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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir:

\[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\]

Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido sustituir la variable \(x\) por cualquier número real para obtener su imagen \(f(x)\). O sea, si \(f\) es una función polinómica, entonces \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}\).

No hay ningún problema tampoco en admitir que toda función polinómica es continua, es decir, su gráfica se puede dibujar "sin levantar el lápiz del papel". Desde el punto de vista matemático esto quiere decir que el límite de la función en todo punto es igual que la imagen de la función en ese punto. Simbólicamente, si \(f\) es una función polinómica y \(a\in\mathbb{R}\), entonces

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Casos particulares de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática.

Nos planteamos el problema de dibujar la gráfica de una función polinómica. Puesto que un polinomio de grado \(n\) tiene a los sumo \(n\) raíces reales, toda función polinómica cortará, a lo sumo, en \(n\) puntos al eje \(X\). Hallar estos puntos de corte no es nada fácil si el polinomio es de grado mayor o igual que tres. Pero sí afirmaremos que toda función polinómica de grado \(n\) se "dobla" o se "pliega" a lo sumo, \(n-1\) veces. Además, el punto de corte con el eje \(Y\) siempre será \((0,a_0)\), donde \(a_0\) es el término independiente del polinomio. Por otro lado, todas las funciones polinómicas se comportan de manera similar en el infinito, ya que:

\[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}a_nx^n=\pm\infty\]

Lo anterior quiere decir que, si dibujásemos la gráfica de una función polinómica de izquierda a derecha, la misma procedería de más o menos infinito y se alejaría hacia más o menos infinito. Es decir, las funciones polinómicas presentan ramas infinitas en más o menos infinito. ¿Qué hacen "entre medias"? Bueno, pues dependiendo del número de veces que "toquen" al eje \(X\) y del número de máximos o mínimos relativos que posean, tendrán comportamientos diversos. Veamos algunos ejemplos.

La función polinómica de grado tres más sencilla es \(f(x)=x^3\), que corta al eje \(X\) únicamente en el origen de coordenadas. Además, es una función impar pues \(f(-x)=-f(x)\), lo que quiere decir que es simétrica respecto del origen de coordenadas. Es fácil obtener su gráfica:

funcion polinomica 01

Obsérvese que la función "procede" de menos infinito y se "dirige hacia" más infinito ya que, respectivamente, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\).

Hagamos otro ejemplo. Consideremos la función \(f(x)=-3x^3+2x\). En este caso es fácil hallar los puntos de corte con los ejes:

\[-3x^3+2x=0\Leftrightarrow x(-3x^2+2)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0,816\\x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\approx-0,816\end{cases}\]

Además

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3)=+\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}(-3x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}(-3x^3)=-\infty\]

De lo anterior deducimos que la función procede de más infinito, corta al eje \(X\) en \(-0,816\), \(0\), \(0,816\); y se escapa hacia menos infinito. Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que es de grado tres, tendrá que "doblarse" dos veces y podremos dibujar aproximadamente su gráfica. De hecho la gráfica es la siguiente:

funcion polinomica 02

Consideremos por último la función polinómica \(f(x)=-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1\). ¿Qué podemos decir de ella? Primero, que procede de menos infinito y se dirige también hacia menos infinito ya que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=-\infty\). Segundo, que pasa por el punto \((0,1)\). Y tercero, que de lo anterior se deduce que debe cortar al eje \(X\) en, al menos, dos puntos. Lógico, ¿no? De hecho corta al eje \(X\) en, exactamente, dos puntos, pues la ecuación \(-2x^6-x^5+x^4-2x^3+2x+1=0\) tiene exactamente dos soluciones reales (WolframAlpha se encarga de facilitarnos el trabajo). La gráfica queda así:

funcion polinomica 03

El teorema de los ceros de Bolzano y el estudio de la monotonía y de los extremos de una función polinómica usando las derivadas (contenidos que se aprenden en 2º de Bachillerato), nos permitirá dibujar con ciertas garantías las funciones polinómicas de grado tres, incluso de grado cuatro. Para las funciones polinómicas de grado superior no podremos sino atisbar cómo podría ser su gráfica usando los métodos anteriores y haciendo una tabla de valores lo suficientemente grande. Menos mal que disponemos de potentes programas de representación gráfica de funciones para visualizar cualquier función polinómica, por ejemplo, desmos, con el que se han hecho las gráficas que aparecen en este artículo. Esto, en mis tiempos de estudiante de Bachillerato era, sencillamente, imposible.

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Uso de la regla de Ruffini para dividir entre un binomio del tipo kx-a

Ya sabemos que la regla de Ruffini es un método muy práctico para dividir un polinomio \(p(x)\) entre un binomio del tipo \(x-a\). No se trata en este artículo de explicar cómo se utiliza la regla de Ruffini. Eso lo puedes consultar aquí. De todas formas vamos a hacer un ejemplo de su uso.

Supongamos que queremos dividir el polinomio \(3x^4-4x^2+8\) entre el binomio \(x+2\). Esta división da lugar a un cociente, que será un polinomio de grado \(3\), y un resto, que será un número \(r\). La regla de Ruffini permite obtener este cociente y este resto con gran rapidez.

ruffini03

Los números que aparecen bajo la línea horizontal, menos el último, son los coeficientes del cociente (que siempre tiene una grado menos que el dividendo). El último número es el resto de la división. Así, en este caso, el cociente de dividir \(3x^4-4x^2+8\) entre \(x+2\) es el polinomio \(3x^3-6x^2+8x-16\) y el resto es \(r=40\). Entonces, como "dividendo es igual a divisor por cociente más el resto", podemos escribir:

\[3x^4-4x^2+8=(x+2)(3x^3-6x^2+8x-16)+40\]

Si ahora tenemos que dividir un polinomio \(p(x)\) entre un binomio del tipo \(kx-a\) (donde \(k\neq0\)), también obtendremos un cociente \(c(x)\) y un resto \(r\), de tal manera que:

\[p(x)=(kx-a)\cdot c(x)+r\]

Si extraemos \(k\) factor común en \(kx-a\) tenemos:

\[p(x)=k\left(x-\frac{a}{k}\right)\cdot c(x)+r\]

Si ahora dividimos todos los términos entre \(k\), obtenemos otra identidad equivalente a la anterior:

\[\frac{p(x)}{k}=\left(x-\frac{a}{k}\right)\cdot c(x)+\frac{r}{k}\]

La igualdad anterior viene a decir que el resto \(r'\) de dividir el polinomio \(\dfrac{p(x)}{k}\) entre el binomio \(x-\dfrac{a}{k}\) es \(\dfrac{r}{k}\), es decir:

\[r'=\frac{r}{k}\Rightarrow r=r'\cdot k\]

Entonces, para obtener el resto \(r\) de la división \(p(x)\) entre \(kx-a\) basta multiplicar el resto \(r'\) que se obtiene de dividir \(\dfrac{p(x)}{k}\) entre \(x-\dfrac{a}{k}\) por el número \(k\). Obsérvese que el cociente de ambas divisiones es el mismo: \(c(x)\).

