Menu
¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Prev Next

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de la derivada de una función en un punto usando la definición y aprovechando el cálculo de límites. A continuación, se introducen inmediatamente las reglas de derivación: de un número por una función, de la suma y la resta, del producto y del cociente, así como la derivada de la función compuesta o regla de la cadena. También se dan las derivadas de las funciones elementales (puedes consultar este artículo), generalmente mediante una tabla de derivadas, que suele aparecer dividida en dos: la derivada de la función directamente y la derivada de la función compuesta en la que se hace uso de la regla de la cadena.

Es probable que en bachillerato también se demuestren, usando la definición de derivada de una función en un punto, algunas de las reglas de derivación (por ejemplo la derivada de la suma o del producto de dos funciones), pero lo que no se suele hacer es la demostración de la derivada de la función compuesta, conocida más habitualmente por regla de la cadena. Aprovechando que en esta Web hemos dedicado artículos a hablar sobre la composición de funciones, función inversa de una función y sobre el concepto de convergencia de una sucesión, vamos a proceder a la demostración de la regla de la cadena. Aprovecharemos también para enunciar y demostrar el teorema de la función inversa. Finalmente, y como consecuencia de lo anterior, demostraremos un resultado conocido por todos los estudiantes de matemáticas en bachillerato: de todas las funciones exponenciales, la de base el número \(\text{e}\) es la única que coincide con su función derivada. Este resultado justifica que la función exponencial de base \(\text{e}\) sea la función exponencial por excelencia. De hecho, a la función exponencial de base \(\text{e}\) se la llama, simplemente, función exponencial.

Teorema 1 (de la función compuesta o regla de la cadena)

Sean \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(f:B\rightarrow\mathbb{R}\) funciones reales de variable real verificando que \(f(A)\subset B\) y sea \(h=g\circ f\). Sea también \(a\in A\) y supongamos que \(f\) es derivable en \(a\) y que \(g\) es derivable en \(f(a)\). Entonces \(h\) es derivable en \(a\) y se verifica que

\[h'(a)=g'(f(a))f'(a)\]

Sea \(\phi:B\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[\phi(y)=\left\{\begin{array}{ccc}
                   \displaystyle\frac{g(y)-g(f(a))}{y-f(a)} & \text{si} & y\in B-\{f(a)\} \\
                   g'(f(a)) & \text{si} & y=f(a)
                 \end{array}
\right.\]

La derivabilidad de \(g\) en \(f(a)\) hace que \(\phi\) sea continua en \(f(a)\). Se tiene además:

\[g(y)-g(f(a))=\phi(y)(y-f(a))\,,\forall\, y\in B\]

igualdad que, para \(y\neq f(a)\), se deduce de la definición de \(\phi\), mientras que, para \(y=f(a)\), es evidente por ser nulos sus dos miembros.

Dado \(x\in A\) tenemos, tomando \(y=f(x)\),

\[h(x)-h(a)=\phi(f(x))(f(x)-f(a))\]

de donde, si además es \(x\neq a\),

\[\frac{h(x)-h(a)}{x-a}=\phi(f(x))\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Por ser \(f\) continua en \(a\) y \(\phi\) continua en \(f(a)\) tenemos que \(\phi\circ f\) es continua en \(f(a)\) (ver proposición 3 del artículo dedicado a las propiedades de las funciones continuas), luego

\[\lim_{x\rightarrow a}\phi(f(x))=\phi(f(a))=g'(f(a))\]

Finalmente, como el límite del producto es el producto de los límites tenemos

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{h(x)-h(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\phi(f(x))\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Rightarrow h'(a)=g'(f(a))f'(a)\]tal y como queríamos demostrar.

El siguiente teorema nos permitirá estudiar la posible derivabilidad de la inversa de una función derivable e inyectiva.

Teorema 2 (de la función inversa)

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real y \(a\) un punto de \(A\). Supongamos que \(f\) es inyectiva y que es derivable en el punto \(a\). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i) \(f'(a)\neq0\) y \(f^{-1}\) es continua en \(f(a)\).

ii) \(f^{-1}\) es derivable en \(f(a)\).

