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Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. Recordemos pues, en primer lugar, el enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\
\,\,\,.................................\\
{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}
\end{array} \right.\]

un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas y sean también

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}\,\,\,\,{b_1}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}\,\,\,\,{b_2}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}\,\,\,\,{b_m}}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente, asociadas al sistema. Llamemos \(r(A)\) al rango de la matriz \(A\) y \(r(A|b)\) al rango de la matriz ampliada. Entonces:

1. Si \(r(A)\neq r(A|b)\) el sistema es incompatible (no tiene solución).

2. Si \(r(A)=r(A|b)\) el sistema es compatible. Además:

2.1. Si \(r(A)=r(A|b)=n\), el sistema es compatible determinado (solución única).

2.2. Si \(r(A)=r(A|b)<n\), el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). En este caso, llamando \(r\) al rango, se pueden expresar \(r\) incógnitas en función de las \(n-r\) restantes. Al número \(n-r\) se le llama grado de libertad del sistema.

Ejemplo 1

En el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z - t = 2\\
2x - y - z + t = 3\\
x + y + 3z - 2t = 4
\end{array} \right.\]

tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1\\
1&1&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}&2\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1&3\\
1&1&3&{ - 2}&4
\end{array}} \right)\]

Ya vimos en otro artículo cómo calcular el rango de una matriz usando los determinantes. En este caso, tanto el rango de la matriz de los coeficientes, como el rango de la matriz ampliada, es al menos tres. Pero es que hay por lo menos un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5\\
2&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&3
\end{array}} \right| = \left( { - 9 - 2 + 10} \right) - \left( { - 5 + 12 - 3} \right) =  - 1 - 4 =  - 5 \ne 0\]

Por tanto \(r = r(A) = r(A|b) = 3 < 4 = n\), con lo que, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Como su grado de libertad es \(n - r = 4 - 3 = 1\), entonces tres de las incógnitas se expresarán en función de una restante. Usando el menor distinto de cero que hemos escogido anteriormente (formado por las tres primeras columnas), tomaremos como incógnita libre la última, que pasaremos al segundo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir, si llamamos \(t=\lambda\), el sistema se puede escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z = 2 + \lambda \\
2x - y - z = 3 - \lambda \\
x + y + 3z = 4 + 2\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + \lambda }&2&5\\
{3 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\
{4 + 2\lambda }&1&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{5 + 5\lambda }}{{ - 5}} =  - 1 - \lambda \,\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{2 + \lambda }&5\\
2&{3 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{4 + 2\lambda }&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{50 + 15\lambda }}{{ - 5}} =  - 10 - 3\lambda\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&{2 + \lambda }\\
2&{ - 1}&{3 - \lambda }\\
1&1&{4 + 2\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{ - 25 - 10\lambda }}{{ - 5}} = 5 + 2\lambda\]

Ejemplo 2

Dado el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y - z = 4\\
x - y + 2z = 1\\
x + 2y + z = 0\\
x + 2y + 5z =  - 3
\end{array} \right.\]

tenemos que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son las siguientes:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1\\
1&2&5
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right)\]

En este caso \(r(A)=3\), ya que hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 2 - 2} \right) - \left( {1 + 1 + 8} \right) =  - 2 - 10 =  - 12 \ne 0\]

Y también \(r(A|b)=3\), pues el único menor de orden cuatro (el menor principal de orden cuatro) es igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1} - 2{f_2}}\\
{{f_2} - {f_3}}\\
{}\\
{{f_4} - {f_3}}
\end{array} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&3&{ - 5}&2\\
0&{ - 3}&1&1\\
1&2&1&0\\
0&0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 5}&2\\
{ - 3}&1&1\\
0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = 0\]

Obsérvese las transformaciones que se han hecho para hallar el determinante. Primero hemos hecho ceros teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (se pueden hacer de muchas otras formas distintas) y luego hemos desarrollado por los elementos de la primera columna. El último determinante (el de orden tres) es igual a cero porque la última fila es igual a la opuesta de la primera menos la segunda (aunque también se puede calcular aplicando la regla de Sarrus).

