x_{\sigma(n)}\}\). Sea \(x=\lim x_{\sigma(n)}\). Entonces, dado \(\varepsilon>0\), tenemos que \(\exists\,m_1\in\mathbb{N}:n\geqslant m_1\Rightarrow|x_{\sigma(n)}-x|<\frac{\varepsilon}{2}\), y \(\exists\,m_2\in\mathbb{N}:n\geqslant m_2\Rightarrow|x_p-x_q|<\frac{\varepsilon}{2}\), con lo que finalmente \(|x_n-x|\leqslant|x_n-x_{\sigma(n)}|+|x_{\sigma(n)}-x|<\varepsilon\), lo que prueba que \(\{x_n\}\rightarrow x\), como queríamos demostrar.

En ocasiones la condición de Cauchy se consigue probar con facilidad. A título de ejemplo, destacamos el siguiente caso.

Corolario.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales. Supongamos que existe un número real \(K\), con la condición \(0<K<1\), y tal que \(|x_{n+1}-x_n|\leqslant K^n\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces la sucesión \(\{x_n\}\) es convergente.

Para cualesquiera números naturales, \(n\) y \(h\), se tiene:

\[|x_{n+h}-x_n|\leqslant|x_{n+h}-x_{n+h-1}|+|x_{n+h-1}-x_{n+h-2}|+\ldots+|x_{n+1}-x_n|\leqslant\]

\[\leqslant K^{n+h-1}+K^{n+h-2}+\ldots+K^n=K^n(1+K+\ldots+K^{h-1})=K^n\frac{1-K^h}{1-K}<\frac{K^n}{1-K}\]

Como la sucesión \(\frac{K^n}{1-K}\) converge a cero, dado \(\varepsilon>0\), tenemos que \(\exists\, m\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant m\Rightarrow\frac{K^n}{1-K}<\varepsilon\). Entonces si \(p,q\leqslant m\), tomando \(n=p\), \(h=q-p\) (si \(p<q\), o a la inversa si \(p>q\)), tenemos \(|x_p-x_q|<\frac{K^n}{1-K}<\varepsilon\), lo que prueba que \(\{x_n\}\) es de Cauchy y, por el teorema anterior, convergente.

Proponemos a continuación tres ejercicios. El primero y el tercero son de utilidad para demostrar la convergencia de ciertas sucesiones de números reales.

Ejercicios

1. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos. Supongamos que existe \(K\), con \(0<K<1\), tal que \(\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|<K\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Probar que \(\{x_n\}\) converge a cero.

Como \(0<K<1\), entonces \(\{K^n\}\rightarrow0\). Luego \(\forall\, \varepsilon  > 0\,,\,\exists \,m \in\mathbb{N} \,:\,n \geqslant m \Rightarrow {K^n} < \frac{\varepsilon }{{\left| {{x_1}} \right|}}\).

Pero, por hipótesis, \(\left| {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}} \right| \leqslant K\,,\,\forall\, n \in\mathbb{N}\); es decir, \(|x_{n+1}|\leqslant K|x_n|\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por tanto, dado \(\varepsilon>0\), \(\left| {{x_{n + 1}}} \right| \le K\left| {{x_n}} \right| \le {K^2}\left| {{x_{n - 1}}} \right| \le {K^3}\left| {{x_{n - 2}}} \right| \le  \ldots  \le {K^n}\left| {{x_1}} \right| < \frac{\varepsilon }{{\left| {{x_1}} \right|}}\left| {{x_1}} \right| = \varepsilon \), siempre que \(n\geqslant m\). Hemos demostrado pues que \(\forall\,\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant m\Rightarrow \left| {{x_{n + 1}}} \right| < \varepsilon\), es decir, que la sucesión \(\{x_n\}\) converge a cero.

2. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales acotada. Sea \(\alpha\in\mathbb{R}\) con \(\alpha>1\), y definamos una sucesión \(\{y_n\}\) de números reales de la forma \(y_1=\frac{x_1}{\alpha}\), \(y_{n+1}=y_n+\frac{x_n}{\alpha^n}\,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Probar que \(\{y_n\}\) es una sucesión convergente.

Por ser \(\{x_n\}\) acotada, existe \(M\in\mathbb{R}^+\) tal que \(|x_n|\leqslant M\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Además:

\[\left|{{y_{n + h}} - {y_n}} \right| \leqslant \left| {{y_{n + h}} - {y_{n + h - 1}}} \right| + \left| {{y_{n + h - 1}} - {y_{n + h - 2}}} \right| +  \ldots  + \left| {{y_{n + 2}} - {y_{n + 1}}} \right| + \left| {{y_{n + 1}} - {y_n}} \right| =\]

\[ = \left| {{y_{n + h - 1}} + \frac{{{x_{n + h - 1}}}}{{{\alpha ^{n + h - 1}}}} - {y_{n + h - 1}}} \right| + \left| {{y_{n + h - 2}} + \frac{{{x_{n + h - 2}}}}{{{\alpha ^{n + h - 2}}}} - {y_{n + h - 2}}} \right| +  \ldots\]

\[\ldots+\left| {{y_{n + 1}} + \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{\alpha ^{n + 1}}}} - {y_{n + 1}}} \right| + \left| {{y_n} + \frac{{{x_n}}}{{{\alpha ^n}}} - {y_n}} \right| = \]

\[= \left| {\frac{{{x_{n + h - 1}}}}{{{\alpha ^{n + h - 1}}}}} \right| + \left| {\frac{{{x_{n + h - 2}}}}{{{\alpha ^{n + h - 2}}}}} \right| +  \ldots  + \left| {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{\alpha ^{n + 1}}}}} \right| + \left| {\frac{{{x_n}}}{{{\alpha ^n}}}} \right|=\]

\[= \frac{1}{{{\alpha ^n}}}\left( {\left| {\frac{{{x_{n + h - 1}}}}{{{\alpha ^{h - 1}}}}} \right| + \left| {\frac{{{x_{n + h - 2}}}}{{{\alpha ^{h - 2}}}}} \right| +  \ldots  + \left| {\frac{{{x_{n + 1}}}}{\alpha }} \right| + \left| {{x_n}} \right|} \right) \leqslant {\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)^n}\left( {\frac{M}{{{\alpha ^{h - 1}}}} + \frac{M}{{{\alpha ^{h - 2}}}} +  \ldots  + \frac{M}{\alpha } + M} \right)=\]

\[={\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)^n}M\left( {\frac{1}{{{\alpha ^{h - 1}}}} + \frac{1}{{{\alpha ^{h - 2}}}} +  \ldots  + \frac{1}{\alpha } + 1} \right) = {\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)^n}M\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{\alpha }} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{\alpha }}} < \frac{{M{K^n}}}{{1 - K}}\]

donde hemos llamado \(K=\frac{1}{\alpha}\). Como \(\alpha>1\), entonces \(0<\frac{1}{\alpha}<1\), es decir, \(0<K<1\), con lo que la sucesión \(\{\frac{MK^n}{1-K}\}\) converge a cero, es decir, \(\forall\,\varepsilon  > 0,\,\exists \,m \in\mathbb{M}\,:\,n \geqslant m \Rightarrow \frac{{M{K^n}}}{{1 - K}} < \varepsilon\).

Entonces, si \(p,q\geqslant m\), tomando \(n=p\), \(h=q-p\) (si \(p<q\), o a la inversa si \(p>q\)), tenemos \(\left| {{y_p} - {y_q}} \right| = \left| {{y_{n + h}} - {y_n}} \right| \leqslant \frac{{M{K^n}}}{{1 - K}} < \varepsilon\), lo que prueba que \(\{y_n\}\) es de Cauchy y, por el teorema de complitud de \(\mathbb{R}\), convergente.

3. Pruébese la siguiente generalización del corolario anterior: sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales; supongamos que existe una sucesión \(\{y_n\}\) de números reales convergente a cero, tal que \(|x_{n+h}-x_n|\leqslant y_n\,\forall\,n\in\mathbb{N},\forall\,h\in\mathbb{N}\); entonces \(\{x_n\}\) es una sucesión convergente.

Como la sucesión \(\{y_n\}\) converge a cero tenemos: \(\forall\, \varepsilon  > 0\,,\,\exists \,m \in \,:\,n \geqslant m \Rightarrow  - \varepsilon  < {y_n} < \varepsilon\). En particular, sean \(p,q\geqslant m\). Entonces \(-\varepsilon<y_p<\varepsilon\) ; \(-\varepsilon<y_q<\varepsilon\).

Supongamos que \(q>p\). Llamando \(h=q-p\), se tiene que \(q=p+h\), luego

\[\left| {{x_p} - {x_q}} \right| = \left| {{x_p} - {x_{p + h}}} \right| \leqslant {y_p} < \varepsilon\]

Supongamos que \(p>q\). Llamando \(h=p-q\), se tiene que \(p=q+h\), luego

\[\left| {{x_p} - {x_q}} \right| = \left| {{x_{q + h}} - {x_q}} \right| \leqslant {y_q} < \varepsilon\]

En cualquier caso, \(\forall \varepsilon  > 0\,,\,\exists \,m \in \,:\,p,\,q \geqslant m \Rightarrow \left| {{x_p} - {x_q}} \right| < \varepsilon\). Así pues \(\{x_n\}\) es una sucesión de Cauchy y, por el teorema de complitud de \(\mathbb{R}\), convergente.


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Más sobre límite de sucesiones. Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas

En un artículo anterior habíamos hablado de las sucesiones de números reales y del concepto de límite de una sucesión. También, en otro artículo, estuvimos viendo el concepto de sucesión acotada y algunas propiedades de las sucesiones convergentes.