Además, en caso de que se cumplan i) y ii) se tiene:

\[(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\]

i) \(\Rightarrow\) ii) Sea \(\{y_n\}\) una sucesión de puntos de \(f(A)-\{b\}\) con \(\{y_n\}\rightarrow f(a)\) y consideremos la sucesión \(x_n=f^{-1}(y_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por ser \(f^{-1}\) continua en \(f(a)\) tenemos \(\{x_n\}\rightarrow f^{-1}(f(a))=a\), luego, por ser \(f\) derivable en \(a\):

\[\left\{\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right\}=\left\{\frac{y_n-f(a)}{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))}\right\}\rightarrow f'(a)\]

Finalmente, siendo \(f'(a)\neq0\) obtenemos

\[\left\{\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))}{y_n-b}\right\}\rightarrow\frac{1}{f'(a)}\]

lo que demuestra que \(f^{-1}\) es derivable en \(f(a)\) con derivada \(\frac{1}{f'(a)}\).

ii) \(\Rightarrow\) i) Desde luego, si \(f^{-1}\) es derivable en \(f(a)\) será continua en \(f(a)\). Además, aplicando el teorema anterior con \(B=f(A)\) y \(g=f^{-1}\) tenemos: \(1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(f(a))f'(a)\), lo que demuestra que \(f'(a)\neq0\) y nos da nuevamente la igualdad \((f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\).

Finalmente, vamos a probar la derivabilidad de las funciones exponencial y logaritmo neperiano y la de las funciones relacionadas con ellas.

Teorema 3

i) La función exponencial es derivable en todo \(\mathbb{R}\) y su función derivada es la propia función exponencial.

ii) Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es derivable en un punto \(a\in A\), entonces la función \(g:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\text{e}^{f(x)}\,,\forall\,x\in A\]

es derivable en \(a\) con \(g'(a)=f'(a)\text{e}^{f(a)}\). En particular, si \(\alpha\) es un número real positivo y tomamos \(A=\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln\alpha\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\), obtenemos que la función exponencial de base \(\alpha\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) siendo su función derivada el producto del número real \(\ln\alpha\) por la propia función exponencial de base \(\alpha\).

iii) La función logaritmo neperiano es derivable en \(\mathbb{R}^+\) con

\[\ln'(x)=\frac{1}{x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\]

iv) Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}^+\) es derivable en un punto \(a\in A\), la función \(g:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\ln f(x)\,,\forall\,x\in A\]

es derivable en \(a\) con \(g'(a)=\frac{f'(a)}{f(a)}\) (derivada logarítmica de \(f\) en el punto \(a\)).

v) Si  \(f:A\rightarrow\mathbb{R}^+\) y \(g:A\rightarrow\mathbb{R}\) son derivables en un punto \(a\in A\), la función \(h:A\rightarrow\mathbb{R}^+\) definida por

\[h(x)=f(x)^{g(x)}\,,\forall\,x\in A\]

es derivable en \(a\) con

\[h'(a)=h(a)\left(g'(x)\ln f(a)+g(a)\frac{f'(a)}{f(a)}\right)\]

En particular, tomando \(A=\mathbb{R}^+\), \(f(x)=x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\) y \(g(x)=b\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\) donde \(b\) es un número real fijo, se obtiene que la función potencia de exponente \(b\) es derivable en \(\mathbb{R}^+\) y su derivada es el producto del número real \(b\) por la función potencia de exponente \(b-1\).

i) Sea \(\{t_n\}\) una sucesión de números reales no nulos, convergente a cero. Y sean \(y_n=\frac{1}{t_n}\), \(x_n=\text{e}^{t_n}\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\). Claramente \(\{x_n\}\rightarrow1\) y \(\{x_n^{y_n}\}\rightarrow\text{e}\), luego tenemos \(\{y_n(x_n-1)\}\rightarrow1\) (ver el artículo dedicado a ciertos límites funcionales de interés), esto es que \(\{\frac{1}{t_n}(\text{e}^{t_n-1})\}\rightarrow1\).