Veamos un ejemplo.

Supongamos que hemos de dividir el polinomio \(x^3-3x^2+2x-1\) entre el binomio \(3x-5\). En este caso \(k=3\), \(\dfrac{p(x)}{k}=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\), y \(x-\dfrac{a}{k}=x-\dfrac{5}{3}\).

Por tanto vamos a utilizar la regla de Ruffini para dividir \(\dfrac{1}{3}x^3-x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\) entre \(x-\dfrac{5}{3}\):

ruffini04

El resto \(r'\) de la división es \(r'=-\dfrac{37}{81}\). Por tanto el resto de la división del polinomio \(x^3-3x^2+2x-1\) entre \(3x-5\) es \(r=3\cdot\left(-\dfrac{37}{81}\right)=-\dfrac{37}{27}\). El cociente de la división es \(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{27}\).

Es decir:

\[x^3-3x^2+2x-1=(3x-5)\left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}x-\frac{2}{27}\right)-\frac{37}{27}\]

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Ecuaciones de segundo grado y de grado superior

Dado un polinomio de grado \(n\), \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\, ,\ a_n\neq0\), nos planteamos como objetivo resolver la ecuación

\[p(x)=0\]

Si \(n=1\) la ecuación anterior es de primer grado y la podemos escribir de la forma \(ax+b=0\) con \(a\neq0\), cuya solución es \(\displaystyle x=-\frac{b}{a}\). Para más información sobre ecuaciones de primer grado puedes hacer clic aquí: apuntes 3º ESO.

Si \(n=2\) la ecuación toma la forma de la conocida ecuación de segundo grado: \(ax^2+bx+c=0\, ,\ a\neq0\).

Una manera de obtener la solución se expone a continuación.

Multiplicando por \(4a\) los dos miembros de la igualdad obtenemos:

\[4a^2x^2+4abx+4ac=0\]

Sumando y restando \(b^2\) en el primer miembro podemos escribir:

\[\left(4a^2x^2+4abx+b^2\right)-b^2+4ac=0\]

Obsérvese que lo que hay en el interior del paréntesis es el cuadrado de la suma \(2ax+b\). Por tanto, la ecuación anterior la podemos escribir ahora así:

\[\left(2ax+b\right)^2=b^2-4ac\]

Teniendo en cuenta que las soluciones de la ecuación \(x^2=a\) son \(x=\pm\sqrt{a}\), se deduce ahora fácilmente que:

\[2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\]

Despejando \(x\):

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad(1)\]

La fórmula anterior proporciona las soluciones de una ecuación de segundo grado. A la expresión \(b^2-4ac\,\) se le llama discriminante de la ecuación de segundo grado y se le suele denotar con la letra griega delta mayúscula: \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta>0\) la ecuación de segundo grado tienen dos soluciones reales, si \(\Delta=0\) tiene sólo una (doble) y , finalmente, si \(\Delta<0\) la ecuación no tiene raíces reales.

El procedimiento para obtener la fórmula que proporciona las soluciones de la ecuación de segundo grado se ha llevado a cabo mediante la técnica consistente en "completar un cuadrado". Este procedimiento es habitual en matemáticas y muy útil en determinadas situaciones (por ejemplo, en la resolución de determinandas integrales indefinidas). Puedes echar un vistazo a este artículo, donde se resuelven algunas ecuaciones utilizando este método. Además, se obtiene la fórmula \((1)\) de una manera equivalente a la vista aquí pero no exactamente igual.

Desplegando el enlace siguiente puedes ver un ejemplo sencillo de resolución de una ecuación de segundo grado. 

En primer lugar, para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es \(8\):

\[8\cdot\frac{2x^2+x}{2}-8\cdot\frac{6x+3}{8}=8\cdot\frac{x}{2}\Rightarrow 4(2x^2+x)-1(6x+3)=4x\Rightarrow 8x^2+4x-6x-3=4x\]

Ahora pasamos todos los términos al primer miembro para obtener una ecuación de segundo grado en su forma general:

\[8x^2+4x-6x-3-4x=0\Rightarrow 8x^2-6x-3=0\]

Ahora aplicamos la fórmula para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado. Tendremos en cuenta que los coeficientes son \(a=8\), \(b=-6\), \(c=-3\).

\[x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot8\cdot(-3)}}{2\cdot8}=\frac{6\pm\sqrt{36-(-96)}}{16}=\frac{6\pm\sqrt{132}}{16}=\]

\[=\frac{6\pm2\sqrt{33}}{16}=\begin{cases}\displaystyle x_1=\frac{6+2\sqrt{33}}{16}=\frac{3+\sqrt{33}}{8}\approx1,093\\\displaystyle x_2=\frac{6-2\sqrt{33}}{16}=\frac{3-\sqrt{33}}{8}\approx-0,343 \end{cases}\]

Si el grado del polinomio \(p(x)\) es tres o cuatro nos encontramos con ecuaciones cúbicas y cuárticas. Las fórmulas y resolución de este tipo de ecuaciones escapa a los objetivos de las matemáticas de secundaria y bachillerato. En cualquier caso, para alumnos que cursen estudios universitarios, recomiendo el sititio Web de Carlos Iborra y sus apuntes sobre las fórmulas de Cardano-Ferrari. Transcribo aquí un parrafo que aparece al principio de tales apuntes.

También es conocido que Tartaglia y Cardano encontraron una fórmula análoga para ecuaciones cúbicas (en la que aparecen raíces cúbicas además de cuadradadas) y que Ferrari encontró otra más compleja para ecuaciones cuárticas. En realidad, más que fórmulas, encontraron métodos de resolución que pueden resumirse en sendas fórmulas, si bien en el caso de las ecuaciones cuárticas, la fórmula es tan compleja que resulta inmanejable, y es preferible describir el proceso de resolución como un algoritmo de varios pasos. Por último, Abel demostró que, para \(n>4\), no existen fórmulas análogas que expresen las raíces de la ecuación general de grado \(n\) en función de sus coeficientes a través de sumas, productos, cocientes y extracción de raíces, lo que convierte a las fórmulas de Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas.

