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Funciones continuas e inyectivas

Nuestro último teorema afirmaba que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos, pero nada nos informa sobre los puntos en los que se alcanzan. Bajo la hipótesis adicional de que la función es inyectiva vamos a ver enseguida que el máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, pero esto no es más que el punto de partida para resultados más importantes.

Lema 1.

Sean \(a\) y \(b\) números reales con \(a<b\), sea \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva y supongamos que \(f(a)<f(b)\). Entonces, para todo número real \(t\) verificando \(a<t<b\) se tiene que \(f(a)<f(t)<f(b)\).

Sea \(t\in(a,b)\) y supongamos, razonando por reducción al absurdo, que se tenga \(f(t)<f(a)\). Entonces, podemos aplicar el teorema del valor intermedio a la restricción de \(f\) al intervalo \([t,b]\), que es una función continua, obteniendo un punto \(c\) del intervalo \([t,b]\) tal que \(f(c)=f(a)\); por ser \(f\) inyectiva tenemos \(c=a\) y \(a\geqslant b\), lo cual es absurdo.

Si suponemos \(f(t)>f(b)\) y aplicamos el teorema del valor intermedio a la restricción de \(f\) al intervalo \([a,t]\), obtenemos un punto \(d\) del intervalo \([a,t]\) tal que \(f(d)=f(b)\), con lo que, otra vez, por ser \(f\) inyectiva tenemos \(b=d\leqslant t\) lo que también es absurdo.

Hemos probado así que \(f(a)\leqslant f(t)\leqslant f(b)\), pero, siendo \(f\) inyectiva, ambas desigualdades han de ser estrictas, como queríamos demostrar.

Nótese que el lema anterior puede aplicarse sucesivamente. Si \(c\in(a,b)\), tenemos, según el lema, \(f(a)<f(c)<f(b)\), pero podemos volver a aplicar el lema a las restricciones de \(f\) a los intervalos \([a,c]\) y \([c,b]\), obteniendo que

\[a<x<c<y<b\Rightarrow f(a)<f(x)<f(c)<f(y)<f(b)\]

y así sucesivamente. Observamos entonces que \(f\) tiene un comportamiento muy concreto, crece al crecer la variable. Este comportamiento se obtendrá de manera rigurosa en el próximo teorema, incluso en un ambiente más general, pero necesitamos concretar algunos conceptos para el enunciado de dicho teorema.

Definición.

Sea \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función real de variable real. Diremos que \(f\) es creciente (respectivamente, decreciente) cuando para cualesquiera dos puntos de \(A\), \(x\) e \(y\), en la situación \(x<y\), se tenga \(f(x)\leqslant f(y)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(y)\)). Nótese que las anteriores definiciones extienden a las dadas para sucesiones de números reales. Diremos que \(f\) es estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente), cuando para cualesquiera dos puntos, \(x\) e \(y\), de \(A\), en la situación \(x<y\), se tenga \(f(x)<f(y)\) (respectivamente, \(f(x)>f(y)\)). Finalmente, diremos que \(f\) es monótona cuando sea creciente o decreciente y estrictamente monótona cuando sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Nótese que toda función estrictamente monótona es inyectiva, de hecho, una función monótona es estrictamente monótona si y sólo si es inyectiva. El recíproco de la primera afirmación anterior no es cierto. Por ejemplo, la función \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & 0\leqslant x<1 \\
    3-x & \text{si} & 1\leqslant x \leqslant 2
  \end{array}\right.
\]

es inyectiva pero no es estrictamente monótona.

Teorema 1.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva. Entonces \(f\) es estrictamente monótona.

Supongamos primeramente que \(I\) es un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), con \(a<b\) (si \(a=b\) no hay nada que demostrar). Supongamos también que \(f(a)<f(b)\) (no puede ser \(f(a)=f(b)\) por ser \(f\) inyectiva). Sean \(x,y\in[a,b]\), con \(x<y\). Si \(x=a\) se tiene, aplicando el lema anterior, \(f(x)<f(y)\), e igual ocurre si \(y=b\). Sean entonces \(x,y\in(a,b)\); aplicando el lema anterior tenemos \(f(x)<f(b)\) y aplicando otra vez el lema a la restricción de \(f\) al intervalo \([x,b]\) obtenemos \(f(x)<f(y)<f(b)\). Así pues hemos probado en este caso que \(f\) es estrictamente creciente. Si fuese \(f(a)>f(b)\), el razonamiento anterior, aplicado a la función \(-f\), demuestra que \(-f\) es estrictamente creciente, de donde \(f\) es estrictamente decreciente. Queda así demostrado el teorema en el caso particular de que \(I\) esa un intervalo cerrado y acotado.