Por tanto \(r(A) = r(A|b) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Para resolverlo podemos eliminar la última ecuación pues, por ser \(r(A|b) = 3\), dependerá linealmente de las demás. Las soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
0&2&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( { - 4 - 2} \right) - \left( {1 + 16} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{ - 6 - 17}}{{ - 12}} = \frac{{23}}{{12}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4&{ - 1}\\
1&1&2\\
1&0&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {2 + 8} \right) - \left( { - 1 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{10 - 3}}{{ - 12}} =  - \frac{7}{{12}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&4\\
1&{ - 1}&1\\
1&2&0
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {1 + 8} \right) - \left( { - 4 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{9 - 0}}{{ - 12}} =  - \frac{9}{{12}} =  - \frac{3}{4}\]

Sistemas que dependen de un parámetro

Es corriente que, dado un sistema de ecuaciones lineales, alguno o algunos de los coeficientes o de los términos independientes sean desconocidos y dependan de uno o más parámetros. Discutir un sistema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros es identificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distinguiendo los casos en que es determinado o indeterminado.

Es posible discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Aquí veremos cómo hacerlo con la ayuda de los determinantes. Como mejor se entiende es viendo algunos ejemplos.

Ejemplo 3

Discutiremos el sistema de ecuaciones

\[\left\{ \begin{array}{l}
ax + y + z = 2a\\
x - y + z = a - 1\\
x + (a - 1)y + az = a + 3
\end{array} \right.\]

según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1&{2a}\\
1&{ - 1}&1&{a - 1}\\
1&{a - 1}&a&{a + 3}
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 1 - ( - 1) = 2\]

Además

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right| = ( - {a^2} + 1 + a - 1) - ( - 1 + a + {a^2} - a) =\]

\[= ( - {a^2} + a) - ({a^2} - 1) =  - 2{a^2} + a + 1\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - 2{a^2} + a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - \frac{1}{2}\\
a = 1
\end{array} \right.\,\).

Veamos ahora las distintas opciones que se pueden presentar.

Si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), \(\left| A \right| \ne 0\) y entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a =  - \frac{1}{2}\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&1&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{ - 1/2}&{5/2}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{5/2}
\end{array}} \right| = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}} \right) - \left( {1 + \frac{5}{2} - \frac{9}{8}} \right) = \frac{5}{4} - \frac{{19}}{8} =  - \frac{9}{8} \ne 0\]

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible.

Finalmente, si \(a=1\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&{ - 1}&1&0\\
1&0&1&4
\end{array}} \right)\]

cuyo rango también es tres pues vuelve a haber un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&{ - 1}&0\\
1&0&4
\end{array}} \right| = ( - 4 + 0 + 0) - ( - 2 + 4 + 0) =  - 4 - 2 =  - 6 \ne 0\]

Por tanto, otra vez \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), y el sistema vuelve a ser incompatible.

En el primer caso, cuando \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), podemos hallar la solución única aplicando la regla de Cramer. Recordemos que \(\left| A \right| =  - 2{a^2} + a + 1\). Entonces:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a}&1&1\\
{a - 1}&{ - 1}&1\\
{a + 3}&{a - 1}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - 2{a^2} + a + 3 + {a^2} - 2a + 1} \right) - \left( { - a - 3 + {a^2} - a + 2{a^2} - 2a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( { - {a^2} - a + 4} \right) - \left( {3{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{2a}&1\\
1&{a - 1}&1\\
1&{a + 3}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 2a + a + 3} \right) - \left( {a - 1 + 2{a^2} + {a^2} + 3a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 3a + 3} \right) - \left( {3{a^2} + 4a - 1} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&{2a}\\
1&{ - 1}&{a - 1}\\
1&{a - 1}&{a + 3}
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - {a^2} - 3a + a - 1 + 2{a^2} - 2a} \right) - \left( { - 2a + a + 3 + {a^3} - 2{a^2} + a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} =\]

\[= \frac{{\left( {{a^2} - 4a - 1} \right) - \left( {{a^3} - 2{a^2} + 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

Como se puede apreciar, para cada valor del parámetro   hay un sistema distinto y su correspondiente solución única. Por ejemplo, si \(a=-1\), tendríamos que \(x=0\), \(y=0\), \(z=-2\) (¡compruébese!).