En este artículo vamos a completar nuestro estudio de las sucesiones. Diremos lo que es una sucesión parcial de una sucesión, definiremos las sucesiones monótonas y veremos su relación con el concepto de convergencia de una sucesión.

Sucesiones parciales

Para definir con rigor cuándo una sucesión es sucesión parcial de otra dada es necesario utilizar el concepto de aplicación estrictamente creciente. Así, se dice que una aplicación \(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) es estrictamente creciente si verifica que

\[\sigma(n)<\sigma(n+1)\,,\forall\, n\in\mathbb{N}\]

Es inmediato comprobar que \(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) es estrictamente creciente si y sólo si

\[n,m\in\mathbb{N},n<m\Rightarrow \sigma(n)<\sigma(m)\]

Definición 1.

Dadas dos sucesiones de números reales \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\), se dice que \(\{y_n\}\) es una sucesión parcial de \(\{x_n\}\) cuando existe una aplicación \(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) estrictamente creciente tal que

\[y_n=x_{\sigma(n)}\,,\forall\, n\in\mathbb{N}\]

A título de ejemplo, la sucesión \(\{1\}\) (constantemente igual a \(1\)) es una sucesión parcial de la sucesión \(\{(-1)^n\}\) (tómese \(\sigma(n)=2n\)). En general las sucesiones parciales de una sucesión \(\{x_n\}\) son de la forma \(\{x_{\sigma(n)}\}\) en que \(\sigma\) es una aplicación estrictamente creciente de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{N}\). Así, \(\{x_{2n}\}\), \(\{x_{2n-1}\}\), \(\{x_{n^2}\}\) son sucesiones parciales de \(\{x_n\}\). A veces a una sucesión parcial de una sucesión \(\{x_n\}\) también se la llama subsucesión de la sucesión \(\{x_n\}\), la cual a menudo se suele escribir \(\{x_{n_k}\}\), en vez de \(\{x_{\sigma(n)}\}\). Obsérvese que, en el fondo, es lo mismo asignar a un número natural \(k\) el número \(\sigma(k)\) que el número \(n_k\): son dos formas equivalentes de expresar la misma idea.

Es inmediato comprobar las siguientes afirmaciones:

  • Toda sucesión es una sucesión parcial de sí misma.
  • Si \(\{y_n\}\) es una sucesión parcial de \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\) es una sucesión parcial de \(\{y_n\}\), entonces \(\{z_n\}\) es una sucesión parcial de \(\{x_n\}\). (Piénsese que la composición de dos aplicaciones estrictamente crecientes de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{N}\) es a su vez estrictamente creciente).

Hay algo que os parecerá obvio: que una sucesión parcial de una sucesión convergente también es convergente y tiene el mismo límite. Pero esto hay que demostrarlo. Para hacerlo demostraremos previamente un lema.

Lema 1.

Sea \(\sigma\) una aplicación de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{N}\) estrictamente creciente. Entonces \(\sigma(n)\geqslant n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\).

Obviamente \(\sigma(1)\geqslant1\). Supuesto que \(\sigma(n)\geqslant n\), luego \(\sigma(n+1)>\sigma(n)\geqslant n\) y por tanto se tiene \(\sigma(n+1)\geqslant n+1\), lo que demuestra el lema por inducción.

En la demostración de este lema se ha hecho uso de que si \(m\) y \(n\) son naturales verificando \(n<m\), entonces \(n+1\leqslant m\), propiedad demostrada en el artículo "El conjunto de los números naturales: una definición rigurosa y algunas propiedades".

Proposición.

Toda sucesión parcial de una sucesión de números reales convergente es convergente y tiene el mismo límite.

Sea \(\{x_n\}\rightarrow x\), sea \(\{y_n\}\) cualquier sucesión parcial de \(\{x_n\}\) y sea \(\sigma:\mathbb{N}\en\mathbb{N}\) estrictamente creciente tal que \(y_n=x_{\sigma(n)}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Dado \(\varepsilon>0\), por ser \(\{x_n\}\rightarrow x\) tenemos

\[\exists\,m\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon\]

Entonces, si \(n\geqslant m\) tenemos, por el lema anterior, \(\sigma(n)\geqslant n\geqslant m\) y por tanto

\[|y_n-x|=|x_{\sigma(n)}-x|<\epsilon\]

lo que prueba que \(\{y_n\}\rightarrow x\) como queríamos demostrar.

Obsérvese que si \(\{x_n\}\) es una sucesión convergente de números reales, el hecho de que una sucesión parcial suya, \(\{x_{\sigma(n)}\}\), converja se expresa de la siguiente forma:

\[\forall\,\varepsilon>0\ ,\ \exists\,m\in\mathbb{N}\ :\ n\geqslant m\Rightarrow|x_{\sigma(n)}-x|<\varepsilon\]

Corolario.

Si una sucesión de números reales admite dos sucesiones parciales convergentes a límites distintos, dicha sucesión no es convergente.

El corolario anterior (cuya demostración es inmediata) es útil a la hora de probar que una sucesión no es convergente. Por ejemplo, la sucesión \(\{x_n\}=\{(-1)^n\}\) no es convergente porque admite dos sucesiones parciales convergentes a límites distintos: por un lado, la sucesión parcial \(\{x_{2n}\}=\{(-1)^{2n}\}=\{1\}\rightarrow1\), y por otro, la parcial \(\{x_{2n-1}\}=\{(-1)^{2n-1}\}=\{-1\}\rightarrow-1\).

Enunciamos a continuación cuatro propiedades en las que aparecen sucesiones parciales cuya demostración se deja como ejercicio para el lector.

Ejercicios

1. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales tal que \(n\neq m\Rightarrow x_n\neq x_m\), y sean \(p\) y \(q\) dos números naturales. Probar que \(\{x_{pn}\}\) es una sucesión parcial de \(\{x_{qn}\}\) si y sólo si \(p\) es múltiplo de \(q\).

Observemos en primer lugar que \(\{x_{pn}\}\) y \(\{x_{qn}\}\) son sucesiones parciales de \(\{x_n\}\). Es decir, existen aplicaciones estrictamente crecientes \(\sigma_1\,,\sigma_2:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) definidas por \(\sigma_1(n)=pn\), \(\sigma_2(n)=qn\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\), tales que \(\{x_{pn}\}=\{x_{\sigma_1(n)}\}\) y \(\{x_{qn}\}=\{x_{\sigma_2(n)}\}\).

\(\Rightarrow)\) Si suponemos que \(\{x_{pn}\}\) es una sucesión parcial de \(\{x_{qn}\}\) es porque existe una aplicación estrictamente creciente \(\sigma:\text{Im}\,\sigma_2\rightarrow\mathbb{N}\), definida por \(\sigma(\sigma_2(n))=\sigma(qn)=pn\). Pero \(\sigma(qn)\) es natural, luego ha de existir \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(\sigma(qn)=kqn=pn\), con lo que \(kq=p\) y \(p\) es múltiplo de \(q\).

\(\Leftarrow)\) Si \(p\) es múltiplo de \(q\), \(\exists\,k\in\mathbb{N}\) tal que \(p=kq\), con lo que \(pn=kqn\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), es decir, \(\sigma_1(n)=k\sigma_2(n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Sea \(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) definida por \(\sigma(n)=kn\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). \(\sigma\) es con claridad estrictamente creciente y además \(\sigma_1(n)=\sigma(\sigma_2(n))\), con lo que \(\{x_{pn}\}=\{x_{\sigma_1(n)}\}\) es una parcial de \(\{x_{qn}\}=\{x_{\sigma_2(n)}\}\).

2. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales y \(x\) un número real. Probar que si \(\{x_{2n}\}\rightarrow x\) y \(\{x_{2n+1}\}\rightarrow x\), entonces \(\{x_n\}\rightarrow x\). Inténtese dar un enunciado más general de este tipo.

Como \(\{x_{2n}\}\rightarrow x\) tenemos que \(\forall\,\varepsilon>0\,,\exists\,p\in\mathbb{N}\,:\,2n\leqslant p\Rightarrow|x_{2n}-x|<\varepsilon\). De igual modo, como \(\{x_{2n+1}\}\rightarrow x\), \(\forall\,\varepsilon>0\,,\exists\,q\in\mathbb{N}\,:\,2n+1\leqslant q\Rightarrow|x_{2n-1}-x|<\varepsilon\).

Sea \(\varepsilon>0\). Si \(n\) es par, \(\exists\,k\in\mathbb{N}\,:\,n=2k\Rightarrow|x_n-x|=|x_{2k}-x|<\varepsilon\), siempre que \(n\leqslant p\). Ahora bien, si \(n\) es impar, \(\exists\,r\in\mathbb{N}\,:\,n=2r+1\Rightarrow|x_n-x|=|x_{2r+1}-x|<\varepsilon\). Tomando \(m=\max\{p,q\}\) se tiene que si \(n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon\) y, por tanto, \(\{x_n\}\rightarrow x\).

El enunciado general es que si \(\displaystyle\{x_{\sigma_i(n)}\}_{i=1,\ldots,p}\), es una colección de parciales convergentes a un número real \(x\) y además \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^p\text{Im}\sigma_i=\mathbb{N}\), entonces \(\{x_n\}\rightarrow x\).

3. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales, \(p\) un número natural, y definamos una sucesión de números reales \(\{z_n\}\) en la forma \(z_n=x_{n+p}\,\forall\,n\in\mathbb{N}\) \(\{z_n\}=\{x_{n+p}\}\); nótese que \(\{z_n\}\) es una sucesión parcial de \(\{x_n\}\)). Probar que \(\{x_n\}\) es convergente si y sólo si los es \(\{z_n\}\), en cuyo caso \(\lim x_n=\lim z_n=\lim x_{n+p}\).

