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La regla de LHôpital y el cálculo de límites

cálculo de límites cálculo de límites

La regla de LHôpital permite calcular límites que presentan la indeterminación "cero partido por cero".

Debemos enunciar la regla con rigor pues en ella hay que asegurarse de que las dos funciones que intervienen (la del numerador y la del denominador) son ambas derivables en un entorno del punto donde se quiere hallar el límite.

Es decir, si f y g son dos funciones derivables en un entorno de un punto a, con

lims1

y existe

lims2

entonces también existe

lims3

y se cumple que

lims4

En resumen:

lims5

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\). Tomando \(f(x)=e^x-1-x\) y \(g(x)=x^2\) se tiene que \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\) y que \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=0\). Además \(f\) y \(g\) son claramente derivables en todo \(\mathbb{R}\).

Por otro lado \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\), que vuelve a ser un límite del tipo \(\dfrac{0}{0}\).

Volvemos a derivar numerador y denominador, con lo que \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x}{2}=\dfrac{1}{2}\).

Por la regla de L'Hôpital, \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{2}\).

Así pues:

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}\]


 En esta presentación tienes otro ejemplo de cálculo de un límite utilizando esta regla


 Por cierto. El límite calculado en la presentación anterior requiere de aplicar dos veces la regla de L'Hôpital. La segunda vez que se aplica se vuelven a derivar las funciones f y g, pero se podría haber hecho también de otra manera similar. ¿Sabes cómo?

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