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Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Supongamos que me piden calcular una primitva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+5}\). O lo que es lo mismo, me piden calcular la siguiente integral indefinida:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx\]

Naturalmente intentaré descomponer la fracción \(\dfrac{1}{x^2-3x+5}\) en fracciones simples. Pero esto no es posible porque el polinomio \(x^2-3x+5\) no tiene raíces reales (al intentar resolver la ecuación de segundo grado el discriminante es menor que cero).

En estos casos se procede a utilizar una técnica conocida como "completar cuadrados". Veamos cómo funciona.

Se trata de escribir el polinomio \(x^2-3x+5\) como un cuadrado más una cierta cantidad. Es decir, tenemos que conseguir el polinomio \(x^2-3x+5\) "completando un cuadrado". Eso, como veremos, nos permitirá calcular la intergral indefinida.

Observemos que los coeficientes del polinomio \(x^2-3x+5\) son \(a=1\), \(b=-3\) y \(c=5\).

En un primer paso lo que haremos es multiplicar por \(4a\), que en este caso es \(4\). De este modo el polinomio se convierte en \(4x^2-12x+20\). Obsérvese que el primer término es el cuadrado de \(2x\). En general si multiplicamos por \(4a\) el primer término se convertirá en \(4a^2\) que es el cuadrado de \(2a\).

En un segundo paso vamos a sumar y a restar \(b^2\). En nuestro caso \(b^2=9\), con lo que tenemos \(4x^2-12x+9-9+20\). Esta última expresión la podemos escribir también así \((2x-3)^2+11\).

¿Qué hemos hecho? En realidad hemos escrito el polinomio de \(x^2-3x+5\) de otra manera:

\[x^2-3x+5=\frac{1}{4}(4x^2-12x+9-9+20)=\frac{1}{4}((2x-3)^2+11)\]

Ahora podemos escribir la integral indefinida así:

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\int\frac{1}{\frac{1}{4}((2x-3)^2)+11)}\,dx=4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx\]

Esta última integral la podemos retocar hasta conseguir resolverla:

\[4\int\frac{1}{(2x-3)^2+11}\,dx=4\int\frac{\displaystyle\frac{1}{11}}{\displaystyle\frac{(2x-3)^2}{11}+1}\,dx=\]

\[=\frac{4}{11}\int\frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx=\frac{4}{11}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}\int\frac{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{11}}}{\displaystyle\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)^2+1}\,dx\]

Por tanto

\[\int\frac{1}{x^2-3x+5}\,dx=\frac{2\sqrt{11}}{11}\cdot\text{arctg}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{11}}\right)+C\]

Donde hemos utilizado que

\[\int\frac{f'(x}{f(x)^2+1}\,dx=\text{arctg}\,f(x)+C\]

En general si el polinomio \(ax^2+bx+cx\) no tiene raíces reales, es posible demostrar que

\[\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\cdot\text{arctg}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C\]

Puedes ver el desarrollo completo aquí.

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Igualdades notables, completando cuadrados y resolviendo ecuaciones cuadráticas

Las igualdades o identidades notables y una técnica que utiliza éstas para completar cuadrados fue algo muy común en el pasado para resolver ecuaciones de segundo grado. El objetivo consiste en transformar la ecuación original en otra de primer grado, tras extraer una raíz cuadrada. Antes que nada recordemos las igualdades o identidades notables, en concreto el cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia.

\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\]

\[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\]

Por ejemplo:

\[(x+5)^2=x^2+5^2+2\cdot x\cdot5=x^2+10x+25\]

\[(x-4)^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot4=x^2-8x+16\]

A veces también se puede conseguir un cuadrado de una suma o de una diferencia observando con detenimiento un polinomio de segundo grado:

\[x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3)^2\]

\[4x^2-24x+36=(2x)^2-2\cdot (2x)\cdot6+6^2=(2x-6)^2\]

En general podemos completar cuadrados sumando y restando una cantidad adecuada. Veamos un par de ejemplos:

\[x^2+6x=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2-3^2=(x+3)^2-9\]

\[x^2-8x=x^2-2\cdot x\cdot4+4^2-4^2=(x-4)^2-16\]

Esta técnica es adecuada para resolver algunas ecuaciones de segundo grado sencillas. Por ejemplo, para resolver la ecuación \(x^2+6x=16\) procedemos del siguiente modo:

\[x^2+6x=16\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot3+3^2-3^2=16\Leftrightarrow (x+3)^2-9=16\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow (x+3)^2=16+9\Leftrightarrow(x+3)^2=25\Leftrightarrow\begin{cases}x+3=5\Leftrightarrow x=2\\x+3=-5\Leftrightarrow x=-8\end{cases}\]