\(\Rightarrow)\) Toda sucesión parcial de una sucesión convergente es convergente y tiene el mismo límites. Por tanto, \(\{z_n\}\) es convergente y \(\lim x_n=\lim z_n=\lim x_{n+p}\).

\(\Leftarrow)\) Dado \(\varepsilon>0\), por ser \(\{z_n\}\rightarrow x\), \(\exists\,m_1\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant m_1\Rightarrow|z_n-x|=|x_{n+p}-x|<\varepsilon\). Sea \(m=m_1+p\). Si \(n\geqslant m=m_1+p\Rightarrow n-p\geqslant m_1\), y entonces \(|z_{n-p}-x|=|x_n-x|<\varepsilon\). Por tanto, \(\{x_n\}\) es convergente y \(\{x_n\}\rightarrow x\).

4. Sea \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) dos sucesiones de números reales. Supongamos que existe un natural \(p\) tal que para \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant p\) se tiene \(x_n=y_n\). Probar que \(\{x_n\}\) es convergente si y solo si lo es \(\{y_n\}\), en cuyo caso se tiene \(\lim x_n=\lim y_n\). (El carácter de convergencia de una sucesión y su límite cuando exista, no se alteran si se modifica arbitrariamente un conjunto finito de términos de la sucesión).

Si suponemos que \(\{x_n\}\) es convergente, dado \(\varepsilon>0,\,\exists\,n_0\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant n_0\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon\). Tomemos ahora \(m=\max\{p,n_0\}\). Si \(n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|=|y_n-x|<\varepsilon\). Por tanto, \(\{y_n\}\) es convergente y tiene el mismo límite que \(\{x_n\}\). De igual forma, y por simetría, si \(\{y_n\}\) es convergente también lo es \(\{x_n\}\) y converge al mismo límite.

Sucesiones monótonas

Definición 2.

Diremos que una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales es creciente si \(x_n\leqslant x_{n+1}\) para todo natural \(n\). Diremos que \(x_n\) es decreciente si \(x_n\geqslant x_{n+1}\) para todo natural \(n\). Diremos que una sucesión de números reales el monótona si es creciente o decreciente.

Es fácil comprobar por inducción que si \(\{x_n\}\) es una sucesión de números reales creciente (respectivamente, decreciente), se tiene:

\[n,m\in\mathbb{N}\ ,\ n\leqslant m\Rightarrow x_n\leqslant x_m\ (\text{respectivamente,}\ x_n\geqslant x_m)\]

Es conveniente hacer notar que existen sucesiones que son a la vez crecientes o decrecientes (a saber, las constantes) y que existen sucesiones que no son crecientes ni decreciente, es decir, que no son monótonas (por ejemplo la sucesión \(\{(-1)^n\}\)).

Sabemos que toda toda sucesión de números reales convergente es acotada (ver la Proposición 1 del artículo "Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes"). Sin embargo, el recíproco no es cierto en general (tómese como ejemplo, otra vez, la sucesión \(\{(-1)^n\}\)). A continuación probaremos que el recíproco sí que es cierto para sucesiones monótonas. La demostración de este importante resultado vuelve a hacer uso del axioma del supremo.

Teorema 1.

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales creciente y mayorada; sea \(x=\sup\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\). Dado \(\varepsilon>0\), \(x-\varepsilon\) no puede ser un mayorante del conjunto \(\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\) y por tanto existe un número natural \(m\) tal que \(x-\varepsilon<x_m\). Entonces, para \(n\geqslant m\) tenemos

\[x-\varepsilon<x_m\leqslant x_n\leqslant x<x+\varepsilon\]

de donde \(|x_n-x|<\varepsilon\). Esto demuestra que \(\{x_n\}\) es convergente y hemos obtenido además que \(\lim x_n=\sup\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\).

Si \(\{x_n\}\) es decreciente y minorada, entonces \(\{-x_n\}\) es creciente y mayorada (¿sabrías explicar por qué?), luego convergente, con lo que \(\{x_n\}\) es convergente y se tiene además

\[\lim x_n=-\lim(-x_n)=-\sup\{-x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}=\inf\{x_n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\]

La importancia del resultado anterior radica en que se usa en la demostración del siguiente teorema, el teorema de Bolzano-Weierstrass, según el cual toda sucesión de números reales acotada admite una sucesión parcial convergente. En dicha demostración también se usa otro resultado, que enunciaremos en forma de lema.

Lema 2.

Toda sucesión de números reales admite una sucesión parcial monótona.

Esta demostración hace uso de un concepto muy especial que nos ayudará a construir la sucesión parcial que se afirma en el enunciado del lema. Llamemos "punto cumbre" de una sucesión \(\{x_n\}\) a un número natural \(n\) tal que \(x_m<x_n\) para todo \(m>n\). Para hacerse una idea de lo que es un punto cumbre podemos observar la siguiente figura donde se ha representando una sucesión con once términos y en la que \(2\) y \(6\) son puntos cumbre.

sucesiones parciales monotonas 01

Ahora distinguiremos dos casos.

Caso 1. La sucesión tiene infinitos puntos cumbre. En este caso, si \(n_1<n_2<n_3<\ldots\) son los puntos cumbre, entonces \(x_{n_1}>x_{n_2}>x_{n_3}>\ldots\), de modo que \(\{x_{n_k}\}\) es la sucesión parcial (decreciente) deseada.

Caso 2. La sucesión tiene solamente un número finito de puntos cumbre. En este caso, sea \(n_1\) mayor que todos los puntos cumbre. Puesto que \(n_1\) no es punto cumbre, existe algún \(n_2>n_1\) tal que \(x_{n_2}\geqslant x_{n_1}\). Puesto que \(n_2\) no es punto cumbre (es mayor que \(n_1\), y por lo tanto mayor que todos los puntos cumbre) existe algún \(n_3>n_2\) tal que \(x_{n_3}\geqslant a_{x_2}\). Continuando de esta forma obtenemos la sucesión parcial \(\{x_{n_k}\}\) deseada (en este caso creciente).

Teorema 2 (Bolzano-Weierstrass).

Toda sucesión de números reales acotada admite una sucesión parcial convergente.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales acotada, sea \(\{x_{\sigma(n)}\}\) una sucesión parcial de \(\{x_n\}\) monótona, que existe por el lema anterior. Como \(\{x_{\sigma(n)}\}\) está también acotada el Teorema 1 nos asegura que \(\{x_{\sigma(n)}\}\) es convergente.

Proponemos a continuación una pequeña colección de ejercicios. Intentar hacerlos usando todo lo que hasta ahora se conoce sobre las sucesiones es una tarea fundamental para alguien que quiera acercarse a las matemáticas superiores sin temor de perderse nada posterior.

Ejercicios

1. Probar que toda sucesión de números reales monótona, que admita una sucesión parcial convergente, es convergente.

Sea \(\{x_n\}\) monótona. Supongamos que es creciente: \(x_n\leqslant x_{n+1}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Sea \(\{x_{\sigma(n)}\}\) la parcial de \(\{x_n\}\) convergente. Demostraremos que \(\{x_n\}\) es convergente por reducción al absurdo. Si \(\{x_n\}\) no fuera convergente entonces, como es creciente, no estaría mayorada, es decir, \(\forall\,M>0\,,\exists\,m\in\mathbb{N}:x_m>M\). Puesto que \(\sigma(n)\geqslant n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), entonces \(\sigma(m)\geqslant m\) y por ser \(\{x_n\}\) creciente se tiene \(x_{\sigma(m)}\geqslant x_m>M\), y esto sea quien sea \(M\in\mathbb{R}^+\), lo que demuestra que \(\{x_{\sigma(n)}\}\) no está mayorada. Esto contradice que \(\{x_{\sigma(n)}\}\) sea convergente. Por tanto, la sucesión \(\{x_n\}\) deber ser convergente.

2. Dar un ejemplo de una sucesión de números reales positivos, convergente a cero, que no sea monótona.

Sea \(\{x_n\}\) la sucesión de números reales definida de la siguiente forma:

\[x_n=\begin{cases}
    \frac{1}{n}\quad\text{si}\quad n=2k\\
    \frac{2}{n}\quad\text{si}\quad n=2k-1
  \end{cases}\]

donde \(k\) es un número natural. Es claro que \(\{x_n\}\rightarrow0\), pero \(\{x_n\}\) no es monótona pues, por ejemplo, \(x_1=2>x_2=\frac{1}{2}\) y \(x_2=\frac{1}{2}<x_3=\frac{2}{3}\).

3. Dar un ejemplo de una sucesión de números reales, no acotada, que admita una sucesión parcial convergente.

Sea la sucesión \(\{x_n\}\) definida del siguiente modo:

\[x_n=\begin{cases}
    n\quad\text{si}\quad n=2k\\
    \frac{1}{n}\quad\text{si}\quad n=2k-1
  \end{cases}\]

donde \(k\) es un número natural. \(\{x_n\}\) no está mayorada pues dado un número real y positivo \(M\) cualquiera, sea \(k=\text{E}(M)+1\) y \(m=2k\). Entonces

\[x_m=m=2k=2(\text{E}(M)+1)>2M>M\]

Pero la parcial dada por la aplicación \(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) definida por \(\sigma(n)=2n-1\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\): \(\{x_{\sigma(n)}\}=\{x_{2n-1}\}=\{\frac{1}{n}\}\), converge a cero.

4. Probar que si \(x\) es un número real con \(|x|<1\), entonces la sucesión \(\{x^n\}\) converge a cero, mientras que si \(|x|>1\) dicha sucesión no está acotada.