Puedes encontrar algo más de historia relacionada con la ecuación de tercer grado aquí.

En la materia de matemáticas de 4º de ESO (Educación Secundaria Obligatoria) se resuelven algunas ecuaciones polinómicas de grado superior a tres, siempre y cuando algunas de sus raíces sean enteras (recuérdese que decir raíz de un polinomio es lo mismo que decir solución de la correspondiente ecuación polinómica, es más, a veces se utiliza el término raíz en vez del término solución de una ecuación). Para ello se utiliza la conocida regla de Ruffini y el teorema del resto, según el cual, el resto \(R\) de dividir un polinomio \(p(x)\) entre el binomio \(x-a\) coincide con el valor numérico para \(x=a\), es decir, \(R=p(a)\). En particular, si \(x=a\) es una raíz de \(p(x)\), tenemos que \(p(a)=0\) y consecuentemente el resto de dividir \(p(x)\) entre \(x-a\) será igual a \(0\). Así pues el polinomio \(p(x)\) factoriza de la forma \(p(x)=(x-a)c(x)\), donde \(c(x)\) es el cociente de la división. Podemos buscar ahora las raíces de \(c(x)\) y continuar con el proceso. Hay un importante resultado según el cual las posibles raíces enteras de un polinomio \(p(x)\) se encuentran entre los divisores del término independiente. De este modo es fácil encontrar las raíces enteras de un polinomio (incluso algunas más que no sean enteras), y por tanto las soluciones (o raíces) de la correspondiente ecuación polinómica. Además tendremos una descomposición del polinomio en factores. Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Las soluciones de la ecuación son las raíces del polinomio

\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x\]

Una raíz es claramente \(x=0\) (el término independiente del polinomio es cero). Extrayendo factor común tenemos:

\[x(x^6+2x^5-5x^4-19x^3-26x^2-19x-6)\]

Ahora factorizamos el polinomio \(x^6+2x^5-5x^4-19x^3-26x^2-19x-6\). Para ello utilizamos la regla de Ruffini probando con los divisores del término independiente: \(\text{Div}(-6)=\{\pm1\,\pm2\,\pm3\,\pm6\}\).

ruffini01

Si seguimos probando con el resto de divisores del término independiente no volvemos a obtener resto cero. Esto quiere decir que las raíces enteras del polinomio son \(-1\) (doble), \(-2\) y \(3\), y que la factorización del polinomio queda de la forma:

\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x=x(x+1)^2(x+2)(x-3)(x^2+x+1)\]

El resto de raíces habría que encontrarlas resolviendo la ecuación de segundo grado \(x^2+x+1=0\), ecuación que no tiene soluciones reales pues su discriminante es menor que cero:

\[\Delta=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0\]

De todo lo anterior se desprende que las soluciones de la ecuación 

\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x=0\]

son:

\[x_1=0\, ,\ x_2=-1\, \text{doble}\, ,\ x_3=-2\, ,\ x_4=3\]

Según lo comentado anteriormente, cada vez que encontremos una raíz entera \(a\), tendremos que \(x-a\) es un factor del polinomio \(p(x)\). Si \(a\) vuelve a ser raíz del cociente obtenido se dice que es una raíz doble y \(x-a\) volverá a ser un factor del polinomio original \(p(x)\). De este modo una raíz puede ser simple, doble, triple, etcétera. Según el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado \(n\) tiene \(n\) raíces. Pero no todas ellas tienen que ser reales, algunas pueden ser raíces complejas. Además, estás últimas, siempre aparecen en parejas de números complejos conjugados (véase el siguiente artículo dedicado a las operaciones con números complejos). Como la teoría de números complejos no se estudia en las matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria (si acaso se ven "de pasada" en la materia Matemáticas I, de 1º de Bachillerato Científico-Tecnológico), podremos factorizar un polinomio obteniendo factores de grado uno de la forma \(x-a\) y de grado dos de la forma \(x^2+bx+c\) que no tengan raíces reales, llamados polinomos irreducibles. A no ser que el polinomio tenga varias parejas de raíces complejas conjugadas y entonces, a un nivel de matemáticas de Secundaria o Bachillerato, habremos de incluir factores irreducibles de grado par mayor que dos. No será este el caso que nos ocupe, desde luego, en el caso particular de las matemáticas de 4º de ESO.

En cualquier caso finalizaremos la factorización del ejemplo anterior resolviendo la ecuación \(x^2+x+1=0\) y llamando \(i=\sqrt{-1}\), que es la unidad imaginaria, el número complejo más conocido y desde el que parte toda la teoría de números complejos. Entre otras cosas porque cualquier estudiante de secundaria que conozca la ecuación de segundo grado es capaz de entender perfectamente este proceso y, al menos, nos habremos acercado un poco a los números complejos.

En este caso los coeficientes son \(a=b=c=1\). Por tanto:

\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\]

\[=\frac{-1\pm\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}=\begin{cases}\displaystyle x_1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ \displaystyle x_2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{cases}\]

Las soluciones anteriores (obsérvese que son conjugadas, una es de la forma \(x_1=p+q\) y otra de la forma \(x_2=p-q\)) son también las raíces del polinomio \(x^2+x+1\). Esto quiere decir que el polinomio factoriza de la forma \((x-x_1)(x-x_2)\), es decir:

\[x^2+x+1=\left(x-\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\right)=\]

\[=\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\]

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Polinomios - 2

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

Por cierto, son prácticamente idénticos a los de la relación número 1 de polinomios. Repasa aquella primero, incluso con sus soluciones y observaciones. Así te será fácil hacer esta.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Dados los polinomios \(p(x)=x^2+1\), \(q(x)=x^3+3x\) y \(r(x)=2x^2-3x+1\), realizar las siguientes operaciones:

a)  \((r(x)-p(x))\cdot(1-q(x))\)

b)  \((2q(x)+2p(x)-r(x))\cdot(p(x)+r(x))\)

a) Por un lado:

\[r(x)-p(x)=(2x^2-3x+1)-(x^2+1)=2x^2-3x+1-x^2-1=x^2-3x\]

Por otro lado:

\[1-q(x)=1-(x^3+3x)=-x^3-3x+1\]

Por tanto:

\[(r(x)-p(x))\cdot(1-q(x))=(x^2-3x)\cdot(-x^3-3x+1)=\]

\[=-x^5-3x^3+x^2+3x^4+9x^2-3x=-x^5+3x^4-3x^3+10x^2-3x\]

b) Ahora tenemos, en primer lugar:

\[2q(x)+2p(x)-r(x)=2(x^3+3x)+2(x^2+1)-(2x^2-3x+1)=\]

\[=2x^3+6x+2x^2+2-2x^2+3x-1=2x^3+9x+1\]

Y en segundo lugar:

\[p(x)+r(x)=(x^2+1)+(2x^2-3x+1)=3x^2-3x+2\]

Finalmente:

\[(2q(x)+2p(x)-r(x))\cdot(p(x)+r(x))=(2x^3+9x+1)\cdot(3x^2-3x+2)=\]

\[=6x^5-6x^4+4x^3+27x^3-27x^2+18x+3x^2-3x+2=\]

\[=6x^5-6x^4+31x^3-24x^2+15x+2\]


Ejercicio 2. Determinar el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

\[(5x^4+2x^3-6x^2+1):(x^2+x+1)\]

division-polinomios-02

Por tanto el cociente de la división es \(5x^2-3x-8\) y el resto \(-11x+9\).