Hay una interpretación geométrica de todo esto. Sabemos que una ecuación lineal del primer grado con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Pues bien, si \(a=-\frac{1}{2}\) o \(a=1\), los tres planos no tienen ningún punto en común.

Sin embargo, si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), los tres planos tienen un punto en común, el punto de coordenadas

\[\left( {\frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}} \right)\]

Ejemplo 4

Dados los planos \(\alpha  \equiv x + y + z = 1\), \(\beta  \equiv ax + y = 1\), \(\gamma  \equiv x + (a + 1)z = 0\), determinar la posición relativa de los mismos según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

Planteemos el sistema formado por los tres planos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
ax + y = 1\\
x + (a + 1)z = 0
\end{array} \right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
a&1&0&1\\
1&0&{a + 1}&0
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right| = 0 - 1 =  - 1 \ne 0\]

Además, el determinante de \(A\) es

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right| = (a + 1 + 0 + 0) - (1 + a(a + 1) + 0) = (a + 1) - (1 + {a^2} + a) =  - {a^2}\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Los distintos casos que se pueden dar los analizamos a continuación.

Si \(a\ne0\), entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Esta solución es:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
0&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = \frac{{\left( {a + 1} \right) - \left( {1 + {a^2} + a} \right)}}{{ - {a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ - {a^2}}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&1\\
1&0&0
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

Si \(a=0\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&0&1\\
1&0&1&0
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es dos pues todos los menores de orden tres son iguales a cero. También es fácil decidir que el rango es dos argumentando que la tercera fila es la primera menos la segunda.

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 2 < 3 = n\), con lo que el sistema es compatible indeterminado, es decir,  hay infinitas soluciones. Vamos a hallarlas. El grado de libertad del sistema es \(3-2=1\), con lo que una incógnita va libre y las otras dos dependen de ella. Pongamos pues \(z=\lambda\) y eliminemos la última ecuación. El sistema es el siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\]

Rápidamente vemos que las soluciones del sistema anterior son \(x=-\lambda\), \(y=1\), \(z=\lambda\).

La interpretación geométrica de los dos casos anteriores es la siguiente.

Si \(a\ne0\) los tres planos se cortan en un punto de coordenadas

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right)\]

Si \(a=0\) los tres planos se cortan según una recta de ecuación vectorial

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \lambda ,1,\lambda } \right) = \left( {0,1,0} \right) + \lambda \left( { - 1,0,1} \right)\]

Ejemplo 5

Discutamos por último el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = a\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = a
\end{array} \right.\]

para los diferentes valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}\\
2&0&{ - 3}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right)\]

El rango de la matriz \(A\) es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right| =  - 2 - 1 =  - 3\]

Hallemos el determinante de la matriz \(A|b\), que es cuadrada de orden cuatro:

\[\left| {A|b} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
1&0&1&{a + 5}\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
1&{ - 2}&3\\
2&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \]

\[ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
0&{ - 3}&{ - a - 2}\\
0&{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&{ - a - 2}\\
{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = (3a + 30) - (5a + 10) =  - 2a + 20\]

Se deja al lector que analice las propiedades de los determinantes que se han utilizado para calcular el determinante anterior. Por tanto \(\left| B \right| = 0 \Leftrightarrow a = 10\), con lo que podemos hacer la siguiente discusión:

Si \(a \ne 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = 4 \ne r\left( A \right) = 3\) y el sistema es incompatible.

Si \(a = 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = r\left( A \right) = 3\) y el sistema es compatible determinado (solución única). En este caso el sistema adopta la forma siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = 10\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = 10
\end{array} \right.\]

Podemos eliminar la última ecuación y aplicar la regla de Cramer para obtener la solución del sistema.