Supongamos en primer lugar que \(|x|<1\). Si \(x=0\), tenemos \(\{x_n\}=\{0\}\rightarrow0\). Si \(0<|x|<1\) y \(m,n\in\mathbb{N}\), \(n<m\Leftrightarrow |x|^n>|x|^m\) y entonces \(\{|x|^n\}\) es decreciente. Además, como \(0<|x|^n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), \(\{|x|^n\}\) está acotada inferiormente por cero. Así pues \(\{|x|^n\}\) es convergente. Sea \(L=\lim|x|^n\). Como \(|x|^{n+1}=|x|^n\cdot|x|\), entonces \(\lim|x|^{n+1}=|x|\cdot\lim|x|^n\), es decir, \(L=|x|L\Rightarrow L(1-|x|)=0\). Como \(|x|<1\), entonces \(1-|x|\neq0\) con lo que \(L=0\). De este modo \(\{|x|^n\}\rightarrow0\Rightarrow\{|x^n|\}\rightarrow0\) y, por tanto, \(\{x_n\}\rightarrow0\).

Por otro lado, si \(|x|>1\), entonces \(|\frac{1}{x}|<1\Rightarrow\{(\frac{1}{x})^n\}=\{\frac{1}{x^n}\}\rightarrow0\). De aquí deducimos que \(\{x^n\}\) no está acotada y, por tanto, tampoco es convergente.

5. Probar que si \(|x|<1\), entonces la sucesión \(\{1+x+x^2+\cdots+x^n\}\) converge a \(\dfrac{1}{1-x}\). (Utilícese que \((x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^n)=x^{n+1}-1\), para todo natural \(n\)).

La igualdad \((x-1)(1+x+x^2+\ldots+x^n)=x^{n+1}-1\), para todo natural \(n\)) se puede demostrar con facilidad por inducción. Utilizando esta igualdad se tiene

\[\lim((x-1)(1+x+x^2+\ldots+x^n))=\lim(x^{n+1}-1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\lim(1+x+x^2+\ldots+x^n)=\frac{\lim(x^{n+1}-1)}{x-1}\]

Como \(|x|<1\), entonces \(\{x_n\}\rightarrow0\) (ejercicio anterior) y por tanto,

\[\lim(1+x+x^2+\ldots+x^n)=\frac{-1}{x-1}=\frac{1}{1-x}\]

tal y como queríamos demostrar.

6. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:

\[\left\{\frac{n}{2^n}\right\}\quad;\quad\left\{\frac{2^n+n}{3^n-n}\right\}\]

Estudiemos en primer lugar la convergencia de la sucesión \(\{\frac{n}{2^n}\}\).

Observemos que, para todo \(n\in\mathbb{N}\):

\[n>1\Rightarrow2n>n+1\Rightarrow n>\frac{n+1}{2}\Rightarrow\frac{n}{2^n}>\frac{n+1}{2^{n+1}}\]

Lo anterior demuestra que la sucesión \(\{\frac{n}{2^n}\}\) es decreciente.

Demostremos ahora por inducción que \(2^n<2^{n+1}-1\). El resultado es cierto para \(n=1\) pues claramente \(2<3\). Supongamos el resultado cierto para \(n\) y demostrémoslo para \(n+1\):

\[2^{n+1}=2^n\cdot2<(2^{n+1}-1)\cdot2=)2^{n+2}-2<2^{n+2}-2+1=2^{n+2}-1\]

Por el principio de inducción \(2^n<2^{n+1}-1\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\).

Demostremos ahora, también por inducción, que \(n<2^n\). Claramente el resultado es cierto para \(n=1\), pues \(1<2\). Supongamos el resultado cierto para \(n\) y demostrémoslo para \(n+1\):

\[n+1<2^n+1<2^{n+1}-1+1=2^{n+1}\]

donde se ha usado la desigualdad demostrada anteriormente. Por el principio de inducción \(n<2^n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(0<\frac{n}{2^n}<1\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), lo que demuestra que la sucesión \(\{\frac{n}{2^n}\}\) está acotada.

Hemos demostrado que la sucesión \(\{\frac{n}{2^n}\}\) es decreciente y acotada (en particular minorada por cero). Además, \(\inf\{\frac{n}{2^n}:n\in\mathbb{N}\}=0\), lo que demuestra que \(\{\frac{n}{2^n}\}\rightarrow0\).

Estudiemos ahora la convergencia de la sucesión \(\{\frac{2^n+n}{3^n-n}\}\).

Descompongamos la sucesión en suma de otras dos: \(\{\frac{2^n+n}{3^n-n}\}=\{\frac{2^n}{3^n-n}\}+\{\frac{n}{3^n-n}\}\). Ambas están acotadas inferiormente por cero pues es fácilmente demostrable por inducción que \(3^n>n\). Demostraremos ahora que ambas son decrecientes.

Es claro que, dado \(n\in\mathbb{N}\), \(1<3^n+n\). Entonces:

\[0<3^n+n-1\Rightarrow 2\cdot3^n-2n<3\cdot3^n-n-1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2^{n+1}(3^n-n)<2^n(3^{n+1}-n-1)\Rightarrow\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}-(n+1)}<\frac{2^n}{3^n-n}\]

Esto ocurre \(\forall\,n\in\mathbb{N}\), lo que demuestra que la sucesión \(\{\frac{2^n}{3^n-n}\}\) es decreciente.

Por otro lado, es claro que, sea quien sea el número natural \(n\), \(n+1<3n\). Entonces:

\[3^n(n+1)<3^n\cdot3n\Rightarrow3^nn+3^n<3^{n+1}n\Rightarrow3^nn+3^n-n^2-n<3^{n+1}n-n^2-n\Rightarrow\]

\[\Rightarrow (3^n-n)(n+1)<n(3^n+1-n-1)\Rightarrow\frac{n+1}{3^{n+1}-(n+1)}<\frac{n}{3^n-n}\]

Como lo anterior ocurre \(\forall\,n\in\mathbb{N}\), hemos demostrado que la sucesión \(\{\frac{n}{3^n-n}\}\) es decreciente.

Por tanto, la sucesión \(\frac{2^n+n}{3^n-n}\) es una sucesión decreciente de números reales positivos acotada inferiormente por cero, con lo que \(\{\frac{2^n+n}{3^n-n}\}\rightarrow0\).

Podríamos haber demostrado que \(\{\frac{2^n+n}{3^n-n}\}\rightarrow0\) también del siguiente modo:

\[\left\{\frac{2^n+n}{3^n-n}\right\}=\left\{\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{n}{3^n}}{1-\frac{n}{3^n}}\right\}\]

Esta última sucesión converge a cero porque \(\{\frac{n}{3^n}\}\rightarrow0\) (resultado que se puede demostrar prácticamente igual a como se demostró en el punto anterior que \(\{\frac{n}{2^n}\}\rightarrow0\)), y porque también \(\{(\frac{2}{3})^n\}\rightarrow0\), pues \(0<\frac{2}{3}<1\).

7. Sea \(a\) un número real y positivo y definamos

\[x_1=a\quad;\quad x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Probar que la sucesión \(\{x_n\}\) converge a cero.

Veamos en primer lugar que \(\{x_n\}\) es creciente. Por un lado tenemos:

\[x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{1+x_n}=\frac{x_n-x_n-x_n^2}{1+x_n}=\frac{-x_n^2}{1+x_n}\]

Probemos ahora por inducción que \(x_n\geqslant0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). \(x_1=a\geqslant0\), pues \(a\) es un número real positivo. Sea el resultado cierto para \(n\) y demostrémoslo para \(n+1\): \(x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n}\geqslant0\), pues por hipótesis de inducción \(x_n\geqslant0\). Así, al ser \(x_n\geqslant0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), se tiene que

\[\frac{-x_n^2}{1+x_n}\leqslant0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\Rightarrow x_{n+1}-x_n\leqslant0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\Rightarrow x_{n+1}\leqslant x_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Lo anterior demuestra que \({x_n}\) es decreciente. Además, como \(\{x_n\}\) está acotada inferiormente por cero, \(\{x_n\}\) es convergente. Calculemos su límite. Supongamos que \({x_n}\rightarrow x\). Entonces:

\[\{x_{n+1}\}=\left\{\frac{x_n}{1+x_n}\right\}\Rightarrow x=\frac{x}{1+x}\Rightarrow x+x^2=x\Rightarrow x=0\]

8. Sea \(a\) un número real positivo y consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) definida por:

\[x_1=a\quad;\quad x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Pruébese que \(\{x_n\}\) es convergente y que su límite, \(x\), verifica que \(x^2=a\). (Se prueba así que todo número real positivo tiene una "raíz cuadrada" positiva).

Probemos por inducción que \(x_n>0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por hipótesis, \(x_1=a>0\). Supongamos que \(x_n>0\). Entonces claramente \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)>0\). Esto demuestra que \(\{x_n\}\) está acotada inferiormente por cero.

Veamos también por inducción que es decreciente. Probemos que \(x_n\geqslant a\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Para \(n=1\) es cierto si, y solo si, \(a\geqslant1\) pues \(x_1^2=a^2\geqslant a\). Caso de que \(a<1\) decrecerá a partir del segundo término. Vamos a comprobarlo. Supongamos el resultado cierto para \(n\) y demostrémoslo para \(n+1\):

\[a-x_{n+1}^2=a-\frac{1}{4}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)^2=a-\frac{1}{4}\left(x_n^2+\frac{a^2}{x_n^2}+2a\right)=\]

\[\frac{4ax_n^2-x_n^4-a^2-2ax_n^2}{4x_n^2}=\frac{2ax_n^2-x_n^4-a^2}{4x_n^2}=\frac{-(x_n^2-a)^2}{4x_n^2}\leqslant0\]

Entonces \(a-x_{n+1}^2\leqslant0\Rightarrow x_{n+1}^2\geqslant a\) y, por tanto, queda demostrado que \(x_n^2\geqslant a\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Así:

\[x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)-x_n=\frac{x_n^2+a-2x_n^2}{2x_n^2}=\frac{a-x_n^2}{2x_n^2}\leqslant0\]

precisamente porque \(x_n^2\geqslant a\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto demuestra que \(x_{n+1}\leqslant x_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(\{x_n\}\) es decreciente.