Ejercicio 3. Determinar, utilizando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de la división del polinomio \(x^5-2\) entre\(x-3\).

ruffini13

Por tanto el cociente de la división es \(x^4+3x^3+9x^2+27x+81\) y el resto \(241\).


Ejercicio 4. Utilizar la regla de Ruffini para contestar a la siguiente pregunta: ¿qué valor debe tomar \(m\) para que al dividir el polinomio \(2x^2+(m+2)x-m+1\) entre \(x+3\) el resto sea \(1\)?

Hay que aplicar la regla de Ruffini con cuidado, pues ahora los coeficiente contienen una letra o parámetro.

ruffini14

Como el resto es igual a \(1\) tenemos que:

\[-4m+13=1\Rightarrow -4m=1-13\Rightarrow -4m=-12\Rightarrow m=\frac{-12}{-4}\Rightarrow m=3\]


Ejercicio 5. Utilizando el teorema del resto, contestar a las siguientes preguntas:

a)  ¿Qué valor debe tener \(m\) para que el polinomio \((m+1)x^3+x^2-mx+2m\) sea divisible por \(x-2\)?

b)  ¿Es \(2\) una raíz del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\)?

a) Por el teorema del resto, el resto \(R\) de la división del polinomio \(P(x)=(m+1)x^3+x^2-mx+2m\) entre \(x-2\) coincide con el valor numérico del polinomio \(P(x)\) para \(x=2\), es decir, \(R=P(2)\). Por tanto:

\[R=(m+1)2^3+2^2-m2+2m=8m+8+4-2m+2m=8m+12\]

Como el polinomio \((m+1)x^3+x^2-mx+2m\) es divisible por \(x-2\), el resto de la división es \(0\). Entonces:

\[0=8m+12\Rightarrow-8m=12\Rightarrow m=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}\]

b) En este caso \(P(2)=2^3-2\cdot2^2+2-2=8-8+2-2=0\). Esto quiere decir, según el teorema del resto, que el resto de la división del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) entre \(x-2\) es igual a \(0\). O lo que es lo mismo, que efectivamente \(2\) es una raíz del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\).


Ejercicio 6. Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios:

a)  \(x^4-2x^3+x^2-2x\)

b)  \(x^3-3x-2\)

a) Cuando el polinomio carece de término independiente sacamos factor común:

\[x^4-2x^3+x^2-2x=x(x^3-2x^2+x-2)\]

Esto es tanto como decir que \(x=x-0\) es un factor del polinomio y que, por tanto, el número \(0\) es una raíz del mismo. Nuestro objetivo debe de centrarse ahora en factorizar el otro polinomio, o sea, \(x^3-2x^2+x-2\). Utilicemos para ello la regla de Ruffini probando con los divisores del término independiente: \(\text{Div}(-2)=\{\pm1,\ \pm2\}\). Probando con \(1\) y \(-1\) el resto no sale igual a cero. Sin embargo, con \(2\) se tiene:

ruffini15

Volviendo a probar con \(2\) y con \(-2\) tampoco sale resto cero. Por lo tanto la factorización del polinomio es:

\[x^4-2x^3+x^2-2x=x(x-2)(x^2+1)\]

Obsérvese que el polinomio \(x^2+1\) no tiene raíces enteras, ni tampoco reales pues la ecuación \(x^2+1=0\) no tiene ninguna solución (no existe ningún número real cuyo cuadrado más uno sea igual a cero).

b) Utilicemos encadenadamente la regla de Ruffini:

ruffini16

De aquí se deduce que \(-1\) es una raíz doble y \(2\) una raíz simple del polinomio. El proceso llega hasta el final pues sólo queda un número al aplicar sucesivamente la regla de Ruffini. Así pues la factorización es:

\[x^3-3x-2=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)\]


Ejercicio 7. Simplificar la siguiente fracción algebraica:

\[\frac{x^3-x^2+3x-3}{x^2+3}\]

Factoricemos el polinomio del numerador: \(x^3-x^2+3x-3\):

ruffini17

Entonces \(x^3-x^2+3x-3=(x-1)(x^2+3)\). El polinomio \(x^2+3\) no es posible factorizarlo más (no tiene raíces reales).

Por tanto:

\[\frac{x^3-x^2+3x-3}{x^2+3}=\frac{(x-1)(x^2+3)}{x^2+3}=x-1\]


Ejercicio 8. Realizar la siguiente suma de fracciones algebraicas:

\[\frac{x-1}{(x-2)^2}+\frac{x+1}{x^2-4}\]

Como \(x^2-4=(x+2)(x-2)\), el mínimo común múltiplo de \((x-2)^2\) y \(x^2-4\) es \((x-2)^2(x+2)\). Por tanto:

\[\frac{x-1}{(x-2)^2}+\frac{x+1}{x^2-4}=\frac{x-1}{(x-2)^2}+\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}=\]

\[=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}+\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x^2+x-2}{(x-2)^2(x+2)}+\frac{x^2-x-2}{(x-2)^2(x+2)}=\]

\[=\frac{x^2+x-2+x^2-x-2}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x^2-4}{(x-2)^2(x+2)}\]

 

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Polinomios - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Dados los polinomios \(p(x)=1-x-x^2\), \(q(x)=1+x+x^2\) y \(r(x)=2x-x^3\), realizar las siguientes operaciones:

a)  \(\displaystyle\left(p(x)-3q(x)\right)\cdot\left(1-q(x)\right)\)

b)  \(\displaystyle\left(p(x)+q(x)-r(x)\right)\cdot\left(2q(x)-r(x)\right)\)

a)  Para no liarnos iremos por partes.