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 1}&0\\
{10}&1&1\\
3&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 10 - 3 + 0) - (0 + 20 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 33}}{{ - 3}} = 11\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&5&0\\
0&{10}&1\\
1&3&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 20 + 5 + 0) - (0 + 0 + 3)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 18}}{{ - 3}} = 6\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&5\\
0&1&{10}\\
1&0&3
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{(3 - 10 + 0) - (5 + 0 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 12}}{{ - 3}} = 4\]


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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\qquad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema (1). Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 1 < 3 = n\]

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

\[\pi  \equiv \pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

Caso 2

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2\]

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

\[\pi\, |\,|\,\pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

Caso 3

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2 < 3 = n\]

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi  \cap \pi ' = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\]

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi  \equiv 2x - 3y + z - 1 = 0\) y \(\pi ' \equiv  - x + y - 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z - 1 = 0\\
 - x + y - 4z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
 - x + y - 4z =  - 1
\end{array} \right.\]

Es muy fácil darse cuenta de que

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right) = 2\]

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 2 - 3 =  - 1 \ne 0\]

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 - \lambda \\
 - x + y =  - 1 + 4\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1 + 4\lambda }&1
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{1 - \lambda  - \left( {3 - 12\lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 11\lambda }}{{ - 1}} = 2 - 11\lambda\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{1 - \lambda }\\
{ - 1}&{ - 1 + 4\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 8\lambda  - \left( { - 1 + \lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 7\lambda }}{{ - 1}} = 1 - 7\lambda\]

Estas soluciones las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 - 11\lambda ,1 - 7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( { - 11,7,1} \right)\]

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( { - 11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

sistemas03


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Rango de una matriz usando determinantes

En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz \(A\), \(r(A)\), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz: una vez aplicado el método, el rango de una matriz coincide con el número de filas no nulas.

Pero hay otro método, en muchos casos más eficiente, para calcular rangos de matrices. Para ello haremos uso de los determinantes.

Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden \(m\times n\): \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}\).

  • Se llama submatriz de \(A\) a cualquier matriz que se obtenga a partir de \(A\) suprimiendo filas y columnas.
  • Si una submatriz de \(A\) es cuadrada de orden \(k\), a su determinante se le llama menor de orden \(k\) de la matriz \(A\).
  • Al menor formado por las \(k\) primeras filas y las \(k\) primeras columnas de \(A\) se le llama menor principal de orden \(k\) y lo denotaremos \(\delta_k\). Si la matriz \(A\) es cuadrada, es decir, si \(m=n\), entonces \(\delta_n=|A|\).

Veamos un ejemplo para entender las definiciones anteriores.

Supongamos que tenemos la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3&4&{ - 6}\\
2&0&9&{ - 5}\\
1&1&{ - 1}&0\\
2&{ - 4}&4&{ - 7}
\end{array}} \right)\]

Entonces, por un lado, el menor de orden dos formado por las filas tercera y cuarta y por las columnas segunda y tercera; y por otro, el menor principal de orden tres, son los siguientes:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
{ - 4}&4
\end{array}} \right|\quad;\quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3&4\\
2&0&9\\
1&1&{ - 1}
\end{array}} \right|\]

Ahora ya estamos en condiciones de definir el rango de una matriz.

Definición

Se define el rango de una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}\) como el mayor orden de los menores no nulos de \(A\). Al rango de la matriz \(A\) lo denotaremos por \(r(A)\).