Hemos demostrado que \(\{x_n\}\) está acotada inferiormente por cero y que es decreciente. Por tanto, \(\{x_n\}\) es convergente. Calculemos  su límite. Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow x\). Entonces, como \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\), se tiene que

\[x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)\Rightarrow2x^2=x^2+a\Rightarrow x^2=a\Rightarrow x=\sqrt{a}\]

En un próximo artículo, para finalizar todo lo relacionado con las sucesiones de números reales, hablaremos sobre las sucesiones de Cauchy y enunciaremos el teorema de complitud de \(\mathbb{R}\).


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Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes

En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes y que se utilizan a menudo en las matemáticas de bachillerato a la hora de calcular límites de funciones. Nos referimos a aquello de que el límite de la suma, producto o división es la suma, producto o división de los límites (entre otras propiedades). Todo el mundo usa estas propiedades, pero... ¿de dónde vienen? A continuación lo justificamos demostrándolo para límites de sucesiones, pues el concepto de límite funcional está íntimamente ligado al de límite de una sucesión.

Antes de demostrar las propiedades de la sucesiones convergentes, definiremos unos conceptos relacionados con las sucesiones que también se utilizan a menudo. Nos referimos a las sucesiones acotadas. Para ello recordemos que un conjunto de números reales está mayorado (respectivamente, minorado) si existe un número real que es mayor o igual (respectivamente, menor o igual) que todos los del conjunto. Diremos también que un conjunto de números reales está acotado si está a la vez mayorado y minorado. Esto es lo mismo que decir que, dado \(A\subset\mathbb{R}\), \(A\) está acotado si existe un número real \(M>0\) tal que \(M\geqslant |a|,\,\forall a\in A\) ya que, por las propiedades del valor absoluto, esto es equivalente a decir que \(-M\leqslant a\leqslant M,\,\forall a\in A\), con lo que \(A\) está a la vez mayorado y minorado.

Considerando lo anterior diremos que una sucesión está mayorada (respectivamente, minorada) si el conjunto de sus términos está mayorado (respectivamente, minorado). Diremos también que una sucesión está acotada si está a la vez mayorada y minorada. Podemos escribir lo anterior de manera simbólica:

  • \(\{x_n\}\) esta mayorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,K\in\mathbb{R}\ |\ K\geqslant x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\).
  • \(\{x_n\}\) esta minorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,k\in\mathbb{R}\ |\ k\leqslant x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\).
  • \(\{x_n\}\) esta mayorada \(\Leftrightarrow\,\exists\,M\in\mathbb{R}^+\ |\ M\geqslant |x_n|,\,\forall n\in\mathbb{N}\).

Un resultado importante es el siguiente:

Proposición 1.

Toda sucesión de números reales convergente está acotada.

Si \(\{x_n\}\rightarrow x\) tenemos

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<1\]

con lo que para \(n\geqslant m\):

\[|x_n|=|x_n-x+x|\leqslant|x_n-x|+|x|<1+|x|\]

lo que prueba que el conjunto \(\{x_n\ :\ n\geqslant m\}\) está acotado. Pero ello implica que \(\{x_n\}\) está acotada, ya que \(\{x_n\ :\ n<m\}\) es finito y por tanto acotado, luego entonces el conjunto

\[\{x_n\ :\ n\in\mathbb{N}\}=\{x_n\ :\ n<m\}\cup\{x_n\ :\ n\geqslant m\}\]

es acotado, tal y como queríamos demostrar.

Propiedades de las sucesiones convergentes

Veamos ahora la relación entre sucesiones convergentes y las tres operaciones básicas en intervienen en el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales: suma, producto y relación de orden. Recordamos que estas son las reglas básicas para el cálculo de límites, no sólo de sucesiones de números reales, sino también para el cálculo de límites de funciones.

Proposición 2.

Si \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son dos sucesiones de números reales convergentes, entonces la sucesión \(\{x_n+y_n\}\) es convergente y se tiene

\[\lim\{x_n+y_n\}=\lim\{x_n\}+\lim\{y_n\}\]

Si \(x=\lim x_n\), \(y=\lim y_n\), dado \(\varepsilon>0\) arbitrario se tiene

\[\exists\, m_1\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

\[\exists\, m_2\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_2\Rightarrow|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}\]

Tomemos \(m\in\mathbb{N}\) tal que \(m\geqslant m_1\) y \(m\geqslant m_2\). Entonces, para \(n\geqslant m\) se cumple que

\[|(x_n+y_n)-(x+y)|\leqslant|x_n-x|+|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

Con lo que, usando la definición de sucesión convergente, hemos demostrado que \(\{x_n+y_n\}\rightarrow x+y\), tal y como queríamos.

Proposición 3.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales convergente a cero, e \(\{y_n\}\) una sucesión de números reales acotada. Entonces la sucesión \(\{x_ny_n\}\) converge a cero.

Sea \(M>0\) tal que \(M>|y_n|,\,\forall n\in\mathbb{N}\). Como \(\{x_n\}\rightarrow0\), dado \(\varepsilon>0\) se tiene

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m\Rightarrow|x_n|<\frac{\varepsilon}{M}\]

Entonces, para \(n\geqslant m\) tenemos

\[|x_ny_n|<\frac{\varepsilon}{M}M=\varepsilon\]

con lo que hemos probado que \(\{x_ny_n\}\rightarrow0\).

Corolario 1.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes. Entonces la sucesión \(\{x_ny_n\}\) es convergente y se tiene:

\[\lim(x_ny_n)=\lim(x_n)\lim(y_n)\]

Si \(x=\lim x_n\), usando que la sucesión constantemente igual a \(-x\), \(\{-x\}\), converge a \(-x\) y que la suma de sucesiones convergentes es convergente, tenemos que \(\{x_n-x\}\rightarrow0\). Como \(\{y_n\}\) es acotada, por la proposición anterior, \(\{x_ny_n-xy_n\}\rightarrow0\). Por otro lado, si \(y=\lim y_n\) se tiene claramente que \(\{y_n-y\}\rightarrow0\) y \(\{xy_n-xy\}\rightarrow0\), luego \(\{xy_n\}\rightarrow xy\). Finalmente, volviendo a usar que la suma de sucesiones convergentes es convergente, tenemos

\[\{x_ny_n\}=\{x_ny_n-xy_n+xy_n\}\rightarrow0+xy=xy\]

tal y como queríamos demostrar.

Proposición 4.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos, convergente a un límite no nulo \(x\). Entonces la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\) converge a \(\dfrac{1}{x}\).

Por ser \(\{x_n\}\) convergente a \(x\) y \(x\neq0\) tenemos

\[\exists\, m\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\frac{|x|}{2}\]

de donde si \(n\geqslant m\) se verifica (ver las propiedades del valor absoluto) que

\[|x_n|=|x-(x-x_n)|\geqslant|x|-|x-x_n|>|x|-\frac{|x|}{2}=\frac{|x|}{2}\]

y por tanto, para \(n\geqslant m\)

\[\left|\frac{1}{x_n}\right|<\frac{2}{|x|}\]

de donde se deduce que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\) es acotada.

Por último, como

\[\left\{\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\right\}=\left\{\dfrac{x-x_n}{x}\dfrac{1}{x_n}\right\}\]

y \(\left\{\dfrac{x-x_n}{x}\right\}\rightarrow0\), la proposición anterior nos asegura que \(\left\{\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x}\right\}\rightarrow0\), es decir, \(\left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}\rightarrow\dfrac{1}{x}\).

Corolario 2.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes respectivamente a \(x\), \(y\). Supongamos que \(y_n\neq0\) para todo natural \(n\) y que \(y\neq0\). Entonces la sucesión \(\left\{\dfrac{x_n}{y_n}\right\}\) converge a \(\dfrac{x}{y}\).

Es consecuencia inmediata de la proposición anterior aplicada a la sucesión \(\{y_n\}\) y del corolario 1.

Proposición 5.

Sean \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) sucesiones de números reales convergentes a los números reales \(x\) e \(y\), respectivamente. Supongamos que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leq y_n\}\) es infinito. Entonces \(x\leqslant y\).

Supongamos por el contrario que \(x>y\). Tomando \(\varepsilon=\dfrac{x-y}{2}>0\) tenemos:

\[\exists\, m_1\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_1\Rightarrow x_n>x-\varepsilon=\frac{x+y}{2}\]

\[\exists\, m_2\in\mathbb{N}\ |\ n\geqslant m_2\Rightarrow y_n<y+\varepsilon=\frac{x+y}{2}\]

Si tomamos \(m\in\mathbb{N}\) tal que \(m\geqslant m_1\) y \(m\geqslant m_2\), entonces si \(n\geqslant m\), se tiene que \(x_n>y_n\), es decir,

\[\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leqslant y_n\}\subset\{n\in\mathbb{N}\ :\ n<m\}\]

y por tanto el primero de estos dos conjuntos es finito, lo cual es una contradicción.

Es conveniente darse cuenta de que si suponemos la desigualdad estricta en la hipótesis de la proposición anterior, es decir, si suponemos que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n< y_n\}\) es infinito, no podemos afirmar que se cumpla también la desigualdad estricta en la tesis, es decir, no podemos afirmar que \(\lim x_n<\lim y_n\).\\ Por ejemplo, dadas las sucesiones \(\{x_n\}=\left\{\dfrac{1}{n+1}\right\}\), \(\{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\), es muy fácil darse cuenta de que \(x_n<y_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Pero \(\lim x_n=\lim y_n=0\).