Primero realizaremos la operación \(p(x)-3q(x)\):

\[p(x)-3q(x)=(1-x-x^2)-3(1+x+x^2)=1-x-x^2-(3+3x+3x^2)=\]

\[=1-x-x^2-3-3x-3x^2=-4x^2-4x-2\]

Obsérvese que el signo "menos" delante de una operación que involucra a un polinomio (o cualquier otra expresión algebraica), cambia de signo a cada uno de sus sumandos. Además, cuando se realizan operaciones con polinomios, una vez que se reducen los monomios semejantes, se suele expresar ordenado el polinomio resultante (de mayor a menor grado).

Ahora realizaremos la operación \(1-q(x)\):

\[1-q(x)=1-(1+x+x^2)=1-1-x-x^2=-x^2-x\]

Ahora ya podemos realizar la operación inicial más cómodamente:

\[\left(p(x)-3q(x)\right)\cdot\left(1-q(x)\right)=(-4x^2-4x-2)\cdot(-x^2-x)=\]

\[=(-4x^2)(-x^2)+(-4x^2)(-x)+(-4x)(-x^2)+(-4x)(-x)+(-2)(-x^2)+(-2)(-x)=\]

\[=4x^4+4x^3+4x^3+4x^2+2x^2+2x=4x^4+8x^3+6x^2+2x\]

En el primer paso se utiliza la propiedad distributiva. Cada monomio del primer polinomio se multiplica ordenadamente por todos y cada uno de los del segundo y luego se suman los resultados. ¡Hay que tener cuidado con los signos! Finalmente se reducen monomios semejantes y se obtiene el polinomio resultante tal y como se ha comentado anteriormente.

b)  Procederemos de manera similar a como se ha hecho en el apartado a).

Primero haremos \(p(x)+q(x)-r(x)\):

\[(1-x-x^2)+(1+x+x^2)-(2x-x^3)=1-x-x^2+1+x+x^2-2x+x^3=x^3-2x+2\]

Ahora calculamos \(2q(x)-r(x)\):

\[2(1+x+x^2)-(2x-x^3)=(2+2x+2x^2)-(2x-x^3)=\]

\[=2+2x+2x^2-2x+x^3=x^3+2x^2+2\]

Finalmente hacemos la operación que se nos pide al principio:

\[\left(p(x)+q(x)-r(x)\right)\cdot\left(2q(x)-r(x)\right)=(x^3-2x+2)\cdot(x^3+2x^2+2)=\]

\[=x^3\cdot x^3+x^3\cdot2x^2+x^3\cdot2+(-2x)\cdot x^3+(-2x)\cdot2x^2+(-2x)\cdot2+2\cdot x^3+2\cdot2x^2+2\cdot2=\]

\[=x^6+2x^5+2x^3-2x^4-4x^3-4x+2x^3+4x^2+4=\]

\[=x^6+2x^5-2x^4+4x^2-4x+4\]


Ejercicio 2. Determinar el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

\[(6x^4+4x^3+2x^2+x-2):(x^2+x-1)\]

division-polinomios-01

Por tanto el cociente de la división es \(6x^2-2x+10\) y el resto es \(-11x+8\)

Observaciones:

La división entera de polinomios (también llamada algoritmo de Euclides) no es difícil, pero hay que tener algunos detalles muy presentes para que todo vaya bien.

No debes olvidar que el dividendo, en este caso el polinomio \(6x^4+4x^3+2x^2+x-2\), y el divisor, el polinomio \(x^2+x-1\), deben ser polinomios completos y ordenados (de mayor a menor grado). Por tanto si falta algún monomio debes dejar un hueco o sustituirlo por un monomio de coeficiente cero. Por ejemplo, si el dividendo fuera \(2x^3-6x^5-2x^2+1\), para proceder a efectuar la división entera deberíamos colocarlo así: \(-6x^5+0x^4+2x^3-2x^2+0x+1\)

Por otro lado, una vez colocados adecuadamente el dividendo y el divisor, se procede de la siguiente manera.

Para conseguir el primer término del cociente, se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor:

\[\frac{6x^4}{x^2}=6x^2\]

Ahora se multiplica este primer término del cociente por todos y cada uno de los términos del divisor. Cada resultado se coloca bajo el término del mismo grado del dividendo, pero ¡cambiándole el signo! En nuestro caso:

\[6x^2\cdot x^2=6x^4\quad;\quad6x^2\cdot x=6x^3\quad;\quad6x^2\cdot(-1)=-6x^2\]

Colocaremos pues bajo el dividendo el polinomio \(-6x^4-6x^3+6x^2\) (observa cómo se ha cambiado el signo de cada uno de los términos).

A continuación se suma el dividendo y el resultado obtenido, que hemos puesto debajo, para obtener un nuevo dividiendo. Observa que siempre han de eliminarse los monomios de mayor grado. En nuestro caso:

\[(6x^4+4x^3+2x^2+x-2)+(-6x^4-6x^3+6x^2)=-2x^3+8x^2+x-2\]

A partir de aquí obtenemos un nuevo dividiendo y se vuelve a repetir el proceso mencionado hasta que se obtiene un dividendo de menor grado que el cociente. En ese momento finaliza el proceso. Este "último dividendo de menor grado que el cociente" es el resto de la división.

Por último recordar que este algoritmo se puede comprobar, es decir, podemos saber si lo hemos hecho bien. Sabemos que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Por tanto, una vez realizada la división, multiplicamos el divisor por el cociente y le sumamos el resto:

\[(x^2+x-1)(6x^2-2x+10)+(-11x+8)\]

Si se obtiene como resultado el dividendo

\[6x^4+4x^3+2x^2+x-2\]

la división será correcta. ¡Compruébalo!


Ejercicio 3. Determinar, utilizando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de la división del polinomio \(3x^4-4x^2+8\) entre \(x+2\).

ruffini-01

Por tanto el cociente de la división es \(3x^3-6x^2+8x-16\) y el resto es \(40\).

Observaciones:

La regla de Ruffini sólo sirve para dividir polinomios entre un binomio del tipo \(x-a\) o \(x+a\). Los coeficientes del dividiendo (en este caso \(3x^4-4x^2+8\)) se colocan ordenadamente (de mayor a menor grado) en la fila superior. Si algún coeficiente no está se coloca el número cero en su lugar (esto es tanto como decir que el polinomio \(3x^4-4x^2+8\) es exactamente el polinomio \(3x^4+0x^3-4x^2+0x+8\)). Por eso hemos colocado en la fila superior los números

\[3\qquad0\qquad-4\qquad0\qquad8\]

En la segunda fila, a la izquierda y separado del resto por una línea vertical se coloca el coeficiente del divisor cambiado de signo. Si el divisor es \(x-a\) se coloca \(a\), y si el diviso es \(x+a\) se coloca \(-a\). Como nuestro divisor es \(x+2\), hemos colocado el número \(-2\).