Sea ahora \(I\) un intervalo cualquiera y supongamos que \(f\) no es estrictamente monótona, para llegar a una contradicción. Entonces existen \(x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2\in I\) tales que \(x_1<y_1\), \(f(x_1)>f(y_1)\), \(x_2<y_2\), \(f(x_2)<f(y_2)\). Sean \(a=\min\{x_1,x_2\}\) y \(b=\max\{y_1,y_2\}\); claramente \([a,b]\subset I\) y la restricción de \(f\) a \([a,b]\) es continua en inyectiva, luego por lo ya demostrado, es estrictamente monótona. Ello es absurdo pues \(x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2\in[a,b]\).

Como se dijo anteriormente, una función estrictamente monótona es siempre inyectiva. Sin embargo, una función estrictamente monótona no tiene por qué ser continua. Por ejemplo, la función \(g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\)

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
    x & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant1 \\
    1+x & \text{si} & 1<x\leqslant 2
  \end{array}\right.
\]

es estrictamente creciente y no es continua. Damos a continuación un importante teorema que garantiza la continuidad de una función monótona con una hipótesis adicional.

Teorema 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función monótona tal que \(f(A)\) es un intervalo. Entonces \(f\) es continua.

Supongamos por ejemplo que \(f\) es creciente. Sea \(x_0\) un punto de \(A\) y \(\{x_n\}\) una sucesión creciente de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\). Para cada natural \(n\) se tiene entonces \(x_n\leqslant x_{n+1}\leqslant x_0\) y, por ser \(f\) creciente, \(f(x_n)\leqslant f(x_{n+1})\leqslant f(x_0)\). Así, \(\{f(x_n)\}\) es una sucesión creciente y mayorada, luego convergente (véase el teorema 1 del artículo dedicado a las sucesiones monótonas). Sea \(l=\lim f(x_n)\); por ser \(f(x_n)\leqslant f(x_0)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\), se tendrá \(l\leqslant f(x_0)\) (ver el corolario 3 del artículo dedicado a las sucesiones acotada y a las propiedades de las sucesiones convergentes). Supongamos que fuese \(l<f(x_0)\) y sea \(\frac{l+f(x_0)}{2}=y\); se tiene \(f(x_n)<y<f(x_0)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Por ser \(f(A)\) un intervalo, existirá un punto \(x\) en \(A\) tal que \(f(x)=y\). Si fuese \(x<x_n\) para algún natural \(n\), se tendría, por ser \(f\) creciente, que \(y=f(x)\leqslant f(x_n)\), cosa que no ocurre, luego \(x\geqslant x_n\) para todo natural \(n\). Entonces \(x\geqslant x_0\), de donde \(f(x)\geqslant f(x_0)\), lo cual es una contradicción. Así, \(L=f(x_0)\) y \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x_0)\), como queríamos.

Un razonamiento enteramente análogo al anterior nos demostraría que si \(\{x_n\}\) es una sucesión decreciente de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\), entonces \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). Así pues, para toda sucesión \(\{x_n\}\) monótona, de puntos de \(A\), convergente a \(x_0\) se tiene que \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). Por la caracterización de la continuidad, \(f\) es continua en \(x_0\) y, como \(x_0\) era un punto arbitrario de \(A\), \(f\) es continua en \(A\).

Finalmente, si \(f\) es decreciente, \(-f\) es creciente y \((-f)(A)=\{-y\,:\,y\in f(A)\}\) es, claramente, un intervalo, luego, por lo ya demostrado \(-f\) es continua, esto es, \(f\) es continua.

Lema 2.

Si \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es una función estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente), entonces \(f^{-1}:f(A)\rightarrow\mathbb{R}\) es también estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente).

Sean \(x\,,y\in f(A)\) con \(x<y\). Si fuese \(f^{-1}(x)\geqslant f^{-1}(y)\), se tendría, por ser \(f\) creciente, \(f(f^{-1}(x))\geqslant f(f^{-1}(y))\), esto es, \(x\geqslant y\), contra lo supuesto. Luego \(f^{-1}(x)<f^{-1}(y)\) y \(f^{-1}\) es estrictamente creciente. Análogo razonamiento se usa para demostrar el caso en que \(f\) sea estrictamente decreciente.