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de la proposición anterior, consecuencia que en la práctica se presenta más a menudo.

Corolario 3.

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales convergente y sea \(a\) un número real cualquiera. Si el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\leqslant a\}\) (respectivamente, \(\{n\in\mathbb{N}\ :\ x_n\geqslant a\}\)) es infinito, se tiene \(\lim x_n\leqslant a\) (respectivamente, \(\lim x_n\geqslant a\)).

Finalmente damos un resultado muy útil para el cálculo de límites te sucesiones, conocido popularmente como "regla del sandwich".

Proposición 6.

Sean \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\), \(\{z_n\}\) sucesiones de números reales verificando que \(x_n\leq y_n\leq z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Supongamos que \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\) son convergentes a un mismo límite \(l\). Entonces \(\{y_n\}\) converge a ese mismo límite \(l\).

Dado \(\varepsilon>0\) podemos encontrar un natural \(m\) tal que para \(n\geq m\) se tenga simultáneamente que \(|x_n-l|<\varepsilon\) y \(|z_n-l|<\varepsilon\). Entonces, para \(n\geq m\) tenemos:

\[l-\varepsilon<x_n\leq y_n\leq z_n<l+\varepsilon\]

de donde \(|y_n-l|<\varepsilon\) y, por tanto, \(\{y_n\}\rightarrow l\)

Proponemos a continuación una serie de ejercicios con sus respectivas soluciones.

Ejercicios

1. Probar que si \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son sucesiones de números reales acotadas, entonces la sucesiones \(\{x_n+y_n\}\) y \(\{x_ny_n\}\) están acotadas.

Como \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) son acotadas, existen \(M_1,\,M_2\in\mathbb{R}^+\) tales que \(|x_n|\leqslant M_1\), \(|y_n|\leqslant M_2\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\).

Entonces \(|x_n+y_n|\leqslant|x_n|+|y_n|\leqslant M_1+M_2\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(\{x_n+y_n\}\) está acotada.

Por otro lado, \(|x_ny_n|=|x_n||y_n|\leqslant M_1M_2\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), lo que demuestra que la sucesión \(\{x_ny_n\}\) también está acotada.

2. Dar dos sucesiones \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) de números reales no convergentes, tales que \(\{x_n+y_n\}\) sea convergente.

Sean \(\{x_n\}=\{n\}\), \(\{y_n\}=\{-n\}\). Ya se demostró en el artículo anterior (ejemplo 2) que la sucesión \(\{x_n\}\) no es convergente. Por tanto, tampoco lo será \(\{y_n\}\) pues, de serlo, también lo sería la sucesión \(\{(-1)(-n)\}=\{n\}\), y esto es una contradicción. Sin embargo, \(\{x_n+y_n\}={0}\rightarrow0\) (sucesión constantemente igual a cero).

3. Supongamos que \(\{x_n+y_n\}\) es convergente. ¿Qué puede afirmarse sobre la posible convergencia de \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\)?

Que, o son las dos convergentes, o ninguna lo es (véase ejercicio anterior). Si, por ejemplo, fuese \(\{x_n\}\) convergente e \(\{y_n\}\) no fuera convergente, la sucesión \(\{(x_n+y_n)-x_n\}=\{y_n\}\) sería convergente (por ser suma de convergentes), lo cual es una contradicción, pues hemos supuesto que \(\{y_n\}\) no es convergente.

4. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y sea \(x\) un mayorante de \(A\). Probar que \(x\) es el supremo de \(A\) si y sólo si existe una sucesión de elementos de \(A\) convergente a \(x\).

Como \(x\) es un mayorante de \(A\), tenemos que \(x\geqslant a\,,\forall\,a\in A\).

\(\Rightarrow)\) Supongamos que \(x=\sup A\). Por definición de supremo, para cada número real y positivo \(\varepsilon\), existe \(a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon\). Consideremos la sucesión \(\{a_n\}=\{x-\frac{1}{n}\}\). Por lo anterior es claro que \(a_n\in A\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por tanto \(\{a_n\}\) es una sucesión de elementos de \(A\). Además, como \(\{x\}\rightarrow x\) y \(\{\frac{1}{n}\}\rightarrow0\), entonces \(\{a_n\}=\{x-\frac{1}{n}\}\rightarrow x\).

\(\Leftarrow)\) Supongamos que existe una sucesión de elementos de \(A\),\(\{a_n\}\), convergente a \(x\). Dado \(\varepsilon>0\), existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces \(|a_n-x|<\varepsilon\), es decir, \(x-\varepsilon<a_n<x+\varepsilon\). En particular, \(a_m>x-\varepsilon\) y, por tanto, \(x=\sup A\).

También se puede demostrar, de forma completamente análoga, la misma afirmación cambiando mayorante por minorante y supremo por ínfimo.

5. Sea \(x\) un número real cualquiera. Probar que existen cuatro sucesiones \(\{r_n\}\), \(\{s_n\}\), \(\{\alpha_n\}\), \(\{\beta_n\}\) convergentes a \(x\), que verifican \(r_n,\,s_n\in\mathbb{Q}\), \(\alpha_n,\,\beta_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), \(r_n<x<s_n\), \(\alpha_n<x<\beta_n\).

Sabemos por el ejercicio 2 del artículo dedicado a la existencia de los números irracionales que

\[x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{s\in\mathbb{Q}\,:\,s>x\}\]

y también que

\[x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{\beta\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\beta>x\}\]

Por el ejercicio anterior es claro que existen sucesiones \(\{r_n\}\), \(\{s_n\}\), \(\{\alpha_n\}\), \(\{\beta_n\}\) convergentes a \(x\), que verifican: \(r_n,\,s_n\in\mathbb{Q}\), \(\alpha_n,\,\beta_n\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\), \(r_n<x<s_n\), \(\alpha_n<x<\beta_n\).

6. Sea \(\{x_n\}\) una sucesión de números reales no nulos tal que \(\{x_n\}\rightarrow0\). Probar que \(\{\frac{1}{x_n}\}\) no está acotada.

Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que \(\{\frac{1}{x_n}\}\) es una sucesión acotada. Entonces existe \(M\in\mathbb{R}^+\) tal que \(|\frac{1}{x_n}|\leqslant M\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), es decir, \(|x_n|\geqslant\frac{1}{M}>\frac{1}{M+1}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto contradice que \(\{x_n\}\rightarrow0\). Por tanto, la sucesión \(\{\frac{1}{x_n}\}\) no está acotada.

7. Mostrar con un ejemplo que, en la proposición 6, la hipótesis \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), no se puede sustituir por la de que el conjunto \(\{n\in\mathbb{N}\,:\,x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\}\) sea infinito. ¿Bastaría exigir la existencia de un natural \(p\) tal que para \(n\geqslant p\) se verificase \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\)?

Sean \(\{x_n\}=\{0\}\), \(\{y_n\}=\{(-1)^n\}\) y \(\{z_n\}=\{1\}\). Es claro que \(\{n\in\mathbb{N}\,:\,x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\}\) es infinito (el conjunto de los números pares:\(\{2k\,:\,k\in\mathbb{N}\}\)), pero \(\{y_n\}\) no es convergente.

Supongamos que existe \(p\in\mathbb{N}\) tal que \(x_n\leqslant y_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) con \(n\geqslant p\). Sea la sucesión \(\{r_n\}\) definida por

\[r_n=\left\{\begin{array}{ccc}
                y_n & \text{si} & n\geqslant p \\
                x_n & \text{si} & n<p
              \end{array}
  \right.\]

Entonces \(x_n\leqslant r_n\leqslant z_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) y \(\{r_n\}\) es convergente al mismo límite que \(\{x_n\}\) y \(\{z_n\}\). Pero \(y_n=r_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\) con \(n\geqslant p\). Por el ejercicio 2.11.4 \(\{y_n\}\) es convergente y

\[\lim y_n=\lim r_n=\lim x_n=\lim z_n\]


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Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Tanto en la educación secundaria obligatoria como en el bachillerato se habla poco de las sucesiones de números reales. Si acaso se dedica una unidad didáctica a las progresiones aritméticas y a las progresiones geométricas. Puesto que las sucesiones de números reales y, sobre todo, el concepto de convergencia para dichas sucesiones, son fundamentales para el estudio de las funciones reales de variable real, sobre todo en un primer curso universitario, vamos a desarrollar en este artículo los conceptos básicos relacionados con las sucesiones de números reales y con la convergencia de sucesiones dando, en este último caso, la definición más clásica de sucesión convergente y de límite de una sucesión. Intentaremos hacerlo con un lenguaje claro, sobre todo para que el alumno de bachillerato que se acerca a un grado de ciencias adquiera cierta familiaridad con estos nuevos conceptos.

Definición.

Si \(A\) es un conjunto no vacío, llamaremos sucesión de elementos de \(A\) a toda aplicación del conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales en \(A\). En particular una sucesión de números reales es, por definición, una aplicación de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{R}\).

Hemos de fijar nuestra atención en que para definir una sucesión de números reales basta con asociar a cada número natural un número real. Si para cada natural \(n\), \(x_n\) es un número real, notaremos \(\{x_n\}\) a la sucesión \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(n)=x_n,\,\forall n\in\mathbb{N}\]

Así, por ejemplo, \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) es la sucesión \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(n)=\frac{1}{n},\,\forall n\in\mathbb{N}\]

sucesión que asocia al número natural \(1\) el número \(\dfrac{1}{1}=1\), al número natural \(2\) el número \(\dfrac{1}{2}\), al número natural \(3\) el número \(\dfrac{1}{3}\), y así sucesivamente.