Por ejemplo, dada la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}\\
2&1&2&2
\end{array}} \right)\]

vemos claramente que hay más de un menor de orden dos distinto de cero. Por ejemplo, el menor principal de orden dos es

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4\\
1&3
\end{array}} \right| = 9 - 4 = 5 \ne 0\]

Esto quiere decir que el rango de la matriz \(A\) es, como mínimo, \(2\). Si hubiera algún menor de orden tres distinto de cero el rango sería igual a \(3\). Pero resulta que

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4\\
1&3&2\\
2&1&2
\end{array}} \right| = 0\quad;\quad\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&0\\
1&3&{ - 2}\\
2&1&2
\end{array}} \right| = 0\]

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&0\\
1&2&{ - 2}\\
2&2&2
\end{array}} \right| = 0\quad;\quad\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&4&0\\
3&2&{ - 2}\\
1&2&2
\end{array}} \right| = 0\]

Es decir, todos los menores de orden tres son iguales a cero, con lo que el rango de la matriz no es \(3\). Por tanto \(r(A)=2\). Obsérvese que, en este caso, también habría sido fácil decidir que el rango es dos porque la última fila de la matriz \(A\) es la diferencia de las dos primeras, es decir, las tres filas no son linealmente independientes, sino que únicamente lo son dos de ellas y por eso el rango de la matriz \(A\) es \(2\).

El rango de una matriz tiene algunas propiedades de interés que pasamos a enumerar a continuación.

  • El rango de una matriz no varía si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas.
  • Si una matriz \(A\) tiene una fila o columna de ceros, el rango de \(A\) coincide con el de la matriz que se obtiene al suprimir esta fila o esta columna.
  • El rango de una matriz no cambia si se suprime una fila o columna que sea combinación lineal de las restantes.

Utilizando la propiedad número 3 y la observación realizada anteriormente podríamos escribir

\[\text{rango}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}\\
2&1&2&2
\end{array}} \right) = \text{rango}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}
\end{array}} \right)=2\]

Esta forma de calcular rangos utilizando los determinantes es más eficiente que el método de Gauss cuando se trata de calcular el rango de una matriz que depende de uno o más parámetros.

Así, por ejemplo, discutamos para los distintos valores de \(m\in\mathbb{R}\), el rango de la  matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
{m + 1}&3&{m - 1}\\
{m - 1}&{m + 3}&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

En primer lugar, observemos que, al ser la matriz cuadrada de orden \(3\), el rango será tres cuando \(|A|\ne0\). Calculemos pues el determinante de la matriz \(A\) y decidamos para qué valores de \(m\) el rango es \(3\) y para cuáles no.

\[|A|=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
{m + 1}&3&{m - 1}\\
{m - 1}&{m + 3}&{ - 1}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
m&0&m\\
{m - 2}&m&0
\end{array}} \right| = \left( {3{m^2} - 6m - m^2} \right) - {m^2} = m^2-6m\]

En el primer paso, aplicando las propiedades de los determinantes, hemos restado a la segunda fila la primera y a la tercera también la primera, con lo que el determinante no varía. Así, el determinante queda más sencillo para aplicar la regla de Sarrus. Ahora es fácil hacer el siguiente razonamiento:

  • \(|A|=0\Leftrightarrow m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0\ \text{o}\ m=6\).
  • \(|A|\ne0\Leftrightarrow m^2-6m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\ \text{y}\ m\ne6\).

Por tanto está claro que si \(m\ne0\) y \(m\ne6\), entonces \(r(A)=3\); y que si \(m=0\) o \(m=6\), entonces \(r(A)<3\). Analicemos lo que ocurre en estos dos últimos casos.

\[m = 0 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
1&3&{ - 1}\\
{ - 1}&3&{ - 1}
\end{array}} \right)\ ;\ m = 6 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
7&3&5\\
5&9&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

Con lo que, si \(m=0\) o \(m=6\), se tiene que \(r(A)=2\), pues en ambos casos se pueden encontrar menores de orden dos distintos de cero.

Finalmente resolveremos un sistema de ecuaciones que dependa de un parámetro. Recordemos que, según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas tiene solución si \(r(A)=r(A|b)\), donde \(A\) es la matriz de los coeficientes y \(A|b\) es la matriz ampliada, la cual resulta de añadir a la matriz \(A\) la columna de los términos independientes del sistema. Si \(r(A)\ne r(A|b)\), el sistema no tiene solución (incompatible). Además, si \(r(A)=r(A|b)=n\) el sistema tiene solución única (compatible determinado); y si \(r(A)=r(A|b)<n\) el sistema tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado).