Sea ahora \(a\in\mathbb{R}\) arbitrario y \(\{a_n\}\) una sucesión de números reales distintos de \(a\) tal que \(\{a_n\}\rightarrow a\). Podemos entonces aplicar lo anteriormente probado a la sucesión \(\{a_n-a\}\), sucesión de números reales no nulos que converge a cero, y obtener:

\[\left\{\frac{\text{e}^{a_n}-\text{e}^a}{a_n-a}\right\}=\left\{\text{e}^a\frac{\text{e}^{a_n-a}-1}{a_n-a}\right\}\rightarrow \text{e}^a\]

Hemos probado así que

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\text{e}^x-\text{e}^a}{x-a}=\text{e}^a\]

y esto, cualquiera que sea el número real \(a\).

ii) Basta aplicar i) y la regla de la cadena.

iii) La función logaritmo neperiano es continua en \(\mathbb{R}^+\) y, por i), la función exponencial es derivable en \(\mathbb{R}\) con derivada distinto de cero en todo punto. Por el teorema de la función inversa tenemos, para todo número real \(a\):

\[\ln'(\text{e}^a)=\frac{1}{\text{e}^a}\]

y dado \(x\in\mathbb{R}^+\), podemos tomar \(a=\ln x\) para obtener

\[\ln'(x)=\frac{1}{x}\]

iv) Basta aplicar iii) y la regla de la cadena.

v) Sea \(\phi:A\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[\phi(x)=\ln h(x)=g(x)\ln f(x)\,,\forall\,x\in A\]

Usando iv) y la regla de derivación de un producto, \(\phi\) es derivable en \(a\) con

\[\phi'(a)=g'(a)\ln f(a)+g(a)\frac{f'(a)}{f(a)}\]

Como quiera que

\[h(x)=\text{e}^{\phi(x)}\,,\forall\,x\in A\]

usando ii) obtenemos que \(h\) es derivable en \(a\) con

\[h'(a)=\text{e}^{\phi(a)}\phi'(a)=h(a)\left(g'(x)\ln f(a)+g(a)\frac{f'(a)}{f(a)}\right)\]

Ejercicios

1. Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\), \(a\in A\) y supongamos que \(f\) es derivable en \(a\) con \(f(a)\neq0\). Probar que las funciones \(|f|\,,f^+\,,f^-\,:A\rightarrow\mathbb{R}\) dadas por:

\[|f|(x)=|f(x)|\,,\ f^+(x)=\max\{f(x),0\}\,,\ f^-(x)=\max\{-f(x),0\}\,,\forall x\in A\]

son derivables en \(a\). ¿Es cierta la misma afirmación sin suponer \(f(a)\neq0\)?

La función \(|f|\) es la composición de la función \(f\) con la función valor absoluto: \(|f|=f\circ |\cdot|\). Como \(f\) es derivable en \(a\) y la función valor absoluto es derivable en \(f(a)\neq0\), la regla de la cadena nos asegura que \(|f|\) es derivable en \(a\). Si \(f(a)=0\) la afirmación no es cierta pues la función valor absoluto no es derivable en cero. Sea por ejemplo la función

\[f(x)=x^2-1\Rightarrow|f(x)|=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x^2-1 & \text{si} & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \\
                  -x^2+1 & \text{si} & x\in(-1,1)
                \end{array}
  \right.\]

En el punto \(a=1\) se tiene

\[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x+1 & \text{si} & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \\
                  -x-1 & \text{si} & x\in(-1,1)
                \end{array}
  \right.\]

De esta manera

\[\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2\quad;\quad\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2\]

y por tanto \(|f|\) no es derivable en \(a=1\).

Por otro lado, se tiene que

\[f^+(x)=\max\{f(x),0\}=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}\ ;\ f^-(x)=\max\{-f(x),0\}=\frac{-f(x)+|f(x)|}{2}\]

Entonces, por lo demostrado anteriormente, tanto \(f^+\) como \(f^-\) son derivables en \(a\in A\) con \(f(a)\neq0\). Del mismo modo que antes, esta afirmación no tiene por qué ser cierta si \(f(a)=0\).

2. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) en cada uno de los siguientes casos:

a) \(A=[-1,1]\) ; \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\,,\forall\,x\in A\).

b) \(A=\mathbb{R}\) ; \(f(x)=\sqrt[3]{|x|}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

c) \(A=\mathbb{R}\) ; \(f(x)=\frac{2x}{1+|x|}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\).

d) \(A=\mathbb{R}_0^+\) ; \(f(x)=x^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}^+\), \(f(0)=1\).

e) \(A=[0,1]\) ; \(f(x)=\max\{x,1-x\}\,,\forall\,x\in A\).

a) Sean \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \(h:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definidas respectivamente por \(g(x)=1-x^2\) y \(h(x)=\sqrt{x}\). \(g\) es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\), y \(h\) es continua en \([0,+\infty)\) y derivable en \((0,+\infty)\).

