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Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Supongamos que me piden calcular una primitva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+5}\). O lo que es lo mismo, me piden calcular la siguiente integral indefinida:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx\]

Naturalmente intentaré descomponer la fracción \(\dfrac{1}{x^2-3x+5}\) en fracciones simples. Pero esto no es posible porque el polinomio \(x^2-3x+5\) no tiene raíces reales (al intentar resolver la ecuación de segundo grado el discriminante es menor que cero).

En estos casos se procede a utilizar una técnica conocida como "completar cuadrados". Veamos cómo funciona.

Se trata de escribir el polinomio \(x^2-3x+5\) como un cuadrado más una cierta cantidad. Es decir, tenemos que conseguir el polinomio \(x^2-3x+5\) "completando un cuadrado". Eso, como veremos, nos permitirá calcular la intergral indefinida.

Observemos que los coeficientes del polinomio \(x^2-3x+5\) son \(a=1\), \(b=-3\) y \(c=5\).

En un primer paso lo que haremos es multiplicar por \(4a\), que en este caso es \(4\). De este modo el polinomio se convierte en \(4x^2-12x+20\). Obsérvese que el primer término es el cuadrado de \(2x\). En general si multiplicamos por \(4a\) el primer término se convertirá en \(4a^2\) que es el cuadrado de \(2a\).

En un segundo paso vamos a sumar y a restar \(b^2\). En nuestro caso \(b^2=9\), con lo que tenemos \(4x^2-12x+9-9+20\). Esta última expresión la podemos escribir también así \((2x-3)^2+11\).

¿Qué hemos hecho? En realidad hemos escrito el polinomio de \(x^2-3x+5\) de otra manera:

\[x^2-3x+5=\frac{1}{4}(4x^2-12x+9-9+20)=\frac{1}{4}((2x-3)^2+11)\]

Ahora podemos escribir la integral indefinida así:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\int\frac{1}{\frac{1}{4}((2x-3)^2)+11)}\,dx=4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx\]

Esta última integral la podemos retocar hasta conseguir resolverla:

\[4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx=4\int\frac{\displaystyle\frac{1}{11}}{\displaystyle\frac{(2x-3)^2}{11}+1}\,dx=\]

\[=\frac{4}{11}\int\frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx=\frac{4}{11}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}\int\frac{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{11}}}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx\]

Por tanto

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\frac{2\sqrt{11}}{11}\cdot\text{arctg}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)+C\]

Donde hemos utilizado que

\[\int\frac{f'(x}{f(x)^2+1}\,dx=\text{arctg}\,f(x)+C\]

En general si el polinomio \(ax^2+bx+cx\) no tiene raíces reales, es posible demostrar que

\[\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\cdot\text{arctg}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C\]

Puedes ver el desarrollo completo aquí.

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Integrales exámenes Selectividad - Matemáticas II

En la siguiente relación puedes descargar, en formato pdf, ejercicios de integrales tanto definidas como indefinidas propuestas en Selectividad (PAEG) por la Universidad de Castilla-La Mancha (UCLM) en la materia de matemáticas II.

Más en concreto:

  • Del ejercicio 1, las 33 primeras integrales indefinidas se propuesieron en los exámenes de selectividad entre junio de 2000 y septiembre de 2011. Las integrales indefinidas de la 34 a la 53 se propusieron entre 1989 y 1999. Se publicaron en este artículo como página HTML.
  • Los ejercicios 2 a 51 de integral definida y cálculo de áreas se propusieron entre junio de 2000 y septiembre de 2011. 
  • Los ejercicios 52 a 69, también de integral indefinida y cálculo de áreas, se propuesieron entre 1989 y 1999.
  • El ejercicio 54 es el único donde se propone el cálculo de un volumen a partir de una curva que gira alrededor del eje OX (actualmente este tipo de ejercicios no se pondrían pues no es un contenido mínimo en la materia de matemáticas II).

ACCESO A INTEGRALES SELECTIVIDAD EN PDF AQUÍ


Se ofrecen todas las soluciones finales de las integrales indefinidas y algunas de las integrales definidas y cálculo de áreas. En todo caso el documento anterior se irá actualizando progresivamente hasta tener la totalidad de soluciones finales de todos y cada uno de los ejercicios. También se actualizará a los ejercicios propuestos, con sus respectivas soluciones, a partir del año 2012.

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Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

En los exámenes de Selectividad (PAEG) de Matemáticas II que la Universidad de Castilla-La Mancha ha propuesto durante estos últimos años, han aparecido, como es natural, muchos ejercicios de cálculo de integrales indefinidas. Para resolverlas, o bien la integral es inmediata, o bien se utilizan alguno de los métodos vistos durante el curso en Matemáticas II: sustitución o cambio de variable, integración por partes, integración de funciones racionales con raíces simples o múltiples en el denominador, etcétera. Al cálculo de integrales indefinidas también se le llama cálculo de primitivas. Si quieres repasar la teoría puedes estudiar o repasar estos apuntes sobre integral indefinida y métodos de integración.

Pues bien, volviendo a las integrales indefinidas propuestas en Selectividad te dejamos aquí una página Web con muchas de ellas y su solución final.


Integrales indefinidas propuestas en Selectividad

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