Menu
RSS
Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (IV)

Logaritmos. Contexto histórico y ap…

Esta es la continuación...

Uso de la regla de Ruffini para dividir entre un binomio del tipo kx-a

Uso de la regla de Ruffini para div…

Ya sabemos que la regla d...

Una identidad con radicales y alguna que otra reflexión sobre las matemáticas

Una identidad con radicales y algun…

En la materia Matemáticas...

Lúnulas y el problema de la cuadratura del círculo. Cuadrando áreas limitadas por líneas curvas

Lúnulas y el problema de la cuadrat…

Una lúnula es cualquiera ...

Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (III)

Logaritmos. Contexto histórico y ap…

Esta es la continuación...

Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (II)

Logaritmos. Contexto histórico y ap…

Esta es la continuació...

Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (I)

Logaritmos. Contexto histórico y ap…

Los logaritmos irrumpen e...

Cinco problemas de matemáticas inspirados en la antigua China

Cinco problemas de matemáticas insp…

Hace un tiempo escribí un...

El problema de las piedras mágicas

El problema de las piedras mágicas

Extraído del libro "Uno +...

Ángulos central e inscrito en una circunferencia

Ángulos central e inscrito en una c…

Ver artículo en formato i...

Prev Next

La regla de LHôpital y el cálculo de límites

cálculo de límites cálculo de límites

La regla de LHôpital permite calcular límites que presentan la indeterminación "cero partido por cero".

Debemos enunciar la regla con rigor pues en ella hay que asegurarse de que las dos funciones que intervienen (la del numerador y la del denominador) son ambas derivables en un entorno del punto donde se quiere hallar el límite.

Es decir, si f y g son dos funciones derivables en un entorno de un punto a, con

lims1

y existe

lims2

entonces también existe

lims3

y se cumple que

lims4

En resumen:

lims5

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\). Tomando \(f(x)=e^x-1-x\) y \(g(x)=x^2\) se tiene que \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\) y que \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=0\). Además \(f\) y \(g\) son claramente derivables en todo \(\mathbb{R}\).

Por otro lado \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\), que vuelve a ser un límite del tipo \(\dfrac{0}{0}\).

Volvemos a derivar numerador y denominador, con lo que \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x}{2}=\dfrac{1}{2}\).

Por la regla de L'Hôpital, \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{2}\).

Así pues:

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}\]


 En esta presentación tienes otro ejemplo de cálculo de un límite utilizando esta regla


 Por cierto. El límite calculado en la presentación anterior requiere de aplicar dos veces la regla de L'Hôpital. La segunda vez que se aplica se vuelven a derivar las funciones f y g, pero se podría haber hecho también de otra manera similar. ¿Sabes cómo?

volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

Sitios matemáticos