\(h\) no es derivable en cero porque

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\]

Las derivadas de las funciones \(g(x)=1-x^2\) y \(h(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}\) son, respectivamente, \(g'(x)=-2x\) y \(h'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}\), donde se ha utilizado que la derivada de la función constante es igual a cero, que la derivada de la suma es la suma de las derivadas y el apartado v) del teorema 3, según el cual la derivada de la función potencia de exponente \(b\in\mathbb{R}^+\) es el producto del número real \(b\) por la función potencia de exponente \(b-1\).

Por otro lado tenemos que \((h\circ g)(x)=h(g(x))=h(1-x^2)=\sqrt{1-x^2}\), con lo que \(f=h\circ g\). Por la regla de la cadena \(f\) es derivable en \((-1,1)\), ya que si \(a\in(-1,1)\), entonces \(1-a^2\in(0,1)\) y \(f(a)=h(g(a))=h(1-a^2)\). Además, \(f\) no es derivable ni en \(x=-1\), ni en \(x=-1\) porque, tal y como hemos comprobado, no lo es \(h\) en cero y \(f(-1)=f(1)=(h\circ g)(1)=h(g(1))=h(0)\). Dado \(x\in(-1,1)\), la regla de la cadena nos proporciona la derivada de la función \(f\) en \(x\):

\[f'(x)=(h\circ g)'(x)=h'(g(x))g'(x)=\frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\]

 

b) La función \(f(x)=\sqrt[3]{|x|}=|x|^{1/3}\) la podemos escribir así:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    x^{1/3} & \text{si} & x\geqslant0 \\
                    (-x)^{1/3} & \text{si} & x<0
                  \end{array}
    \right.\]

Si \(a\in\mathbb{R}^+\), \(f\) es derivable en \(a\) por el apartado 5 del teorema 3, con \(f'(a)=\frac{1}{3}a^{-2/3}\). Por la misma razón, si \(a\in\mathbb{R}^-\), \(f\) también es derivable en \(a\) con derivada \(f'(a)=-\frac{1}{3}a^{-2/3}\).

Si \(a=0\), \(f\) no es derivable en \(a\) pues tomando \(x>0\)

\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\]

que no tiene límite finito cuando \(x\rightarrow0\).

 

c) La función la podemos escribir del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle\frac{2x}{1+x} & \text{si} & x\geqslant0 \\
                    \displaystyle\frac{2x}{1-x} & \text{si} & x<0
                  \end{array}
    \right.\]

Esta función es claramente continua y derivable en \(\mathbb{R}-\{0\}\) con derivada

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    \displaystyle\frac{2}{(1+x)^2} & \text{si} & x>0 \\
                    \displaystyle\frac{2}{(1-x)^2} & \text{si} & x<0
                  \end{array}
    \right.\]

Veamos qué ocurre en cero.

Tomando \(x>0\):

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2x}{1+x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+x}=2\]

Tomando \(x<0\):

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2x}{1-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1-x}=2\]

Las derivadas laterales existen y son iguales. Por tanto, \(f\) es derivable en cero con \(f'(0)=2\).

 

d) Si \(a\in\mathbb{R}^+\) el apartado v) del teorema iii) nos asegura que \(f\) es derivable en \(a\) con derivada

\[f'(a)=a^a\left(\ln a+1\right)\]

Estudiemos ahora la derivabilidad de \(f\) en cero. Sea \(\phi\) la función definida de la siguiente manera:

\[\phi(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    x\ln x & \text{si} & x>0 \\
                    0 & \text{si} & x=0
                  \end{array}
    \right.\]

Puesto que

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\ln x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\ln x=-\infty\]

la función \(\phi\) no es derivable en cero.