Corolario 1.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función estrictamente monótona. Entonces \(f^{-1}\) es continua.

Por el lema anterior, \(f^{-1}\) es monótona y su imagen es el intervalo \(I\), luego \(f^{-1}\) es continua por el teorema 2.

Corolario 2.

Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua e inyectiva. Entonces \(f^{-1}\) es continua.

Por el teorema 1, \(f\) es estrictamente monótona luego, por el corolario anterior, \(f^{-1}\) es continua.

Ejercicios

1. Sea \(f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\frac{2x}{1+|x|}\,,\forall\,x\in[-1,1]\]

Determínese la imagen de \(f\).

La función también la podemos escribir así:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  \displaystyle \frac{2x}{1-x} & \text{si} & -1\leqslant x<0\\
                  \displaystyle \frac{2x}{1+x} & \text{si} & 0\leqslant x\leqslant 1
                \end{array}
  \right.\]

Las restricciones de \(f\) a los intervalos \([-1,0)\) y \([0,1)\) son claramente continuas por ser funciones racionales. Así, \(f\) es continua en todo punto excepto, eventualmente, en cero. Pero si \(\{x_n\}\) es una sucesión de puntos de \([-1,1]\) convergente a cero, cualquiera de las sucesiones \(\{\frac{2x_n}{1-x_n}\}\), \(\{\frac{2x_n}{1+x_n}\}\) también convergen a cero. Por tanto, \(f\) es continua en todo punto del intervalo \([-1,1]\).

Sea ahora \(x\,,y\in[-1,0)\). Entonces

\[f(x)=f(y)\Leftrightarrow\frac{2x}{1-x}=\frac{2y}{1-y}\Leftrightarrow2x(1-y)=2y(1-x)\Leftrightarrow x-xy=y-yx\Leftrightarrow x=y\]

De la misma forma, dados \(x\,,y\in[0,1]\) se tiene que

\[f(x)=f(y)\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x}=\frac{2y}{1+y}\Leftrightarrow2x(1+y)=2y(1+x)\Leftrightarrow x+xy=y+yx\Leftrightarrow x=y\]

Lo anterior demuestra que las restricciones de \(f\) a los intervalos \([-1,0)\) y \([0,1)\) son inyectivas, luego ambas estrictamente monótonas (teorema 1). Pero \(f(-1)=-1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Esto indica que \(f\) es estrictamente creciente en el intervalo \([-1,1]\) y que la imagen de la función \(f\) es también el intervalo \([-1,1]\).

2. Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \(\mathbb{R}\). Probar que si la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es monótona, entonces \(f\) es monótona.

Supongamos que la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) es creciente. Sean \(x\,,y\in\mathbb{R}\) en la situación \(x<y\). Entonces existen sucesiones \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\) convergentes a \(x\) e \(y\) respectivamente y cumpliendo que \(x_n\,,y_n\in\mathbb{Q}\,,x_n<x<y<y_n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Entonces \(f(x_n)\leqslant f(y_n)\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Al ser \(f\) continua, la restricción de \(f\) a \(\mathbb{Q}\) también lo es y por tanto \(\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)\) y \(\{f(y_n)\}\rightarrow f(y)\). Entonces \(f(x)\leqslant f(y)\) (ver proposición 5 del artículo dedicado a las sucesiones acotadas y a las propiedades de las sucesiones convergentes) y, por tanto, \(f\) es creciente.

3. Sea \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función inyectiva. Analícese la relación entre las siguientes afirmaciones.

i) \(f\) es continua.

ii) \(f(I)\) es un intervalo.

iii) \(f\) es estrictamente monótona.

iv) \(f^{-1}\) es continua.

i) \(\Rightarrow\) ii) por el teorema del valor intermedio.

i) \(\Rightarrow\) iii) por el teorema 1.

i) \(\Rightarrow\) iv) por el corolario 2.

La afirmación ii) no implica necesariamente la i) pues la función \(f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & 0\leqslant x<1\\
                  3-x & \text{si} & 1\leqslant x\leqslant 2
                \end{array}
  \right.\]

es inyectiva y su imagen es el intervalo \([0,2]\), pero no es continua en \(x_0=1\) (ver figura siguiente).

trozos 01

La afirmación ii) no implica necesariamente la iii). La misma función anterior puede servir de contraejemplo.