Al número real \(x_n\) se le llama  término n-ésimo de la sucesión \(\{x_n\}\). Es importante distinguir entre la sucesión \(\{x_n\}\) (que es una aplicación) y el conjunto \(\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\) de sus términos (que es la imagen de la aplicación). Podemos pensar por ejemplo que las sucesiones \(\{x_n\}\) e \(\{y_n\}\) definidas por

\[x_1=0\ ,\ x_2=x_3=\ldots=1\]

\[y_1=1\ ,\ y_2=y_3=\ldots=0\]

son tales que \(\{x_n:n\in\mathbb{N}\}=\{y_n:n\in\mathbb{N}\}=\{0\,,1\}\) mientras que claramente \(\{x_n\}\neq\{y_n\}\).

Sucesiones convergentes

Definición.

Se dice que una sucesión \(\{x_n\}\) de números reales es convergente si existe un número real \(x\) con la siguiente propiedad: dado un número real y positivo \(\varepsilon\) arbitrario, siempre puede encontrarse un número natural \(m\) (que dependerá del \(\varepsilon\) elegido), tal que si \(n\) es cualquier natural mayor o igual que \(m\) se tiene \(|x_n-x|<\varepsilon\) (o equivalentemente \(x-\varepsilon<x_n<x+\varepsilon\), según las propiedades del valor absoluto). Dicho de otra forma, cualquiera sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\), todos los términos de la sucesión, salvo los correspondientes a un conjunto finito de naturales, están comprendidos entre \(x-\varepsilon\) y \(x+\varepsilon\), entendiéndose que dicho conjunto finito de números naturales dependerá en general del número positivo \(\varepsilon\) elegido.

En caso de que ocurra lo anterior, y queramos destacar el número \(x\) cuya existencia se afirma, diremos que \(\{x_n\}\) converge a \(x\) y escribiremos \(\{x_n\}\rightarrow x\). Así pues, simbólicamente:

\[\{x_n\}\rightarrow x\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon\]

Merece la pena traducir a lenguaje común la definición de sucesión convergente y la simbología anterior. Lo que viene a decir es que, si una sucesión converge a un número real \(x\), todos los términos de la sucesión, a partir de uno dado, se encuentran tan cerca como queramos del número \(x\). Obsérvese que tal notación la podríamos traducir así: "decir que una sucesión es convergente a un número \(x\) es lo mismo que decir que, dado un número positivo cualquiera (por pequeño que este sea), la distancia entre infinitos términos de la sucesión y el número \(x\) es más pequeña que el número escogido". Como siempre, la notación matemática, a pesar de suponer en principio un pequeño "shock" al que la lee por vez primera, es fundamental para poder demostrar que una determinada sucesión es convergente, o para demostrar otras propiedades de las sucesiones convergentes como veremos en un artículo posterior.

Antes de ver algunos ejemplos concretos de sucesiones convergentes y no convergentes, es conveniente hacer una observación importante. Si una sucesión \(\{x_n\}\) es convergente, el número \(x\) al que converge la sucesión es único (o sea, una sucesión no puede converger a dos números distintos). Esto no es difícil de demostrar, pues si hubiera otro número real \(y\) al que la misma sucesión \(\{x_n\}\) también convergiera, tendríamos, según la condición anterior, que dado \(\varepsilon>0\) arbitrario, se cumplirían simultáneamente las dos siguientes condiciones:

\[\exists\,m_1\in\mathbb{N}:n\geqslant m_1\Rightarrow|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

\[\exists\,m_2\in\mathbb{N}:n\geqslant m_2\Rightarrow|y_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\]

Entonces, si tomamos \(n\geqslant m_1\) y \(n\geqslant m_2\) tenemos:

\[|x-y|=|x-x_n+x_n-y|\leqslant|x_n-x|+|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\]

de donde por ser \(\varepsilon\) un número positivo arbitrario deducimos que \(x=y\) (obsérvese que hemos utilizado esta otra propiedad del valor absoluto: \(|a+b|\leqslant|a|+|b|,\,\forall\,a,b\in\mathbb{R}\)).

Todo el razonamiento anterior nos permite introducir, por definición, el siguiente concepto.

Definición.

Si \(\{x_n\}\) es una sucesión de números reales que converge a un número real \(x\), diremos que \(x\) es el límite de la sucesión \(\{x_n\}\) y escribiremos \(\lim\,x_n=x\) como notación equivalente a \(\{x_n\}\rightarrow x\).

Ahora es el momento de ver algunos ejemplos concretos sobre el concepto de convergencia de una sucesión.

Ejemplo 1

Dado un número real y positivo \(\varepsilon\) cualquiera, el número \(\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\) es claramente natural (recuerda que, dado un número real \(x\), \(\text{E}(x)\) significa "parte entera de \(x\)"). Una de las propiedades de la parte entera nos asegura que \(\dfrac{1}{\varepsilon}<\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\). Pues bien, si escogemos el número natural \(m=\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\), ocurre que \(\dfrac{1}{\varepsilon}<m\), o lo que es lo mismo, \(\dfrac{1}{1/\varepsilon}>\dfrac{1}{m}\Rightarrow\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Por tanto, dado cualquier número natural \(n\in\mathbb{N}\) cumpliendo que \(n\geqslant m\), entonces \(\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Acabamos de demostrar que:

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow\left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}<\varepsilon\]

es decir, que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) converge a \(0\): \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\rightarrow0\), o bien, \(\lim\,\dfrac{1}{n}=0\).

Ejemplo 2

Demostremos ahora que la sucesión \(\{n\}\) no es convergente. Razonaremos por reducción al absurdo. Si existiera \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\{n\}\rightarrow x\), entonces:

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow x-\varepsilon<n<x+\varepsilon\]

pero esto es absurdo pues \(\mathbb{N}\) no está mayorado. Así pues la sucesión \(\{n\}\) no es convergente.

Ejemplo 3

La sucesión \(\{(-1)^n\}\) tampoco es convergente. Razonaremos también por reducción al absurdo. Supongamos que existiera \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(\{(-1)^n\}\rightarrow x\). Entonces

\[\forall\varepsilon>0\,,\,\exists\,m\in\mathbb{N}:n\geqslant m\Rightarrow|(-1)^n-x|<\varepsilon\]

Ahora consideremos tres casos.

Caso 1. \(x=0\). Entonces \(|(-1)^n|<\varepsilon\Rightarrow 1<\varepsilon\), que es una contradicción pues \(\varepsilon\) es un número real y positivo arbitrario.

Caso 2. \(x>0\). En este caso cuando \(n\geqslant m\) sea impar tendremos que

\[|(-1)^n-x|=|-1-x|=|1+x|=1+x<\varepsilon\]

Luego \(1<1+x<\varepsilon\) y vuelve a haber una contradicción.

Caso 3. \(x<0\). En este caso cuando \(n\geqslant m\) sea par tendremos que

\[|(-1)^n-x|=|1-x|=1-x<\varepsilon\]

Esto es otra vez contradictorio pues si \(x<0\), entonces \(-x>0\) y \(1-x>1\).

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\{(-1)^n\}\) no es convergente. Los términos de esta sucesión son \(\{-1,1,-1,1,-1,1,\ldots\}\). Obsérvese que si tomamos siempre \(n\) impar la sucesión se convierte en la sucesión \(\{-1\}\), constantemente igual a \(-1\); y que si tomamos siempre \(n\) par la sucesión se convierte en la sucesión \(\{1\}\), constantemente igual a \(1\). Ambas sucesiones son convergentes por ser constantes, la primera a \(-1\) y la segunda a \(1\). Esto no es ninguna tontería. Una sucesión \(\{x_n\}\) es constante si \(\{x_n\}=\{k\},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), donde \(k\) es un número real cualquiera. Es muy fácil demostrar que \(\{x_n\}=\{k\}\rightarrow k\). Volviendo a lo anterior, \(\{(-1)^n\}\) no es convergente, pero contiene dos "subsucesiones" convergentes. El concepto de subsucesión o sucesión parcial de una sucesión lo veremos en otro artículo dedicado a las sucesiones convergentes y sus propiedades.

Ejemplo 4

Demostraremos finalmente que la sucesión \(\{x_n\}=\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\) es convergente. Para poder demostrarlo deberemos de "intuir" el posible límite. El conjunto de los términos de esta sucesión es

\[\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,\ldots\}=\left\{1,\frac{4}{5},\frac{9}{11},\frac{16}{19},\frac{25}{29},\ldots\right\}\]

términos que, aparentemente, se "acercan" cada vez más al número \(1\) (lo que sugiere que éste sea el límite de la sucesión). Entonces debemos acotar la expresión \(|x_n-1|\). Para ello, como en el ejemplo número 1, dado un número real y positivo \(\varepsilon\) cualquiera, tomemos \(m=\text{E}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)+1\). Ya hemos visto que \(\dfrac{1}{m}<\varepsilon\). Entonces, dado \(n\in\mathbb{N}\) cumpliendo que \(n\geqslant m\), tenemos:

\[|x_n-1|=\left|\frac{n^2}{n^2+n-1}-1\right|=\left|\frac{1-n}{n^2+n-1}\right|=\]

\[=\frac{n-1}{n^2+n-1}\leqslant\frac{n-1}{n^2-1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\]

Lo anterior demuestra que la sucesión \(\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\) es convergente y que \(\lim\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}=1\).