Ahora se traza una linea horizontal debajo del coeficiente del divisor cambiado de signo (en este caso \(-2\)) y se procede de la siguiente manera:

Se escribe bajo la línea horizontal el primer coeficiente del dividendo (en este caso \(3\)) y se multiplica por el coeficiente del divisor cambiado de signo (en este caso \(-2\)). El resultado es el primer número que se escribe sobre la linea horizontal y debajo de los coeficientes del dividendo (en este caso \(-6\)). Ahora se suma este valor con el segundo coeficiente del dividendo (\(0+(-6)=-6\)) y el resultado se coloca bajo la línea horizontal a continuación del valor anterior.

Este proceso se repite hasta obtener el último número que se recuadra, para señalar que se trata del resto de la división (en este caso \(40\)).

El cociente de la división siempre es de un grado menor que el dividiendo y sus coeficientes, ordenados de mayor a menor grado, son todos los que aparecen bajo la línea horizontal, salvo el resto. Así, en este caso el cociente es de grado \(3\) y tiene coeficientes \(3,\ -6,\ 8,\ -16\), con lo que el cociente es el polinomio \(3x^3-6x^2+8x-16\).

De nuevo el proceso es más fácil verlo y entenderlo que explicarlo. En cualquier texto puedes encontrar una explicación gráfica mucho mejor que la que se ha dado aquí. Pero bueno, espero que sirva. Lo conveniente es hacer muchas veces la regla de Ruffini para coger práctica. Por cierto, ¡mucho cuidado con los signos!


Ejercicio 4. Utilizar la regla de Ruffini para contestar a la siguiente pregunta: ¿qué valor debe tomar \(k\) para que al dividir el polinomio \(2(k+1)x^2+3x+(k-2)\) entre \(x-2\) el resto sea \(5\)?

El dividendo es el polinomio \(2(k+1)x^2+3x+(k-2)\). Observa que sus coeficientes son \(2(k+1)=2k+2\), \(3\) y \(k-2\). Apliquemos con cuidado la regla de Ruffini, porque ahora hay de por medio una letra o parámetro: \(k\).

 ruffini-02

Repasa atentamente cómo se ha ido multiplicando y sumando hasta llegar al final al resto, que es \(9k+12\). Como el enunciado dice que el resto de la división ha de ser igual a \(5\), tenemos finalmente que: 

\[9k+12=5\Rightarrow9k=-7\Rightarrow k=-\frac{7}{9}\]


Ejercicio 5. Utilizando el teorema del resto, contestar a las siguientes preguntas:

a)  ¿Qué valor debe tomar \(m\) para que el polinomio \(x^3+(m-4)x^2-2x-(2m+1)\) sea divisible por \(x+1\)?

b)  ¿Es \(-1\) una raíz del polinomio \(x^3-4x^2+x+6\)?

El teorema del resto dice que el resto \(R\) de la división de un polinomio \(P(x)\) entre un binomio del tipo \(x-a\) es igual al valor numérico del polinomio para \(x=a\). Es decir:

\[R=P(a)\]

Si el binomio entre el que se divide el polinomio \(P(x)\) es del tipo \(x+a\), entonces:

\[R=P(-a)\]

a)  En este caso \(R=P(-1)\). Hallemos \(P(-1)\):

\[P(-1)=(-1)^3+(m-4)(-1)^2-2(-1)-(2m+1)=-1+m-4+2-2m-2=-m-5\]

Entonces, si el polinomio ha de ser divisible por \(x+1\), el resto ha de ser cero, con lo que:

\[-m-5=0\Rightarrow m=-5\]

b)  Si \(-1\) fuera una raíz, el resto de dividir el polinomio \(x^3-4x^2+x+6\) entre \(x+1\) sería cero. Veámoslo.

\[P(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\]

Por el teorema del resto, efectivamente el resto de la división es cero y por tanto \(-1\) sí que es una raíz del polinomio \(x^3-4x^2+x+6\).


Ejercicio 6. Descomponer en factores los siguientes polinomios:

a)  \(x^3-2x^2+x-2\)

b)  \(x^3+3x^2-x-3\)

Hay un resultado conocido según el cual, si \(a\) es un divisor del término independiente de un polinomio \(P(x)\), entonces \(x-a\) es un divisor de \(P(x)\)

a)  Según el resultado anterior, los valores de \(a\) para que \(x-a\) sea un divisor del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) deben encontrarse entre los divisores de \(-2\), que son:

\[\text{Div}(-2)=\{\pm1,\,\pm2\}\]

Por eso iremos probando la regla de Ruffini sucesivamente con los valores \(1\), \(-1\), \(2\) y \(-2\). Es conveniente recordar que si con alguno de ellos se obtiene resto cero, hay que volver a probar con el mismo valor, pues es probable que la raíz \(a\) (o lo que es lo mismo, el factor \(x-a\)) pueda ser múltiple. Veamos pues:

ruffini-03

Por tanto \(1\) no es raíz, o lo que es lo mismo, \(x-1\) no es factor de \(x^3-2x^2+x-2\).

También se podría haber hecho utilizando el teorema del resto:

\[P(1)=1^3-2\cdot1^2+1-2=1-2+1-2=-2\]

Como el resto no es cero (obsérvese que es el mismo que aplicando la regla de Ruffini), \(x-1\) no es un factor, o divisor, de \(x^3-2x^2+x-2\).

Continuemos con la regla de Ruffini:

ruffini-04

Por tanto \(-1\) no es raíz, o lo que es lo mismo, \(x+1\) no es factor de \(x^3-2x^2+x-2\).

ruffini-05

De lo anterior se deduce que \(2\) es una raíz, o lo que es lo mismo, \(x-2\) es un factor de \(x^3-2x^2+x-2\). Sin embargo este factor no se vuelve a repetir (no es un factor doble), ya que al volver a aplicar la regla de Ruffini el resto no es cero.

Por tanto una primera factorización del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) es \((x-2)(x^2+1)\) (el cociente es de grado \(2\) y sus coeficientes, observando la aplicación de la regla de Ruffini, son ordenadamente \(1\), \(0\) y \(1\).