La afirmación ii) tampoco implica la iv) y sigue sirviendo la misma función anterior como contraejemplo. Es fácil comprobar que \(f^{-1}=f\), que no es continua en \(x_0=1\).

De iii) no se deduce i). La función \(g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) definida por

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
                  x & \text{si} & 0\leqslant x<1\\
                  1+x & \text{si} & 1\leqslant x\leqslant 2
                \end{array}
  \right.\]

es estrictamente creciente (luego inyectiva) y no es continua en el punto \(x_0=1\) (ver figura siguiente).

trozos 02

De iii) tampoco se deduce ii) y la misma función anterior sirve de contraejemplo: obsérvese que la imagen de la función \(g\) es el conjunto \([0.1]\cup[2,3]\), que no es un intervalo.

iii) \(\Rightarrow\) iv) por el corolario 1.

La afirmación iv) no implica ninguna de las afirmaciones anteriores.

De las afirmaciones ii) y iii) se deduce la afirmación i) por el teorema 2 y, por tanto, también la afirmación iv), pues i) \(\Rightarrow iv)\).

De las afirmaciones ii) y iv) se deduce la afirmación i) pues si \(f\) es inyectiva también lo es \(f^{-1}\) y al ser ésta continua y estar definida en \(f(I)\), que es un intervalo, se tiene que la inversa de \(f^{-1}\), o sea \(f\), es continua (corolario 1). De estas dos afirmaciones se deduce también iii) ya que i) \(\Rightarrow\) iii).

De iii) y iv) no se deduce necesariamente ni i) ni ii).


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Problemas de optimización. Optimización en economía

Muchos problemas requieren buscar un valor que haga mínima o máxima una cantidad. Esta cantidad puede venir dada en una fórmula, en otras ocasiones deberemos plantear nosotros la fórmula. En este artículo puedes ver con detalle de qué tratan este tipo de problemas.

En todo caso recordaremos algunas pautas para resolver problemas de optimización.

  1. Leer el problema hasta comprenderlo. Localizar la cantidad se ha de hacer máxima o mínima, es decir, aquella cantidad que tenemos que optimizar.
  2. Si procede, realizar algún dibujo de la situación que muestre como se relacionan los elementos que varían. Escoger nombres a las variables de interés. Si hay varias variables involucradas, estudiar cómo se relacionan. Hay que plantear una ecuación donde se hagan patentes las relaciones entre las variables. Esta ecuación se suele llamar de ligadura (porque establece la relación entre las variables) o ecuación de restricción.
  3. Expresar la cantidad que se quiere optimizar como función de una de las variables. Esta función se conoce con el nombre de función objetivo. Si hay dos o más variables, despejar las variables en términos de una sola, usando la ecuación de ligadura (o restricción) y sustituirla en la función objetivo. Determinar el dominio de la función resultante de acuerdo a la naturaleza del problema.
  4. Determinar los máximos o mínimos de la función a optimizar. Hay que garantizar que el extremo sea absoluto.
  5. Por último, es conveniente responder con palabras cada pregunta del problema.

Para el cálculo de los extremos (máximos y mínimos) de una función recomendamos la lectura de estos apuntes sobre derivadas.

Optimización en economía

Hay una gran variedad de problemas en administración y economía donde se emplea la derivada para encontrar máximos y mínimos. En particular, a una empresa le interesa el nivel de producción donde se alcanza la máxima utilidad o el máximo ingreso; o a un empresario le interesaría saber el nivel de producción al que el coste promedio por unidad es mínimo. Veamos algunos ejercicios que nos sirvan de ejemplo.

Ejercicio 1

El coste total de producir \(q\) unidades de un artículo está dado por

\[c(q)=5000+4q+\frac{1}{2}q^2\]

¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de obtener el mínimo coste promedio por unidad? ¿Cuál es ese mínimo coste promedio?

 

En primer lugar hemos de obtener el coste promedio, que se calcula dividiendo el coste total entre el número de unidades \(q\):

\[\overline{c}(q)=\frac{5000+4q+\frac{1}{2}q^2}{q}=\frac{5000}{q}+4+\frac{1}{2}q\]

Derivando \(\overline{c}\) tenemos:

\[\overline{c}'(q)=-\frac{5000}{q^2}+\frac{1}{2}\]

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles máximos o mínimos (valores críticos):

\[-\frac{5000}{q^2}+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow-10000+q^2=0\Leftrightarrow\begin{cases}q=100\\q=-100\end{cases}\]

Eliminamos la solución negativa pues carece de sentido.