Supongamos que deseamos saber el carácter del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
mx + z = 1\\
my + z = m\\
 - mx - my + \left( {m + 1} \right)z =  - m - 1
\end{array} \right.\]

en  función del parámetro \(m\in\mathbb{R}\).

Observemos en primer lugar que la forma matricial del sistema es

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
m\\
{ - m - 1}
\end{array}} \right)\]

Además

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1&1\\
0&m&1&m\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}&{ - m - 1}
\end{array}} \right)\]

Por un lado tenemos que

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right| = {m^3} + {m^2} - \left( { - {m^2} - {m^2}} \right) = {m^3} + 3{m^2} = {m^2}\left( {m + 3} \right)\]

con lo que si \(m=0\) o \(m=-3\), entonces \(|A|=0\) y en estos dos casos el rango de la matriz \(A\) no puede ser \(3\). Sin embargo, si \(m\ne 0\) y \(m\ne-3\), tenemos que \(|A|\ne0\), con lo que en este caso \(r(A)=r(A|b)=3\) y el sistema será compatible determinado (solución única).

Si \(m=0\) tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1\\
0&0&1\\
0&0&1
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1&1\\
0&0&1&0\\
0&0&1&-1
\end{array}} \right)\]

con lo que claramente \(r(A)=1\) (las tres filas de \(A\) son iguales) y \(r(A|b)=2\), pues hay al menos un menor de orden dos distinto de cero. Por tanto \(r(A)\ne r(A|b)\) y el sistema será incompatible (no tiene solución).

En el caso \(m=-3\) se tiene que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-3&0&1\\
0&-3&1\\
3&3&-2
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-3&0&1&1\\
0&-3&1&-3\\
3&3&-2&2
\end{array}} \right)\]

Ahora también es claro que hay menores de orden dos de la matriz \(A\) distintos de cero, con lo que \(r(A)=r(A|b)=2\) y el sistema será compatible indeterminado (infinitas soluciones). En estos casos al número \(n-r(A)\) se le llama grado de libertad del sistema e indica el número de incógnitas que van libres. El resto de incógnitas se podrán poner en función de las que van libres. En este caso, como \(n-r(A)=3-2=1\), tenemos que una incógnita va libre (por ejemplo \(z=\lambda\)) y las otras dos, \(x\) e \(y\) se pueden expresar en función de \(z=\lambda\). Además, podemos eliminar una de las ecuaciones del sistema pues, al ser \(r(A)=r(A|b)=2\), cualquiera de ellas depende linealmente de las otras dos. Por tanto:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 3x + z = 1\\
 - 3y + z =  - 3\\
3x + 3y - 2z = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3x = 1 - \lambda \\
 - 3y =  - 3 - \lambda
\end{array} \right.\]

de donde se deduce claramente que \(x=\dfrac{\lambda+1}{3}\), \(y=\dfrac{\lambda+3}{3}\), \(z=\lambda\).

También se pueden obtener, en función del parámetro \(m\), la solución cuando el sistema es compatible determinado. Recordemos que \(|A|=m^2(m+3)\). Aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&m&1\\
{ - m - 1}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{m^2} + m - {m^2}} \right) - \left( { - {m^2} - m - m} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} =\]

\[=\frac{{{m^2} + 3m}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{m\left( {m + 3} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{1}{m}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&1&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m - 1}&{m + 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{m^3} + {m^2} - m} \right) - \left( { - {m^2} - {m^2} - m} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \]

\[ = \frac{{{m^3} + 3{m^2}}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&m\\
{ - m}&{ - m}&{ - m - 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( { - {m^3} - {m^2}} \right) - \left( { - {m^2} - {m^3}} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{0}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = 0\]

Por ejemplo, si \(m=-5\), el sistema es

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 5x + z = 1\\
 - 5y + z =  - 5\\
5x + 5y - 4z = 4
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son \(x=-\dfrac{1}{5}\), \(y=1\), \(z=0\).


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