Veamos por último si \(-2\) es raíz:

ruffini-06

Como el resto no es cero \(-2\) no es raíz. Obsérvese que se ha aplicado la regla de Ruffini no con el polinomio original, sino con el último cociente \(x^2+1\), pues al tener éste menos coeficientes la aplicación de la regla de Ruffini será más fácil y rápida. Esto se puede hacer porque si \(-2\) fuera raíz de \(x^3-2x^2+x-2\) también habría de serlo de \(x^2+1\) pues hemos visto que \(x^3-2x^2+x-2\) factoriza de la forma \((x-2)(x^2+1)\) y como \(-2\) no es raíz de \(x-2\), de serlo lo sería de \(x^2+1\).

Por tanto llegamos a que la factorización del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) es:

\[x^3-2x^2+x-2=(x-2)(x^2+1)\]

b)  Procederemos como en el apartado anterior pero de manera algo más resumida.

Los divisores de \(-3\) son:

\[\text{Div}(-3)=\{\pm1,\,\pm3\}\]

ruffini-07

Entonces \(1\) es raíz, pero no es raíz doble. Es decir, \(x-1\) es factor, pero no es un factor doble.

ruffini-08

Por tanto \(-1\) es raíz, pero no es raíz doble. Es decir, \(x+1\) es factor, pero no es un factor doble.

Aquí podríamos parar el proceso pues el último cociente es de grado uno: \(x+3\) y precisamente este es el último factor, que se corresponde con la raíz \(-3\).

En todo caso lo podríamos ratificar si siguiéramos:

ruffini-09

Cuando al aplicar sucesivamente la regla de Ruffini en el cociente sólo queda un número, ya no podemos seguir aplicándola más. Este número (polinomio de grado cero) también es un factor del polinomio original.

Así pues la factorización de \(x^3+3x^2-x-3\) es:

\[x^3+3x^2-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)\]

Cuando se tiene cierta experiencia en la aplicación de la regla de Ruffini, se puede ir aplicando de manera encadenada, sin pararse a mirar las posibles raíces dobles. A veces resulta, como en este caso:

ruffini-10

De donde se desprende claramente la factorización del polinomio.


Ejercicio 7. Simplificar la siguiente expresión algebraica:

\[\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}\]

Como

ruffini-11

tenemos que \(x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)\).

Por otro lado el polinomio del denominador es una diferencia de cuadrados: \(x^2-1=(x+1)(x-1)\).

Por tanto:

\[\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}=x+2\]


Ejercicio 8. Realizar la siguiente suma de fracciones algebraicas:

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2-1}\]

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}\]

El mínimo común múltiplo de los denominadores es \((x+1)(x-1)^2\). Por tanto:

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}+\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)^2}=\]

\[\frac{x^2-x-2}{(x+1)(x-1)^2}+\frac{x^2+x-2}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{2x^2-4}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{2(x^2-2)}{(x+1)(x-1)^2}\]

Observación:

Una utilidad de saber sumar fracciones algebraicas es poder resolver ciertas ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación

\[\frac{x-2}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2-1}=0\]

es equivalente a esta otra:

\[\frac{2(x^2-2)}{(x+1)(x-1)^2}=0\]

Y si una fracción es igual a cero es porque el numerador ha de ser cero:

\[2(x^2-2)=0\Leftrightarrow x^2-2=0\Leftrightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\]

 

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Potencias. Expresiones algebraicas. Igualdades notables - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Reduce las expresiones siguientes:

a)  \(4+x-7(3-2x)\)

b)  \(2(5x-3)+6x-1\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2\)

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5\)

a)  \(4+x-7(3-2x)=4+x-(21-14x)=4+x-21+14x=15x-17\)

Observaciones:

Este ejercicio es muy sencillo, pero es conveniente hacer algunas observaciones. Según la jerarquía de las operaciones se realizan los productos antes que las sumas y restas. Por eso lo primero que hacemos es el produto \(7(3-2x)\). Para realizar este producto se utiliza la propiedad distributiva respecto de la suma, según la cual:

\[a(b+c)=ab+ac\quad\forall\ a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\]

Por eso \(7(3-2x)=7\cdot3-7\cdot2x=21-14x\). Observa que dentro del paréntesis no había una suma, sino una resta. No importa, la propiedad distributiva del producto también es cierta respecto de la resta, ya que restar es sumar el opuesto:

\[a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac\]

También hemos utilizado la propiedad distributiva, pero de derecha a izquierda, cuando hemos terminado de simplificar la operación. Es decir \(x+14x=1x+14x=(1+14)x=15x\). Esta acción también se conoce como "sacar factor común".

Esto es lo que se llama sumar monomios semejantes. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Para sumarlos o restarlos se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Esto, como ves, no es otra cosa que aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o de la resta.

Ahora más que nunca se pone de manifiesto que las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje algebraico que nos permite operar con números y símbolos, utilizando una determinadas reglas del juego. Reglas que, por otra parte, son muy sencillas y que se irán poniendo de manifiesto en estos ejercicios.

b)  \(2(5x-3)+6x-1=2\cdot5x-2\cdot3+6x-1=10x-6+6x-1=16x-7\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2=2^2-a^2-5(1^2+2\cdot1\cdot a+a^2)=\)

\(=4-a^2-5(1+2a+a^2)=4-a^2-5-10a-5a^2=-6a^2-10a-1\)

Observaciones:

Para reducir esta expresión hemos utilizado dos de las igualdades notables:

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Cuadrado de una suma es igual a cuadrado del primer sumando, más dos veces el primero por el segundo, más cuadrado del segundo sumando:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Ambas son muy fáciles de demostrar. Veámoslo:

\[(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^2-b^2\]

Observa la forma en que se ha utilizado aquí, justo al principio, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Por otro lado es claro que \(-ab+ba=-ab+ab=0\), (no olvidemos nunca la propiedad conmutativa de los números reales: \(ab=b\,a\ \forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\)).

Por otro lado:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5=b^2+2\cdot b\cdot2+2^2-(1^2-b^2)5=b^2+4b+4-(1-b^2)5=\)

\(=b^2+4b+4-(5-5b^2)=b^2+4b+4-5+5b^2=6b^2+4b-1\)


Ejercicio 2. Extrae factor común y escribe como producto de factores:

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\)

b)  \(-6a+12-24b\)

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2\)

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c\)

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2=xy(y-2x+5xy)\)

Observaciones:

Recuerda que sacar factor común no es otra cosa que la propiedad distributiva aplicada de derecha a izquierda: \(ab+ac=a(b+c)\). Para sacar al menos un factor común, dicho factor ha de estar al menos una vez en todos y cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. En este caso, la expresión algebraica \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\) tiene tres sumandos: \(xy^2\), \(2x^2y\), \(5x^2y^2\). El primero tiene dos factores: \(x\), \(y^2\); el segundo tiene tres: \(2\), \(x^2\), \(y\); y el tercero tiene otros tres: \(5\), \(x^2\), \(y^2\). Tanto la letra \(x\) como la letra \(y\) es común en cada uno de los tres factores (ellas mismas también son factores incluso cuando van elevadas a algún exponente: \(x^2=x\cdot x\), \(y^2=y\cdot y\)). Pues bien, se extraen fuera de la expresión, elevadas al menor de los exponentes. Dentro de la expresión, entre paréntesis, quedan los factores que no se han extraído.