Para saber qué clase de punto es \(q=100\) volvemos a derivar la función coste promedio y evaluamos precisamente en \(q=100\):

\[\overline{c}''(q)=\frac{10000}{q^3}\Rightarrow\overline{c}''(100)=\frac{10000}{100^3}>0\]

De lo anterior se deduce que en \(q=100\) se alcanza un mínimo relativo, con lo que podemos concluir que cuando se producen 100 unidades tendremos el coste promedio mínimo.

Además, el mínimo coste promedio es:

\[\overline{c}(100)=\frac{c(100)}{100}=\frac{5000+4\cdot100+(100)^2/2}{100}=\frac{5000+400+5000}{100}=104\ \text{um}\]

Ejercicio 2

El coste total de producir \(q\) unidades de un artículo está dado por

\[c(q)=1000+300q+\frac{1}{20}q^2\]

Si la ecuación de demanda está dada por \(p=400-0,1q\), ¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de obtener la máxima utilidad? ¿Cuál es el precio en que se tiene la máxima utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima posible? Si el gobierno impone un impuesto de 10 euros por unidad, ¿cuál es el nuevo nivel de producción que maximiza la utilidad?

 

En primer lugar se debe conseguir la función utilidad \(U=I-C\) (ingresos menos costes). En este caso, como \(I=pq=(400-0,1q)q=400q-0,1q^2\), tenemos:

\[U(q)=(400q-0,1q^2)-\left(1000+300q-\frac{1}{20}q^2\right)=400q-0,1q^2-1000-300q-\frac{1}{20}q^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow U(q)=-\frac{3}{20}q^2+100q-1000\]

Derivando e igualando a cero tenemos:

\[U'(q)=-\frac{6}{20}q+100=0\Rightarrow q=\frac{1000}{3}\]

Tenemos pues un único punto crítico (posible máximo o mínimo). Volviendo a derivar:

\[U''(q)=-\frac{6}{20}\]

Como \(U''(q)\) es siempre negativa, se tiene que \(q=\dfrac{1000}{3}\) es un máximo relativo y por existir un único extremo, este es absoluto (podíamos haber hecho esto teniendo en cuenta que la función \(U\) es una parábola que se abre "hacia abajo" y que, por tanto, el vértice es su único máximo absoluto).

Sustituyendo en la ecuación de demanda obtenemos el precio de venta máximo:

\[p=400-0,1\frac{1000}{3}=\frac{1100}{3}\approx367\ \text{UM}\]

Y ahora conseguimos el valor máximo de la función de utilidad:

\[U\left(\frac{1000}{3}\right)=-\frac{3}{20}\left(\frac{1000}{3}\right)^2+100\frac{1000}{3}-100\approx16567\ \text{UM}\]

Ejercicio 3

Un gimnasio tiene la cuota mensual en 100 euros. A ese precio se inscriben mensualmente un promedio de 550 clientes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de 2 euros se pierden 5 clientes ¿Qué precio se deberá fijar a fin de que el gimnasio obtenga el máximo ingreso?

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3. El teorema fundamental del cálculo

En el artículo anterior hemos visto que el concepto de integral definida de una función \(f\) en un intervalo \([a,\,b]\), \(\int_a^b f(x)dx\), viene a representar el área comprendida entre la curva (gráfica de \(f\)), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), tal y como se representa en la siguiente figura.

th fdtal calculo 01

Existe una estrecha relación entre la integral definida o, lo que es lo mismo, el cálculo del área bajo la curva, y la derivación. Esto, en principio, es bastante sorprendente. El teorema fundamental del cálculo pone de manifiesto la relación mencionada. Antes de enunciarlo demostraremos un resultado de interés, el teorema del valor medio para integrales. También introduciremos el concepto de función área de una función \(f\) en un intervalo cerrado.