Supongamos que \(f\) fuera derivable en cero. Como \(f(x)=\text{e}^{\phi(x)}\), haciendo uso de la regla de la cadena, tendríamos que \(f'(0)=e^{\phi(0)}\phi'(0)=\phi'(0)\), lo cual es contradictorio pues \(\phi\) no es derivable en cero. Por tanto, acabamos de demostrar que \(f\) no es derivable en cero.

 

e) Observemos que \(x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\), \(x<1-x\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}\) y \(x>1-x\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}\). Por tanto podemos escribir la función \(f(x)=\max\{x,1-x\}\) del siguiente modo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    1-x & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2} \\
                    x & \text{si} & \frac{1}{2}<x\leqslant1
                  \end{array}
    \right.\]

Claramente, si \(x\neq0\), \(x\neq1\) y \(x\neq\frac{1}{2}\), \(f\) es derivable con derivada

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                    -1 & \text{si} & 0<x<\frac{1}{2} \\
                    1 & \text{si} & \frac{1}{2}<x<1
                  \end{array}
    \right.\]

Si \(x=0\) existe la derivada lateral por la derecha, cuyo valor es \(f'_+(0)=-1\). Análogamente, si \(x=1\) existe la derivada lateral por la izquierda y \(f'_-(1)=1\) (estos resultados se pueden obtener también con facilidad aplicando la definición de derivada lateral de una función en un punto). Finalmente, \(f\) no es derivable en \(x=\frac{1}{2}\) pues las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha de \(\frac{1}{2}\) no coinciden: \(f'_-\left(\frac{1}{2}\right)=-1\neq1=f'_+\left(\frac{1}{2}\right)\).

3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x^2 & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                  x^3 & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
                \end{array}
  \right.\]

Sea \(a\in\mathbb{R}\) y \(\{x_n\}\) una sucesión de racionales convergente al punto \(a\). Entonces tenemos que \(\{f(x_n)\}=\{x_n^2\}\rightarrow a^2\). Sea ahora una sucesión \(\{y_n\}\) de irracionales que converja también al punto \(a\). En este caso \(\{f(y_n)\}=\{y_n^3\}\rightarrow a^3\). Para que \(f\) sea continua en \(a\) debe ser \(a^2=a^3\), es decir, \(a=0\) o \(a=1\). Si \(a=0\Rightarrow\{f(x_n)\}\rightarrow0=f(0)\), sea quien sea la sucesión \(\{x_n\}\). Si \(a=1\Rightarrow\{f(x_n)\}\rightarrow1=f(1)\). Entonces \(f\) es continua en \(0\) y en \(1\). En los demás puntos no es continua y, por tanto, tampoco es derivable.

Estudiemos la derivabilidad en el punto \(a=0\). En este caso

\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   x & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                                   x^2 & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
                                 \end{array}
  \right.\]

Entonces es claro que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\), con lo que \(f\) es derivable en \(0\) y \(f'(0)=0\).

Veamos ahora qué ocurre en \(a=1\).

\[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   x+1 & \text{si} & x\in\mathbb{Q} \\
                                   x^2+x+1 & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
                                 \end{array}
  \right.\]

En este caso \(\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) no tiene límite en \(1\), pues si \(x\rightarrow1\) por racionales \(\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\rightarrow2\) y si \(x\rightarrow1\) por irracionales \(\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\rightarrow3\). Por tanto, \(f\) no es derivable en \(a=1\).

4. Probar que la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & x\in\mathbb{R}_0^- \\
                  \ln(1+x) & \text{si} & x\in\mathbb{R}^+
                \end{array}
  \right.\]

es derivable en \(\mathbb{R}\) y encontrar su función derivada.

La función es claramente continua y derivable en \(\mathbb{R}-\{0\}\), con

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   1 & \text{si} & x<0 \\
                                   \frac{1}{1+x} & \text{si} & x>0
                                 \end{array}
  \right.\]

Como \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0=f(0)\), \(f\) es continua en \(0\).

Además:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\ ;\ \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\]

Para demostrar que este último límite es igual a \(1\), demostraremos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}(1+x)^{1/x}=\text{e}\). Sea \(y=\frac{1}{x}\). Entonces, \(x\rightarrow0^+\Rightarrow y\rightarrow+\infty\) y tenemos:

\[\lim_{x\rightarrow0^+}(1+x)^{1/x}=\lim_{y\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y=\text{e}\]

Y de aquí, por la continuidad de la función logaritmo neperiano, se deduce que

\[\lim_{x\rightarrow0^+}\ln(1+x)^{1/x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}\ln(1+x)=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=\ln\text{e}=1\]

Por tanto, hemos demostrado que

\[\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\]

Así, \(f\) es derivable en cero con \(f'(0)=1\).

5. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x^p\ln|x| & \text{si} & x\in\mathbb{R}-\{0\} \\
                  0 & \text{si} & x=0
                \end{array}
  \right.\]

donde \(p\) es un número entero.

La función es continua y derivable en \(\mathbb{R}-\{0\}\) y tenemos que

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                                   x^{p-1}(p+\ln x) & \text{si} & x>0 \\
                                   x^{p-1}(p-\ln(-x)) & \text{si} & x<0
                                 \end{array}
  \right.\]

Como \(|x^p\ln|x||\leqslant|x^{p+1}|\), entonces \(\forall\,\varepsilon>0\,,\exists\,\delta>0\,:\,x\in\mathbb{R}\,,\,0<|x|<\delta\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon\). Basta tomar \(\delta=\sqrt[p+1]{\varepsilon}\). Entonces

\[\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}\left(x^p\ln|x|\right)=0=f(0)\]

y, por tanto, \(f\) es continua en cero.

Usando lo demostrado anteriormente tenemos también

\[\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^p\ln|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(x^{p-1}\ln|x|\right)=0\]

lo que demuestra que \(f\) es derivable en \(0\) con \(f'(0)=0\).

6. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x+\text{e}^x\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Probar que \(f\) es biyectiva y que \(f^{-1}\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\). Calcular \((f^{-1})'(1)\) y \((f^{-1})'(1+\text{e})\).

La función \(f\) es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\) por ser suma de continuas y derivables. Por otro lado, \(f(x)\rightarrow-\infty\) cuando \(x\rightarrow-\infty\) y \(f(x)\rightarrow+\infty\) cuando \(x\rightarrow+\infty\), lo que demuestra que \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) y \(f\) es sobreyectiva. Además, \(f\) es estrictamente creciente pues si \(x<y\), entonces \(x+\text{e}^x<y+\text{e}^y\) (la función exponencial es estrictamente creciente). Así, \(f\) es inyectiva y, por tanto, \(f^{-1}\) es continua (ver el artículo dedicado a las funciones continuas e inyectivas).

La derivada de la función \(f\) es \(f'(x)=1+\text{e}^x\neq0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\). Por el teorema de la función inversa \(f^{-1}\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) y se tiene que \((f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}\). Así:

\(f(a)=1\Leftrightarrow a+\text{e}^a=1\Leftrightarrow a=0\) y entonces \((f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}\).

\(f(a)=1+\text{e}\Leftrightarrow a+\text{e}^a\Leftrightarrow1+\text{e}\Leftrightarrow a=1\) y entonces \((f^{-1})'(1+\text{e})=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{1+\text{e}}\).

Referencia bibliográfica. Aparicio C., Payá R. (1985) Análisis Matemático I (Secretariado de Publicaciones. Universidad de Granada).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


Leer más ...

Optimización de funciones. Problemas de optimización

Es muy frecuente que en un problema de geometría o de las ciencias experimentales (física, química, biología, etc.), de la economía, la psicología y de las ciencias sociales en general, se trate de optimizar un modelo. Es decir, si el modelo se ajusta a una función matemática, se trata de calcular cuándo esa función alcanza un máximo o un mínimo.

Sirva como ejemplo hacer máximo un volumen, minimizar un área, maximizar los beneficios con un mímimo coste, etcétera.

Para atacar este tipo de problemas es fundamental encontrar la función que hemos de maximizar o minimizar, o lo que es lo mismo, dar con la expresión analítica que se ajuste a nuestro modelo. De lo demás se encargan las derivadas.

Por eso, para ir adquierendo confianza con este tipo de problemas tendremos que tener en cuenta dos cosas importantes.