 

El alumno de bachillerato advertirá que el cálculo del límite de la sucesión del ejemplo anterior se podría llevar a cabo usando las técnicas del cálculo de límite de funciones, es decir, calculando el límite cuando \(x\) tiende a "más infinito" de la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2+x-1}\):

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2+x-1}\]

Según las técnicas de cálculo de límites mencionadas rápidamente se sabe que el límite anterior es igual a 1 (límite en el infinito de una función racional en el que los grados de numerador y denominador coinciden: el límite es el cociente de los coeficientes líderes). Esto nos llevará, naturalmente, a pensar que \(\left\{\dfrac{n^2}{n^2+n-1}\right\}\rightarrow1\).

Pero es justo al contrario. Las técnicas de cálculo de límites de funciones reales de variable real se demuestran usando previamente el concepto de convergencia de una sucesión de números reales. De hecho, para definir el concepto de límite funcional, hemos de usar el concepto de sucesión convergente. Sin embargo, en el actual bachillerato, se aprende antes a calcular límites de funciones que de sucesiones, y ello sin ni siquiera conocer con cierto rigor el concepto de límite. Este artículo ha pretendido arrojar luz sobre el significado de límite en matemáticas. Y para ello, quizás lo más adecuado sea empezar por el concepto de sucesión convergente.


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Progresiones geométricas

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija. Por tanto, para poder escribir tal sucesión se necesita un primer término, \(a_1\), y la cantidad fija por la que multiplicamos cada término, a la que llamaremos razón y notaremos por  \(r\).

Un par de ejemplos de progresiones geométricas pueden ser los siguientes:

  • Primer término \(2\) y razón \(2\): \(\{2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64,\,128,\ldots\}\)
  • Primer término \(\dfrac{1}{2}\) y razón \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{8},\,\dfrac{1}{16},\,\dfrac{1}{32},\,\dfrac{1}{64},\ldots\right\}\)

Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices:

\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\]

Con esta notación podemos definir una progresión geométrica como una sucesión de números \(a_1,\,a_2,\,a_3,\ldots\) donde \(a_{i+1}=a_i\cdot r,\ \forall\ i\in\mathbb{N}\).

Obsérvese que \(a_n\) es el término que ocupa el lugar \(n\). Además, la letra \(n\) indica el número de términos de la progresión que estamos considerando. Por ejemplo, si \(a_1=-3\), \(r=3\) y \(n=5\), la progresión geométrica es:

\[\{a_1=-3,\,a_2=-9,\,a_3=-27,\,a_4=-81,\,a_5=-243,\,a_6=-729\}\]

Término general de una progresión geométrica

Conocido el primer término de una progresión geométrica y la razón, es fácil obtener cualquier otro término. Basta hallar \(a_2\), luego \(a_3\), etc., hasta llegar al término que se quiera. Pero nos interesaría un método más rápido. Como cada término se obtiene del anterior multiplicando por \(r\), podemos escribir la progresión utilizando únicamente \(a_1\) y \(r\):

\[a_1,\,a_2=a_1\cdot r,\,a_3=a_2\cdot r=a_1\cdot r^2,\,a_4=a_3\cdot r=a_1\cdot r^3,\,a_5=a_4\cdot r=a_1\cdot r^4,\ldots\]

De lo anterior se deduce que el término que ocupa el lugar \(n\) será

\[a_n=a_1\cdot r^{n-1}\]

Así, los términos generales de las progresiones geométricas de los dos ejemplos anteriores son:

  • \(a_n=2\cdot2^{n-1}\Rightarrow a_n=2^n\)
  • \(a_n=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{2^n}\)

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma \(S\) de los términos de una progresión geométrica se pueden escribir, obviamente, así:

\[S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\]

expresión que, utilizando la fórmula del término general también es igual que

\[S=a_1+a_1\cdot r+a_1\cdot r^2+\ldots+a_1\cdot r^{n-3}+a_1\cdot r^{n-2}+a_1\cdot r^{n-1}\]

Si multiplicamos todos los términos de la expresión anterior por la razón \(r\) tenemos

\[S\cdot r=a_1\cdot r+a_1\cdot r^2+a_1\cdot r^3+\ldots+a_1\cdot r^{n-2}+a_1\cdot r^{n-1}+a_1\cdot r^n\]

Efectuando ahora la diferencia \(S\cdot r-S\) se obtiene claramente que \(S\cdot r-S=a_1\cdot r^n-a_1\) (todos los términos intermedios se cancelan). Despejando ahora \(S\) de esta última igualdad obtenemos una fórmula para la suma de los \(n\) primeros términos de una progresión geométrica:

\[S\cdot r-S=a_1\cdot r^n-a_1\Rightarrow S(r-1)=a_1(r^n-1)\Rightarrow S=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\]

Esta fórmula se puede expresar de otra manera equivalente. Teniendo en cuenta que \(a_n=a_1r^{n-1}\):

\[S=\frac{a_nr-a_1}{r-1}\]

Así, por ejemplo, la suma \(2+6+18+54+162+486=728\) se puede calcular también, utilizando cualquiera de las dos fórmulas anteriores, así:

\[S=\frac{2(3^6-1)}{3-1}=\frac{2\cdot728}{2}=728\quad\text{;}\quad S=\frac{486\cdot3-2}{3-1}=\frac{1456}{2}=728\]

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Progresiones aritméticas

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión de número reales en la que cada uno de ellos se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija. Por tanto, para poder escribir tal sucesión se necesita un primer término, \(a_1\), y la cantidad fija que vamos sumando a cada término, a la que llamaremos diferencia y notaremos por \(d\).

Algunos ejemplos de progresiones aritméticas pueden ser los siguientes:

  • Primer término \(6\) y diferencia \(3\): \(\{6,\,9,\,12,\,15,\,18,\,21,\ldots\}\)
  • Primer término \(14\) y diferencia \(-4\): \(\{14,\,10,\,6,\,2,\,-2,\,-6,\ldots\}\)
  • Primer término \(0\) y diferencia \(\dfrac{1}{2}\): \(\left\{0,\,\dfrac{1}{2},\,1,\,\dfrac{3}{2},\,2,\,\dfrac{5}{2},\,3,\,\dfrac{7}{2},\ldots\right\}\)

Llamaremos términos de la progresión a cada uno de los números que la forman y los simbolizaremos mediante letras afectadas de subíndices:

\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\ldots\,a_n,\ldots\]

Con esta notación podemos definir una progresión aritmética como una sucesión de números \(a_1,\,a_2,\,a_3,\ldots\) donde \(a_{i+1}=a_i+d,\ \forall\,i\in\mathbb{N}\).

Obsérvese que \(a_n\) es el término que ocupa el lugar \(n\). Además, la letra \(n\) indica el número de términos que estamos considerando. Por ejemplo, si \(a_1=-3\), \(d=3\) y \(n=6\), la progresión es:

\[\{a_1=-3,\,a_2=0,\,a_3=3,\,a_4=6,\,a_5=9,\,a_6=12\}\]

Término general de una progresión aritmética

Conocido el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, es fácil obtener cualquier otro término. Basta hallar \(a_2\), luego \(a_3\), etc., hasta llegar al término que se quiera. Pero nos interesa un método más rápido. Como cada término se obtiene del anterior sumando \(d\), podemos escribir la progresión utilizando únicamente \(a_1\) y \(d\):

\[a_1,\,a_2=a_1+d,\,a_3=a_2+d=a_1+2d,\,a_4=a_3+d=a_1+3d,\,a_5=a_4+d=a_1+4d\ldots\]

De lo anterior se deduce que el término que ocupa el lugar \(n\) será

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

La fórmula anterior es un atajo para llegar a \(a_n\) si calcular términos intermedios. Recibe el nombre de término general de la progresión aritmética. Además sabiendo tres de los elementos que intervienen podemos siempre despejar el cuarto.

Así, los términos generales de las progresiónes aritméticas de los tres ejemplos anteriores son:

\(a_n=6+(n-1)\cdot3=6+3n-3\Rightarrow a_n=3n+3\)

\(a_n=14+(n-1)\cdot(-4)=14-4n+4\Rightarrow a_n=-4n+18\)

\(a_n=0+(n-1)\dfrac{1}{2}\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{2}\)

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma \(S\) de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética se puede escribir, obviamente, así:

\[S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\]

Una propiedad de la progresiones es que la suma de elementos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma del primero y el último \(a_1+a_n\). Veámoslo.

Si sumamos el segundo y el penúltimo:

\[a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_1+(n-2)d=a_1+a_1+d+nd-2d=\]

\[=a_1+a_1+nd-d=a_1+a_1+(n-1)d=a_1+a_n\]

Si sumamos el tercero y el antepenúltimo:

\[a_3+a_{n-2}=a_1+2d+a_1+(n-3)d=a_1+a_1+2d+nd-3d=\]

\[=a_1+a_1+nd-d=a_1+a_1+(n-1)d=a_1+a_n\]

Por tanto, si escribimos la suma de los \(n\) primeros términos de estas dos formas

\[S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\]

\[S=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots+a_3+a_2+a_1\]

sumamos verticalmente término a término, y aplicamos la propiedad anterior tenemos:

\[2S=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+\ldots+(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)=\]

\[=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\ldots+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)\]

Como hay \(n\) términos la igualdad anterior se convierte en \(2S=n(a_1+a_n)\) y despejando \(S\) tenemos:

\[S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\]

que es la fórmula para sumar los \(n\) primeros términos de una sucesión.

Puede servir de ejemplo sumar los \(100\) primeros naturales. Los \(100\) primeros números naturales forman obviamente una progresión aritmética de \(100\) términos donde el primero es el \(1\) y el último es el \(100\). Por tanto la suma de los \(100\) primeros naturales es

\[S=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\frac{(1+100)100}{2}=\frac{101\cdot100}{2}=\frac{10100}{2}=5050\]

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