Teorema del valor medio para integrales

Si \(f(x)\) es continua en \([a,\,b]\), entonces existe un punto \(c\in(a,\,b)\) tal que

\[\int_a^b f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)\]

Demostración:

Sean \(m\) y \(M\) el mínimo y el máximo de \(f(x)\) en \([a,\,b]\). Entonces

\[m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)\]

th fdtal calculo 03

Es decir:

\[m\leq\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq M\]

Sean \(x_1\), \(x_2\) los puntos de \([a,\,b]\) tales que \(f(x_1)=m\), \(f(x_2)=M\). Entonces la igualdad anterior también se puede escribir así:

\[f(x_1)\leq\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq f(x_2)\]

Aplicando el teorema de los valores intermedios existirá un punto \(c\in(x_1,\,x_2)\) tal que

\[f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\]

O lo que es lo mismo, hemos demostrado que existe \(c\in(a,\,b)\) tal que

\[\int_a^b f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)\]

como queríamos demostrar.

El teorema del valor medio para integrales puede interpretarse geométricamente de la siguiente manera: existe un punto \(c\in(a,\,b)\) tal que el rectángulo de base \(b-a\) y altura \(f(c)\) tienen la misma área que la encerrada por la curva \(f\), el eje \(X\) y las rectas \(x=a\), \(x=b\).

th fdtal calculo 02

La función área

Dada una función \(f\), continua en un intervalo \([a,\,b]\), podemos calcular \(\int_a^c f\) para todo número \(c\in[a,\,b]\). Podemos entonces considerar una nueva función:

\[F(x)=\int_a^x f\, ,\ \forall\,x\in[a,\,b]\]

La función anterior es el área encerrada bajo la gráfica de \(f\) entre \(a\) y un punto variable \(x\).

Cuanto mayor sea la ordenada de \(f\), más rápidamente crece el área bajo ella, \(F\), y por tanto, mayor es \(F'\). Cuando \(f\) es negativa, lo es el área. Por tanto, \(F\) decrece y su derivada es negativa. Estas consideraciones intuitivas entre las funciones \(f\) y \(F'\) quedan patentes con mayor precisión en el siguiente teorema.

Teorema fundamental del cálculo

Si \(f\) es una función continua en \([a,\,b]\), entonces la función \(\displaystyle F(x)=\int_a^x f\), \(x\in[a,\,b]\), es derivable y se verifica que \(F'(x)=f(x)\).

Demostración:

Para hallar \(F'(x)\) calcularemos

\[\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

El numerador es

\[F(x+h)-F(x)=\int_a^{x+h}f-\int_a^x f=\int_a^{x+h}f-\left(-\int_x^a f\right)=\int_x^a f+\int_a^{x+h}f=\int_x^{x+h}f\]

th fdtal calculo 04

Por el teorema del valor medio para integrales, al ser \(f\) continua en \([x,\,x+h]\), existe \(c\in[x,\,x+h]\) tal que

\[\int_x^{x+h}f=f(c)\cdot(x+h-x)=f(c)\cdot h\]

Por tanto:

\[F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\left[\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f\right]=\lim_{h\to0}\left[\frac{1}{h}f(c)\cdot h\right]=\lim_{h\to0}f(c)\]

Como \(c\in[x,\,x+h]\), el límite \(\displaystyle\lim_{h\to0}f(c)=f(x)\), pues \(f\) es continua.

Por tanto, \(F'(x)=f(x)\), que es lo queríamos demostrar.

Veamos algunos ejemplos del uso del teorema fundamental del cálculo

Ejemplo 1

Podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo para calcular la derivada de la función \(F(x)=\int_1^x(\ln t-2)dt\). Puesto que la función \(f(t)=\ln t-2\) es continua en todo su dominio, se tiene que \(F'(x)=\ln x-2\). Por otro lado, como \(F'(x)=0\Rightarrow\ln x-2=0\Rightarrow x=e^2\) y, además, \(F''(e^2)>0\), la función \(F\) tiene en el punto \(x=e^2\) un mínimo. Obsérvese que gracias al teorema fundamental del cálculo hemos obtenido el mínimo de la función sin necesidad de resolver la integral.

Ejemplo 2

Supongamos que queremos calcular el área encerrada por la gráfica de la función seno entre \(0\) y \(\pi\). Es decir, queremos hallar \(\int_0^\pi \text{sen}\,x\,dx\). Para ello llamaremos \(F(x)=\int_a^x\text{sen}\,t\,dt\)

th fdtal calculo 05

Por el teorema fundamental del cálculo, \(F'(x)=\text{sen}\,x\). Por tanto, al ser \(F\) una primitiva de la función seno:

\[F(x)=\int \text{sen}\,x\,dx=-\cos x+C\]

Como \(F(0)=\int_0^0\text{sen}\,t\,dt=0\), entonces \(-\cos0+C=0\), es decir, \(C=\cos0=1\). Por tanto tenemos que \(F(x)=-\cos x+1\). De este modo, el área que queremos calcular es:

\[\int_0^\pi\text{sen}\,x\,dx=F(\pi)=-\cos\pi+1=-(-1)+1=2\]

Por tanto el área que se buscaba es de \(2\ \text{u}^2\).