De manera similar podemos resolver esta otra \(x^2-4x=21\):

\[x^2-4x=21\Leftrightarrow x^2-2\cdot x\cdot2+2^2-2^2=21\Leftrightarrow(x-2)^2-4=21\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(x-2)^2=21+4\Leftrightarrow(x-2)^2=25\Leftrightarrow\begin{cases}x-2=5\Leftrightarrow x=7\\x-2=-5\Leftrightarrow x=-3\end{cases}\]

En general, para resolver la ecuación \(x^2+px=q\), procedemos así:

\[x^2+px=q\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{p}{2}=q\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{p}{2}+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=q\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}=q\Leftrightarrow\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4}+q\Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2+4q}{4}}\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\frac{\sqrt{p^2+4q}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{-p\pm\sqrt{p^2+4q}}{2}\]

Ahora, si aprenderemos la fórmula, podemos resolver la ecuación anterior \(x^2+6x=16\) sin más que sustituir \(p\) por \(6\) y \(q\) por \(16\):

\[x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2+4\cdot16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+64}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{100}}{2}=\]

\[=\frac{-6\pm10}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{-6+10}{2}=\frac{4}{2}=2\\x=\frac{-6-10}{2}=\frac{-16}{2}=-8\end{cases}\]

Todo este proceso de completar cuadrados da pie a resolver la ecuación de segundo grado completa. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación \(2x^2+5x-33=0\), lo que tenemos que hacer es sacar factor común el coeficiente de \(x^2\) (en este caso el número \(2\)) y luego proceder a completar el cuadrado. Vamos a verlo:

\[2x^2+5x-33=0\Leftrightarrow2\left(x^2+\frac{5}{2}x-\frac{33}{2}\right)=0\Leftrightarrow x^2+\frac{5}{2}x-\frac{33}{2}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^2-\left(\frac{5}{4}\right)^2-\frac{33}{2}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{5}{4}\right)^2-\frac{25}{16}-\frac{33}{2}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left(x+\frac{5}{4}\right)^2=\frac{25}{16}+\frac{33}{2}\Leftrightarrow\left(x+\frac{5}{4}\right)^2=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x+\frac{5}{4}=\pm\sqrt{\frac{289}{16}}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\begin{cases}x+\frac{5}{4}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=\frac{17}{4}-\frac{5}{4}=\frac{12}{4}=3\\\,\\x+\frac{5}{4}=-\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=-\frac{17}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{22}{4}=-\frac{11}{2}\end{cases}\]

Finalmente, utilizando este método, resolvamos la ecuación general de segundo grado completa, \(ax^2+bx+c=0\), para obtener la conocida fórmula que proporciona las soluciones.

\[ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=0\Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Leftrightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Como reflexión final, decir que no estaría mal relacionar las igualdades notables con las soluciones de una ecuación de segundo grado a través del método mencionado en este artículo de completar cuadrados. Esto se podría hacer, por ejemplo en el curso final de la Educación Secundaria Obligatoria. Así, los alumnos verían la utilidad de las igualdades notables, recapacitarían sobre las mismas y entenderían que las soluciones de una ecuación de segundo grado son algo más que la aplicación puramente mecánica de una fórmula.

Leer más ...

Potencias. Expresiones algebraicas. Igualdades notables - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Reduce las expresiones siguientes:

a)  \(4+x-7(3-2x)\)

b)  \(2(5x-3)+6x-1\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2\)

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5\)

a)  \(4+x-7(3-2x)=4+x-(21-14x)=4+x-21+14x=15x-17\)

Observaciones:

Este ejercicio es muy sencillo, pero es conveniente hacer algunas observaciones. Según la jerarquía de las operaciones se realizan los productos antes que las sumas y restas. Por eso lo primero que hacemos es el produto \(7(3-2x)\). Para realizar este producto se utiliza la propiedad distributiva respecto de la suma, según la cual:

\[a(b+c)=ab+ac\quad\forall\ a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\]

Por eso \(7(3-2x)=7\cdot3-7\cdot2x=21-14x\). Observa que dentro del paréntesis no había una suma, sino una resta. No importa, la propiedad distributiva del producto también es cierta respecto de la resta, ya que restar es sumar el opuesto:

\[a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac\]

También hemos utilizado la propiedad distributiva, pero de derecha a izquierda, cuando hemos terminado de simplificar la operación. Es decir \(x+14x=1x+14x=(1+14)x=15x\). Esta acción también se conoce como "sacar factor común".