En resumen, es más fácil verlo y hacerlo que explicarlo.

b)  \(-6a+12-24b=-2\cdot3\cdot a+2^2\cdot3-2^3\cdot3\cdot b=2\cdot3(-a+2-2^2b)=6(-a+2-4b)\)

Observación:

En este caso, para extraer factor común los números \(2\) y \(3\), hemos tenido que descomponer previamente en producto de primos, cada uno de los factores numéricos de la expresión. Luego se procede como en el apartado anterior. También se puede hacer el máximo común divisor de los factores numéricos (coeficientes). Éste será el factor común de todos ellos.

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2=2^2\cdot3x^2y^2-2\cdot3xy+2^2xy^2=\)

\(=2xy(2\cdot3xy-3+2y)=2xy(6xy-3+2y)\)

Observación:

Muchas veces separamos los factores por un punto "\(\cdot\)", sobre todo cuando estamos multiplicando números. Esto es para no confundir el producto con otro número. Por ejemplo escribimos \(2\cdot3\) en lugar de \(23\) para no confundir dos por tres con el número veintitrés. Con las letras escribiremos indistintamente \(xy\) o \(x\cdot y\).

Resumiento, el producto se puede indicar con un punto o por yuxtaposición cuando alguno de los factores no es un número. Cuando ambos factores son números es obligatorio indicar el producto con un punto a fin de no confundirlo con otro número.

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c=abc(1+ac-b)\)

Observación:

En este caso, al extraer factor común \(abc\), aparentemente no queda nada en el lugar de este factor que escribir dentro del paréntesis. Pero sí que queda, ¡el uno!. El número uno siempre esta multiplicando a cualquier expresión, es el elemento neutro del producto: \(1\cdot x=1x=x\ \forall x\in\mathbb{R}\). Muchas veces no se escribe, pero está. Siempre está multiplicando a cualquier factor o expresión que te encuentres.


Ejercicio 3. Simplifica las fracciones siguientes sacando factor común si fuera necesario:

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}\)

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}\)

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}=\frac{2\cdot3(x-2)y}{-2^2\cdot3(x-2)y^2}=-\frac{1}{2y}\)

Observaciones:

Para simplificar los factores numéricos se descomponen en producto de primos y luego se eliminan los factores comunes del numerador y del denominador.

Hemos utilizado un "truco" muy habitual en matemáticas: \((a-b)=-(b-a)\). En este caso \((2-x)=-(x-2)\). Así \(x-2\) es un factor común en el numerador y en el denominador y lo podemos eliminar. Observa que el signo menos lo hemos puesto al principio en el denominador pues el orden de los factores no altera el producto. Luego lo hemos puesto delante de la fracción ya que \(\displaystyle\frac{+}{-}=-\)

De nuevo recordar lo que ya se comentó en el ejercicio anterior. En el numerador se elimina todo. Por eso queda arriba el número uno, que siempre es un factor (recuerda: no se pone, pero siempre está).

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}=\frac{10a(2a-b+1)}{10(a-b+1)a}=\frac{2a-b+1}{a-b+1}\)

Observación:

Para poder eliminar factores comunes del numerador y del denominador hemos tenido que sacar factor común en el numerador. El enunciado del ejercicio ya dice que se saque factor común si es necesario (¡qué importante leer bien los enunciados de los ejercicios!). Luego hemos observado que los factores \(10\) y \(a\) son comunes en el numerador y en el denominador y los hemos eliminado.

Hay personas que "simplifican" aún más: \(\displaystyle\frac{2a-b+1}{a-b+1}=\frac{2a}{a}=2\). Pero este procedimiento no es correcto, porque \(b\) y \(1\) no son factores comunes del numerador y del denominador, ¡son sumandos! y, en este caso, aunque sean comunes no se pueden eliminar. Si así fuera llegaríamos a contradicciones como la siguiente:

\[2=\frac{16}{8}=\frac{4+3+9}{4+3+1}=\frac{9}{1}=9\]

¡Cuidado con esto!

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}=\frac{2^3(a-b)x}{-2^2\cdot3(a-b)x^2}=-\frac{2}{3x}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}=\frac{3a(2a+1-b)}{3(2a+1-2b)a}=\frac{2a+1-b}{2a+1-2b}\)


Ejercicio 4. Simplifica las expresiones siguientes:

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}\)

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}=\frac{(a^2)^3b^3a^2(b^2)^2}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^6b^3a^2b^4}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^{8-(-3)}b^{7-(-3)}=a^{11}b^{10}\)

Observación:

En cada uno de los pasos se han utilizado distintas propiedades de las potencias:

Potencia de un producto es igual al producto de las potencias:

\[(ab)^n=a^nb^n\]

Potencia de una potencia es igual a la base elevado al producto de los exponentes:

\[(a^n)^m=a^{nm}\]

Producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes:

\[a^na^m=a^{n+m}\]

Cociente de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes:

\[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]

Este ejercicio se podría haber finalizado así:

\(\displaystyle\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^8b^7\frac{1}{a^{-3}}\frac{1}{b^{-3}}=a^8b^7a^3b^3=a^{8+3}b^{7+3}=a^{11}b^{10}\)

Donde se ha utilizado la potencia de exponente negativo:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad ;\quad \frac{1}{a^{-n}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a^n}}=a^n\]

Esto a veces se explica diciendo que si en una fracción aparece factor que sea una potencia con exponente negativo, se puede pasar al otro lado de la fracción con exponente positivo.

Para más información sobre potencias y propiedades de las potencias puedes ver la siguiente presentación sobre potencias.

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}=\frac{x^3(x^3-x+1)}{x^3(1+x^2-x^4)}=\frac{x^3-x+1}{1+x^2-x^4}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}=\frac{(x^5)^2y^2x^2(y^2)^2}{(x^2)^{-3}(y^2)^{-3}}=\frac{x^{10}y^2x^2y^4}{x^{-6}y^{-6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{x^{12}y^6}{x^{-6}y^{-6}}=x^{12-(-6)}y^{6-(-6)}=x^{18}y^{12}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}=\frac{a^3(a^2-a+1)}{a^4(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a^4-a^2+a}\)

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