1) Ejercitarnos en expresar analíticamente funciones que se describen mediante un enunciado. En el caso más sencillo tendremos que interpretar el enunciado adecuadamente para conseguir una función que involucre una sola variable. Variable que será aquella "cosa" que queramos hacer máxima o mínima. Lo normal es que aparezcan dos "cosas" que varían (dos variables). Lo que tenemos que conseguir es expresar una de las variables en función de la otra a partir de los datos que ofrezca el enunciado del problema.

2) Aprender la técnica de hallar, de la forma más eficaz posible, los extremos de una función que viene dada mediante su expresión analítica.

Cálculo de los extremos de una función \(f(x)\) en un intervalo \([a,b]\)

En los problemas de optimización nos interesa el cálculo de los extremos absolutos de una función que cumple determinadas condiciones en un intervalo \([a,b]\).

Para ello se sigue el siguiente proceso.

a) Los máximos y mínimos absolutos de una función \(f(x)\) definida y derivable en un intervalo \([a,b]\) están entre los puntos críticos o singulares de esa función y los correspondientes a los extremos del intervalo. Por eso lo que hacemos es resolver la ecuación \(f'(x)=0\), seleccionamos las soluciones que están entre los extremos \(a\) y \(b\) y con todos estos valores (incluidos \(a\) y \(b\)) vemos cuál es el máximo y cuál el mínimo. Para ello, entre los candidatos a extremos relativos, lo mejor es utilizar el criterio de la segunda derivada.

b) Si hay algún punto de \([a,b]\) en el que la función no sea derivable aunque sí continua, calcularemos además el valor de \(f\) en ese punto, pues podría ser un máximo o un mínimo absoluto.

c) Si \(f\) no es continua en algún punto de \([a,b]\) estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de ese punto (límites por la izquierda y por la derecha del punto en cuestión).

Algunos ejemplos de problemas de optimización

Problema 1

Se dispone de \(6\) metros cuadrados de cartón para construir una caja con forma de prisma recto de base cuadrada con tapa. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen encerrado sea máximo?

optimizacion 01

La función que se quiere maximizar es el volumen. Las variables que se piden son las dimensiones, esto es, el lado de la base \(b\) y la altura del prisma \(h\).

El volumen \(V\) de un prisma recto es \(V=b^2\cdot h\).

La relación entre \(b\) y \(h\) nos la proporciona el enunciado el dproblema. Se dispone de \(6\ \text{m}^2\) para construir la base, las caras laterales y la tapa, es decir:

\[2b^2+4bh=6\Rightarrow h=\frac{6-2b^2}{4b}\quad(1)\]

Sustituyendo la expresión anterior en la fórmula del volumen tenemos:

\[V=b^2\cdot\frac{6-2b^2}{4b}=\frac{1}{4}b(6-2b^2)=\frac{1}{4}(6b-2b^3)\]

Hemos conseguido expresar el volumen (que es la variable que queremos maximizar) en función de la base. Ahora derivamos, igualamos a cero y hallamos los posibles extremos relativos:

\[V'=\frac{1}{4}(6-6b^2)=0\Rightarrow 6b^2=6\Rightarrow b^2=1\Rightarrow\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}\]

Evidentemente la solución negativa no tiene sentido. Además, para \(b=1\) se tiene que \(h=1\) (basta sustituir \(b\) en la expresión \(1\)).

Como \(V''=-3b\), entonces \(V''(1)=-3<0\), con lo que \(b=1\) es un máximo. Por tanto, para \(b=1\) y \(h=1\) se alcanza el volumen máximo (que además es de \(1\) metro cúbico).

Obsérvese que la solución corresponde a un cubo de lado \(1\) metro. En muchos problemas geométricos la solución óptima es la solución que se corresponde con la figura más regular.

Problema 2

Determina cómo dividir un segmento de \(90\) cm en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es \(\pi\) veces su base, sea mínima.

Nota: Recuerda que el área de un círculo de radio \(r\) es \(\pi r^2\).

La solución aquí.

A continuación se proponen un par de problemas de optimización cuya dificultad es mayor que la de los anteriores. Se tendrá mucho ganado si la situación mencionada en el enunciado se representa mediante un buen dibujo, donde todos los datos estén adecuadamente detallados.

Problema 3

Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x,\,y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.

La solución aquí. 

Problema 4

Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r′\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?

La solución aquí.