Esto es lo que se llama sumar monomios semejantes. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Para sumarlos o restarlos se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Esto, como ves, no es otra cosa que aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o de la resta.

Ahora más que nunca se pone de manifiesto que las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje algebraico que nos permite operar con números y símbolos, utilizando una determinadas reglas del juego. Reglas que, por otra parte, son muy sencillas y que se irán poniendo de manifiesto en estos ejercicios.

b)  \(2(5x-3)+6x-1=2\cdot5x-2\cdot3+6x-1=10x-6+6x-1=16x-7\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2=2^2-a^2-5(1^2+2\cdot1\cdot a+a^2)=\)

\(=4-a^2-5(1+2a+a^2)=4-a^2-5-10a-5a^2=-6a^2-10a-1\)

Observaciones:

Para reducir esta expresión hemos utilizado dos de las igualdades notables:

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Cuadrado de una suma es igual a cuadrado del primer sumando, más dos veces el primero por el segundo, más cuadrado del segundo sumando:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Ambas son muy fáciles de demostrar. Veámoslo:

\[(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^2-b^2\]

Observa la forma en que se ha utilizado aquí, justo al principio, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Por otro lado es claro que \(-ab+ba=-ab+ab=0\), (no olvidemos nunca la propiedad conmutativa de los números reales: \(ab=b\,a\ \forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\)).

Por otro lado:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5=b^2+2\cdot b\cdot2+2^2-(1^2-b^2)5=b^2+4b+4-(1-b^2)5=\)

\(=b^2+4b+4-(5-5b^2)=b^2+4b+4-5+5b^2=6b^2+4b-1\)


Ejercicio 2. Extrae factor común y escribe como producto de factores:

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\)

b)  \(-6a+12-24b\)

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2\)

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c\)

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2=xy(y-2x+5xy)\)

Observaciones:

Recuerda que sacar factor común no es otra cosa que la propiedad distributiva aplicada de derecha a izquierda: \(ab+ac=a(b+c)\). Para sacar al menos un factor común, dicho factor ha de estar al menos una vez en todos y cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. En este caso, la expresión algebraica \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\) tiene tres sumandos: \(xy^2\), \(2x^2y\), \(5x^2y^2\). El primero tiene dos factores: \(x\), \(y^2\); el segundo tiene tres: \(2\), \(x^2\), \(y\); y el tercero tiene otros tres: \(5\), \(x^2\), \(y^2\). Tanto la letra \(x\) como la letra \(y\) es común en cada uno de los tres factores (ellas mismas también son factores incluso cuando van elevadas a algún exponente: \(x^2=x\cdot x\), \(y^2=y\cdot y\)). Pues bien, se extraen fuera de la expresión, elevadas al menor de los exponentes. Dentro de la expresión, entre paréntesis, quedan los factores que no se han extraído.

En resumen, es más fácil verlo y hacerlo que explicarlo.

b)  \(-6a+12-24b=-2\cdot3\cdot a+2^2\cdot3-2^3\cdot3\cdot b=2\cdot3(-a+2-2^2b)=6(-a+2-4b)\)

Observación:

En este caso, para extraer factor común los números \(2\) y \(3\), hemos tenido que descomponer previamente en producto de primos, cada uno de los factores numéricos de la expresión. Luego se procede como en el apartado anterior. También se puede hacer el máximo común divisor de los factores numéricos (coeficientes). Éste será el factor común de todos ellos.

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2=2^2\cdot3x^2y^2-2\cdot3xy+2^2xy^2=\)

\(=2xy(2\cdot3xy-3+2y)=2xy(6xy-3+2y)\)

Observación:

Muchas veces separamos los factores por un punto "\(\cdot\)", sobre todo cuando estamos multiplicando números. Esto es para no confundir el producto con otro número. Por ejemplo escribimos \(2\cdot3\) en lugar de \(23\) para no confundir dos por tres con el número veintitrés. Con las letras escribiremos indistintamente \(xy\) o \(x\cdot y\).

Resumiento, el producto se puede indicar con un punto o por yuxtaposición cuando alguno de los factores no es un número. Cuando ambos factores son números es obligatorio indicar el producto con un punto a fin de no confundirlo con otro número.

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c=abc(1+ac-b)\)

Observación:

En este caso, al extraer factor común \(abc\), aparentemente no queda nada en el lugar de este factor que escribir dentro del paréntesis. Pero sí que queda, ¡el uno!. El número uno siempre esta multiplicando a cualquier expresión, es el elemento neutro del producto: \(1\cdot x=1x=x\ \forall x\in\mathbb{R}\). Muchas veces no se escribe, pero está. Siempre está multiplicando a cualquier factor o expresión que te encuentres.


Ejercicio 3. Simplifica las fracciones siguientes sacando factor común si fuera necesario:

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}\)

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}\)

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}=\frac{2\cdot3(x-2)y}{-2^2\cdot3(x-2)y^2}=-\frac{1}{2y}\)

Observaciones:

Para simplificar los factores numéricos se descomponen en producto de primos y luego se eliminan los factores comunes del numerador y del denominador.

Hemos utilizado un "truco" muy habitual en matemáticas: \((a-b)=-(b-a)\). En este caso \((2-x)=-(x-2)\). Así \(x-2\) es un factor común en el numerador y en el denominador y lo podemos eliminar. Observa que el signo menos lo hemos puesto al principio en el denominador pues el orden de los factores no altera el producto. Luego lo hemos puesto delante de la fracción ya que \(\displaystyle\frac{+}{-}=-\)

De nuevo recordar lo que ya se comentó en el ejercicio anterior. En el numerador se elimina todo. Por eso queda arriba el número uno, que siempre es un factor (recuerda: no se pone, pero siempre está).

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}=\frac{10a(2a-b+1)}{10(a-b+1)a}=\frac{2a-b+1}{a-b+1}\)

Observación:

Para poder eliminar factores comunes del numerador y del denominador hemos tenido que sacar factor común en el numerador. El enunciado del ejercicio ya dice que se saque factor común si es necesario (¡qué importante leer bien los enunciados de los ejercicios!). Luego hemos observado que los factores \(10\) y \(a\) son comunes en el numerador y en el denominador y los hemos eliminado.

Hay personas que "simplifican" aún más: \(\displaystyle\frac{2a-b+1}{a-b+1}=\frac{2a}{a}=2\). Pero este procedimiento no es correcto, porque \(b\) y \(1\) no son factores comunes del numerador y del denominador, ¡son sumandos! y, en este caso, aunque sean comunes no se pueden eliminar. Si así fuera llegaríamos a contradicciones como la siguiente:

\[2=\frac{16}{8}=\frac{4+3+9}{4+3+1}=\frac{9}{1}=9\]

¡Cuidado con esto!

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}=\frac{2^3(a-b)x}{-2^2\cdot3(a-b)x^2}=-\frac{2}{3x}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}=\frac{3a(2a+1-b)}{3(2a+1-2b)a}=\frac{2a+1-b}{2a+1-2b}\)


Ejercicio 4. Simplifica las expresiones siguientes:

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}\)

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}=\frac{(a^2)^3b^3a^2(b^2)^2}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^6b^3a^2b^4}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^{8-(-3)}b^{7-(-3)}=a^{11}b^{10}\)

Observación:

En cada uno de los pasos se han utilizado distintas propiedades de las potencias:

Potencia de un producto es igual al producto de las potencias:

\[(ab)^n=a^nb^n\]

Potencia de una potencia es igual a la base elevado al producto de los exponentes:

\[(a^n)^m=a^{nm}\]

Producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes:

\[a^na^m=a^{n+m}\]

Cociente de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes:

\[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]

Este ejercicio se podría haber finalizado así:

\(\displaystyle\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^8b^7\frac{1}{a^{-3}}\frac{1}{b^{-3}}=a^8b^7a^3b^3=a^{8+3}b^{7+3}=a^{11}b^{10}\)

Donde se ha utilizado la potencia de exponente negativo:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad ;\quad \frac{1}{a^{-n}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a^n}}=a^n\]

Esto a veces se explica diciendo que si en una fracción aparece factor que sea una potencia con exponente negativo, se puede pasar al otro lado de la fracción con exponente positivo.

Para más información sobre potencias y propiedades de las potencias puedes ver la siguiente presentación sobre potencias.

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}=\frac{x^3(x^3-x+1)}{x^3(1+x^2-x^4)}=\frac{x^3-x+1}{1+x^2-x^4}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}=\frac{(x^5)^2y^2x^2(y^2)^2}{(x^2)^{-3}(y^2)^{-3}}=\frac{x^{10}y^2x^2y^4}{x^{-6}y^{-6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{x^{12}y^6}{x^{-6}y^{-6}}=x^{12-(-6)}y^{6-(-6)}=x^{18}y^{12}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}=\frac{a^3(a^2-a+1)}{a^4(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a^4-a^2+a}\)

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