En el artículo siguiente veremos otro método (el que se usa habitualmente) para el cálculo de áreas: la regla de Barrow.

Finalmente reseñar que el teorema fundamental del cálculo afirma que la función área bajo la gráfica de \(f\), \(F(x)=\int_a^x f\), es una primitiva de \(f(x)\), ya que \(F'(x)=f(x)\). Esta es la razón por la que al cálculo de primitivas se le llama integración o cálculo de integrales, y se utiliza la expresión \(\int f(x)dx\) para designar una primitiva de la función \(f(x)\).

Obsérvese en la siguiente figura la relación entre \(F\) y \(f\) (haz clic sobre la figura para ver el movimiento):

En este ejemplo la gráfica de color rojo es \(f(x)=(x-3)^3+3(x-3)^2\) en el intervalo \([1,\,4]\). De manera similar a como se ha hecho en el ejemplo anterior, se puede comprobar con facilidad que \(F(x)=\dfrac{(x-3)^4}{4}+(x-3)^3+4\) (la gráfica de color azul). La ordenada de esta última función (el punto de color azul) nos da el área encerrada por la gráfica de \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales que pasan por las abscisas \(1\) y \(x\) (en color verde).


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Optimización de funciones. Problemas de optimización

Es muy frecuente que en un problema de geometría o de las ciencias experimentales (física, química, biología, etc.), de la economía, la psicología y de las ciencias sociales en general, se trate de optimizar un modelo. Es decir, si el modelo se ajusta a una función matemática, se trata de calcular cuándo esa función alcanza un máximo o un mínimo.

Sirva como ejemplo hacer máximo un volumen, minimizar un área, maximizar los beneficios con un mímimo coste, etcétera.

Para atacar este tipo de problemas es fundamental encontrar la función que hemos de maximizar o minimizar, o lo que es lo mismo, dar con la expresión analítica que se ajuste a nuestro modelo. De lo demás se encargan las derivadas.

Por eso, para ir adquierendo confianza con este tipo de problemas tendremos que tener en cuenta dos cosas importantes.

1) Ejercitarnos en expresar analíticamente funciones que se describen mediante un enunciado. En el caso más sencillo tendremos que interpretar el enunciado adecuadamente para conseguir una función que involucre una sola variable. Variable que será aquella "cosa" que queramos hacer máxima o mínima. Lo normal es que aparezcan dos "cosas" que varían (dos variables). Lo que tenemos que conseguir es expresar una de las variables en función de la otra a partir de los datos que ofrezca el enunciado del problema.

2) Aprender la técnica de hallar, de la forma más eficaz posible, los extremos de una función que viene dada mediante su expresión analítica.

Cálculo de los extremos de una función \(f(x)\) en un intervalo \([a,b]\)

En los problemas de optimización nos interesa el cálculo de los extremos absolutos de una función que cumple determinadas condiciones en un intervalo \([a,b]\).

Para ello se sigue el siguiente proceso.

a) Los máximos y mínimos absolutos de una función \(f(x)\) definida y derivable en un intervalo \([a,b]\) están entre los puntos críticos o singulares de esa función y los correspondientes a los extremos del intervalo. Por eso lo que hacemos es resolver la ecuación \(f'(x)=0\), seleccionamos las soluciones que están entre los extremos \(a\) y \(b\) y con todos estos valores (incluidos \(a\) y \(b\)) vemos cuál es el máximo y cuál el mínimo. Para ello, entre los candidatos a extremos relativos, lo mejor es utilizar el criterio de la segunda derivada.

b) Si hay algún punto de \([a,b]\) en el que la función no sea derivable aunque sí continua, calcularemos además el valor de \(f\) en ese punto, pues podría ser un máximo o un mínimo absoluto.

c) Si \(f\) no es continua en algún punto de \([a,b]\) estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de ese punto (límites por la izquierda y por la derecha del punto en cuestión).