Os dejo, en los enlaces de más abajo, algunos problemas más de optimización completamente resueltos. Las relaciones son documentos en formato PDF que andan por Internet. El autor de la primera de ellas es José María Martínez Mediano. Desconozco los autores de las otras dos. En todo caso muchas gracias a todos ellos por compartir este material.

Puedes encontrar mucho más material escribiendo en cualquier buscardor las palabras "problemas optimización pdf".

Leer más ...

Derivación de funciones en forma implícita

Hay relaciones entre variables cuya expresión analítica no es de la forma \(y=f(x)\). Es decir, la variable dependiente \(y\) no aparece despejada o de forma explícita. Por ejemplo, las ecuaciones de las cónicas relacionan de forma implícita sus variables. Se dice que la función está dada de forma implícita mediante una relación de la forma

\[f(x,y)=0\]

En muchos de estos casos es difícil o muy laborioso aislar o despejar la variable dependiente \(y\) en función de la independiente \(x\). Pero podemos realizar la derivada de la función tal y como está escrita en forma implícita, aplicando la regla de la cadena, y teniendo en cuenta que derivamos respecto de la variable independiente, que en nuestro caso es \(x\).

Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 1

Se desea calcular la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2-6y-16=0\) en los puntos de abscisa \(x=3\).

Es evidente que despejar \(y\) no es fácil. Por tanto derivamos en forma implícita la ecuación, con lo que tenemos que

\[2x+2yy'-6y'-0=0\Rightarrow2x+(2y-6)y'=0\Rightarrow y'=\frac{-2x}{2y-6}=\frac{-x}{y-3}\]

Para \(x=3\), tenemos que \(9+y^2-6y-16=0\), es decir, para averiguar las ordenadas de los puntos hemos de resolver la ecuación de segundo grado anterior, cuyas soluciones son \(y=-1\), \(y=7\), por lo que los puntos en los que debemos calcular la tangente son \((3,\,-1)\) y \((3,\,7)\).

Sabemos que la ecuación de la recta tangente en un punto \((a,\,f(a))\) es \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). En el punto \((3,\,-1)\) tenemos que \(y'=\dfrac{-3}{-1-3}=\dfrac{3}{4}\), con lo que la recta tagente en este punto será

\[y-(-1)=\frac{3}{4}(x-3)\Rightarrow y=\frac{3}{4}x-\frac{13}{4}\]

En el punto \((3,\,7)\) tenemos que \(y'=\dfrac{-3}{7-3}=\dfrac{-3}{4}\), y en este punto la recta tangente será

\[y-7=-\frac{3}{4}(x-3)\Rightarrow y=-\frac{3}{4}x+\frac{37}{4}\]

En la figura siguiente puedes ver la circunferencia y la dos rectas tangentes en los punto \((3,\,-1)\) y \((3,\,7)\).

derivacion implicita 01

Ejemplo 2

Vamos a calcular ahora la ecuación de la recta tangente a la curva

\[\text{sen}(x^2y)-y^2+x=2-\frac{\pi^2}{16}\]

en el punto de \(\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Es fácil comprobar que la curva pasa por el punto \(\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)\) porque

\[\text{sen}\left(2^2\frac{\pi}{4}\right)-\left(\frac{\pi}{4}\right)^2+2=\text{sen}\,\pi-\frac{\pi^2}{16}+2=2-\frac{\pi^2}{16}\]

Derivemos implícitamente:

\[\cos(x^2y)(2xy+x^2y')-2yy'+1=0\]

Sustituyendo \(x=2\) e \(y=\dfrac{\pi}{4}\), en la expresión anterior tenemos:

\[(\pi+4y')\cos\pi-\frac{\pi}{2}y'+1=0\Rightarrow-\pi-4y'-\frac{\pi}{2}y'+1=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-2\pi-8y'-\pi y'+2=0\Rightarrow(8+\pi)y'=2-2\pi\Rightarrow y'=\frac{2-2\pi}{8+\pi}\]

Por tanto la recta tangente en el punto \(\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)\)es

\[y-\frac{\pi}{4}=\frac{2-2\pi}{8+\pi}(x-2)\Rightarrow y=\frac{2-2\pi}{8+\pi}(x-2)+\frac{\pi}{4}\]

derivacion implicita 02

Leer más ...
Suscribirse a este canal RSS

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas