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Problemas de optimización. Optimización en economía

Problemas de optimización. Optimización en economía

Muchos problemas requieren buscar un valor que haga mínima o máxima una cantidad. Esta cantidad puede venir dada en una fórmula, en otras ocasiones deberemos plantear nosotros la fórmula. En este artículo puedes ver con detalle de qué tratan este tipo de problemas.

En todo caso recordaremos algunas pautas para resolver problemas de optimización.

  1. Leer el problema hasta comprenderlo. Localizar la cantidad se ha de hacer máxima o mínima, es decir, aquella cantidad que tenemos que optimizar.
  2. Si procede, realizar algún dibujo de la situación que muestre como se relacionan los elementos que varían. Escoger nombres a las variables de interés. Si hay varias variables involucradas, estudiar cómo se relacionan. Hay que plantear una ecuación donde se hagan patentes las relaciones entre las variables. Esta ecuación se suele llamar de ligadura (porque establece la relación entre las variables) o ecuación de restricción.
  3. Expresar la cantidad que se quiere optimizar como función de una de las variables. Esta función se conoce con el nombre de función objetivo. Si hay dos o más variables, despejar las variables en términos de una sola, usando la ecuación de ligadura (o restricción) y sustituirla en la función objetivo. Determinar el dominio de la función resultante de acuerdo a la naturaleza del problema.
  4. Determinar los máximos o mínimos de la función a optimizar. Hay que garantizar que el extremo sea absoluto.
  5. Por último, es conveniente responder con palabras cada pregunta del problema.

Para el cálculo de los extremos (máximos y mínimos) de una función recomendamos la lectura de estos apuntes sobre derivadas.

Optimización en economía

Hay una gran variedad de problemas en administración y economía donde se emplea la derivada para encontrar máximos y mínimos. En particular, a una empresa le interesa el nivel de producción donde se alcanza la máxima utilidad o el máximo ingreso; o a un empresario le interesaría saber el nivel de producción al que el coste promedio por unidad es mínimo. Veamos algunos ejercicios que nos sirvan de ejemplo.

Ejercicio 1

El coste total de producir \(q\) unidades de un artículo está dado por

\[c(q)=5000+4q+\frac{1}{2}q^2\]

¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de obtener el mínimo coste promedio por unidad? ¿Cuál es ese mínimo coste promedio?

 

En primer lugar hemos de obtener el coste promedio, que se calcula dividiendo el coste total entre el número de unidades \(q\):

\[\overline{c}(q)=\frac{5000+4q+\frac{1}{2}q^2}{q}=\frac{5000}{q}+4+\frac{1}{2}q\]

Derivando \(\overline{c}\) tenemos:

\[\overline{c}'(q)=-\frac{5000}{q^2}+\frac{1}{2}\]

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles máximos o mínimos (valores críticos):

\[-\frac{5000}{q^2}+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow-10000+q^2=0\Leftrightarrow\begin{cases}q=100\\q=-100\end{cases}\]

Eliminamos la solución negativa pues carece de sentido.

Para saber qué clase de punto es \(q=100\) volvemos a derivar la función coste promedio y evaluamos precisamente en \(q=100\):

\[\overline{c}''(q)=\frac{10000}{q^3}\Rightarrow\overline{c}''(100)=\frac{10000}{100^3}>0\]

De lo anterior se deduce que en \(q=100\) se alcanza un mínimo relativo, con lo que podemos concluir que cuando se producen 100 unidades tendremos el coste promedio mínimo.

Además, el mínimo coste promedio es:

\[\overline{c}(100)=\frac{c(100)}{100}=\frac{5000+4\cdot100+(100)^2/2}{100}=\frac{5000+400+5000}{100}=104\ \text{um}\]

Ejercicio 2

El coste total de producir \(q\) unidades de un artículo está dado por

\[c(q)=1000+300q+\frac{1}{20}q^2\]

Si la ecuación de demanda está dada por \(p=400-0,1q\), ¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de obtener la máxima utilidad? ¿Cuál es el precio en que se tiene la máxima utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima posible? Si el gobierno impone un impuesto de 10 euros por unidad, ¿cuál es el nuevo nivel de producción que maximiza la utilidad?

 

En primer lugar se debe conseguir la función utilidad \(U=I-C\) (ingresos menos costes). En este caso, como \(I=pq=(400-0,1q)q=400q-0,1q^2\), tenemos:

\[U(q)=(400q-0,1q^2)-\left(1000+300q-\frac{1}{20}q^2\right)=400q-0,1q^2-1000-300q-\frac{1}{20}q^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow U(q)=-\frac{3}{20}q^2+100q-1000\]

Derivando e igualando a cero tenemos:

\[U'(q)=-\frac{6}{20}q+100=0\Rightarrow q=\frac{1000}{3}\]

Tenemos pues un único punto crítico (posible máximo o mínimo). Volviendo a derivar:

\[U''(q)=-\frac{6}{20}\]

Como \(U''(q)\) es siempre negativa, se tiene que \(q=\dfrac{1000}{3}\) es un máximo relativo y por existir un único extremo, este es absoluto (podíamos haber hecho esto teniendo en cuenta que la función \(U\) es una parábola que se abre "hacia abajo" y que, por tanto, el vértice es su único máximo absoluto).

Sustituyendo en la ecuación de demanda obtenemos el precio de venta máximo:

\[p=400-0,1\frac{1000}{3}=\frac{1100}{3}\approx367\ \text{UM}\]

Y ahora conseguimos el valor máximo de la función de utilidad:

\[U\left(\frac{1000}{3}\right)=-\frac{3}{20}\left(\frac{1000}{3}\right)^2+100\frac{1000}{3}-100\approx16567\ \text{UM}\]

Ejercicio 3

Un gimnasio tiene la cuota mensual en 100 euros. A ese precio se inscriben mensualmente un promedio de 550 clientes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de 2 euros se pierden 5 clientes ¿Qué precio se deberá fijar a fin de que el gimnasio obtenga el máximo ingreso?

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