Algunos ejemplos de problemas de optimización

Problema 1

Se dispone de \(6\) metros cuadrados de cartón para construir una caja con forma de prisma recto de base cuadrada con tapa. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen encerrado sea máximo?

optimizacion 01

La función que se quiere maximizar es el volumen. Las variables que se piden son las dimensiones, esto es, el lado de la base \(b\) y la altura del prisma \(h\).

El volumen \(V\) de un prisma recto es \(V=b^2\cdot h\).

La relación entre \(b\) y \(h\) nos la proporciona el enunciado el dproblema. Se dispone de \(6\ \text{m}^2\) para construir la base, las caras laterales y la tapa, es decir:

\[2b^2+4bh=6\Rightarrow h=\frac{6-2b^2}{4b}\quad(1)\]

Sustituyendo la expresión anterior en la fórmula del volumen tenemos:

\[V=b^2\cdot\frac{6-2b^2}{4b}=\frac{1}{4}b(6-2b^2)=\frac{1}{4}(6b-2b^3)\]

Hemos conseguido expresar el volumen (que es la variable que queremos maximizar) en función de la base. Ahora derivamos, igualamos a cero y hallamos los posibles extremos relativos:

\[V'=\frac{1}{4}(6-6b^2)=0\Rightarrow 6b^2=6\Rightarrow b^2=1\Rightarrow\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}\]

Evidentemente la solución negativa no tiene sentido. Además, para \(b=1\) se tiene que \(h=1\) (basta sustituir \(b\) en la expresión \(1\)).

Como \(V''=-3b\), entonces \(V''(1)=-3<0\), con lo que \(b=1\) es un máximo. Por tanto, para \(b=1\) y \(h=1\) se alcanza el volumen máximo (que además es de \(1\) metro cúbico).

Obsérvese que la solución corresponde a un cubo de lado \(1\) metro. En muchos problemas geométricos la solución óptima es la solución que se corresponde con la figura más regular.

Problema 2

Determina cómo dividir un segmento de \(90\) cm en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es \(\pi\) veces su base, sea mínima.

Nota: Recuerda que el área de un círculo de radio \(r\) es \(\pi r^2\).

La solución aquí.

A continuación se proponen un par de problemas de optimización cuya dificultad es mayor que la de los anteriores. Se tendrá mucho ganado si la situación mencionada en el enunciado se representa mediante un buen dibujo, donde todos los datos estén adecuadamente detallados.

Problema 3

Sea \(AB\) un diámetro de una circunferencia de radio unidad, \(BD\) la tangente en \(B\), \(P\) un punto de la circunferencia, \(PD\) perpendicular a \(BD\) y \(AP\) una cuerda. Determinar \(P=(x,\,y)\) para que el área del trapecio rectángulo \(ABPD\) sea máxima.

La solución aquí. 

Problema 4

Dadas dos esferas de radios \(r\) y \(r′\) tales que la distancia entre sus centros es \(d\), se sitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?

La solución aquí.

Os dejo, en los enlaces de más abajo, algunos problemas más de optimización completamente resueltos. Las relaciones son documentos en formato PDF que andan por Internet. El autor de la primera de ellas es José María Martínez Mediano. Desconozco los autores de las otras dos. En todo caso muchas gracias a todos ellos por compartir este material.

Puedes encontrar mucho más material escribiendo en cualquier buscardor las palabras "problemas optimización pdf".

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Derivadas. Cálculo y aplicaciones [Matemáticas CCSS II]

En estos apuntes esquemáticos (11 páginas), se desarrolla de manera práctica el cálculo de derivadas y sus aplicaciones, a un nivel de la materia de matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II (2º de Bachillerato). Se incluyen diversos ejemplos de cálculo de derivadas y de sus aplicaciones. Al final se proponen ejercicios de cálculo de derivadas, de representación gráfica de funciones (cálculo de la monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión), así como algún que otro problema de aplicación en el que hay que utilizar las derivadas. Los contenidos son los siguientes.

Derivadas. Matemáticas aplicadas a las CCSS II

  • Tabla de derivadas.
  • Propiedades de las derivadas. Reglas de derivación.
  • Algunos ejemplos resueltos de cálculo de derivadas.
  • Monotonía. Extremos relativos.
  • Curvatura. Puntos de inflexión.
  • Ejemplos del estudio de la monotonía, los extremos, la curvatura y los puntos de inflexión.
  • Ejercicios.
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